海南实验外国语学院-山东文科二本分数线

第六章 实数
姓名
知识点：有理数
1 ．概念：
(1) 有限小数：小数部分的位数是有限的小数。
(2) 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。
(3) 循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起， 一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的
小数叫做循环小数。例如： 0.333 …， 5.32727 …等等。
注意 ：循环小数是无限小数，也称作无限循环小数。
2．
有理数


整数

分数
，因为整数和分数都可以写 成有限小数或无限循环小数，所以有理数也可以分类为有
限小数和无限循环小数。
无理数
1．无理数：无限不循环小数叫做无理数。
2．无理数的特征：
(1)无理数的小数部分位数不限； (2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。
◆常见的几种无理数：
①根号型：如
2,
3
5
等开方开不尽的数。
②
圆周率π型:如2π，π-1等。
③构造型：如1.121121112…等无限 不循环小数。④
三角函数型：如sin60°,cos45°等。

对无理数的估算：
◆记住常用的：
21.414
，
31.732
，
52 .236

实数
有理数和无理数统称为实数。
实数的分类：由以上学到的，我们可以对实数进行分类
1．按定义：
2．按符号：实数分为正实数，零，负分数。
3．实数的性质：在实数范围内，相反数、绝对 值、倒数的意义，和在有理数范围内是一样的。数轴上的
每一个点都可以用一个实数来表示；反过来，每 一个实数都可以在数轴上找到表示它的点。（实数与数
轴上的点一一对应。）
4．实数大小比较的方法：
1．有理数大小的比较法则在实数范围内同样适用，即：
法则1：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
法则2：正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数，绝对值大的反而小。
①平方比较法 ②作差比较法 ③求商法④倒数法⑤估算法⑥移动因式法（穿墙术）⑦ 取特值验证法
5．实数化简公式：
ab
( ) (a≥0,b≥0)；
a
b
平方根、立方根、算数平方根的概念
a
2
与

( ) (a≥0,b＞0)

a

2
a
的区别及化简。
a
的性质：双重非负性。






定义




一个正数有两个平方

< br>




平方根


根,们互为 相反数:


性质





0 的平方根是0;



开平方


负数没有平方根 .








定义





算术平方根


正数a的正 的平方根;

互为逆运算
性质
乘方开方






0的算术平方根是0




定义




正数有一个正的立






___

方根;
立 方根


开立方



性质

负 数有一个负的立

方根;


1







0的立方根是0.



< br>
例
1
、
x
取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴

⑵

⑶

⑷


例
2
、设等式在实数范围内成立。

其中，
m
、
x
、
y
是互不相等的三个实数，求代数式的值 。




下面两道练习题，同学们不妨试试。

1.x
取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴


⑵

⑶


2x2

2

⑷

x1

2
1


2.< br>若
y=
，试求（
4x
－
2y
）
2010的值。




例题3：（1）如果
a
是15
的整数部分，
b
是
15
的小数部分，
ab
=____．
（2）已知：m是
17
的整数部分，n是17
的小数部分，求8m－n.





例题4：（1）已知：
x2

y4

2
xy2 z0
， 求

yz

x
的平方根




（2）已知：
yx22x3
，求
y
x
的平方根；



2

例题5：在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )
(1)
a
2
1
=0; (2)
a1
+a=0; (3)
2a3
+
32a
=0; (4)
1
=0.
a2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例6：如图，数轴上表示1、
2
的对应点为A、B，点B关于点A的对称点为C，
则点C所表示的数是（ ）（也可用中点坐标公式
x(中点)

A、
2
－1 B、1－
2
C、2－
2
D、
2
－2
例7．（2009年江苏省中考题）下面是按一定规律排列的一列数：
x
1
x
2
）
2
1

1
1

1


(1)
2
(1)
3

第1个数：


1

1

；

；第2个数：


1


1
2

2

3

2


3

4

1

1

(1)
2

(1)
3

(1)< br>4

(1)
5

第3个数：


1

1

1

1

；


1
4

2


3

4

5

6

23
1

1


(1)

(1)

……第
n
个数：


1


1

1

n1

2


3
< br>4


(1)
2n1


1

．
2n

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数 中，最大的数是（ ）
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
2
例8．（荆门市中考题）若
x11x
(xy)
，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
例9．(鄂州市中考题)为了求
12 22
则2S＝
2222
2
232008
的值，可令 S＝
1222
2009
232008
，
2342009
，因此2S-S＝
2
32009
1
，所 以
12
2
2
3
2
2008
＝
2
2009
1
．
仿照以上推理计算出
15555
20092010
的值是（ ）
2010
5
2009
1
11
A．
5B.
5
C.D.
51
4
4

1
1
例10.（枣庄市中考题）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2 的差倒数是
1
，
．．．
12
1a
1
的差 倒数是
1
11

．已知
a
1

，
a
2
是
a
1
的差倒数，
a
3
是
a
2
的差倒数，
a
4
是
a
3
的差倒数，… ，
3
1(1)2
依此类推，则
a
2009

．

3

例11. 已知：
M
ab 2
a8
是
a8
的算术数平方根，
N
2ab4< br>b3
是
b3
立方根，
求
MN
的平方根。




练习：1. 已知
x2y3，
34x3y2
，求
xy
的算术平方根与立方根。


2. 若一个正数a的两个平方根分别为
x1
和
x3
，求
a
2005
的值。


例12. 比较
a、
1
a
、a
的大小。




例13. 已知有理数a满足
2004aa2005a
，求
a2004
2
的值。




例14. 借助计算器计算下列各题：
（1）
112
（2）
111122
（3）
111111222
（4）
111111112222

仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？





4

例15、已知：y=
a23(b1)
,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,
求
b
a
的非算术平方根.（即负的平方根）



例16、化简：|a+2|－|2a－3|（零点分段讨论法）






《实数》测试卷
班级 _______ 姓名 ________

一、选择题
1、下列说法不正确的是（ ）
A、
1
25
的平方根是

1
5
B、－9是81的一个平方根
C、0.2的算术平方根是0.04 D、－27的立方根是－3
2、若
a
的算术平方根有意义，则a的取值范围是（ ）
A、一切数 B、正数 C、非负数 D、非零数
3、若x是9的算术平方根，则x是（ ）
A、3 B、－3 C、9 D、81
4、在下列各式中正确的是（ ）
A、
(2)
2
＝－2 B、
9
＝3 C、
16
＝8 D、
2
2
＝2
5、估计
76
的值在哪两个整数之间（ ）
A、75和77 B、6和7 C、7和8 D、8和9
6、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）
A、－2与
(2)
2
B、－2和
3
8
C、－
1
2
与2 D、︱－2︱和2
7、在－2，
4
，
2
，3.14，
3
27
，

5
，这6个数中，无理数共有( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
8、下列说法正确的是（ ）
A、数轴上的点与有理数一一对应 B、数轴上的点与无理数一一对应
C、数轴上的点与整数一一对应 D、数轴上的点与实数一一对应
9、以下不能构成三角形边长的数组是（ ）
A、1，
5
，2 B、
3
，
4
，
5
C、3，4，5 D、3
2
，4
2
，5
2


5

10、若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则b
2
－︱a－b︱等于（ ）
A、a B、－a C、2b＋a D、2b－a
二、填空题
11、81的平方根是__________，1.44的算术平方根是__________。
12、一个数的算术平方根等于它本身，则这个数应是__________。
13、
3
8
的绝对值是__________。
14、比较大小：2
7
____4
2
。
15、若
25.36
＝5.036，
253.6
＝15.906，则
253600＝__________。
16、若
10
的整数部分为a，小数部分为b，则a ＝________，b＝_______。

三、解答题
17、
3
27
＋
(3)
2
－
3
1
18、
3
270
1
4

3
0.1253
1
63
64




19、求下列各式中的x
（1）4x
2
－16＝0 （2）27（x－3）
3
＝－64





20、若5a＋1和a－19是数m的平方根，求m的值。




21、已知
13a
和︱8b－3︱互为相反数，求(ab)< br>2
－27 的值。




22、已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值。



23、已知m是
3
13
的整数部分，n是
13
的小数部分，求m－n的值。


6