湖北工程职业学院-盘点总结

第二章：实数
知识梳理
【无理数】
1. 定义：
无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：圆周率

以及含有

的一些数，如：2-

，3

等；
（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01„（ 两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-
是无理数
（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2

,
（5）开方开不尽的数，如:
2,5,
3
9
等；应当要注意的是：带 根号的数不一定是无理数，如：
9
等；无理
数也不一定带根号，如：

）
3.有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的 有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例： （1）下列各数：①3.141、②0.33333„„、③
57
、④π、⑤
2. 25
、⑥

2
、⑦0.3„„
3
（相邻两个3之间0的个数 逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0. 125125„,0.1010010001„,-

,
4
,
32
其中无理数有 ( )个
【算术平方根】：
2
1. 定 义：
如果一个正数x的平方等于a，即
xa
，那么，这个正数x就叫做a的算术平方 根，记为：“
a
”，
读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如3=9，那么9 的算术平方根是3，即
93
。
2
特别规地，0的算术平方根是0，即
00
，负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性：
（1）若
a
有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方
根。因此，算术平方根只有 一个值，并且是非负数，它只表示为：
a
；而平方根具有两个互为相反数的值，表
示为 ：
a
。
例：（1）下列说法正确的是 （ ）
A．1的立方根是
1
； B．
42
；（C）、
81
的平方根是
3
； （ D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A、
819
B、
3.14



3.14
C、
2793
D、
532

（3）
(3)
的算术平方根是 。（4 ）若
x
2
x
有意义，则
x1
__________ _。
2
（5）已知△ABC的三边分别是
a,b,c,
且
a,b< br>满足
a3(b4)0
，求c的取值范围。



（6）（提高题）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的值.


平方根：
2
1.定义：
如果一个数x的平方等于a，即
xa
，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也
叫二次方根），记做：< br>xa(a0)

2.性质：
（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根
例（1）若
x
的平方根是±2，则x= ；
16
的平方根是 （2）当x 时，
3－2x
有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
3.

(a)
2
(a0)与a
2
的性质

2
（a)
2
a(a0)如：7）7
（2）
a|a|
中，a可以取任意实数。如
5
2
|5|5
（1）
2
2
（-3）|-3|3

例：1.求下列各式的值
2
（-
（1）
7
2
（2）
（-7）
（3）
2
49）

2.已知
（a1)
2
a1
，那么a的取值范围是 。3.已知2＜x＜3,化简
（2-x)
2
|x3|
。
【立方根】
1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x=a,那么这个数x就叫做 a的立方根（也叫做三次方根）记
为
3
a
，读作，3次根号a。如2=8，则 2是8的立方根，0的立方根是0。
3
3
2.性质：
正数的立方根的正数； 0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.
33
a2.89,ab28.9
，则b等于


例：
（2）若
（1）64的立方根是
3< br>（3）下列说法中：①
3
都是27的立方根，②
3
yy
， ③
64
的立方根是2，④
3

8

4
。
2
其中正确的有 （ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【估算】
用估算法确定无理数的大小：对于带 根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹
逼法”，即两边无限逼近，逐级 夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部

分。
“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差 小于1m，答案在其值左右
1m内都符合题意，答案不唯一。
方法点拨：解决此类问题的关键 是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的
办法求解。
例：估算下列各数的大小
（误差小于0.1）
（1）
327
（2）


用估算的方法比较数的大小
327（精确到0.1）
（误差小于1）
（3）
3
3345

用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数 ，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数
的大致范围，再作具体比较
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：
（1）若a＞b≥0,则
ab
（2）若a＞b，则
3
a
3
b或a
3
b
3

22
（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a＞b
例：通过估算比较下列各组数的大小
比较两个数的大小：
方法一：估算法。如3＜
10
＜4 方法二：作差法。如a＞b则a-b＞0.
方法三：乘方法.如比较
26与33
的大小。
例：比较下列两数的大小
（1）
【实数】
10-31
与
（2）
52与35

22
定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中 ，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，
最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是
是：在数轴上的点到原点的距离。 实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正 数大
于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大 于左边的

a(a0)
1
（a≠0）；实数a的绝对值|a|=

，它的几何意义
a

a(a0)

数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算 ：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一
实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的
（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
例：（1）下列说法正确的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C、1和2之间的无理数只有
2
； D、不带根号的数都是有理数。
（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )



A、
ab
B、
ab
C、
ab
D、
ba

（3）比较大小(填“>”或“<”).
3
10
，
3

3
20
，
76______67
，
（4）数
7,2,3
的大小关系是 ( )
A.
732
B.
372
C.
273
D.

a
0 b
51
1
，
2
2
327

（5）将下列各数：
2,
3
8,3,15
，用“＜”连接起来；______________________ ________________。
（6）若
a3,b2
，且
【二次根式】
ab0
，则：
ab
= 。
aa0）
定义：形如
（
的式子叫做二次根式，a叫做被开方数
注 意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如
9
是二次根式，而
9
=3,3显然就不是二次根式。
（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必 须是非负数；若a是代数式，则这个代
数式的取值必须是非负数，否则没有意义。
例：下列根式是否为二次根式
-3｜
（3）
-a
（4） （1）
-3
（2）
｜
二次根式的性质：
性质1：
ab
2

3
a.b(a0,b0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对
二次根式进行化简。

性质2：
a

b
a
.(a0,b0)
商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
b
最简二次根式：被开方数 中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
例：1.化简：
（1）
1215
（2）
27ab(b0)
（3）
2.计算：
42
4

9x
18
1

1

0.5
2

3
11

3
0.1253
3




427
16

8






3.已知：

x7

121,

y 1

0.064
，求代数式
x2
23
2
x10y
3
245y
的值。





6.（提高题）观察下列等式：回答问题：
①
1

③
1
1111111111
11111
②
2222
11122216
1223
11111
1 1
，„„
33112
3
2
4
2
11

的结果；
22
45
（1）根据上面三个等式的信息，请猜想
1
（2）请按照 上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。

课后练习
一、重点考查题型：
1.－1的相反数的倒数是 2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b）的相反数
3.数－3．14与－Л的大小关系是 4.和数轴上的点成一一对应关系的是
5.和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是
6.在实数中Л,－
2
5
,0, 3 ,－3．14, 4 无理数有 个
7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ）
（A）非负数 （B）非正数 （C）负数 （D）正数
8．若x＜－3，则｜x＋3｜= 。
9．下列说法正确是（ ）
（A） 有理数都是实数 （B）实数都是有理数
（B） 带根号的数都是无理数 （D）无理数都是开方开不尽的数
10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：
（1） c-b和d-a
（2） bc和ad
二、考点训练：
*1．判断题：
（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（ ）
（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（ ）
（3）两个无理数之和一定是无理数；（ ）
（4）两个无理数之积不一定是无理数；（ ）
（5）任何有理数都有倒数；（ ）
（6）最小的负数是－1；（ ）
（7）a的相反数的绝对值是它本身；（ ）
（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（ ）
2．把下列各数分别填入相应的集合里
－|－3|，21．3，－1．234，－
22
3
7
,0，－9 ,－
－1
8
, －
Л
2
,8 , (
ctg45°,1.2121121112．．．．．．中
无理数集合｛ ｝ 负分数集合｛
2 －3 )
0
，
｝
3
－2
，

整数集合｛ ｝ 非负数集合｛ ｝
*3．已知12
= 。
4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？
1
－3, 2 －1， 3， － 0．3， 3
－1
， 1 +2 ， 3
3
互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数：
*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－2 ）
2
和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值


6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，
求
|a+b|
+4m-3cd= 。
2m
2
+1
（ａ－3ｂ）
2
＋｜ａ
2
－4｜
*7．已 知 ＝0，求ａ＋ｂ= 。
a+2
三、解题指导：
1．下列语句正确的是（ ）
A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数
C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。
2．和数轴上的点一一对应的数是（ ）
A、整数 B、有理数 C、无理数 D、实数
2．零是（ ）
A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数 C、最小的自然数 D、最小的整数
4.如果a是实数，下列四种说法：
（1）ａ
2
和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，
1
（3）ａ的倒数是 ，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有 个
a
*5．比较下列各组数的大小：
3
(1) 3
2
11
12 (2)aab
|4-a
2
|+a+b2a+3b
6．若a,b满足 =0,则 的值是
a+2a

*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|
（1） 判定a+b,a+c,c-b的符号
（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|


*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为
9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用连结x，－x，－|y|，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：
（1）a是负数 ；（2）a、b两数异号 ；（3）a、b互为相反数 ；
（4）a、b互为倒数 ；(5)x与y的平方和是非负数 ；
（6）c、d两数中至少有一个为零 ；（7）a、b两数均不为0 。
*13.数轴上作出表示2 ，3 ，－5 的点。
四．独立训练：
3
1．0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，－8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，
0 的绝对值是 ，2 －3 的倒数是
2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是 。
11
A表示的数是－ ，且AB＝ ，则点B表示的数是 。
23
22
3
3 －3 ,л,(1－2 )
º
,－ ,0．1313„,2cos60
º
, －3
－1
,1．101001000„
7
(两1之间依次多一个0),其中无理数有 ，整数有 ，负数
有 。
4. 若a的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝2 ，则a=
5．若实数x，y满足等式（x＋3）
2
＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是
6．实数可分为（ ） A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数

*7．若2a与1－a互为相反数，则a等于a=
8．当a为实数时，a
2
=－a在数轴上对应的点在（ ）
A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧
*9．代数式
ａｂａｂ
＋ ＋ 的所有可能的值有 个。
｜ａ｜｜ｂ｜｜ａｂ｜
10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图
（1）比较a－b与a+b的大小
（2）化简|b－a|+|a+b|


11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜
试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜





*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）
2＋｜9－ａ
2
｜＝0 。求它的周长。



＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：（2－ｍ）
2
－（ｍ－8）
2