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总复习（数与代数概念部分）
一、数的意义：
1、整数：像—3、—2、— 1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。整数的个数
是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整 数，自然数是整数的一部分。
2、自然数：用来表示物体个数的数。像1、2、3、4、5……叫做自 然数。一个
物体也没有用0表示。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的
自然 数。
3、小数：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一分或几份
的数是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
4、小数的分类：


（1）纯小数和带小数：整数部分是o的小数叫做纯小数，整数部分不是o的小
数叫做带小数。
（2）有限小数和无限小数：小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数；小数
部分的位数是无 限的小数叫做无限小数。
（3）循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起一个数字或几个数字依次 不
断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
（4）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个小
数的循环节。
(5）纯循环小数和混循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环
小数；循环节 不是从第一位开始的，叫做混循环小数。
5、计数单位：个、十、百、千·····以及十分之一、百 分之一、千分之
一·····都是计数单位。
6、数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。
7、十进制计数法：“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。它的
特点是每相邻的 两个计数单位之间的进率都是“十”就是10个较低的计数单位
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可以进成一个较高的计数单位（既通常说的“逢十进一”）， 这种以“十”
为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。
8、整数和小数数位顺序表：

9、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
（1）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数
就是这个分数的分数单位。
（2）分数的分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分
数小于1。假 分数：分子比分母大或者分子等于分母的分数叫做假分数，假分数
≧1
10、百分数：表示一 个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，百分数也叫百
分率或百分比。百分数的分数单位是1%。百 分数的分母是100。
11、分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数（后面可加数量单位）；也 可
以表示两个数的比（两数之间的关系）。而百分数只表示一个数占另一个数的百
分比（两数之 间的关系），不能表示具体的数。因此百分数不带单位。
12、正数和负数：像13、+2、0.5、 +4.5…这样的数叫做正数；像―12、―5.5、―
6…这样的数叫做负数。
（不能 认为：一个数的前面加上“+”号这个数就是正数，也不能认为：一
个数的前面加上“—”号这个数就是 负数）。比如：“—a”这个数我们就不能
判断是负数，因为a可能：是正数、是负数、0都有可能；所 以我们无法判断。
自然数是等于或大于0的整数，也可以说是不小于0的整数，既是非负整数。0既不是正数也不是负数。
二、数的读法和写法。
1、读法：从高位到低位，一级一级的 往下读，每一级末尾的0都不读出来，其
他数位的连续的几个0都只读一个。
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2、写法：从高位到低位，一级一级的往下写，哪一个数位上一个单位也没有，
就 在那个数为上写0。
（一）、小数的读法与写法：
读法：通常是整数部分按整数的读法去读 ，小数点读作“点”，小数部分按从左
向右的顺序只读出数字。
写法：写小数时，整数部分按 整数部分的写法去写，小数点写在个位的右下角，
小数部分按从左向右的顺序
依次写出每一个数位上的数字。
（二）、分数的读法与写法：
读法：读分数时，先 读分数的分母，再读“分之”最后读分子。读带分数时，要
先读整数部分，再读“又”字，最后按分数部 分的读法读分数部分。（分数线的
读法：“分之”），
写法：写分数时，要先写分数线，再写 分母，最后写分子，写带分数时，要先写
整数部分，再写分数部分，整数部分要对其分数线，二者要紧凑 。
（三）、百分数的读法与写法：
读法：百分数的读法与分数相同。
写法：百分 数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来
表示。写百分数时，先写分子，再写 百分号。
（四）、数的大小比较：
1、整数的大小比较：比较两个整数的大小，首先要看它 们的位数，如果位数不
相同，那么位数多的那个数就大；如果位数相同，就先从高位比起，相同数位上< br>的数大的那个数就大；
2、小数的大小比较：先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数就大 ；整数
部分相同的，十分位上数大的那个数就大；十分位上的数字相同，百分位上的数
大那个数 就大。…以此类推。
3、分数的大小比较：分母相同的分数，分子大的那个分数就大；（因为分母相< br>同，分数单位就相等，分子大的就意味着含有的分数单位多。）；分子相同的分
数相比较，分母小 的那个分数大。（分子相同含有的分数单位数相同，分母小的
分数分数单位就大）分子、分母都不同的分 数相比较，先通分，转化成同分母分
数后，再比较大小。
4、正数和负数的大小比较：负数都比正数小。0大于一切负数，0小于一切正数。
5、两个 负数相比较：如果a＞b（a、b均为正数），则－a＜－b。就是在不看负
数符号的情况下：数大的那 个数反而小。
三、数的性质：
1、分数的性质：分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0 除外），分数的大
小不变。（注意：分数的分单位有变化，分子、分母都有变化）
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2、约分和通分：把一个分数化成和原分数相等的，且分子分母都比原分数小的
的分数叫做约分；把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数，叫做通分。
3、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
4、小数的基本性质：小数的 末尾添上或去掉0，小数的大小不变。（注意：小
数的位数有变化，精确度有变化。）
5、小 数点的位置移动引起小数的大小变化规律：小数点每向右移动一位、两位、
三位···这个数就扩大到原 来的10倍、100倍、1000倍···；小数点每向
左移动一位、两位、三位···该数就缩小到原 数的110、1100、11000···。
四、数的改写：
1、把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数。
（1）直接改写：把多位数改写成以” 万“或者以”亿”单位的数，先把原来的
小数点向左移动4位或者8位，再在数后面加上“万”或“亿” 字，中间用“=”
连接。
（2）省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入法”省略万位或者亿 位后面的尾
数，再在这个数的后面写上“万”字或者“亿”字。得出的是近似数，中间用“≈”
连接。
2、求小数的近似数：根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面的尾
数按照 “四舍五入法”省略，中间用“≈”。
3、小数、分数、百分数
化：
的互
小数化成分数方法：先看小数点后面有几位小数，就在1的后面添上几个0做分
母 ，原来的小数去掉小数点后做分子。能约分的要约成最简分数。
分数化成小数方法：用分子除以分母。
小数化成百分数的方法：把小数的小数点向右移动两位，（位数不足时用0补足）
同时在后面添 上“%”。
百分数化成小数的方法：把百分数的分子的小数点向左移动两位，同时去掉后面
的“%”。
百分数化成分数的方法：先把百分数的改写成分母是100的分数，然后约成最简
分数。
分数化成百分数的方法：先把分数化成小数，在把小数化成百分数。
4、判断一个分数能否化 成有限小数的方法：一个最简分数，如果分母中除了含
有质因数2和5以外，不含有其它质因数， 这个 分数就能化成有限小数；如果
分母中含有了2和5以外的其他质因数，这个分数就不能化成有限小数。
五、数的整除：
1、整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数且没有余数， 我们
就说数a能被数b整除。（也可以说b能整除a）。
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2、因数和倍数：如果a×b=c（a、b、c都是非0整数）那么a、b就叫做c的因
数，c就叫做 a、b的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它
本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的
倍数。
3、公因数和最 大公因数：几个数的公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中
最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
4、公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最
小的那个数叫做 这几个数的最小公倍数。。
5、求两个数的最大公因数的方法：一般采用列举法，就是把两个数的因数 一一
列举出来，然后找出两个数的公因数，其中最大的那个数就是这两个数最大公因
数。也可以 采用短除法。
短除法求最大公因数的方法：把两个数写在的横线上，先用着这
两个数的公有质 因数做除数，如果两个数的商是互质数，除数就是这两个数的所
得的商就是这两个数的最大公因数。如果 两个数的商不互质，就按照上面的方法
继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数连 乘起来，所得
的积就是这两个数的最大公因数。
6、求两个数的最小公倍数的方法：一般也采 用列举法，把两个数的倍数数
根据需要按从小到大的顺序列举一部分，然后找出两个数的公有的倍数，其 中最
小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。也可以采用短除法。
短除法求最小公倍数的方法：把两个数写在的横线上，先
用着这两个数的公有质因数做除数，所 得的商 写在横线下的相对应的位置，如
果两个数的商是互质数，就把除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就 是这两
个数的最小公倍数；如果两个数的商不互质， 就按照上面的方法继续除，直到
两个数的 商最后是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得商连乘起来，所得
的积就是这两个数的最小公倍数。
7、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法：
如果两个数中，较大数是较小 数的倍数，较小数就是较大数的因数，则
较大数是这两个数的最小公倍数；较小数是这两个数的最大公因 数。
如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个
数的乘积。
8、奇数和 偶数、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫
做奇数，最小的偶数是0，最小的奇 数是1。
9、2、5、3的倍数的特征。
（1）2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
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（2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
（3）3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个
数就是3的倍数。
10 、质数和合数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或
素数）；一个数，如果除 了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。质数
有且只有两个因数，合数至少有三个因数。 1既不是质数也不数合数。
11、质因数与分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其 中每个
质数都是这个合数的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解
质因数。
12、分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短除法，分解质因数时，
先用这个合 数的质因数（通常用最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把
除数和商写成相乘的形式；得出的商 如果是合数，就照上面的方法继续下去，直
到得出商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的 形式。
13、大于0的自然数的分类方法：（1）根据是否是2的倍数，自然数可分为：
奇数 和偶数。（2）根据所含因数的个数，自然数可分为：1、质数、合数。
六、数的运算：
1、加法的意义：把两个数（或几个数）合并成一个数的运算。
2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3、乘法的意义：（1）一个数乘整数，就是求几个相同加数和的简便运算。
（2）一个数乘小数，可以看作是求这个数的十分之几，
百分之几···是多少？
（3）一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。
4、除法的意义：以这两个数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。
5、计算方法：
1、加法的计算方法。
（1）整数和小数：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数 相加满十，
要向前一位进1。（2）分数：同分母分数相加，分母不变只把分子相加。异分
母分 数相加，先通分，再按照同分母分数加法法则进行计算。
2、减法的计算方法：
（1）整数和小数：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，
从前一位退1，在本位上加10 后再减。
（2）分数：同分母分数相减，分母不变，只把分子相减。（分子之差
做 分子）异分母分数相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算。
3、乘法的计算方法：
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⑴整数乘法的计算方法：相同数位对齐，从末尾乘起 ，用第二个因
数的每一位上的数去乘第一个因数，用哪一位的数去乘，乘得的积的末尾就要和
那 一位对齐，最后把每次乘得的积的相加。
⑵小数乘法的计算方法：计算小数乘法，末尾对齐，先按照整 数乘法的计
算方法算出积，再看因数中一共有几位小数， 就从积的末尾起向左数出几位，
点上小数点。
⑶分数乘法的计算方法：分数乘分数，用分子相 乘的积作分子，分母相乘的
积作分母（能约分的要先约分）。
⑷除法的计算方法：整数除法的 计算方法：从被除数的高位除起，除的时候，
除数有几位数就先看被除数的前几位，如果前几位不够除， 再多看一位，除到被
除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，每次除得余数必须比除数小。
⑸小数除法的计算方法：除数是整数的小数除法，要按照整数除法的计算
方法去除，商的小数点要和被除 数的小数点对齐。如果除到被除数的末尾仍有余
数，就在余数的末尾添上0继续除。除数是小数的除法： 先移动除数的小数点，
使它变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同< br>位数（位数不够时，在被除数的末尾用0补足），然后按除数是整数的小数除法
的计算方法进行计 算。
⑹分数除法的计算方法：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。
倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
七、四则运算的验算方法：
1、加法的验算方法（1）用加法验算：调换两个加数的位置再加一遍。
（2）用减法验算：和—一个加数=
另一个加数。
2、减法的验算方法：（1）用加法验算：差+减数=被减数。
（2）用减法验算：被减数—差=减数。
3、乘法的验算方法：（1）用乘法验算：调换两个因数的位置再称一遍。
（2）用除法验算：积÷一个因数=另一
个因数。
4、除法的验算方法：（1）用乘法验算： 如果没有余数，商×除数=被除数，如
果有余数，商×除数+余数=被除数。
（2）用除法验算：被除数÷商=除数 或（被除数－余数）÷商=除
数
八、0与1在四则运算中特性：a+0=a a×0=0 0÷a=0 a－
0=a a×1=a
a－a=0 a÷1=a 1÷a=1a (在上面算式中a作除数
时a≠0）
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九、运算定律：
1、加法的交换律：a+b=b+a 2、加法的结合律：a+b+c=a+（b+c）
3、乘法的交换律：a×b=b×a 4、乘法的结合律：a×b×c=a×（b×c）
5、乘法的分配率：（a+b）×c = a×c+b×c
十、运算性质：
1、减法的运算性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c
2、除法的运算性质（除数不为0）：a ÷(b×c)=a÷b ÷c
a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c
十一、运算顺序：
1、加法和减法叫做一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。
2、在一个没有括号的算式里， 如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；
如果含有两级运算，要先算第二级运算，后算第一级运算 。
3、在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
十二、解决问题：
1、复合应用题：用两步或两步以上计算来解答的应用题。分析此问题，一 般采
用分析法或综合法。
分析法：从要求问题入手，逐步找出解答问题所需要的信息，求得问题的解
决。
综合法：从已知条件入手，利用已知条件看能解决什么问题，从而求得问
题的解决。
2、解决 问题的一般步骤：首先理解题意，找出已知条件何所求问题；其次。分
析数量关系，确定先 算什么，再 算什么，最后算什么；再次，确定每一步该怎
样算，列出算式，算出得数；最后进行检验，写出答案。
3、几种常见的数量关系：
（1）路程=速度×时间 （2）总价=单价×数量 （3）工作总量=工效
×时间
（4）总产量=单产量×数量（5）收入-- 支出=结余（6）利息=本金×利息×时间
十三、式与方程：
1、用字母表示数的意义：用 字母表示数是代数的基本特点。既简单明了，又能
表达数量关系的一般规律。
2、用字母代表数的作用：
（1）用字母代表任何数。（2）用字母表示常见的数量关系。（ 3）用字母表示
运算定律。（4）用字母表示计算公式。
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3、（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以简写成“·”或者省略不写。
数与数相乘，乘号 不能省略。
4、等式与方程：表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程中未知数的过程叫做解方程。
5、等式的性质：（1）等式两边都加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
（2）等式两边都乘上（或除以）同一个不为零的数，左右两边仍然相
等。
（3）根据等式的性质可以解方程。
6、列方程解应用题的步骤：（1）找出未知数并用X表示。
（2）找出应用题中数量间的相等关系，并更具等量关系列出方程。
（3）解方程，求未知数的值。
（4）检验写答语。
十四、常见的计量单位及其进率：
（一）意义：（1）物体的多少、长短、大小、轻重、快慢 等。这些可以测定的
客观事物的特征叫做量。（2）把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。用来作为计量标准的量叫做计量单位。
（二）常用的计量单位及其进率。
（1）货币单位及其进率：1元=10角 1角=10分
（2）长度单位及其进率： 1千米=1000米 1米=10分米=100厘米
1
米 1厘米=10毫米
（3）面积单位及其进率：
1平方千米=1000000平方米 1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=1000平方毫米
质量单位及其进率： 1吨=1000千克 1千克=1000克
时间单位及其进率：（1）1年有12个月 平年有365天，闰年有366天。
（2）1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月31天； 4、6、9、11月是小月，
每月有30天；二月既不是大月也不是小月，平年二月28天，闰年二月有 29天。
（3）按四个季度分，1、2、3月份属第一季度，4、5、6月份是第二季度，7、8、9月份是第三季度，10、11、12是第四季度。
分米=10厘
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