优秀党员事迹材料-请你和我跳个舞

实数、二次根式的基本概念

知识点睛

一．实数的基本概念
1．无理数的概念：
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.
（2）解读：
1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.
2）无理数的常见类型：
①具有特定意义的数。如π等；
②……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；
③开方开不尽的数，如
2
，
3
4
等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢
3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限 小数或无限循环小数，反之，有限小数
和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无 限不循环小数也必定是无理数.
2．实数的概念及分类：
（1）定义：有理数和无理数统称为实数.
（2）分类：



整数

有理数

①按定义分：
实数

< br>分数---有限小数或无限循环小数



无理数-------无限 不循环小数


正有理数

正实数


正 无理数


②按性质分：
实数

0

< br>负有理数

负实数




负无理数


（3）实数的性质：
①相反数：
a
与
b
互为相反数
ab0
.

a,a0

a,a0

a,a0

②绝对值：
a

0,a0
或
a

或
a


a,a0a,a0


a,a0< br>
（4）实数和数轴上的点是一一对应的.
π是一个超越数，用尺规作图的 方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一
个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正 好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周
长为π。
（5）实数的运算顺序：先算乘方 、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序
进行，有括号的先算括号里的。
（6）实数中非负数的四种形式及其性质：
形式：①
a0
；②
a
2
0
；③
a0
（
a0
）；④
a中
a0
.
性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③ 几个非负数之和等于0，则每
个非负数都等于0.
（7）实数中无理数的常见类型：
①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；
②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：
2π1
等；
③…….
（一）根据实数的定义解题：
【例1】下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数?哪些是正实数?
－0.313 131…， π， －
81
， 23，

3
27
， 3.14， 0.4829，
…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），

3
9
，

3
0.5
.
12，0.1235
中无理数的个数是（ ） 【例2】在实数
0，，
A．0 B．1 C．2 D．3
22
【拓展】
π
，，
2
，
9
，
3.14
，
0.61414
，
0.1
L
这7个实数 中，无理数的个数
7
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】下面有四个命题：
①有理数与无理数之和是无理数．
②有理数与无理数之积是无理数．
③无理数与无理数之和是无理数．
④无理数与无理数之积是无理数．
请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。

【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
（二）实数的绝对值：
【例5】求下列各数的相反数及绝对值：
(1)
3
64
(2)
3


【例6】已知一个数的绝对值是3，求这个数.
【拓展】｜x｜=｜－π｜，求x 的值。
【例7】若
0b1
则
b
2
，
b
，b
，
1
b
这四个数有下列关系（
A.
b
2
bb
1
b
B.
b
2
b
1
b
b

11
2
C.
b
bbb
2
D.
b
b
bb

【例8】比较下列各组数的大小：
(1)
7
和3 (2)
x
2
1
和
x
2

二．二次根式的概念
1. 二次根式的定义：形如
a
（a≥0）的式子叫做二次根式
2. 二次根式应满足两个条件：
第一，有二次根号“”。
第二，被开方数是正数或0。
第三，二次根式
a
（
a
≥0）表示非负数
a
的算术平方根 。
3.性质
(1)
(a)
2
=a（a≥0）．
(2)
a
2
a






a

(

a


a
0)
2
a
（a≥0）
a
2
a
（a＜0）

a(a0)
(3)
ab
=
a
·
b
（a≥0，b≥0）
a< br>·
b
＝
ab
（a≥0，b≥0）
(4)
a
a
b
=
a
b
（a≥0，b>0）
b
=
a
b
（a≥0，b>0）
）

【例1】下列各式中哪些是二次根式，请作出判断。
【例2】当x取怎样的实 数时①
x1
；②
2x
；③
x3
；④
2x
2
在实数范围内有意义
【拓展1】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义
(1)
2x3
； (2)
3
2
； (3)
2x1
1x
【拓展2】
x
取何值时，下列各式有意义
x2
(1)
36x
； (2) ； (3)
x5
【拓展3】x取何值时，下列格式有意义：
(1)

x12

1

x
2
； (2)
1x
3
； (3)
2x

x9
3. 最简二次根式
二次根式
a
（
a 0
）中的
a
称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简
二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(3)分母中不含二次根式。
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
【例1】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是
(1)
3a
2
b
(2)
3ab
(3)
2
x
2
y
2
(4)
ab
（a＞b） (5)
5
(6)
8xy

【例2】下列二次根式中，最简二次根式的个数是（ ）．


a
b
，,
24x
，
x
2
4x4
．
3
4
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6x
1
，
a
2
b
2
，2ab
2
，
0.5ab
,
【例3】在下列二次根式
10 ，
aa1aab
，25m，3x
2
，a
2
b
2
，，12x，ab，，，
中，最简
232
322
二次 根式有____________________。
【练习】下列根式
2xy，8，
3xy
ab1
，，x
2
y
2
，
中式最简二次根 式的有（ ）
252
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例4】把下列各式化成最简二次根式。
(1)
24
(2)
75a
3
(3)
25x
3
50x
2

x≥0


4. 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。
合并同类二次根式：
axbx(ab)x
．同类二次根式才可加减合并．
【例1】下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ）

A 52x 和3x B 12ab 和
【例2】在27 、
1
12
、
1
22
C xy 和xy Da 和
3ab
1
a
2

1
1
2
中与3 是同类二次根式的个数是（ ）
A. 0 B.1 C.2 D.3
【巩固】下列二次根式中，哪些是同类二次根式（字母均为正数）

1
1
1
27
；
48
；
20
；
1 25
；
x
2
5
y
x
；
y
．
x
y
【例3】下列各组二次根式中，属于可以合并的是（ ）
A．
12
与
72
B．
63
与
28
C．
4x
3
与
22x
D．
18
与
【例4】若
a+b
4b 与3a＋b 是同类二次根式，则a、b的值为（ ）
2

3
A a=2 , b=2 B a=2 , b=0 C a=1 , b=1 D a=0 , b=2 或a=1 , b=1
【巩固】若
ab
4b
与 最简二次根式
3ab
为同类二次根式，其中
a
，
b
为整数 ，则
a
______，
b
________；
【例5】若最简 二次根式
3a5
与
a3
是可以合并的二次根式，则
a____
。
【例6】下列二次根式中，与
a
是可以合并的是（ ）
A．
2a
B．
3a
2
C．
a
3
D．
a
4

【例7】若最简 二次根式
ab
2ab与a2b
是同类根式，求
a
2b
的值．
课后作业

1. 把下列各数分别填入相应的集合里
38
，-3.1459，-

22
7
，-
32
，-，-0.0 20202……，1.414,-
7

3
7,
8
(1)正有理数集合：{ ……}
(2)有理数集合：{ ……}
(3)无理数集合：{ ……}
(4)实数集合： { ……}
2.
x
取何值时，下列各式有意义：
1
(1)
x
2
(2)
2x
1
(4)
2x13x
(5)
1x
(3)
(6)
x2

x3
x

3.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1)
5
(2)
3
8
(3) 1-π
27

11
4.下列判断(1)
2
3 和
3
48 不是同类二次根式；(2)
(3)8x 与
1
45
和
1
25
不是同类二次根式；
8
x
不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ）
A. 3 B. 2 C .1 D. 0
5.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. 8x B.x
2
－3 C.
x－y
2
D. 3ab
x
6.若代数式
2x1312x
在实数范围内有意 义，则
x
的取值范围是（ ）
A．
x≥
1
2
B．
x≤
1
2
C．
x
1
2

7.式子
x3
2x
有意义，则
x
的取值范围是（ ）
A．
x≥3
且
x0
B．
x≤3
且
x0
C．
x0

8.
x
是怎样的实数时，下列二次根式有意义?
(1)
x3
(2)
1
(3)
2x1
x6
x1
(4)
x25x
9.下列哪些是二次根式，哪些不是二次根式
(1)
3x

x≤3

(2)
x
2
2
(3)
5x

x≤0


D．
x
可取一切值
D．
x≥3

(5)
2
x3