四川教育考试院官网-军事理论课感想

实数
一、知识导图


二、知识点+例题+练习
知识点一：无理数
1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．
注意：
（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．
（2）圆周率

及一些含

的数是无理数．
（3）不循环的无限小数是无理数．
（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．
2 无理数的性质：
设
a
为有理数，
b
为无理数，则a+b
，
a-b
是无理数；


3、判断方法：①定 义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数
则不能写成分数的 形式（两个整数的商）．
4、常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如
3< br>，
3
5
，1+
2
等；②含有π一类数，如5
π，3+ π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的< br>个数逐渐加1）．


1

例题精讲
一、无理数的判断
1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数 和不循环小数这两者缺一不
可．
2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．
【例1】在下列各数中：< br>8
；0；3π；
3
27
；
A．5 B．4
22
；1.1010010001…，无理数的个数是
7
D．2 C．3
【答案】C
【解析】因为0；
3
27
；
22是有限小数或无限循环小数，
8
；3π；1.1010010001…是无限不循环
7
小数，所以无理数有3个，故选C．

22
【变式训练1-1】在7
，–2018，
4
，π这四个数中，无理数是
A．
22

7
B．–2018 C．
4
D．Π
【答案】D

知识点二：实数的概念与分类
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
（1）实数按定义分类：




正整数






整数

0
< br>
负整数


有理数


有限小数或无限 循环小数




正分数

实数


分数





负分数





正无理数



无理 数


无限不循环小数


负无理数




( 2 )按正负分类：

2

例题精讲
二、实数的概念和分类
1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．
2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．
【例1 】在

5π
，21，，2，
23
15
，3.14，0， ，41
中，其中__________是
162
整数，__________是无理 数，__________是有理数.
【答案】0，
41
；
π55
21，，2，；，
322
1
，3.14，0，41

16
【例2】将这些数按要求填入下列集合中：
1
π
0.0100 1001…
，4，
2
，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，
< br>．
2
2
负数集合｛
无理数集合｛


…｝；分数集合｛
…｝．
…｝；非负整数集合｛ …｝；
【解析】负数集合｛
2
分数集合｛
2
1
π
，-1，-| -5|，

…｝；
2
2
1
，3.2…｝；
2
非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；

3

无理数集合｛
0.01001001…
，


π
…｝．
2
【变式训练2-1】判断正误．
（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ）
（2）0属于正实数．（ ）
（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）
（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是

1．（ ）
（5）若
x2
则
x2
．（ ）
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．


【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）
A．实数都可以表示在数轴上 B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对 D．
2
是近似值，无法在数轴上表示准确
【答案】D


【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数
【答案】A

【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：
1
1
、
32
、

、
0.7
、0、
3
8
．
2
2
（1）有理数集合｛ ｝；
（2）无理数集合｛ ｝；
（3）整数集合｛ ｝；
（4）正实数集合｛ ｝；
（5）负实数集合｛ ｝．
－1、
4
、
5
、π、
3.14
、
【答案】（1）－1、
4
、
3.14
、
1
0.7

、、0、
3
8
；
2
1
；
2
（2）
5
、π、
32
、

（3）－1、
4、0、
3
8
；
（4）
4
、
5
、π 、
（5）－1、
3.14
、




1

、
32
、
0.7
；
2
1
、
3
8
．
2
4

知识点三：实数的性质
（1）任何实数
a
，都有一个相反数
-a
．
1
（2）任何非0实数
a
，都有倒数．
a
（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．
例题精讲
一、相反数与绝对值
求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相 反数和绝对值的意义是一样的，实数
a
的相反数是
-
a
，一个正实数 的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【例1】
2
的相反数是
2
B．A．-
2

2
2

2
C．
2
D．
2

【答案】A
【解析】根据相反数的定义可知：
【例2】3-π的绝对值是
A．3-π
【答案】B
【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B．
【例3】
15
是
15
的
A．相反数
【答案】A
【解析】
15
与
15
只是符号不同，所以它 们是一对相反数，故选A．
1
5
22
的相反数是

，故选A．
22
B．π-3 C．3 D．π
B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 < br>【变式训练3-1】
3
的相反数是________；

【答案】3
；
5
；
3
5
．

的倒数是________；
3
5
的绝对值是________．

5

【变式训练3-2】
3.141

＝______；
|2332|
______．
【答案】

-3.141
；
3223
．


【变式训练3-3】若
|x|
3
3
，则
x＝______；若
|x|31
，则
x
＝______．
【答案】

3
3
；
31
或
13
．

知识点四：实数与数轴

1 实数与数轴上的点一一对应：
即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．
2、两个实数比较大小：
1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；
2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．
例题精讲

【例1】如图，数轴上点
P
表示的数可能是

A．
7

【答案】B
【解析】∵
7
≈2.65，–
10
≈–3.16，设点
P
表示的实数为
x
，由数轴可知，–3<
x
<–2，
∴符合题意的数为−
7
．故选B．

【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是
A．自然数
【答案】D
【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故
选D ．
【例3】已知实数
m
、
n
在数轴上对应点的位置如图所示，则下 列判断错误的是

6
B．−
7
C．–3.2 D．−
10

B．有理数 C．无理数 D．实数

A．
m
<0
【答案】D
【解析】由数 轴上的点，得
m
<0<
n
，所以
m
<0，
n
＞0，
n
＞
m
都正确，即选项A，B，C判断正确，选项D
判断错 误．故选D．

【变式训练4-1】已知数轴上
A
、
B
两 点表示的数分别为–3和
5
，则
A
、
B
间的距离为____ ______．
【答案】
5
+3
【解析】
A
、
B
两点表示的数分别为–3和
5
，则
A
、
B
间的距 离为
5
–（–3）=
5
+3，故答案为：
B．
n
＞ 0 C．
n
＞
m
D．
n
<
m

5
+3．
【变式训练4-2】如图，点
A
、
B
、
C
在数轴上，
O
为原点，且
BO
：
OC
：
CA
=2：1：5．
（1）如果点
C
表示的数是
x
，请直接写出点
A
、
B
表示的数；
（2）如果点
A表示的数比点
C
表示的数两倍还大4，求线段
AB
的长．
< br>【解析】（1）∵
BO
：
OC
：
CA
=2：1：5， 点
C
表示的数是
x
，
∴点
A
、
B
表示的数分别为：6
x
，–2
x
；
（2）设点
C
表示的数是
y
，则点
A
表示的数为6
y
，
由题意得，6
y
=2
y
+4，
解得：
y
=1，
∴点
C
表示的数是1，点
A表示的数是6，点
B
表示的数是–2，
∴
AB
=8．
二、比较大小


【例4】估计
77
的大小应在（ ）
A．7～8之间
C．
8.5
～
9.0
之间
【答案】C



B．
8.0
～
8.5
之间
D．9～10之间
7

【例5】 实数
2.6
，
7
和
22
的大小关系是 （ ）
A．
2.6227

C．
72.622

【答案】B


【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为100cm
2
，它的棱长大约在 （ ）
A．4～5cm之间 B．5～6cm之间
C．6～7cm之间 D．7～8cm之间
【答案】A

【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．
3
14，
4
，
5
，1．414，

，
0.6< br>，
3
，

，
4
3
【答案】
4

1.414


知识点五：实数的运算
1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．
2 ．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近
似有 限小数去代替无理数，再进行计算．
【例1】计算下列各式：
（1）
23+32 5332
；（2）
31
0.6345
．
43


B．
2.6722

D．
7222.6

232331
．
【解析】（1）原式
23533232

33
．
（2）原式=
(32)(23)(31)

322331

321
．


【变式训练5-1】计算题

8

（1）
49169
3
27
（2）
3
216
3
1000()

【解析】（1）
49169
3
27
71333
；
（2）
3
216
3
1000()
610
2
3
2
2
3
2
22
16
．
33
2
【答案】（1）
3
；（2）
16
．
3

三、课堂检测

基础


1．在下列实数中，属于无理数的是
A．0 B．
2
C．3 D．
1

3
7，，，0.231.3331，……(
每两个1 之间依次多一个
3)
中，无理数的个数2．在
3.14，
是
A．1个
3．实数
2
的值在
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
B．2个 C．3个 D．4个
1
3
4．下列四个数中，最小的一个数是
A．
7

5．
3
27
的绝对值是
B．
3

B．3

C．22

D．π

A．3
1
C．

3
1
D．

3
6．下列说法中，正确的个数有
①不带根号的数都是有理数；
②无限小数都是无理数；
③任何实数都可以进行开立方运算；

9

④
3
不是分数．
5
B．1个 C．2个 D．3个 A．0个
7．下列各组数中互为相反数的一组是
A．-|-2|与
3
8

C．-
2
与|
2
|
3
3
B．-4与-
(4)
2


1
D．-
2
与
2
8．如图，数轴上点
P
表示的数可能是

A．
6
B．
7
C．
3.4
D．
11

9．
32
的相反数是__________，绝对值是__________．
10．计算：
325262
__________．
11．在数轴上离原点距离是
5
的点表示的数是__________．
1 2．化简：
3
（1-
3
）=__________，
7
（1 -
13．把下列各数填入相应的集合内：
1
）=__________．
7
15
，4，
16
，
2
3
g
，
2 7
，0.15，-7.5，-
π
，0，
2.3
．
3












…｝；
…｝；
…｝；
…｝．
22
①有理数集合：｛
②无理数集合：｛
③正实数集合：｛
④负实数集合：｛
14．已知：
x
是|-3|的相反数，
y
是-2的绝对值，求2
x
-
y
的值．





10

15．已知
a是
7
的整数部分，
b
是
7
的小数部分，|
c< br>|=
7
，求
a
-
b
+
c
的值．


提升
16．已知5+
5
与5–
5
的 小数部分分别是
a
、
b
，则（
a
+
b
）（
a
–
b
）=__________．
17．6–
5
的整数部分是
a
，小数部分是
b
．
（1）
a
=__________，
b
=__________．
（2）求3
a
–
b
的值．
18．如图，点
A表示的数为–
2
，一只蚂蚁从点
A
沿数轴向右直爬2个单位后到达点B
，设点
B
所表示的
数为
n
．
（1）求
n
的值；
（2）求|
n
+1|+（
n
+2
2
–2）的值．


答案：

1
．【答案】
B
【解析】
0
、
3
、
2
．【答案】
C 【解析】
–
7
，
π
，
1.3331
……（每两 个
1
之间依次多一个
3
）是无理数，故选
C
．

3
．【答案】
B
【解析】∵
1<
2
<2
，∴实数
2
的值在：
1
和
2
之间．故选
B
．

4
．【答案】
D
【解析】∵
7<8<9<π
2
，∴
722
3<π
，∴
7＞22＞3
＞
–π
，∴最小的一个数是
–π
．故选
D
．


11
1
都是有理数，
2
是无理数．故选
B
．

3

5
．【答案】
A
【解析】
3
 273
．
–3
的绝对值是
3
．故选
A
．

6
．【答案】
C
【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如
π
，错误；

②无限不循环小数是无理数，错误；

③任何实数都可以进行开立方运算，正确；

④
3
不是分数，正确；故选
C
．

5

8
．【答案】
B
【解析】由图可知，
P
点表示的数在9
到
4
之间，故选
B
．

9
．【答案】
23；23

3
，绝对值是
2 3
，故答案为：
23；23
．

【解析】
32
的相反数是
2
10
．【答案】
22

【解析】
325262(356)2
=
22
，故答案为
22
．
11
．【答案】
5

【解析】在数轴上离原点距离是的5
点表示的数有两个，它们互为相反数，分别是
5
，故答案为：
5< br>．

12
．【答案】
33；71

1
【 解析】
3
（
1
-
3
）
=
3
-3
，
7
（
1
-）
=
7
-
1< br>，故答案为
3
-
3
；
7
-
1
．
7

12

13
．【解析】有理数集合：｛< br>4
，
16
，
无理数集合：｛
15
，
π…｝；

正实数集合：｛
15
，
4
，
16，
2
3
g
，
27
，
0.15
，-7.5
，
0
，
2.3
…｝；

3
2< br>3
g
，
27
，
0.15
，
2.3
… ｝；

3
④负实数集合：｛-
7.5
，
π
…｝．

14
．【解析】∵
x
是
|−3|
的相反数，
∴
x
是
3
的相反数
−3
，即
x=−3
．

∵
y
是
−2
的绝对值，

∴
y=2
．

∴
2x
2
y
2
29414
．

15
．【解析】∵
2<
7
<3
，∴
a=2
，
b=
7
-
2
，

∵
|c|=
7
，

∴
c=±
7
，

当
c=
7
时，
a
-
b+c=4
；

当
c=
-
7
时，
a
-
b+c=4
-
2
7
．

16
．【答案】
2
5
–
5
【解析】∵
5 +
5
与
5
–
5
的小数部分分别是
a
、b
，

∴
a=
（
5+
5
）–
7=
5
–
2
，
b=
（
5
–
5）–
2=3
–
5
，

∴（
a+b
）（
a
–
b
）

=< br>（
5
–
2+3
–
5
）（
5
–
2
–
3+
5
）

=2
5
–
5
．

故答案为：
2
5
–
5
．

17
． 【解析】（
1
）∵
4<
5
<9
，∴
2<
5
<3
．

∴–
2
＞–
5
＞–
3
．

∴6
–
2
＞
6
–
5
＞
6
–3
，


13

∴
4
＞
6
–
5
＞
3
．

∴
a=3
，
b=3
–
5
．

（< br>2
）
3a
–
b=3
×
3
–（
3–
5
）
=9
–
3+
5
=6+
5
．




四、课后作业
1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）
2
（1）
a
没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作
10010


（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）
2
是最小的无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C

2. 若
ab
，则下列等式成立的是（ ）
33
A．
ab
B．
ab
C．
a
【答案】D
22
b
D．
|a||b|



3. 已知坐标平面内一点A(
2
，3)，将点A先向右平移
2
个单位，再向下平移
3
个单位，得到， 则A′
的坐标
为 ．
【答案】
(22,33)


14

4.已知
0x1
，则
x、、x、
．
x
的大小 关系是__________________________（用“

”连接）
【 解析】可以采用特殊值法解题，如
x
【答案】


5.计算: < br>1
4
1
151
（1）
()
2

3< br>(1)(1)
（2）
(2)
2


819
3
393427
151142121
【解析】（1）
()
2

3
(1)(1)
3
()
；
393393333
1
x
2
1
．
4
1
xxx
2

x
（2）< br>(2)
2

1
4
1
11
8193
4332314
．
427
23
1
【答案】（1）

； （2）
4
．
3


6.已知一个长方体封闭水箱的容积是 1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高
各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？
【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设
k
的应用．
【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；
846
平方分米．


7.已知实数
a
，满足
aa
2

3< br>a
3
0
，求
a1a1
的值．
【解析】Q
aa
2

3
a
3
0
，
aaa0
，
2aa0
，
a0
，
a1a 12

【答案】
2



8.先阅读理解，再回答下列问题：
因为
1
2
12
， 且
122
，所以
1
2
1
的整数部分为1；
因为
2
2
26
，且
263
，所以
2
2
2
的整数部分为2；
因为
3
2
312
，且
3124
，所以
3
2
3
的整数部分为3； 以此类推，我们会发现
n
2
n
（
n
为正整数）的整数 部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．
【解析】
n


Q
n
2
nn(n1)
，又
Qn
2
n(n 1)(n1)
2
，
nn(n1)n1
（
n
为正整数），

整数部分为
n
．

15

【答案】
n



9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．
（1）
49
与
49
；
（2）
1625
与
1625
；
（3）
0.010.04
与
0.010.04
；
（4）
116116
与

；
4949
（5）
23
= ；
（6）
ab
=
(a0,b0)
．
【解析】（5）
23236
；（6）
abab
．
【答案】（5）
6
；（6）
ab
．


10.若
a
为
172
的整数部分，
b1
是9的平方根， 且
|ab|ba
，求
ab
的算术平方根．
【解析】
Q161725,4175,21723,a2
，
b19, b4
或
b2
．
又
Qabba
，
ba
，
a2,b4
，
ab246
．
【答案】
6







16