我家在哪里-中山市中考分数线

第二章 实数
一、实数的概念及分类
1. 有理数，无理数概念：
有理数： 整数和分数的统称（任何有限小数和无限循环小数都是有理数）。
无理数： 无限不循环小数叫做无理数。
实数: 是有理数和无理数的统称；
2.分类：
a 按定义分




正整数




正有理数



正分数





有理数零


有限小数或无限循环小数




实数
负整数


负有理数






负分数







正无理数


无理数
 
无限不循环小数

负无理数




b 按正负分

正有理数
正实数
实数 零 正无理数
负有理数
负实数
负无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如
7,
3
2
等；
π
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
3
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
例1.（1）下列各 数：①3.141、②0.33333……、③
57
、④π、⑤
2.25
、
⑥

2
、⑦0.33……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是 有理数
3
的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿。（填序号）
（2）有五 个数:0.125125…,0.1010010001…,-

,
4
,3
2
其中无理数有
( )个 A 2 B 3 C 4 D 5
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的
1 17

相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如
果a与 b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所 对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反 数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数 ，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规
定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并
能灵活运用。
5、估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果 一个正数x的平方等于a，即x
2
=a，那么这
个正数x就叫做a的算术平方根。特别 地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“
a
”，读作根号a。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果 一个数x的平方等于a，即x
2
=a，那么这个数x
就叫做a的平方根（或二次方根） 。
表示方法：正数a的平方根记做“
a
”，读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没
有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意
a
的双重非负性：

a

0
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值 ，它与它
的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非
负数，它只表示 为：
a
；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：
a
。
a0

例2.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
（2） 的平方根是它本身。
（3）若
x
的平方根是±2，则x= ；
16
的平方根是
（4）当x 时，
3－2x
有意义。
2 17

（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x
3
=a那么这个数x就叫做a 的立
方根（或三次方根）。
表示方法：记作
3
a

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方
根是零。
注意：
3
a
3
a
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面 。
例3.
（1）64的立方根是

（2）若
3
a2.89,
3
ab28.9
，则b等于（ ）
A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000
（3）下列说法中：①
3
都是27的立方根，②
3
y
3< br>y
，③
64
的立方根是2，
④
3

8< br>
4
。
2
其中正确的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例3.（1）下列说法正确的是 （ ） A．1的立方根是
1

B．
42
；（C）、
81
的平方根是
3
； （ D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A、
819
B、
3.14



3.14
C、
2793
D、
532

（3）
(3)
2
的算术平方根是 。
（4）若
xx
有意义，则
x1
___________。
（5）已知△ABC的三边分别是
a,b,c,
且
a,b
满足
a3(b4)
2
0
，求c的取
值范围。
（6）已知：A =
xy
xy3
是
xy3
的算术平方根，B=
x 2y3
x2y
是
x2y
的
立方根。求A－B的平方根。
（7）（提高题）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的
值.
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上
3 17

的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
ab0ab,

ab0ab,

ab0ab

（3）平方法：设a 、b是两负实数，则
a
2
b
2
ab
。
五、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“
2、性质：
（1）
(a)
2
a(a0)


a(a0)

（2）
a
2
a


a(a0)

（3）
aba•b(a0,b0)
（
a•bab(a0,b0)
）
（4）
”；被开方数a必须是非负数。
aa
(a0,b0)
（
b
b
a
b

a
(a0,b0)
）
b
3、最简二次根式：运算结果若含有“
a
”形式，必须满足：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律：运算律在无理数范围内仍然适用
加法交换律
abba

加法结合律
(ab)ca(bc)

乘法交换律
abba

乘法结合律
(ab)ca(bc)

乘法对加法的分配律
a(bc)abac

4 17

例5.（1）下列说法正确的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C、1和2之间的无理数只有
2
； D、不带根号的数都是有理数。
（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )



a
0 b
A、
ab
B、
ab
C、
ab
D、
ba

（3）比较大小(填“>”或“<”).
3
10
，
3

3
20
，
76______67
，
1
51
，
2
2
（4）数
7,2,3
的大小关系是 ( )
A.
732




B.
372

D.
327
C.
273

（5）将下列各数 ：
2,
3
8,3,15
，用“＜”连接起来；
_______ _______________________________。
（6）若
a3,b2
，且
（7）计算：
ab0
，则：
ab
= 。
18
1
0.5
2

3
11

3
0.1253
427
16
（8）已知：

x 7

121,

y1

0.064
，
23
3

1






8

2
求代数式
x2

x10y
3
245y
的值。
6.（提高题）观察下列等式：回答问题：
①
1
1111111111
11111
②
11122216
1
2
2
2
2
2
3
2
③
1
11111
11
，……
3 3112
3
2
4
2
（1）根据上面三个等式的信息，请猜想
1
11
的结果；

22
45
（2）请按照上式反应的 规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。
5 17

课后练习
一、考查题型：
1．－1的相反数的倒数是
2．已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数
3．数－3．14与－Л的大小关系是
4．和数轴上的点成一一对应关系的是
5．和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是
2
6．在实数中Л,－ ,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有（ ）
5
（A）1 个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）
（A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数
8．若x＜－3，则｜x＋3｜等于（ ）
（A）x＋3 （B）－x－3 （C）－x＋3 （D）x－3
9．下列说法正确是（ ）
（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数
（B） 带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数
10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：
（1） c-b和d-a
（2） bc和ad
二、考点训练：
*1．判断题：
（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（ ）
（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（ ）
（3）两个无理数之和一定是无理数；（ ）
（4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）
（5）任何有理数都有倒数；（ ） （6）最小的负数是－1；（ ）
（7）a的相反数的绝对值是它本身；（ ）
（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（ ）
6 17

2．把下列各数分别填入相应的集合里
3
－122Л
－|－3|，21．3，－1．234，－ ,0，－9 ,－ , － ,8 , (2
782
－3 )，3，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中
无理数集合｛ ｝
负分数集合｛ ｝
整数集合｛ ｝
非负数集合｛ ｝
*3．已知12
等于（ ）
（A）－2x （B）2 （C）2x （D）－2
4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？
1
－3, 2 －1， 3， － 0．3， 3
－1
， 1 +2 ， 3
3
互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数：
*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－2 ）
2
和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值

6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，
求
|a+b|
+4m-3cd= 。
2m
2
+1
0－2
（ａ－3ｂ）
2
＋｜ａ
2
－4｜< br>*7．已知 ＝0，求ａ＋ｂ= 。
a+2
三、解题指导：
1．下列语句正确的是（ ）
（A）无尽小数都是无理数 （B）无理数都是无尽小数
（C）带拫号的数都是无理数 （D）不带拫号的数一定不是无理数。
2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）
（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数
3．零是（ ）
7 17

（A） 最小的有理数 （B）绝对值最小的实数
（C）最小的自然数 （D）最小的整数
4.如果a是实数，下列四种说法：
（1）ａ
2
和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，
1
（3）ａ的倒数是 ，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的（ ）
a
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
*5．比较下列各组数的大小：
（1）
343
(2) 3
452
1
12 (3)aa
1

b
|4-a
2
|+a+b2a+3b
6．若a,b满足 =0,则 的值是
a+2a
*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|
（1） 判定a+b,a+c,c-b的符号
（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|
*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为
9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用连结x，－x，－|y|，y。
10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？
11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什
么？
12．把下列语句译成式子：
（1）a是负数 ；（2）a、b两数异号 ；
（3）a、b互为相反数 ；（4）a、b互为倒数 ；
(5)x与y的平方和是非负数 ；
（6）c、d两数中至少有一个为零 ； （7）a、b两数均不为0 。
*13.数轴上作出表示2 ，3 ，－5 的点。



8 17

四．独立训练：
3
1．0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，－8 的相反数是 ；－
л的绝对值是 ，0 的绝对值是 ，2 －3 的倒数是
2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。
11
A表示的数是－ ，且AB＝ ，则点B表示的数是 。
23
22
3
－3 ,л,(1－2 )
0
,－ ,0．1313…, －3
－1
,1．101001000…
7
(两1之间依次多一个0),中无理数有 ，整数有 ，
负数有 。
4. 若a的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝2 ，则a=
5．若实数x，y满足等式（x＋3）
2
＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是
6．实数可分为（ ）
（A）正数和零（B）有理数和无理数（C）负数和零 （D）正数和负数
*7．若2a与1－a互为相反数，则a等于（ ）
11
（A）1 （B）－1 （C） （D）
23
8．当a为实数时，a
2
=－a在数轴上对应的点在（ ）
(A)原点右侧（B）原点左侧（C）原点或原点的右侧（D）原点或原点左侧

9． 小数，叫做无理数。
10．大于
10
的负整数是 。
11．
12
的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
12．下列命题中，正确的个数是（ ）
①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数；
③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数；
⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。
A．0个 B．2个 C．4个 D．6个
13．已知
2a1b10
，则
ab
。
14．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
①带根号的数是无理数；（ ） ②
a
一定没有意义；（ ）
9 17
33

③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3的数为
3
；（ ）

⑤有理数、无理数统称为实数；（ ）
⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）
⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ）
⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ）
15. 若规定误差小于1，那么
60
的估算值为（ ）.
A. 6 B. 7 C. 8 D. 7或8
16. 下列计算中，正确的是（ ）.
A.
235
B.
2333

C.
1553
17. 计算：
(1)
(322)


(3)
(35)(25)
； (4)
(53)
2
；

(5)
4325038
； (6)


(7)
244





31
12

（9）
16
+
27
+3
3
-
(3)

（10）


142
3
2





4
8 3
3




3
2
15
393
D.
(13)(23)132

5
45 - 125
1
； (2) + 3 ；
2
5
1
27·9
；
3
1600
1
； (8)
(660)3
.

2
63


10 17

（11）
32




111111
7520.537534
； （12）
32
；


2278532


8
18. 解方程：(1)
2x
2
80
； (2)
x
3
30
.
9





19．y=
x33x8
，求3
x
+2
y
的算术平方根.





20. 如图，正方 形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做“格
点”，以格点为顶点分别按下列要求画 三角形：
①. 作出钝角三角形，使它的面积为4（在图①中画出一个既可），并计算你所
画三角形的三边的长；
②. 作出面积为10的正方形（在图②中画出一个既可）；
③ 在数轴上求出表示
10
和
10
的点A、B.





① ②

21． 设2+
6
的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术
平方根 ．


11 17

有理数混合计算题
4
111
1 、25×
3
―(―25)×＋25×(－) 2、(－81)÷2＋÷(－16)
4244
9


2
3、－4÷
2
（－0.4）÷0.02×（－5）
3
－（－
3
）×（－30） 4、


5、


7211

2

2
7、
||
÷
()(4)
2
8、10 0


2



2




(2)
3

9353

3



772

2135

÷
(6)
6、



48

483

34824

9、 －2
2
－〔－3
2
+ (－ 2)
4
÷2
3
〕 10、



(4)
2
0.25(5)(4 )
3

8


11

1
2
11、
()
3


()
2
(1)

(2)(1)
2004
12、―2
2
+
1
×（－2）
4
216

2




5


11111
3

3

13、1
2


1(12)6

()
3
14、
7(113)(2)

92844
4

7

2


15、
[1



1

3
1

3

1
14
17、(－2)×(－3)×(－) 18、


2



1

< br>(5
2
533
2
)

6
< br>

2

2



14151313

2

2
()24](5)
16、100


2



2





24864

3



第一章
19、
5

(2)(10.8)11

20、1÷( -)×

4
636

2

3< br>3

111
12 17

位置的确定
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂 直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，
水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅 直的数轴叫做y轴或纵轴，取
向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系 的原
点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置， 把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四
个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念 < br>对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y
轴对应的数a，b分 别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P
的坐标。
点的坐标用（a，b） 表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”
分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的 坐标是有序实数对，当
ab
时，
（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
（1）、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
x0,y0

点P(x,y)在第二象限
x0,y0

点P(x,y)在第三象限
x0,y0

点P(x,y)在第四象限
x0,y0

（2）、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
y0
，x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
x0
，y为任意实数
点P(x,y)既在x轴 上，又在y轴上

x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）
即原点
（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上

x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上

x与y互为相反数
（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
13 17

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，
y）关于x轴的对称点为P’（x，-y） < br>点P与点p’关于y轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，
y ）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
点P与点p’关于原点对称

横、纵坐标均 互为相反数，即点P（x，y）关
于原点的对称点为P’（-x，-y）
(6)、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于
y

（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
x

（3）点P(x,y)到原点的距离等于
x
2
y
2

三、坐标变化与图形变化的规律：

坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化
x × a或 y × a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍
x × a， y × a 放大（缩小）为原来的 a倍
x ×（ -1）或 y ×（ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称
x ×（ -1）， y ×（ -1） 关于原点成中心对称
x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a
个单位















14 17

一次函数
一、函数：
一般地， 在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地
就确定了一个y值，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值 的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式
（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方 数为非负数）、实际意
义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算 符号的
等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种
表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起
来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地 ，若两个变量x，y间的关系可以表示成
ykxb
（k，b为常数，k

0）
的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数ykxb
中的b=0时（即
ykx
）（k为常数，k

0 ），
称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数
ykxb
的图像 是经过点（0，b）的直线；正比例函数
ykx
的图
像是经过原点（0，0）的直线 。
k的符B的符x函数图像
图像特征
号 号
y

图像经过一、二、三象限，
k>0 b>0
y随x的增大而增大。
0

15 17

y



0 图像经过一、三、四象限，
b<0
x y随x的增大而增大。




y



图像经过一、二、四象限，
b>0
0 y随x的增大而减小
x



K<0

y


图像经过二、三、四象限，
b<0
y随x的增大而减小。
0 x



注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数
ykx
有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数
ykxb
有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
16 17

确定一个正 比例函数，就是要确定正比例函数定义式
ykx
（k

0）中的常
数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式
ykxb
（k

0） 中的常数
k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形
式． 而一次函 数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为
0时，•即kx+b=0就与一 元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数 ，k≠0）的
形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量
的 值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．

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