无理数与实数(基础)
端午节作文开头-经销商和代理商的区别
学习目标
1. 了解无理数和实数的意义；
2.
了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
要点梳理
要点一、有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理
数.
要点诠释：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小
数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不
循环的数，如：1.313
113111…….③带有根号的数，但根号下的数
字开方开不尽，如.
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数
集——实数集，实数集通常
用字母R表示.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能
在数轴上找到一个点与之对应.
类型一、实数概念
出下列各数中的有理数和无理数：
【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化
简，然后根据它的最后结果进行分类，不能
仅看到根号表示的数就
认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.
【答案与解析】
有理数有
无理数有……
【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循
环小数叫无理数.
常见的
无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环
的数，如：0.1010010001…….③带
有根号的数，但根号下的数字开
方开不尽，如，，，.
【变式】下列说法错误的是（ ）
①无限小数一定是无理数；
②无理数一定是无限小数；
③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.
A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C；
要点三、实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边
的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
类型二、实数大小的比较
例 2、（2014秋•新华区校级期中）比较
【答案与解析】
解：∵＜＜，
即2＜＜3，
∴1＜﹣1＜2，
和1的大小．
∴＜1．
【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值
范围是解题关键．
【变式】比较大小
【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.
例3、如图，数轴上点表示的数可能是
A. B.
C. D.
【答案】B；
【解析】－3＜＜－2.
【总结升华】关键是估计出的大小.
要点四、实数的运算
有理数中关于相反数和绝对值的意义同样
适合于实数.当数从有
理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除
数不为
0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一
个实数可以进行开立方运算.在进行实数的
运算时，有理数的运算法
则及运算性质等同样适用.
类型三、实数的运算
4、化简：
(1) (2)
(3)
【答案与解析】
解：
.
【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于
实数.
有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）
2
+|﹣1|﹣．
【答案】
解：原式=4+﹣1-3=．
5、若，则
________．
【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则
每个数都应为零可得到
方程中，b，c的值.
【答案】3；
【解析】
解：由非负数性质可知：，即，∴
【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，
．
，非负数的和
为0，只能每个非负数分别为0 .
【变式】已知，求
【答案】
解：由已知得，解得．
∴＝.
的值．
巩固练习
一.选择题
1．下列说法错误的是（ ）
A．实数都可以表示在数轴上
B．数轴上的点不全是有理数
C．坐标系中的点的坐标都是实数对
D．是近似值，无法在数轴上表示准确
1.
【答案】D；
【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴
上表示.
2. （2015春•当涂县期中）下列说法：①有理数和数轴上的点
一一
对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④
17的平方根是﹣，其中正确的是（ ）
A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个
2. 【答案】A；
【解析】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；
②无理数是无限不循环小数，故②错误；
③负数的立方根是负数，故③错误；
④17的平方根是±，故④错误；
故选：A．
3. 估计的大小应在（ ）
A．7～8之间 B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间
D．9～10之间
3. 【答案】C；
【解析】，因为76比较接近81，所以
在8.5～9.0之间.
4.
如图，数轴上点表示的数可能是（ ）.
A． B． C． D．
4.
【答案】B；
【解析】2＜＜3
5. 实数和的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
5. 【答案】C；
【解析】.
6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（
A．4～5之间
B．5～6之间
C．6～7之间 D．7～8之间
6. 【答案】A；
【解析】.
）
二.填空题
7. 在，，，，这五个实数中，无理数是
_________________．
7．【答案】，；
8.
在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．
8. 【答案】；
【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别
是、.
9. （2015•南平模拟）计算：﹣=______．
9. 【答案】0.
【解析】解：﹣=3﹣3=0．
10. 的整数部分是________，小数部分是________．
10. 【答案】2；；
【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分.
11. 已知为整数，且满足
，则________．
11. 【答案】 －1, 0, 1；
12.
的相反数是________，绝对值是_________，平方等
于_________.
12. 【答案】
【解析】.
三.解答题
13．（
2015春•荣昌县校级期中）把下列各数填入相应的大括号
内.，﹣2，，0，，
0.212
1121112…
整数集合：{
非负实数集合：{
无理数集合：{
，3.1415，π﹣3，
…}；
…}；
…}．
，3+，3，
13．【解析】
解：整数集合：{﹣2，0，，，…}；
非负实数集合：{，，0，，3.1415，π
﹣3，，3+，3，
0.2121121112…，…}；
无理数集合：{，，π﹣3，3+，3，0.2121121112…，…}．
14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个
正方形，那么它的边
长大约是多少？（用计算器计算，精确到）
14. 【解析】
解：设广场的边长为，由题意,得
440000
＝≈663().
答：它的边长约为663m.
15. 已知求的值．
15. 【解析】
解：∵
∴－2＝0且＝0
解得＝2，＝－3，
∴＝2－3＝－1.