澳大利亚昆士兰大学-端午节的意义

第一章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如
7,
3
2
等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
π
+8等；
3
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60
o
等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数 （只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是
零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应 的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，
则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0） 。零的绝对值
是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。 零没有倒
数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果 一个正数x的平方等于a，即x
2
=a，那么这个正数x就叫做a
的算术平方根。特别 地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“
a
”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果 一个数x的平方等于a，即x
2
=a，那么这个数x就叫做a的平方
根（或二次方根） 。
表示方法：正数a的平方根记做“
a
”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意
a
的双重非负性：

a

0
3、立方根:一般地，如果一个数x的立方等于a，即x
3
=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或
三次方根）。
表示方法：记作
3
a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：
3
a0

a
3
a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负 数；数轴上的两个点所表示
的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
ab0ab,

ab0ab,

ab0ab

（3 ）求商比较法：设a、b是两正实数，
1ab;
a
b
aa
1 ab;1ab;

bb
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则
abab
。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则
abab
。
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“
2、性质：
2
（1）
(a)a(a0)

22
”；被开方数a必须是非负数。

a(a0)

（2）
aa


a(a0)

（3）
ab
2
a•b(a0,b0)
（
a•bab(a0,b0)
）
（4）
aa
(a0,b0)
（
b
b
a
b

a
(a0,b0)
）
b
3、运算结果若含有“
a
”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数 ，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
（2）实数的运算顺序:先算乘方和开方 ，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号
里面的。
（3）运算律
加法交换律
abba
加法结合律
(ab)ca(bc)

乘法交换律
abba
乘法结合律
(ab)ca(bc)

乘法对加法的分配律
a(bc)abac

实数 同步复习
知识点1 平方根
一、基本知识
1．一般的，如果一个________的平方等于a，即______，那么 这个______叫做a的算术平
方根．a的算术平方根记为______，a叫做______．
规定：0的算术平方根是______．

2．一般的，如果______，那 么这个数叫做a的平方根．这就是说，如果______，那么x 叫
做a的平方根，a的平方根记为______．
3．求一个数a的______的运算，叫做开平方．
4．一个正数有______个平方根 ，它们______；0的平方根是______；负数______．
5.25的算术平方根是______
；
______是9的平方根；
16
的平方根是_____ _．
6．计算：（1）
121
______；（2）256______；（ 3）
12
2

______；
（4）
3
4
______；（5）
(3)
2

______；（6）< br>2
二、练习
1．下列各数中没有平方根的是（ ）
A．（－3）
2

1

______．
4
B．0
1
C． D．－6
3

8
2．下列说法正确的是（ ）
A．169的平方根是13 B．1.69的平方根是±1.3
C．（－13）
2
的平方根是－13 D．－（－13）没有平方根
3．下列语句不正确的是（ ）
A．0的平方根是0 B．正数的两个平方根互为相反数
C．－2
2
的平方根是±2 D．a是a
2
的一个平方根
4．一个数的算术平方根是a，则比这个数大8数是（ ）
A．a＋8 B．a－4 C．a
2
－8 D．a
2
＋8
5. 判断：
3是9的算术平方根．（ ）
3是9的一个平方根．（ ）
9的平方根是－3．（ ）
（－4）
2
没有平方根．（ ）
－4
2
的平方根是2和－2．（ ）
6.
1
11
的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______．
25
7．
(4)
2
的算术平方根是______：
81< br>的算术平方根的相反数是______．
8．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______．
9．若
a
有 意义，则a满足______；若
a
有意义，则a满足______．
1x< br>中的x的取值范围是______．
10．若3x
2
－27＝0，则x＝______．
11求下列各式的值：
（1）3
25
（2）
8136
（3）
0.040.25
（4）
0.36
12．要切一块面积为16 cm
2
的正方形钢板，它的边长是多少？
4

121
x1

13．要在一块长方形的土地上做田间试验， 其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和
宽各是多少米？

14.思考题：估计与
35
最接近的整数．

知识点2：立方根
一、基本知识
1．一般的，如果______，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就 是说，如果______，
那么x叫做a的立方根，a的立方根记为________．
2．求一个数a的______的运算，叫做开立方．
3．正数的立方根是______数；负数的立方根是______数；0的立方根是______．
二、练习：
1
1．125的立方根是______；

的立方根是______．
8
19
61
1
______． 2．计算：（1）
3< br>0.008
______；（2）
1
（3）


______；
27
64
3．体积是64m
3
的立方体，它的棱长是 ______m．
4．
64
的立方根是______；
3
64的平方根是______．
5．
3
0.064
______；
3
216
______；
3
(2)
3

__ ____；
3
8
______；

3
8
______；
6．下列结论正确的是（ ）A．
C．有理数一定有立方根
3
32731
的立方根是

B．

没有立方根
644125
D．（－1）
6
的立方根是－1
B．

7．下列结论正确的是（ ）A．64的立方根是±4
C．立方根等于本身的数只有0和1
11
是

的立方根
2 6
D．
3
27
3
27

8．比较大小：（1 ）
3
10______
3
11;
（2）
2______3
2;
（3）
9______
3
27.

9．求出下列各式中的a：
（1）若a
3
＝0.343，则a＝_____ _；（2）若a
3
－3＝213，则a＝______；
（3）若a
3＋125＝0，则a＝______；（4）若（a－1）
3
＝8，则a＝______．
10．若x的立方根是4，则x的平方根是______．
11．－27的立方根与
81
的平方根的和是______．
12．若3
x
3
y0,
则x与y的关系是______．
13．如 果
3
a44,
那么（a－67）
3
的值是______．
14．若m＜0，则
m
3
m
3

______．

15.判断正误
负数没有平方根，但负数有立方根．（ ）
4
282
的平方根是
,
的立方根是

（ ）
9
3
327
如果x
2
＝（－2）
3
， 那么x＝－2．（ ）
算术平方根等于立方根的数只有1．（ ）
16.求下列各式的值：
3
101
32
3
3
（1）
2
（2 ）
1145
（3）
8
（4）
3
27(3)< br>2

3
1

2764
3


17.已知5x＋19的立方根是4，求2x＋7的平方根．




知识点3 实数
一、基本知识
1．______叫无理数，______统称实数．
2．______与数轴上的点一一对应．
3．把下列各数填入相应的集合：
－1 、
3
、π、－3.14、
9
、
62
、

（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；
（4）负实数集合｛ ｝．
4．
2
的相反数是________；

2

． 、
0.7
2
1
的倒数是________；
3
5
的绝对值是________．
2
5．如果一个数的平方是64，那么它的倒数是________．
6．比较大小 ：（1）
3________
3
2;
（2）
3
125 ________36.

7．
22
的相反数是____；
2 3
的绝对值是____．大于
17
的所有负整数是______．
二、练习
1．判断：
实数是由正实数和负实数组成．（ ）
0属于正实数．（ ）
数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）
如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ）
若
|x|2,
则
x2
（ ）

2．下列说法错误的是（ ）
A．实数都可以表示在数轴上
C．坐标系中的点的坐标都是实数对
B．数轴上的点不全是有理数
D．
2
是近似值，无法在数轴上表示准确
3．下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数
4．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（ ）
A．±1 B．0和1 C．0和－1 D．0和±1
5.若实数a、b互为相反数，c、d 互为负倒数，则式子
ab
3
cd
＝______．
6．在数轴上与1距离是的点
2
，表示的实数为______．
3
7、计算题
4916927

1(84)6



8.已知
x2|x
2
3y13|0,
求x＋y的值．
3
3
3
2
265
1(1)
2

274

9.若无理数a满足不等式1＜a＜4，请写出两个符合条件的无理数______．
10． 已知a是
10
的整数部分，b是它的小数部分，求（－a）
3
＋（b＋3）< br>2
的值．


12．已知
A
mn
n m3
是n－m＋3的算术平方根，
B
m2n
3
m2n是m＋2n的立方
根，求B－A的平方根．



13.已知 M是满足不等式
3a6
的所有整数a的和，N是满足不等式
x
最大整 数．求M＋N的平方根．



372
的
2