门可罗雀的意思-中专生自我鉴定

实数题型归纳练习
一.无理数
1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数
说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括 ：（1）开方开
不尽的数，如
5
；（2）有特定意义的数，如，

及 含

的数；（3）有一定结构
的无限小数，如，…；（4）无限不循环小数。
注意：带根号的数不一定是无理数，如
4
是有理数；不带根号的数也可能是无
理数， 如π等。
一个有理数a 与一个无理数b进行四则运算时，a＋b，a-b，都是无理数，
当 a≠0时，ab，
,
都是无理数，当a＝0时，ab，都是有理数。
2. 无理数的特征：
（1）无理数的小数部分位数无限；（2）无理数的小数部分不循环，不能表示成
分数的形式。
3. 小数的分类
4. 确定
a
的整数部分和小数部分的方法：
把
a
夹在两个连续的正整数的平方之间，确定其整数部分，例如：求
5
的整数部分。因为
2
2
53
2
，，所以
253< br>，因此整数部分为2。小数部分就是
52
。

ab
ba
a
b
二. 平方根
1. 算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
x
2
a
，那
么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，０的算术平方根是0。

（2）算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作“
a
”或“
2
a< br>”，读
“
作“根号a”，其中符号
”
读作“二次根号”，a叫做被开方 数，2叫做根指数，
通常省略不写。
例如：4
2
＝16，16的算术平方根是4，即
164
。
（3）算术平方根的性质：①正数a的算术平方根为
a
，②0的算术平方根是0，
即
0
＝0，（3）负数没有算术平方根。
（4）算术平方根
a
具有双 重非负数：①被开方数是非负数，即a≥0，②算术
平方根
a
本身是非负数，即
a
≥0。③若
a
和
a
同时出现在一个式子中，由
于a0
且
a0
，则可得出
a0
。

（5）理解算术平方根要注意的三点：


①
a
具有双重非负数：即a≥0，

a
≥0。
② 算术平方根与平方根的相同点是它们的被开方数都必须是非负数，零的平
方根与算术平方根都是零。
不同点是：任何正实数的平方根都有两个，这两个平方根互为相反数，但是
任何正实数的算术 平方根只有一个，是正实数平方根中的正值。
③当二次方根被开方数是含有字母的代数式时，它是否有意义，则需看被开方
数是否非负。
2. 平方根
（1）平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即
x2
a
，那么这个
数x就叫做a的平方根（也叫做二次根式）。
（2） 平方根的性质：①一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“
a
”，
另一个是 “
a
”，它们互为相反数，合起来记作“
a
”，读作“正，负根号

a”，例如：5的平方根是
5
；②０的平方根是０；③负数没有平方根。
3. 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开平方。
如：因为
(5)
2
25
，所以
255

说明：由于开平方与平方互为逆运算，因此我们可以利用平方运算来求一
个数的平方根或算术平 方根，也常用平方运算检验所求得的平方根是否正确，
注意被开方数是非负数。
4. 平方根与算术平方根的区别与联系
（1）区别：①定义不同；②个数不同：一个正数有两个平方根，它 们互为相反
数，而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a的平方根表
示为< br>a
，正数a的算术平方根表示为
a
；④取值范围不同：正数的算术平方
根一定是正数，正数的平方根是一正、一负。
（2）联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根 ，算术平方根是平方根中
的正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；③0的
平方根与算术平方根都是0。
5. 两个重要的性质
（1）
a
2
a
，即当
a0
时，
a
2
a
，当a0
时，
a
2
a

（2）
(a)
2
a(a0)

6、理解平方根要把握以下三点：

（1）由ax
2
0中可知 a是一个非负数，因此在实数范围内，只有正数和
零才
有平方根，负数没有平方根。
（2）非零的两个数互为相反数时，它们的平方是同一个正数，因此一个正
数的平方根有两个，它们互为 相反数。零的平方根是零。

（3）平方与开平方互为逆运算，因此，可以用平方运算 来求一个数的平方
根，也可以用平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
7. 算术平方根中小数点的移动规律
被开方数的小数点向左（或向右）每移动二位，算术平方根的小数点就 向左
（或向右）方向移动一位。如
21.414
，则
20014.14< br>，
0.020.1414

三. 立方根
1、立方根的概念 （1）一般的，如果一个数x的立方等于a，即
x
3
a
，那么这个数就 叫做a的立
方根（也叫三次方根）。
（2）立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根
是0。
（3） 立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根，用符号“
3
a
”表示 ，读
作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数，要注意这里的根指数不能
省略。 < br>（4）两个互为相反数的立方根之间的关系：根据立方根的定义可知，若
x
3
a
，
则
x
3
a
，因为
3
a
3
a0
，即
3
a
3
a
，也就是说，求 一个负数的立方
根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即
三 次根号内的负号可以移到根号外面。
2、开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。例如把64开立方，就是要求64的立方根，那
么什么数的立方等于64呢， 因为
4
3
64
，所以64的立方根是4，即
3
644< br>。
3、 立方根与平方根的区别与联系

（1） 区别：（1）用根号 表示平方根时，根指数是2可以省略，而用根号表
示立方根时，根指数3不能省略。（2）平方根只有非 负数才有，而立方根任何
数都有，且每个数都只有一个立方根，如
8
没有平方根，但 有立方根
2
。（3）
正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个，如2的平方根 是
2
，而立
方根只有
3
2
。
（2） 联系： （1）都与相应的乘方运算互为逆运算。（2）都可以归结为非负
数的非负方根来研究，平方根主要通过 算术平方根来研究，而负数的立方根也
可转化为正数的立方根来研究，即
3
a< br>3
a
。（3）0的立方根和平方根都是0。
4. 立方根中小数点的移动规律
被开方数的小数点向左（或向右）每移动三位，立方根的小数点就向左（或
向右）移动一位。
如：
3
133111
，则
3
1.3311.1
。
5. 两个重要的性质
（1）
3
a
3
a
，如
3
27
3
273

（2）
(3
a)
3

3
a
3
a
，如
(
3
8)
3

3
8
3
8

四. 无理数大小比较的常见方法
1. 估算法：例如：比较
103
1< br>与的大小，因为
3104
，所以
2
2
01031< br>，所以
1031

。
22
2. 求差法：对于实数a、b ，如果
ab
>0，则称a>b，
ab
<0，则称a果
ab
=0，则称a=b。
3. 平方法

26
把含有根号的两个无理数同时开方，根据平方后的大小进行比较，例如：
和
33
的大小，因为
(26)
2
24
，
(33)
2
27
，所以
2633

4. 移动因式法
当
a0
，
b0
时，若
ab
，则
a b
，因此可以把根号外的因式移到根
号内。
五、实数
1：实数：有理数和无理数统称为实数。
①按实数的性质符号分类：实数可分为正实数、零、负实数。
②按定义分类：实数可分为有理数和无理数。
2：实数的有关概念和性质
（1）有关概念
实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数的< br>意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用。
①相反数：a与
－a
表示任意一对相反数，如
5
与－
5
互为相反数。
③倒< br>数：如果a表示一个非零数，那么a与互为倒数（a≠0），如
7
与
数。
（2）有关性质
①α与 b 互为相反数

a+b=0；②α与 b 互为 倒数

ab=1；③
a0
；④互为
相反数的两个数的绝对值相等， 即
aa
；⑤正数的倒数是正数，负数的倒数
1
a
1
7< br>互为倒

是负数，零没有倒数
3：实数和数轴上的点的一一对应关系 < br>数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每一个实数都可以在
数轴上找到表示它的点 。
4：实数大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用。
①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而
小。
③可根据有理数大小的比较法则和不等式的性质等方法比较实数的大小。
④对于二次根式的大 小的比较，可根据前面老师的讲座中所介绍的方法如：作
差法、作商法、平方法、倒数法等进行比较。
5：实数的运算法则和运算律
有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序。实 数有加、
减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再乘除，
最后加减 ，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里的。
6：实数中的非负数的四种形式及性质
（1）形式：①
a0
；②
a
2
0
；③
a0(a0)
；④
a
中，
a0
。
（2）性质：①非 负数有最小值零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③若几
个非负数之和等于0，则每个非负数都等于 0。
7.、利用非负数的概念及性质来解题：
（1）几类常见的非负数有：一个实数的偶次 幂、实数的绝对值、算术根、数轴

上原点和原点右边的点所表示的数。
（2） 非负数的性质：（a）若有限个非负数的和为零，则每一个加数都必须是零。
（c）最小的非负数是零。 （c）没有最大的非负数。（d）非负数大于一切负数。
习题
一、实数的有关概念及分类
1. 实数

，0，


,3.1415926，，3
，
3
3
中无理数有
m
个，则
m
（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2. 下列各数中，不是无理数的是 （ ）
A
7
B 0.5 C
2

…
2
3
3
7
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有理数只是有限小数 B. 无理数是无限小数
C. 无限小数是无理数 D. 是分数
4、下列语句中正确的是【 】
(A)带根号的数是无理数 (B)不带根号的数一定是有理数
(C)无理数一定是无限不循环的小数 (D)无限小数都是无理数
5． -的相反数是________，-的相反数是____________。
2
3
6．以下说法错误的是( )
A. 是无理数 B. 是无限不循环小数 C. 是实数 D. 是无限
循环小数
7．若a是1-
A.1+
的相反数，则a的值为（ ）

C.—1+

D.以上都不是

B.—1—
8．边长为2的正方形的对角线长是（ ）

A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数
二、平方根、立方根定义及求法
2
1.
81
的平方根是 ； 4的平方根是
2.
2004
的被开方数是 ；根指数是 ；
3. 144 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；
它们互为 ；
4.
16
的算术平方根是（ ）
A ,4 B,±4 C ,2 D,±2
5，下列等式中：①，
11

②，
3
(2)
3
2
③，
(4)
2
4
④，
10
6
=0.001
168
273

⑥，
3
8
3
8
⑦，—
5
⑤，

644
3

2
25
中正确的有（ ）个。
A,2 B ，3 C，4 D.5
6、若一个正数的平方根分别为3a+1和4－2a，则这个正数是多少？
7，
64
的平方根是
(5)
0
的平方根是
三、平方根有意义
1. 若
a
和
a
都有意义，则
a
的值是 （ ）
2.
200a
是个整数,那么最小正整数a是_____.
3. 要使
3

a1

3
a1
成立,那么a的取值范围是（ ）.
4.y=
x33x8
，求 3
x
+2
y
的算术平方根.
5、已知实数
a
满足
6、 代数式
1
1a
1
3
5a
，则
a
的取值范围是___________。
4a
在实数范围内有意义的条件是___________

四、非负数之和为0
1. 如果
x4(y6)
2
0
，那么
xy
；
2、若
(b10)
2
a80
，则
ab的平方 根是_____

3．若
a1(b2)
2
c30，则
ab
2
c
3
的值等于（ ）
A．
0
B．
6
C．
24
D．
32

4.在实数范围内，设a=
(
____________.
5、已知x、y互为倒数，c、d互为相反数，a的绝对值为3，z的算术平方根是
5， 求：4（c+d）+xy+
五、比较大小
1. 比较大小：
57____411
；（填

或

符号）
12
= ；
2，满足
2x3
的整数
x
是 .
3、比较大小：
（1）
31
1
与。 （2）1－
2
与1－
3
。
5
5
z
的值。
a
|x|22|x|
2006
4x
,则a的个位数字是
)
x1|2x|
（3）
26
与
35
； （4）2
7
与3
3

4、当
0x1
时，x
2
，
x
，的大小顺序是______________。
六、数形结合题
1、点
A
在数轴上表示的数为
35
，点
B
在数轴上表示的数为
5
，则
A，B
两点的距离为___ ___
2、数轴上表示-1，
2
的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称 点为C，
1
x

则点C表示的数是______________。．
七、去绝对值
1、如图，实数a、b、c对应数轴上的点A、B、C化简a＋
bc
－
c
2
bc
＝
＿＿＿。
2、代数式
abab

的所有可的值有（ ）
abab
B
CO
A
A、2个 B、3个 C、4个 D、无数个
3、化简：
122332

4、．若a、b、c是△ABC的三边，化简：
八、平方根、立方根小数点移动规律
1． 0.0196的算术平方根是（ ）
A、0．14 B、0.014 C、
0.14
D、
0.014

2. 若
102.0110.1
，则
0.010201
．
1.0201
=______________。

__________。 3、已知
12
则
12500
.53.53,12511.18,
33
4、若
3
4
。
.631.6667,4637.7362,
则
3
0.000463____ __,0.00463________
九、解方程
(x2)
2
40
(2)
(x3)
3
270
（1）
(3)
27x
3
1250
(4)
(2x1)
2
25

十、整数部分和小数部分的探讨
x1
（y10）
1、已知
x
是10 的整数部分，y是10 的小数部分，求 的平方根。
2设m是
713
的小数部分，n为
713
的小数部分，求
(mn)
2008
的值？