黑豆泡醋的功效-2017年1月20日

沪教版初一下数学详细讲义详细版


第十二章 实数
第1讲 实数的概念

【知识要点】
1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数,也就是不能用两整数比表示的数.
无理数可分为正无理数和负无理数.只有符号不同的两个无理数是互为相反数.
2. 实数：有理数和无理数统称为实数.
3. 实数分类：


正有理数



有理数0

有限小数或无限循环小数



负有理数

实数





正无理数


无理数

无限不循环小数

负无理数



【学习目标】
理解无理数、实数的概念

【典型例题】
【例1】 下列表述是否正确,并说明理由：
（1）一个实数,不是正数,就是负数.（2）有限小数都是有理数,无限小数都是无理数.
（3）一个有理数不是整数,就是负数.（4）一个无理数,不是正数就是负数.
（5）一个实数不是有理数,就是无理数.
【分析】利用实数、有理数、无理数的概念. < br>【解答】因为零是实数,但它既不是正数也不是负数,在（1）的实数分类中并没有把零包括
在内 ,所以（1）不正确.
无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,所以（2）不正确.
因为零是有理数,它既不是正数也不是负数,在（3）的有理数分类中没有把零包括在内,所以
（3） 不正确.
无理数可分为正无理数和负无理数,所以（4）正确.
实数是有理数与无理数的统称,所以（5）正确.
【注】零在实数中仍是正、负数的分界点,不可忽视.

【例2】选择题：
1 68

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（1） 在实数范围内,有一个数不是正实数,这个数一定是
（A） 负实数 （B）负有理数 （C）非正实数 （D）非负实数
（2） 实数
1,

,3.14,0 ,0.589,7,0.11
(两个11之间依次多一个0)
中,无理数的个数有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
【解答】（1）按实数可以分为正实数,零,负实数,非正实数,即零或负实数,选（C）.
（2）判断无理数应根据无理数的概念“无限不循环小数是无理数”来断定,应选（B）.

【例3】分别将下列各数填入相应的横线上：

3
4
337

，3，，10，，0.3432（34321重复出现）,3.1416，1.1311 31113
39153
（每两个3之间1的个数依次多1）
有理数是
无理数是
【分析】有理数是能表示为


a
(a、b是整数，且b0)
形式的数,无理数是无限不循环小数,
b
分别用这两条 标准去检验上面的数得出正确结果.
【解答】有理数是：
337
，，0.3432 （34321重复出现）,3.1416;

3915
无理数是：
3， 10，，1.131131113
（每两个3之间1的个数依次多1）.

3

【基础训练】
1. 实数可以分为
2． 有理数可以分为
.
3．
4．
在,0.3,0.3,
叫无理数.
和
和
两类.
;但按符号来分还可以分为、和
1
3
22
,3.14,

,5,2
,无理数有
7
.
个,它们是
5．写出在2和3之间的一个无理数


2 68

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第2讲 数的开方
（1）平方根和开平方

【知识要点】
1.平方根
如果一个数的平方根等于
a
,那么这个数叫做
a
的平方根,也可叙述为：“如 果
xa
,那么
x
就叫做
a
的平方根.”
2.开平方
求一个数
a
的平方根的运算叫做开平方,
a
叫做被开方数.
3.平方根的性质
一个正数有两个平方根,它们互为相反数.正数
a
的两 个平方根可以用“
a
”表示,其中
2
a
表示
a
的 正平方根（又叫算术平方根）,读作“根号
a
”;
a
表示
a
的负平方根,读
作“负根号
a
”.
零的平方根记作
0
,
00
.
因为任何一个正数、负数或零的平方都不是负数,所以负数没有平方根.
4.开平方与平方的关系
开平方与平方互为逆运算,根据平方根的意义,“如果
x a
,那么
x
叫做
a
的平方根”,
x
记
作
a
,我们得到：
（1）一个正数的平方根的平方等于这个数,即：当
a0
时,

（ 2）一个正数的平方的正平方根等于这个数,即：当
a0
时,
a
2
a.

一个负数的平方的正平方根等于这个数的相反数,即：当
a0
时,
a
2
a.


2

a
2
a,(a)
2
a;

【学习目标】
1.理解平方根与开平方的概念;
3 68

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2.理解开平方与平方互为逆运算的关系;
3.掌握平方根的性质,分清平方根与算术平方根的区别,并知道它们之间的联系.

【典型例题】
例1 判断下列说法是否正确：
（1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是
4
. （3）
3
的平方根是9.
（4）
819
. （5）-7是49的平方根 （6）
16
的平方根是
4

【解答】（1）不正确.因为1是正数,1的平方根有两个,是
1
.
（2）不正确.因为-16是负数,负数没有平方根.
（3）不正确.应该是
3
的平方是9.
（4）不正确.
81表示81的正的平方根.它是一个正数
81
9,而
819
.
（5）正确.因为

7

49，
根据平方根的概念7是49的 平方根,但反过来说,49的平方根
是-7就错了.
(6)不正确.
164
,
16
的平方根即为4的平方根,所以
16
的平方根应是
2.
【点评】解答这道题目是对巩固和掌握平方根的概念和性质不可忽视的基本训练.

【例2】求下列各式的值：
（1）
144
（2）

2
9
2
（3）
0.01
（4）
（-6）

16
9
的值就
16
【分析】求
144
的值就是求144的正的平方根（即144的算术平方根）;求

是求
99
的负的平方根（即的算术根的相反数）;求
0.01
的值就是求0.0 1的平方根;
1616
2
2
（-6）
的算术平方根的相反数.搞清各 式的符号语言的意义,是得到求
（-6）
的值就是求
正确解的关键.
【解答】（1）
14412
（2）

93


164
2
（3）
0.010.1
（4）
（-6）366


【例3】求下列各数的平方根：
25

5

（1）0.64 （2） （3）0 （4）

1


64

4

2
【解答】（1）
（0.8）0.64,0.64
的平方根是
0.8.
即：
0.640.8.

2
4 68

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2
5255

5

2525
（2）



，的平方根是，即 ：.

8648

8

6464
（3）0
2
0，0的平方根是0，即：00.

222
5

9

81

9

81
（4）

1





，而



，


4

4
< br>16

4

16
99

5
5



1

的平方根是，即：
1

.

44

4

4
【点评】运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法.用符号语言表示一个非负数的
平方根,应由不习惯到习惯,这对加深平方根概念和性质的理解有好处.

【例4】 已知
2x1
的平方根是
5
,
x3y
的平方根是
 2
,求
xy
的平方根.
【分析】由已知得：
2x1
=

5

,
x3y

2

，
即：
2x125
①,
x3y4
②,
解 由方程①和②组成的方程组得
x
和
y
的值,再求
xy
的平 方根.
2
2
22

2x125

x13< br>【解答】由已知得

,xy13316,xy
的平方根是
4
.
,
解得

y3
x3y4



【基础训练】
1.下列说法正确的是（ ）
（A）因为3的平方是9,所以9的平方根是3
（B）因为-3的平方是9,所以9的平方根是-3
（C）因为
(3)
的底数为-3,所以
(3)
没有平方根
（D）因为-9是负数,所以-9没有平方根
2.下列各数是否有平方根,如果有,有几个？并说明理由.
（1）
(4)
（2）-8 （3）0 （4）
x

22
3.已知
ab3
与
ab5
互为相反数,求
ab< br>的值
2
22
2
4.求下列各数的平方根和算术平方根
（1）0.0009 （2）
(5)
（3）
(6)

5.求值.
22

15

（2）
（4）

10

（5）
（1）
2
2
3
2
（3）
13
2


8

2
（6）


8

2

5 68

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【提高训练】
1.一个数的算术平方根为
a
,比这个数大2的数是 ( )
2
(A)
a2
（B）
a2
（C）
a2
（D）
a2

2.

a5

2
5a
,则
a
的取值范围为 （ ）
(A)
a5
（B）
a5
（C）
a5
（D）
a5

3.若
2x 5
,则
(x5)(x2)
4.已知
y
22
.< br>
x88x9
,求
2
2x
的值.
y
5.已知一个正数的平方根是
a3a
和
3a16
,求
a
的值.
6.已知
x,y
为实数,求
u(xy1)
2
2xy3
的最小值和取得最小值时
x,y
的值.







第2讲 数的开方
（2）立方根和开立方

【知识要点】
1.立方根
与平方根类似,有：
如果一个数的立方等于
a
,那么这个数叫做
a
的立方根,用“
3
a
”表示,读作“三次根
3
号
a
”,
3
a
中的
a
叫做被开方数,“3”叫做根指数;也可叙 述为“如果
xa
,那么
x
就叫
6 68

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做
a
的立方根”,
x
记作
3
a
.
2.开立方
求一个数
a
的立方根的运算叫做开立方.开立方与立方互为逆运算.
3.立方根的性质
我们已学过正数的立方是一个正数,负数的立方是一个负数,零的立方等于 零,由立方运
算可知正数有一个正立方根,负数有一个负立方根,零的立方根是零,也就是说任意一个数 都
有立方根,而且只有一个立方根.
类似于平方与开平方之间的关系,根据立方根的意义,可以得到

a
3
3
a,
3
a
3
a
.（以上
a< br>是实数）
方法与技能：一个数的立方根记作“
3
a
”,根指数3不能忽略.
由于
2
3
8
,有
3
82
,

2

8
,有
3
3
82
,可见
3
8
3
8
.一般地,如果
a
>0则,
3a
3
a
,如果把非负数的立方根叫做算术立方根,那么负数的立方根可以由 它
的相反数的算术立方根的相反数来表示,也就是把“—”号提到根号外面来.
典型剖析

【学习目标】
1.理解立方根与开立方的概念;
2.理解开立方与立方互为逆运算的关系;

【典型例题】
【例1】 求下列各式的值：

（1）
3
64
（2）
3
64
（3）
3

27
（4）
3
1

125
【分析】 由立方根的意义,如果
x
3
a
,那么
x
就叫做
a
的立方根,
x< br>记作
3
a
,可知
a
的立
方根
a
的立 方：
【解答】 （1）
（2）
3

a

3
3
a
.
4
3
64,
3
644


4

3
64,
3
644

也可以这样求：
3
64
3
644

27273< br>
3

（3）



,
3< br>

1251255

5

7 68
3

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（4）

1

3
1,
3
11


【例2】 判断题（对的打“√”,错的打“×”）
（1）1的立方根是
1
.
（2）任何数都有立方根.
（3）如 果
3
a
3
b
,那么
ab0
.
（4）两个互为相反数的立方根也是互为相反数.
（5）一个数的立方根和平方根都是它本身,这个数是0或1.
6
（6）
4
的平方根是
4
.
3
【解答】（1）（×）. 1的立方根是1.
（2）（√）.任何实数
a
都有唯一的立方根,记作
3
a
.
（3）（√）.因为
a
是
a
的立方根,则
3
a

3
3
a
;同理,

b

3
3
b
.由
3
a
3
b
可推出

3
a
3

3
b
,即
ab.
ab0
.
3
3
（4）（√）.
(5) (×)
a
3
a
,

两个互为相反数的立方根也互为相反数.
如果一个数
x
的立方根是它本身,则
3
xx,

x
3
x,
x

x
2
1

 0.
x0
或
1
.如果一个数
x
的平方根是它本身,则
xx
,
则
xx,x

x1

0
,所以
x0
或1.
2
（6）（√）.
4

3
6
3

16

2
3
16,它的平方根为
4
.
【例3】 若
a
<0,则
aa
.
【解答】
3
3
a
<0,
a
2
a,
3
a
3
a,a
2

3
a
3
aa0
.

【例4】 求下列各数的立方根
（1）0.216 （2）
3
3
（3）
125

8
【分析】运用立方运算求一个数的立方根是常用的方法, 求带分数的立方根,要先将带分数化
为假分数.用
3
a
3
a< br>这个性质有
3
125
3
1255
,但对于平方根来 说不能适用,
因为复数没有平方根.
【解答】（1）
0.6
3
0.216

8 68

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0.216
的立方根是0.6,即
3
0.2160.6
.
3
（2）
3
3
8

27
125
,而




3

2



27
8


3
3< br>3
8
的立方根是

2
,即
3
3
3 3
8

2
.
（3）
5
3
12 5,

5

3
125


125
的立方根是
5
,即
3
1255
;

125
的立方根是
5
,即
3
1255
.

【基础训练】
1. 判断
（1）
125
5
5
512
的立方根是
8
和

8

（2）

1
216
的的立方根是没有意义的
（3）

1
1
27
的立方根是

3

（4）
1
64
的立方根是4
（5）
3
5
是

27
125
的立方根
2.下列说法正确的是（ ）
（A）一个数的立方根有两个,且它们互为相反数
（B）任何一个数必有立方根和平方根
（C）一个数的立方根必与这个数同号
（D）负数没有立方根
3. 求下列各数的立方根：
(1)343(2)
27
216
(3)0

4.求下列各式的值：
3
(1)
3
125
8
( 2)
3
0.027(3)




3
1

5
(4)
3
4
17


< br>
27
5.计算：
(1)
3
27
3
< br>11
216
(2)
3

3

3

9
(3)
3
1
63
64

3
0.125

9 68
）
）
）
）
）
（
（
（
（
（

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【能力提高】
1.设
m8n270
,则
(mn)
的立方根= .
2.若
a0,
求






3.已知
A
mn2
m8
是
m8
的算术平方根,
B
2mn4
n5
是
n5
的立方根,
求
3A5B
的立方根.







4.解方程：
27(x1)80






3
aa
5.立方根有如下性质：
aba b,
3
.

b
3
b
333
3
3 3
3

a1

2

3

a1

的值.
3
(1)计算：
3
0.0121.6
的值.
3
(2)设
3
2m,
3
3n,
用含
m、n
的代数 式表示
3
48、
16
.
81


10 68

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第2讲 数的开方
（3）
n
次方根

【知识要点】
1.
n
次方根
如果一个数的
n
次 方(
n
是大于1的整数)等于
a
,那么这个数叫做
a
的n
次方根,也可叙
述为“如果
x
n
a
(
n< br>是大于1的整数),那么
x
就叫做
a
的
n
次方根”,
x
记作
n
a
.平方根
和立方根是
n
次方根 的特例.
2.开
n
次方
求一个数
a
的
n
次方根的运算叫做开
n
次方,
a
叫做被开方数,
n
叫做根指数.
n
次方根简称为“方根”;开
n
次方简称“开方”.
3.
n
次方根的性质
由于
n
次方根包含平方根和立方根在 内,而平方根和立方根有不同的性质,这使得研究
n
次方根的性质时,必然要把指数按奇数或偶 数分别进行研究.
与立方根类比：实数
a
的奇次方根有且只有一个,用“
n
a
”表示,其中被开方数
a
是任
意一个实数,根指数
n是大于1的奇数.
与平方根类比：正数
a
的偶次方根有两个,它们互为相反数, 正
n
次根用“
n
a
”表示,
读作“
n
次根 号
a
”,负
n
次根用“

n
a
”表示,其 中被开方数
a0
,根指数
n
是正偶数（当
n2
时,在< br>
n
a
中省略
n
）,负数的偶次方根不存在.
因为 零的
n
次方等于零,所以零的
n
次方根等于零,表示为
n
0 0

方法与技能：研究
n
次方根,必须用分类思想把指数分为奇数和偶数来 考虑,学习奇次根
式时与立方根类比,学习偶次根式时与平方根类比,这种类比方法是数学思维重要方法 之一.
综上,无论
n
为奇数还是偶数,对于正数
a
的正
n
次方根都记作
n
a
,称为正数
a
的
n
次< br>算术根.（
0
的
n
次算术根为零）正数
a
的
n
次算术根,有下列重要性质：
nk
a
mk

n
a
m
.
（
n
为大于或等于2的整数）
nk
即根指 数与被开方数的指数如果有公因数则可以约去,这一公式可以顺用,即将
n
a
mk化为
a
m
.
反过来,也可以将
n
a
m
化为
nk
a
mk
.
11 68

沪教版初一下数学详细讲义详细版

【学习目标】
1.理解
n
次方根的概念;
2.理解开
n
次方与
n
次乘方互为逆运算的关系;

【典型例题】
【例1】 求值：
（1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根
（4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）

32
的五次方根
243
【分析】 运用乘方运算求方根 的值是常用的方法,对于正数的偶次方根有两个,它们互为相
反数要充分理解,求
n
次 方根的值必须考虑指数的奇、偶性,增强分类的意识,学会正确的语
言表述是很重要的,给书写也带来简 便.
【解答】 （1）
2
5
32

5


32的五次方根

（2）
322


2

5
32


-32的五次方根

5
322

（3）

2

4
16



16的四次方根

6
642

（4）

2

6
64


64的六次方根

6
642

（5）

0.2

6
0.000064



0.000064的六次方根

6
0.0000640.2

32

2

（6）




243


3



5
322
32

的五次方根

5

2433
243

【例2】 选择题：
1.下列语句中,正确的是（ ）
12 68

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（A）正数
a
的
n
次方根记作
n
a
< br>（B）如果
n
是偶数,当且仅当
a
是非负实数时,则
n
a
有意义
（C）零的
n
次方根无意义
（D）任何实数都能开方
2.
5x
在实数范围内能开偶次方根的条件是（ ）
（A）
x
为任意实数 （B）
x5
（C）
x5
（D）
x0

【分析】理解立方根和开立方的概念
【解答】1.（B）
当
n
是 奇数时,正数
a
的
n
次方根记作“
“

n
a
”,故（A）错.
当
a
为非负实数时,
a
有偶次方根, 所以
n
a
（
n
是偶数）有意义,故（B）对.零的
n
次方为
零,故（C）错.
负数没有偶次方根,任何实数不一定都能开方,故（D）错.
2.（C）
由被开方数
5x0
解得
x5
,故选（C）.

【例3】求适合下列等式中的
x
.
（1）
x10
（2）
x10

【分析】理解开
n
次方与
n
次乘方互为逆运算的关系
9
（10）10
,所以
10
3
是
10
9
的立方根,因此【解答】（1）
x
是
10
的立方根,因为
33
n
a
”, 当
n
是偶数时,正数
a
的
n
次方根记作
3948
9
x10
3
,即
x0.001
.
8
2
8
（2）由已知可知,
x
是
10
的四次方根,由于
(10)10
,所以
1 0
是
10
的四次方根,因
248
此
x10
,即
x100
.

2
【基础训练】

1.

1
的五次方根是（ ）
32
4
2.81的四次方根是 （ ）

2

3.



的四次方根是（ ）

3

4.
(5)
的五次方根是（ ）
5
13 68

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5.如 果
xa(a0,n是偶数)
,那么
x
6.下列式子中,正确的是
n

(A)
4
11
(C)(1)1
4
4
(B)
5
11
(D)11
4

7.用符号表示下列各方根,并求出各方根的值.
1
的三次方的三次方根
2
1
（2）的六次方根
64
(1)

（3）—8平方的六次方根





8.计算：
(56)







4
33
4
3
【能力提高】
1.下列各式不正确的是
(A)
3
82
(C)
3
1255
(B)
4
(6)
4
6
(D)a a(n是奇数)

n
n

(xyz)
xyz
2.
yzzxxy
(xyz0)
xyz
20072007
3.计算：
(
3
21)(
3
4
3
21)





4.已知
n
是自然数,
a
是实数且
n
a
n
(
n
a)
n
成立.试讨论
n
及
a的取值范围.

14 68

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第3讲 实数的运算
（1）用数轴上的点表示实数

【知识要点】
知识点1 用数轴上的点表示无理数
方法一：用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它.例如：边长为
1
的正方形,对角线
长为
2
（这在学习了直角三角形中勾股定理后很容易知道 ,
现在暂不作介绍）,我们可以在数轴上以一个单位长为边长作一个
2

正方形,以原点
O
为圆心,正方形对角线为半径作弧,与数轴正
(2)
B

O

2

半轴交于点
A
就表示无理数
2
,与数轴负半轴交于点
B
就表 示 图1
无理数
2
.
方法二：用无限 不循环小数点的近似值来确定这个点的位置.例如：

可以精确到百分
位的近似数3.14
来确定数轴上表示

这个点的位置.





1

0

1

2

3
3.14

4

x

知识点2 数轴上的点和实数成一一对应
每一个有理数和无理数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都可
以用一个有理数 或无理数表示.为有理数和无聊隶属统称为实数,因此,全体实数所对应的点
布满了整个数轴,数轴上的 点和实数成一一对应.
知识点3 实数的相反数和绝对值
一个实数在数轴上所对应的点 到原点的距离,叫做这个数的绝对值,实数
a
的绝对值记
a
, 作


a
当
a0
时
a



0
当
a0
时


a
当
a0
时
绝对值相等,符号相反的两个数叫做互为相 反数,零的相反数是零,非零实数
a
的相反数
是
a
.
知识点4 两个实数大小的比较
15 68

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两个实数可以比较大小,其大小顺序的规定 同有理数一样,负数小于零,零小于正数,两
个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的反而小 ,从数轴上看,右边的点所表示的数
总比左边的点索表示的数大.
知识点5 同一数轴上,两点间的距离
在数轴上,如果点
A
、点
B
索对应的数 分别是
a、b
,那么
A、B
两点的距离
ABab
.
方法与技能：当有理数系扩展到实数后,有理数的绝对值、相反数、大小比较法则都自
然 延伸到实数系.有关概念、性质仍然正确,特别是数形结合思想仍然是研究的重要方法.了
解了数学系扩 大的原则,大大的提高了学习的效率.

【学习目标】
1.会用数轴上的点表示实数;
2.理解在实数范围内绝对值、相反数的概念,会比较实数的大小;

【典型例题】
【例1】写出下列各数的相反数与绝对值：
0.5
,
12
,7
,
0
,


3
,
7

5
【分析】与有理数一样,实数
a(a0)
的相反数是
a
;实数
a
的绝对值的为
a(a0)
或
a(a0)
.
【解答】
0.5
的相反数是
0.5
,绝对值是
0.5
;
12
的相反数是
21
,绝对值是
21
;
7
的相反数是
7
,绝对值是
7
;
0
的相反数是
0
,绝对值是
0
;




的相反数是,绝对值是;
555
37
的相反数是

3
7
,绝对值是
3
7< br>

【例2】比较
53
与
13
的大小.
【分析】
52.236,532.23630.764


31.732,1311.7320.732


可以先将无理数用近似的有限小数表示,转化为有理数后再进行比较.
【解答】
532.23630.764

16 68

沪教版初一下数学详细讲义详细版

1311.7320.732

0.7640.732

5313


【例3】 如图2,在数轴上,如果点
A、点
B
所对应的数分别为
6
和
3
,求
A、B
两点间
的距离.

B

A


3

1

0

1

2
图2
6

3

6(3)63
【解答】
AB
【注】 也可以这样计算：
63

AB3636)[(36)]36


【例4】 已知
a、b、c
在数轴上的位置如图3所示,则
a
2
ab(ac)
2
bc
的
值等于（ ）
（A）
2ca
（B）
2ab

（C）
a
（D）
b




b

a

0

c


图 3
【解答】 如图12-5所示,知
bac
.
a
2
a,abab,(ac)
2
ca,bc (bc)


原式
aabcabca
.选（C）.

【例5】 当
x1
是,
x(2x)
2
2x1
（ ）
（A）
0
（B）
4x4
（C）
44x
（D）
4x4

【解答】
x1,2x0,(2x)
2
2x,x11x,


原式
x2x2(1x)4x4
,选（B）.

【例6】 当
99x
的值最大时,
x
的值是（ ）
2
17 68

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（A）
9
（B）
3
（C）
3
（D）
3

【解答】
9x
2
0,S99x
2
9
.
当且 仅当
9x
2
0
时,
S
的值最大,为
9
,此时
x3
,选（D）.
【分析】 由于二次根式
x
表示
x
的算术平方根,隐含条件是
x0
,
x0
,结合不等式
的性质,获得如上.
ab
的几何意义是表示数轴两点
a、b
间 的距离,也是数形结合重要知识点,首先对于

ab0
,其次与实数绝对值概 念结合,当
ab
时,
abba
.这是有广泛应用的知识
点.

【例7】 如果
(5x)
2
(1x)
2
6
,求
x
的取值范围.
【解答】
(5x)< br>2
5x
,表示点
x
到点
5
的距离;
(1x)
2
x1
表示点
x
到点
1
的 距离,从图4上观察,



1

0

1

2

3

4

5


图4
当点
x
在点
1
到点
5
之间时,恒有

(5x)
2
(1x)
2
5xx1x15x6
.
1x5
.

【基础训练】

1.无理数可以用（ ）点来表示.
2.数轴上的点都表示（ ）数.
3.在数轴上表示
5
的点离开原点的距离是（ ）.
4．
34
的相反数、绝对值依次是（ ）、（ ）.
5.在数轴上分别标出
22，，7
所对应的点的大致位置.
6.设
15
在数轴上对应的点是
M
,
10
在数轴上对应的点是
N
,那么
M
、
N
两点间的距
离是 （ ）
5
3
18 68

沪教版初一下数学详细讲义详细版
(A)1510
(C)10 15
(B)1510
(D)1015

7.比较下列各组数的大小.
(1)2与10
(3)33与42

(2)2与10
(4)35与26





【能力提高】
1.如果
b0a,
试化简:
b
2

3
(ab)
3

4
(ba)
4
.






2.由
25






3.已知
a
为实数,化简:
aa





4.一个正实数的两个4次方根分别为
a3a
与
3a 16
,求
a
与这个正实数.

19 68
4
3
3
63
,试在
5
与
6
之间求一个无理数;在
5
与
3
之间求两个无理数.
1

a

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第3讲 实数的运算
（2）实数的运算

【知识要点】
知识点1 算术平方根的积和商
abab
aa

b
b
(a0,b0)
(a0,b0)
注意：公式都是双向的,既可从左到右,也可从右到左,这里的
a,b
都是算术平方根,
非算数平方根,公式不一定成立.
3
a
3
b
3
ab
当且仅当
a0,b0
时,成立.如
a0 ,b0
,就不能直接应用,应将
3
a
化为

3
 a
再进行.
另一方面,对于上节已提到的算术根的基本性质
nk
a
mk

n
a
m
,更要仔细对待.
对于
abab
,如下的应用十分频繁：
a
2
ba2
bab
(根号内的数可以移到根号外;反过来,也可把根号外的数移到
根号内 ),这里要特别注意
a
的正负,如
a0,
则
a
2
ba
2
bab.

知识点2 近似数的精确度
近似数与准确数的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精确度.
近似数的精确度有以下两种表达方式：
一种是精确到哪一个数位,例如精确到千分位（即保留 3位小数）,那么准确数与近似数
的误差不大于0.0005（即万分之五）,这是因为近似数是经过四 舍五入截取得到的.
另一种是指定保留几个有效数字.对于一个近似数,从左边第一个不是零的数字起 ,往右
到末尾数字为止的所有数字,叫做这个近似数的有效数字.如果保留五个有效数字,π的近似值为3.1416.那么π的准确值在3.14155与3.14165之间,绝对误差为0.00005. 如用π代表
圆周率的准确值,则

3.14160.00005.
利用无理数的近似数作计算时,中间过程中,应比最后要求精确度多保留一位数字,到最
后再按四舍 五入法,按最后要求取近似值.
20 68

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知识点1和2都是难点,应结合典例剖析仔细理解.


【学习目标】
1.掌握实数的加减乘除运算;
2.会运用算术平方根的积和商进行计算,理解近似数的精确度.

【典型例题】
【例1】不用计算器,计算：
(1)210
(3)6
3
;
101
1010;
33
(2)52
1
;
2

(4)(32)
2
(32)
2
.
【分析】掌握实数的加 减乘除运算,通过合并同类项以及算术平方根的积和商来计算.
【解答】(1)210
10 1
1010
33
101
(2)10
33
(23 )10
1
2

(2)52
522
25
(3)6
3
6
2
666
(4)(32)
2
( 32)
2




(32)(32)
(32)
2
1.

2
3
mm
【例2】已 知
m0,n0,
化简：
(1);(2)
3
（使分母不含根号）.
nn
【分析】运用算数平方根的积和商来计算

【解答】
(1)
3
mmnmn
;(abab)
2
n
n(n)
m
3
m(
3
n)
23
mn
2
333

(2).(abab)

3
3
n
n(
3
n)
21 68

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【例3】化简

10
2
210
,再用计算器求值,要求保留两位小数.
【分析】运用算数平方根的商运算
【解答】C

10
2
210


10
2
210
5

2 10

2.2363.14223.162
7.0266.325
13.351
【例4】计算：
3
3
3
8
213
1
2
(

1)
0
(121).

【解答】
3
3
3
8

3

27
8

3
(
3
3
3
2
)2
,
2132(31)232,

1
(

1)
0
1
2

2
，12143123 1，

原式
3
2
232
1
2
(231)

2.

【例5】 当
a0
时,
b
a
化成分母不含根式的式子.
【解答】
bab
a

a
2

ab
a
< br>1
a
ab(a0,a
2
a).


【例6】化简的
a
3
(a0)
结果是
(A)aa(B)aa(C)aa(D)aa

22 68
）（

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【解答】a
3
( a)
3
0,a0.
a
3
(a)
3
 (a)
2
(a)

(a)
2
a
 aa.
选(C).
(abab)

【基础训练】
1．计算
25
3
8
的结果是（ ）

（A）
3
（B）
7
（C）
3
（C）
7

2．下列式子中,正确的是（ ）
（A）
3.60.6
（B）
(13)
2
13

（B）
3
5
3
5
（D）
3．下列各式中,正确的是（ ）
326
（A）
164
（B）
(3a)6a

366

（C）
(

3.14)
2
3.14

（D）
(

3.14)1

4．要使
(x1)
0
0
1
2
(x
有意义,则
x
的 取值范围是（ ）
（A）
x1
（B）
x

（C）
x1
且
x
（D）
x1
且
x

5．把
a
1
跟号外的因式移到根号内,得（ ）
a
（A）
a
（B）
a
（C）
a
（D）
a

填空题：
6. 如果
2abb100< br>,那么
a
,
b
22

.
x0
,则
x(x)
2


. 7．如果
x
23
8．计算
(52)(52)
 
.
9．计算
3
8
5
32
4
81
.
10．若
0x1
,则
(x)4(x)4
.
1
x
2
1
x
2
23 68

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【能力提高】
x
2
44x
2
1
1．已知
x、y
为实数,
y
,求
3x4y
的值.
x2

2．已知
x6





2
3．计算
2832(322)(21)
.
x11
,求（1）
x6x1?
（2）
x?







x
2
6x9< br>(x3)
2
0
求
x
的值 4．已知等式
x3







5．已知
x

111
8,
且
x
,试求
x
的值.
xx
x




24 68

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第4讲 分数指数幂

【知识要点】
知识点1 （1）分数指数幂概念.
把指数的取值范围扩大到分数,我们规定：
aa(a0),m
n
n
m
m
n
1
n
a
ma

m
n
(a0),
其中
m,n
为正整数 ,
n1
.在这规定中的
a
与
a

m
n
叫做分数指数幂,
a
是底数.
(2)有理数指数幂概念
整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.
知识点2 运用有理数指数幂的性质计算
（1） 有理数指数幂运算性质：
设
a0,b0,p、q
为 有理数,那么①
aaa
②
(a)a
p
pqpq
pqp q
,a
p
a
q
a
pq


p
a
p
a
p
③
(ab)ab,()
p

bb
p
（2） 利用幂的性质计算.
幂的指数取值范围扩大到有理数后,幂的运算性质仍旧适用.

【学习目标】
1.理解分数指数幂的概念以及会运用指数幂的性质进行计算;
2.理解分数指数幂的意义与表示方式以及它与算术根的内在联系.

【典型例题】
【例1】 把下列方根转化为幂的形式,幂的形式转化为方根形式.
(1)
3
43(2)
4
3(3)
1
5
15
4
(4)6
81(5)
5
7(6)3

2
3
1
4
(7)()
3

5
25 68

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【分析】分数指数幂与方根互化时,方根的 根指数作为分数指数的分母,被开方数的指数作为
分数指数的分子.
【解答】
(1) 43
1
3
(2)3
1
4
(3)15

4
5
(4)81或9或3
1
6
1
3
2
3(5)7
1
5
(6)3

2
3
1
( 7)
3
()
4

5

【例2】 计算：（结果用幂的形式表示）
8
1
(1)()
3
(2)101 0
2
3
1
3
(3)28
1
2
1
2
(4)aaa
1
2
1
3
1
6
(5) (25)

2
5
1
5
10
27
【分析】 运用有理数指数幂的运算性质计算
1
1
【解答】
(1)(
8)
3


3


(
2
3)
3

2
27



3
< br>2121
(2)10
3
10
3
10
3

3
10
1111
(3)2
2
8
2
( 28)
2
16
2
4
1
1111

(4)a
2
a
3
aa
2

1
63

1
6
a
3

3
a
2121< br>(5)(2
5
5
5
)
10
(2
5
)
10
(5
5
)
10
2
4
52
400

【例3】 利用幂的运算性质运算：
(1)5 
3
5(2)
4
82(3)12
3
3

【分析】利用方根形式转化为幂的形式,通过幂的性质来解决.
1
15
【解 答】
(1)5
3
55
2
5
3
5
6

6
5
5

6
3125

111 1315
(2)
4
828
4
2
2
(23
)
4
2
2
2
4
2
2
2
4
1

2
1
1
4
22
4
2
4
2
1
1
1
111
(3)12
3
3(2
2
3)
2
3
3
23< br>2
3
3
23
2

3
1

23
6
2
6
3

【例4】 化简：
ab
ca
x
bc

bc
ab
x
ca

ca
bc
x
ab

【分析】利用分数指数幂化简求值.
【解答】
ab
ca
xbc

bc
ab
x
ca

cabc
x
ab

26 68

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cab

abb
x
ca

bc
ca
x
ab

ca
x
bc
bc1ca1ab1
x
ca< br>
ab
x
ab

bc
x
bc< br>
ca

bccaab
x
(ca)(a b)
x
(ab)(bc)
x
(bc)(ca)
( bc)(bc)(ca)(ca)(ab)(ab)
x
(ca)(ab )(bc)

x
0
1
【例5】已知
3
15a
5
5b
15
3c
,
说明
5abbc3ac 0
成立.
【分析】 引用辅助字母,利用幂的运算性质找出
a,b,c
的关系.
【解答】设
3
15a
5
5b
15
3c
k.

当
abc0
时,等式显然成立.
若
abc0,
则
1
3
15a
kk
15a
,
1
55b
kk
5b
,

1
15
3c
k k
3c
,
111
所以
1535k
15a
 k
5b
k
15a

1
5b

因为
k1
,
所以
1
3c

11
15a

5b
,

两边同乘以
15abc
得

5abbc3ac.

所以
5abbc3ac0.


【基础训练】

1.把
1
3
15
写成幂的形式 .

3
2.把
6
2
写成方根的形式 .
3.下列各式中错误的是
111111
(A)(ab)
n
a
n
b
n
(B)(ab)
n
a
n
b
n
111
1
(C)(a
2
b)
4
a
2
b
4< br>(D)
n
ab(ab)
n
27 68
）（

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1
3
4.设
xy,
则
(yx)
可化为
(A)


(yx)


(C)(xy)
1
3
2
1
6
(B)


(xy)



(D)(xy)
1
2
2
1
3< br>3
2
1
6
1
3
5.如果
a0,
则
(a)(a)
（ ）
(A)0(B)2a(C)2a(D)2a

1
1
6.
a()
2
= .
a
7.计算
(xy)(xy)
.
8.计算：
(
3
a2a)
4
a






9.计算：
aa
3
a






10.计算：
(x3y







1
2

1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
) (x3y)

1
2

1
2
【能力提高】
1.
3
xy
2
x
(x0,y0)
y
.

28 68

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m
mn

1
m
n

2.

(x
mn
)
m








3.计算：
2

(
S
5
2
)282
2
4
(2)
5


2
1
(2)0.5
(31)
0

5






4.化简：
(xy)(yx)










5.解答题：
已知
ab 4,xa3ab,yb3ab,
求
(xy)(xy)
的值.



2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
3
2
3
2
3
1
6
1
3




29 68

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《实数》章节测试
（全卷共三个大题,满分150分,考试时间90分钟）
一、选择题（本大题共6个小题,每小题4分,共24分）
1.下列说法正确的是 （ ）
A．无限小数是无理数 B.带根号的数都是无理数
C．无理数是无限小数 D.无理数是开方开不尽的数
2.－27的立方根与
81
的平方根之和为 （ ）
A.0 B.6 C.0或-6 D.0或6
3.下列式子中,正确的是 （ ）
A．
3
5
3
5
B.
3.60.6
C.
(13)
2
13
D.
366
< br>4.有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应;②不带根号的数一定是有理数;③负数没有
立 方根;④无理数包括正无理数、负无理数和零.其中正确的有 （ ）
A．0个 B.1个 C. 2个 D.3个
5.若式子
x2
3
1x
有意义,则
x得取值范围是 （ ）
A．
x2
B.
x3
C.
2x3
D.以上都不对
6.下列说法正确的有 （ ）
①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根;②64的平方根 是±8,立方根
是±4;③
a
表示
a
的平方根,
3
a
表示
a
的立方根;④
a
一定是负数
A. ①③ B. ①③④ C. ②④ D. ①④

二、填空题（本大题12个小题,每小题4分,共48分）
2
7.
(4)
的算术平方根是 ,
36
的平方根是 .
3
27
=
1
3
8. 比较大小：
3
1.7
32


3
3
;
9
2
2
9. 若
x
2
5
,则
x
;若
x
2
(3)
2
,则
x
;若
(x1)
2
16
,
x

30 68

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10.
3
7
的相反数是 , 绝对值等于
3
的数是
11. 若
20a
, 则
0.2

3
2.141.289
,且
3
x12.89
,则
x
.
12. 如果正方体的体积扩大为原来的27倍,则边长扩大为原来的 倍;若体积扩大为
原来的2n倍,则边长扩大为原来的 倍.
13. 如果a
,
b
都是有理数,且
a2b322
,则
a=
b

14. 已知
x24y100
,则
3
xy

15. 若
1x4
,则化简
(x4)
2
(x1)
2
的结果是
16.若
a
,
b
都是无理数,且
ab2
,则
a
,
b
的值可以 是 .（填一组）
17．若
n
为自然数,那 么
(1)
2n
(1)
2n1
＝ ．
18．
10
在两个连续整数
a
和
b
之间,
a1 0b
,那么
a
,
b
的值分别是 ．

三、解答题（本大题7个小题,共78分）
19.将下列各数的序号填在相应的集合里.（10分）
①
3
512,②

,③3.1415926,④－0.456,⑤3.030030003……（每相 邻两个3之间0的个数
逐渐多1）,⑥0,⑦
5
2
,⑧－
3
9
,⑨
(7)
,⑩
0.1

11
有理数集合：{ ……};
无理数集合：{ ……};
正实数集合：{ ……};
整数集合： { ……};

20.计算（10分）
⑴










31 68
1
2

（
21.414
精确到0.01） ⑵
3
5
3
52333

2

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21.（10分）已 知
2a1
的平方根是
3
,
3ab1
的算术平方根是 4,求
a2b
的平方根.





2009
b
2009
的值是多少？ 22.（10分）已知
a,
b
为实数,且满足
a1(b1)1b0
,则
a







23.（12分） 已知
x
,
y
满足
y
x
2
1616 x
2
9
,求
xy
的平方根.
82x







24.（12分）阅读下面的文字,解答问题.
大家知道
2
是无理数,而无 理数是无限不循环小数,因此
2
的小数部分我们不可能
全部地写出来,于是小明用21
来表示
2
的小数部分,你同意小明的表示方法吗？
事实上,小明 的表示方法是有道理,因为
2
的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,
差就是小数 部分.
请解答：已知：
103xy
,其中
x
是整数,且0y1
,求
xy
的相反数.







32 68

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25.（14分）观察下列各式：
1
111111
 2,23,34,...,
请写下你猜
334455
想的规律,用自然数n(n1)
的代数式表示,并证明你的猜想.

































33 68

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第十四章 三角形

第一讲 三角形的有关概念与性质

【知识要点】
1．三角形的概念：由不在同一直线上的三点顺次联结所组成的图形叫做三角形。
由三角形的概念可知，三角形三边有以下关系：三角形任意两边之和大于第三边。
2. 三角形的三边与三内角是三角形的六要素。
3. 三角形的特殊线段：三角形的高、中线、角平分线。
（1） 三角形的三条高的交点在锐角三角形内、在直角三角形直角顶点、在钝角三角形外；
（2） 三角形的三条中线的交点在三角形内；
（3）三角形的三条角平分线的交点在三角形内。
4. 三角形的分类

锐角三角形（三个内角皆为锐角）

（1） 按角分

直角三角形（一个内角为直角）


钝角三角形（一个内角 为钝角）

不相等）

不等边三角形（三边互

（2）按边 分

角形


底边和腰不等的等腰三
）


等腰三角形（两边相等
）

等边三角形（三边相等

【注 意】 在做三角形分类的题目时，要注意重合的部分，比如等边三角形也属于等腰三角
形和锐角三角形。
5. 三角形的内角和等于180°.
【注意】（1） 直角三角形两锐角互余。
（2） n边形内角和等于（n
－
2）180°.
6.三角形的外角：三角形内角的邻补角。
由5和6我们可以推出:三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和。进而可知，三
角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
7. 三角形的外角和等于360°.
【注意】
n
边形的外角和都等于360°.

【学习目标】
1．理解三角形的概念，理解三角线的边、角、高、中线、角平分线等有关概念以及三角形
34 68

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的分类；
2．理解三角形的构成条件，在解题中牢记要检验两边之和是否大于第三边；
3．熟练使用三角形内角和外角的性质。

【典型例题】
1．判定能否构成三角形

【例1】下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
（A） 6，8，12
（B）8，12，15
（C） 4，8，12
（D）
3511
cm,cm,cm

4812
【分析】利用 “三角形两边之和大于第三边”判定。小技巧：已知最大边的情况下，只需用最
大边与其余两边之和比较 。
【解答】（C）. 较小两边之和＝4+8＝12，最大边＝12，不符合“两边之和大于第三边”，所
以选（C）。

【例2】若

的三边长分别为整数，周长为11，有一边长为4，则这个三 角形的最大边长为.
【分析】利用“三角形两边之和大于第三边”得出最长边可取值的范围，然后取其中的最大值。
【解答】设最长边长为x，则第三边为11－4－x，所以11－4－x + 4 > x，x < 5.5;
x为最长边，所以x > 4且x > 11－4－x，x > 4;
所以4 < x < 5.5，整数x＝5.

【例3】三角形的三边长分别为a
，
b< br>，
c，那么代数式c
2
+2
22
是（ ）
（A） 小于零
（B） 等于零
（C） 大于零
（D）与零的大小关系不能确定
【分析】因式分解后，利用“三角形两边之和大于第三边”判断因式符号。
【解答】c
2
+2
22
＝c
2
-()
2
= ()()，因为两边之和大于第三边，
>0, >0, 所以原式>0，选C

2．内角的计算

【例1】如图，已知

1＝20°，

2＝25°，

A＝35°，求

的度数。
【分析】利用“三角形内角和等于180°”计算。
【解答】
BDC＝

180－BCD－DBC，
A＋1＋2＋BCD＋DBC＝180

BDC＝180－BCD－DBC，A＋1＋2＋BCD＋DBC＝180
所以
BDC＝A＋1＋2＝80


【例2】在不等边三角形，它的最小内角

的取值范围是.
35 68

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【分析】利用内角和定理，并注意到

是最小内角。
【解答】设三内角为< br>
,

,

，且



,

，则
180











3

,

60
，且三角形内角

0
.
所以
0

60
.
【点评】在讨论取值范围是不要忘了内角大于零度，并且不要遗漏“°”.

【例3】

中，如果
A  90，AB  90,AC  90,
那么

是（ ）
（A） 锐角三角形
（B） 直角三角形
（C） 钝角三角形
（D）等腰三角形
【分析】用内角和定理结合提干信息，得到每个内角的取值范围。
【解答】
AB180C  90，所以C  90.AC  90，
同理
。
B  90
根据三角形的分类，三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，选（A）

【例4】已知

中，
BDAC, CEAB
, D、E为垂足， 、交于点H，如图，
BHC＝120
，
求
A
的度数。
【分析】用内角和定理以及“直角三角形两锐角互余”，加上一个量再减去
这个量保持原数量不变。
【解答】
A=180－ABC－ACB
=180－（ABC＋HCB ）－（ACB＋HBC）HCBHBC
1809090180－BHC
=180120＝60.
【点评】此题涉及了4个三角形的内角和关系，处理这样看似 复杂的题目，只要理清关系就
迎刃而解。

3．内角与外角的联系
【例1】

中，
A、B
的外角平分线交于点O，如果
AO B＝60
，求
C
的度数。
【分析】利用内角和定理以及“三角形外角等于其不相邻两内角的和”计算。
【解答】
ABD＋BAE＝BAC＋CABC＋C＝180＋C
.
AOB＋（ABD＋BAE）＝180，ABD＋BAE＝240，C.＝60

【基础训练】
1. 三条线段a
，
b
，
c如能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ）
（A）1：2：4 （B）1：3：4 （C）3：4：7 （D）2：3：4
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2. 已知三角形的三边分别为1，x，5，且x为整数，求x.



3. 对于

，下列命题中不正确的是（ ）
（A） 如果
BC＝A
，那么

是直角三角形
（B） 如果
BC A
，那么

是锐角三角形
（C） 如果
BC A
，那么

是钝角三角形
（D） 如果
A＝B＝C
，那么

是直角三角形
4. 已知

的三个内角满足关系式
BC＝3A
，则此三角形（ ）
（A） 一定有一内角为45°
（B） 一定有一内角为60°
（C） 一定是直角三角形
（D） 一定是钝角三角形
5. 如果以4长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x应在的范围是( )
（A）x>4 （B）x>2 （C）x≥4 （D）x≥2
6. 在△中,∠2∠75°,则∠C等于( )
（A）30° （B）67°30′ （C）105° （D）135°
7. 若三角形两边长分别为6和2,第三边长为偶数,则第三边长为( )
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
8. 一个三角形有条角平分线条中线条高.
9. 三角形两边分别为5和6,则第三边c的范围为.
10. 若等腰三角形两边长分别为3和4,则它的周长为.
11. 在

中,∠∠∠C,则∠.
12. 在

中,
AC25,BA10
,则∠.
13. 在

中,
B40,C60,
B, C
的平分线交于点O,则
BOC
.

【能力提高】
1. 已知a
，
b
，
c是三角形的三边长，那么代数式
a 2abbc
的值是（ ）
（A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D） 不能确定
2. 已知△是等腰三角形
（1）如果＝8，＝16，求之长；
（2）如果＝8，＝12，求之长.






3.
ABC
中，＝，边上 的中线，把
ABC
分成两个三角形，其周长之差为4，如果
ABC
37 68
222

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的周长为16，求此三角形三边之长。



4. 如图,在△中、、都是中线,且交于点H,在图中找出△、△、△的三边、、边上的中线.
A
E
H
D
B

5. 两根木棒的长分别是7和10 ,要选择第三根木棒,将它们钉成一个三角形,第三根木棒的
长有什么限制?说明理由.






6. 一个零件的形状如图,按规定∠A应等于 90°,∠B与∠C应分别是32°和21°,检验工人量
得∠148°,就判断这个零件不合格,试用 三角形有关知识说明理由.
F
22题
C



7. 如图,在△中,∠A:∠:∠3:4:5、分别是边、上的高,并相交于H,求∠的度数.

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39 68

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第二讲 全等三角形

【知识要点】
1．全等三角形的概念：经过平移、翻折、旋转能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
【注意】互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应
角。
2. 两个全等三角形的表示：

≌


【注意】把对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
4. 全等三角形的判定
（1）两边夹一角对应相等：；
（2）两角夹一边对应相等：；
（3）两角一对边对应相等：；
（4）三边对应相等：；

【学习目标】
1. 理解全等形的概念；
2. 理解全等三角形的性质；
3. 熟练使用全等三角形的4条判定法则，并利用全等三角形的性质证明边或者角的关系。

【典型例题】
1．全等三角形的性质

【例1】如图，, , 如果

≌

全等，

＝90°10

＝.

【分析】利用全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。
【解答】

≌

，则

＝

＝90°,
B ECD10
.

2．全等三角形的判定

【例1】如图，已知
BAC＝DAE,ABD＝ACE, ADAE
, 求证：
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ABAC, BDCE


【分析】只要证明

≌

，就可证明
ABAC, BD CE
。已知
ABD＝ACE
,
ADAE
，如果能再找出一对角 相等就可判定全等。由已知
BAC＝DAE
，则
BAC DAC＝DAE DAC
，即
BAD＝CAE

【解答】
ABD＝ACE,BAD＝CAE, ADAE

ABD≌ACE

A.A.S


ABAC, BDCE

【点评】从已知条件中获取足够信息证明两个三角形全等，进而证明对应边相等、 对应角相
等，是重点考察的内容。而利用角和边的等量加减等量其和差相等，也是常用技巧。

【例2】如图，A在上, B在上, , , 与相交于T，求证：平分
COD
.
【分析】只要证明
AOT＝BOT
，就是平分
COD
, 可寻求证明
COT≌DOT
, 为
此要证，这样又要证
C D
，那么可从判定
COB≌DOA
入手。

【解答】
COB＝DOA, OBOA,OCOD

COB≌DOA

S.A.S


C D又ATC＝BTD, ACBD

ATC≌BTD

A.A.S


CTDT又OCOD, OTOT

COT≌DOT

S.S.S


COTDOT

【点评】证明全等三角形并利用其性质和其他信息证明另一对 三角形全等，是一个难点，只
要我们耐心就可以解决。

【例3】 水管沿公路直线 铺设，A、B是公路同侧的两个居民点，为了给这两点供水需在总
水管上选一点P，使自P到A、B所铺 设水管的总长最短，问P应设在总水管上哪一点？
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【分析】自点A向总水管所在直线l引垂线，垂足为D，延长到A', 使'D，这样l就是'的中
垂线，联结A'B交l于P，点P即为所求点。
【解答】在l上取 异于点P的点P
1
，则
1
'P
1'
(中垂线定理）
AP
1
BP
1
=A'P
1
+BP
1
A'BAPPB

【点评】这个取对称点利用中垂线定理的解法叫做“轴对称变换法”， 是解决此类问题的典型
解法，需要体会掌握。

【基础训练】

1. 如图, , 与交于点F，则①

≌

;②

≌

;③F在

A的平分线上.以上结论正确的是

（A）只有① （B）只有② （C）只有①② （D）①②③
2. 下列命题中正确的是（ ）
（A）全等三角形的高相等
（B）全等三角形的中线相等
（C）全等三角形的角平分线相等
（D）全等三角形对应角的平分线相等
3.

是不等边三角形, ,以 D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与

全
等，这样的三角形最多 可以画出
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
4. 两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ）
（A）两角和一边 （B）两边及夹角 （C）三个角 （D）三条边
5. 如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）
（A）一定全等 （B）一定不全等 （C）不一定全等 （D）面积相等
6. 如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所
对的角的关系是（ ）
（A）相等 （B）不相等 （C）互余或相等 （D） 互补或相等
7. 如图，
12，BCEF, AFDC,
求证：∥.



8. 在

中，

60º，

A和

C的平分线相交于点O，求证：.




42 68

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【能力提高】

1. 在

中，>>, 那么在①

C

60º,②

B<60º,③

60º中正确的是（ ）
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③
2. 如图，已知，直线、相交于C，

B与

C互补，求证：.


3. 如图,设

在边、上的高分别为、，在上截取，在直线上截取，求证：, ⊥.



4.

为等腰直角三角形，

90º，D为 的中点，P是线段上任意一点，⊥，⊥, E、F是垂
足，求证：，且⊥.






5. 如图
ABD
和
ACE
均为等边三角形，求证：。

E
D
1
3
2
A
BC

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6. 如图∠＝90°＝，D为上一点分别过作的垂线，垂足分别为,求证：＝－.


7. 如图，△中，E、F分别是、上的点．① 平分∠，② ⊥，⊥，③ ⊥．以此三个中的两
个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②  ③，①③  ②，②③  ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．








8. 如图，已知
ABC
为等边三角形，分别在边上，且DEF
也是等边三角形．
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．
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A
E
F
B
D
C

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第三讲 等腰三角形

【知识要点】
1．等腰三角形的概念：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
【注意】相等的两边称为腰；另一边称为底边。

2. 等腰三角形的构成条件：2倍腰长大于底边长。
【注意】由三角形两边之和大于第三边推得。做题时必 须用此条件验证计算所得等腰三角形
是否成立。

3. 等腰三角形的性质：等腰对等角。
【注意】即腰所对的两个角相等。

4． 等腰三角形的判定：等角对等腰。
5. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形。
6． 等边三角形的性质：三个内角相等，且为60°.
7． 等边三角形的判定：
（1）一般三角形三边相等；
（2）一般三角形两内角等于60°；
（3）等腰三角形底边与腰相等；
（4）等腰三角形有一个内角等于60°.

【学习目标】
1. 理解等腰三角形的概念和构成条件；
2. 熟练掌握等腰三角形的性质和判定方法；
3. 理解等边三角形的概念，理解等边三角形是特殊的等腰三角形；
4. 熟练掌握等边三角形的性质和4种判定方法。

【典型例题】
1．等腰三角形的性质

【例1】如图，中，D、E两点分别在、上，则，。若40， ：3：4，则( )


A
(A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40
【分析】两次利用等腰三角形的两腰相等和三角形的内角和为180
D
【解答】B。由，得到70和110，：3：4可以得到40，所以30
【点评】从已知条件中获取足够信息证明得到其他的两个内角，进而得到
B C
所求角。
E

【例2】如图，在△中，12，∠80°，是∠的平分线，∥.
(1)求∠的度数；
A
(2)求的长.
【分析】（1）先求出其他的两个内角（2）利用等腰三角形三线合一的性质
46 68
E
D
B C

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【解答】（1）∵∥，
1
∴∠＝∠＝
ABC40

2
（2）∵＝， 是∠的平分线，∴D为的中点
∵∥，∴E为的中点，
1
∴＝
AB6cm

2
【点评】利用等腰三角形三线合一的性质，是解决此类问题的典型解法，需要体会掌握。

2．等腰三角形的判定

【例1】如图，已知是∠的角平分线，∥交于E，求证：△是等腰三角形．
【解答】∵是∠的角平分线 ∴∠＝∠
∵∥ ∴∠＝∠
∴∠＝∠
∴＝
∴△是等腰三角形
【点评】通过已知条件得到两个内角相等，从而判定等腰三角形。

3．等边三角形的性质

【例1】下列命题不正确的是（ ）
（A）等边三角形的角不能是钝角
（B）等边三角形不能是直角三角形
（C）若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形
（D）两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形
【分析】根据题目的说法进行举例。
【解答】（B）。（A）等边三角形的角都为60°；（ B）同（A）解答；（C）等边三角形的性质
之一；（D）等边三角形可以分解得到两个全等的且有一个 锐角为30°的直角三角形。
【点评】熟悉三角形的性质是解题的关键

【例2】已知△和△都是等边三角形，求证：.
【分析】要证
，
需证△和△,利用△和△都是等边三角形可证
【解答】证明：∵△是等边三角形，
∴，∠60°
又∵△是等边三角形，
∴，∠60°，
∴∠∠
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
ABBC

∴在△和△中，

ABEDBE


BEBD

∴△≌△（），∴
【点评】从结果反推到已知条件即可。

4．等边三角形的判定

【例1】 如图，C为线段上一点，△，△是等边三角形，与交于点M，与交于点N，交于点
O．
求证：（1）＝
D
E
O
M
A
C
N
B
（2）∠＝120°
（3）△是等边三角形
【分析】（1）根据等 边三角形的性质可用证明△≌△，则
得＝同时可得∠＝∠；（2）因此可由三角形的一个外角等
于和它不相邻的两个内角之和得∠＝∠＋∠＝∠＋∠＋∠＝∠＋∠＋∠＝∠＋∠＝60°＋
60°＝12 0°；（3）易知∠＝60°，故只需证△≌△即可.
【解答】
证明：(1)ACDC,ECBC,ACBDCE

ACE≌DCB

AEBD

(2)AOB＝AEB＋EBO

＝AEC＋CEB＋EBO

＝OBC＋CEB＋EBO

＝BEC＋CBE

＝60＋60＝120

(3)CEA＝CBD,CEBC,ECB＝ECD60

MCE≌NCB

MCNC

DCE＝60

CMN是等边三角形

【点评】利用等边三角形的性质获取等量关系。

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【基础训练】
1. 如图，在等腰三角形
ABC
中，
ABC120
，点
P
是底边
AC
上一个动点，
M，N
分别是
AB，BC的中点，若
PMPN
的最小值为2，则
△ABC
的周长是（ ）
B
M N
A
（A）
2
（B）
23
（C）
4
（D）
423

P
C
2. 在
△ABC
中，
ABAC5
，
BC6
，点
M
为
BC
的中点，
MNAC
于点
N
，
则
MN
等于（ ）
（A）
6

5
（B）
9

5
（C）
12

5
（D）
16

5
3. 某等腰三角形的两条边长分别为3和6，则它的周长为（ ）
（A）9 （B）12 （C）15 （D）12或15
4. 如图，C为线段上一动 点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与
交于点O，与交于点P，与交于点Q， 连结．以下五个结论：
① ；
② ∥；
③ ；
④ ；
⑤ ∠60°．
恒成立的有（把你认为正确的序号都填上）．
5. 已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为 度.
6. 如图是一个等边三角形 木框，甲虫P在边框上（端点A、C除外），设甲虫P到另外两
边距离之和为d，等边三角形的高为h， 则d与h的大小关系是（ ）
（A）
dh
（B）
dh

（C）
dh
（D）无法确定

P
B
C
A
【能力提高】
1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 ，则其
腰上的高为 .

2. 如图，以等腰三角形的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形
1
，再以等 腰直角三角
形
1
的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A
11
，……，如此作下去，若＝＝1，则第n
个等腰直角三角形的面积＝。
49 68

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B
2
A
1
A
O
B
B
1

3. 如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其
剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．
35°





4. 如图，，
BAC120
，的垂直平分线交于点D，那么
ADC
。



0

5. 已知:等边△中，是边上的高，E是延长线上一点，且，求∠ E的度数



6. 如图，等边△中，D是上的动点，以为一边，向上作等边△，连结．求证：．
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AE
D
B
C

7. 已知，如图1，
ABC< br>是等边三角形，过边上的点D作

，交于点G，在的廷长线上取
点E，使＝，连接 、．
（1）求证：
AGE
≌
DAC
．
（2）过点E 作，交于点F，请你连接，并判断
AEF
是怎样的三角形，试证明你的结论．


8. 如图，P是∠的角平分线上的一点，⊥于点C，⊥于点D，写出图中一对相等的线段 （只
需写出一对即可） .


9. 如图，在△中，，是边上 的高，点E、F是的三等分点，若△的面积为12
2
，
则图中阴影部分的面积是
2
.
10. 如图，点O是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角 形和
等边三角形，连结和，相交于点E，连结．求∠的大小；

B

C
A
E
F

C
D
B
D
O

A
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《三角形》章节测试
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间90分钟）
一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分）
1. 在下列长度的四根木棒中，能与4、9长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）．
（A）4 （B）5 （C）9 （D）13
2. 在下图中，正确画出边上高的是（ ）．
B
B
E
B
B
A
E
C
A
C
E
A
C
E
A
C

（A） （B） （C） （D）
3. 如图，⊥，⊥，垂足分别为D、E，且＝，则△与△全等
B
的理由是（ ）．
D
（A） （B）
（C） （D）
A
P
4. 如果在△中，∠A＝70°－∠B，则∠C等于（ ）．
（A）35° （B）70° （C）110° （D）140°
E
C
5. 下列说法错误的是（ ）．
（A）三角形三条中线交于一点 （B）三角形三条角平分线交于一点
（C）三角形三条高交于一点 （D）三角形中线、角平分线、高都是线段
6. 在下列条件中，不能说明△≌△A’B’C的是（ ）．
（A）∠A＝∠A’，∠C＝∠C’，＝A’C’
（B）∠A＝∠A’，＝A’B’，＝B’C’
（C）∠B＝∠B’，∠C＝∠C’，＝A’B’
（D）＝A’B’， ＝B’C，＝A’C’
7. 在下列说法中，正确的有（ ）．
①三角对应相等的两个三角形全等
②三边对应相等的两个三角形全等
③两角、一边对应相等的两个三角形全等
④两边、一角对应相等的两个三角形全等
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
8. 下列说法正确的是（ ）
（A）两个周长相等的长方形全等 （B）两个周长相等的三角形全等
（C）两个面积相等的长方形全等 （D）两个周长相等的圆全等
9. 判定两个三角形全等，给出如下四组条件：
①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；
③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；
其中能判定这两个三角形全等的条件是（ ）
（A）①和② （B）①和④ （C）②和③ （D）③和④
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10. 三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ）
（A） 1 个 （B） 2 个 （C） 3个 （D）不确定
11. 适合条件∠A =∠B =
1
∠C的三角形一定是（ ）
3
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形（C）直角三角形（D）任意三角形
12. 有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形（ ）
（A）必定全等（B）必定不全等（C）不一定全等（D）以上都不对
13. 面积相等的两个三角形（ ）
（A）必定全等（B）必定不全等（C）不一定全等（D）以上都不对
14. 如图，∥，∥，与相交于点O，则图中全等的三角形有（ ）．
（A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对

二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
15.
16.
17.
18.
B
A
D
O
C
已知一个三角形的三条边长为2、7、x，则x 的取值范围是 。
等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是 。
已知三角形的两边长分别是2和5,第三边长是奇数，则第三边的长是 。
如图，是△斜边上的高，与∠A相等的角是 ，理由是 。

19. 如图，是△的中线，△的面积为100
2
，则△的面积是
2
。

20. 如图，在△中，，是两条高，若∠70°，∠30°，则∠的度数是 ，∠的度数是 。

21. 如图，在△中，两条角平分线和相交于点O，若∠116°，那么∠A的度数是 。
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22. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理
是 。 ．
23. 直角三角形中，两锐角之比为1：2，则两锐角的度数分别为 。
24. 完成下面的推理：如图，
（1）在△与△A’B’C’中，
A

∴△≌△A’B’C’()．
（2）在△与△A’B’C’中，

AB A'B',


________,

ACA'C',

B
A'
C

BB'


___ ___


ABA'B'

∴△≌△A’B’C’()．

三、解答题（本大题共6个小题，共78分）

25. 如图，∠∠，，，则△≌△，请说明理由。

B'
C'

26. 如图，，；试证明∥。


27. 如图，E是上一点。若，，则吗？请说明理由。
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28. 如图，△≌△，∠C＝100°，∠＝30°，求∠的度数.

C


A
B


D



29. 如图，已知A、B、C、D在同一直线上， ，∥，且 = ，求证：⊿≌⊿




30. 已知：如图，，互相平分于点O，求证：△≌△





第十五章 平面直角坐标系

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第一节 平面直角坐标系
【知识要点】

知识点1 平面直角坐标系
在直角坐 标平面
xOy
上，任意一点
P
，过点
P
分别作
x< br>、
y
轴的垂线，垂足分别为
M
、
N
，

点
M
在
x
轴上对应的实数
a
，
叫做点P
的横坐标；点
N
在
y
轴上对应的实数
b

叫做点
P
的纵坐标，点
P
的坐标记作
(a,b)
. 从此，可知点
M
的直角坐标为
(a,0)
，
点
N
的直角坐标为
(0,b)
，
知识点2 象限 < br>x
、
y
轴将直角坐标平面划分为四部分：
x
轴的正半轴和y
轴的正半轴所形成的角的内部，
叫做第一象限；
x
轴的负半轴和
y
轴的正半轴所形成的角的内部，叫做第二象限；
x
轴的负
半轴和
y
轴的负半轴所形成的角的内部，叫做第三象限；
x
轴的正半轴和
y
轴的负半轴所
形成的角的内部，叫做第四象限。从此，第一象限内的点
(x,y),x0,y 
；第二象限内
的点
(x,y),x0,y
；第三象限内的点
(x,y),x0,y
；第四象限内的点
(x,y),x0,y
。

y


第二象限 第一象限
P(a,b)

yb

xa

y

x

O

x

第三象限 第四象限

图15-7 图15-8
知识点 3 与坐标平行的直线方程
过点
P(a,b)
与
x< br>轴平行的直线上的一切点的坐标
(x,y)
都满足方程：
yb
；过点
P(a,b)
与
y
轴平行的直线上的一切点的坐标
(x,y)
都满足方程：
xa
。
知识点4 有向线段的数量
设
A、B< br>的直线坐标分别为
A(x
1
,y
1
)、B(x
2,y
2
)
，分别过
A、B
引
x
轴的垂线，垂足 分别满
足
M
A
(x
1
,0)、M
B
(x< br>2
,0)
；引
y
轴的垂线，垂足分别为
N
A
(0,y
1
)、N
B
(0,y
2
)
，则：
M
A
M
B
x
2
x
1
,N
A
N
B
y
2
y
1

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【学习目标】
1.平面直角坐标系及有关概念，根据坐标确定点和由点确定坐标.
2.坐标平面内特殊位置的点的坐标特征.

【典型例题】

1.求点的坐标
【
例1
】
将正方形的一个顶点放在直角平面的原点上，过此顶点的两条边分别在< br>x、y
轴上，
如图15-12所示，若正方形的边长为
a
，试写出各顶点的坐标.
【解答
】
O(0,0)、A(a,0)、B(a,a)、C(0,a)
。
【说明】 如果把正方形的中心放在直角坐标平面的原点
O
上，正方形的边长分别与坐标
轴平行，如图15-13所示，正方形边长为
a
，则四顶点的坐标分别为
A(,)< br>、
aa
22
aaaaaa
B(,)
、
C(,)
、
D(,)

y

222222

y

B

A


C

B

O

x



C

D

O

A

x

图15-12 图15-13

2.象限的确定
【例2】 已知点
P
(
x
，1)在第二象限，则点
Q
(2，23)在第象限．
【解答】 因为点
P
(
x
，1)在第二 象限，所以
x
＜0且1＞0，因此
2＞0且23=2(1)+1＞0．从而知
Q
(2，23)在第一象限．
3.对称点坐标的求法
【例3】设
P
(m，2)是坐标平面内某一象限的整点(横纵 坐标皆为整数的点)，已知点
P
到
x
轴的距离与它到
y
轴的 距离之差为22，求点
P
关于
y
轴对称的点的坐标．
【解答】根据题意知
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222

当
m
＞0时，(1)式变为222，得0与
m
＞0矛盾，无解． < br>当
m
＜-2时，(1)式变为2-()=22得2与
m
＜-2矛盾，无 解．
当-2＜
m
＜0时(1)式变为2-()=22，即22=22成立．因为m
为整数得1．
所以
P
(-1，1)关于
y
轴对称的 点的坐标为
Q
(1，1)．
【基础训练】
1． 在平面直角坐标系中，点P所对应的有序实数对（），叫做点P的,记作P（），
其中a叫做叫做,原点O的坐标是.
2． x轴上的点的坐标的特点是 ，y轴上的点的坐标的特点
是 ；那么点M（a，0）在 轴上.
3． 直线a平行于x轴，且过点（-2，3）和（5，y），则 .
4． 用1，2，3可以组成有序数对对.
5． 若点M（2，23）是x轴上的点，则a的值是 .
6.若P（x，y）是第四象限内的点，且
x2,y3
，则点P的坐标是 .
7.平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是 ( )
A.横坐标相等 B.纵坐标相等
C.横坐标的绝对值相等 D.纵坐标的绝对值相等
8.若点P（a，b）在第三象限，则点P
1
（－a，－b）在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.如果点A（m，n）的坐标满足
mn＝
0，则点A在 （ ）
A.原点上 B.坐标轴上 轴上 轴上
10.若
a5,b4
，且点M（a，b）在第二象限，则点M的坐标是（ ）
A、（5，4） B、（－5，4） C、（－5，－4） D、（5，－4）
11.如果点P（x，5）在第二象限，则x的取值范围是（ ）
<0 >0 ≤0 ≥0
12.若点P（）的坐标满足0(x≠y)，则点P在 （ ）
A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上
13.已知点P（），＞0＋b ＜0,则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14.一个点的横、纵坐标都是整数，并且他们的乘积为6，满足条件的点共有（ ）
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A．2 个 B．4 个 C．8 个 D．10 个
【能力提高】
1. 在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，2）在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐
标？










2.如图，在所给的坐标系中描出下列各点的位置
A（3，0），B（0，3），C（0，－1），
D（1，－1），E（2，－2），F（1，0）
G（2，2），H（1，1），I（0，1）















－3














3

2

1
y








x








－2
－1
O

－1

1
2








3











－2

－3


第二节

直角坐标平面内的运动

【知识要点】
知识点1 点沿坐标轴方向的平移
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如果点
M(x,y)
沿着
x
或
y
轴平行方向平移
m(m
个单位，那么向右平移 所对应的点的
坐标为
(xm,y)
；向左平移所对应的点的坐标为
(xm ,y)
；向上平移所对应的点的坐标
为
(x,ym)
；向下平移所对应的点 的坐标为
(x,ym)
.
知识点2 点关于坐标轴、原定的对称变换
在 直角坐标平面内，与点
M(x,y)
关于
x
轴对称点的坐标为
(x, y)
；与点
M(x,y)
关于
y
轴对称点的坐标为
(x ,y)
；与点
M(x,y)
关于原定对称点的坐标为
(x,y)
.
知识点3 点的简单旋转变换
点
P(x,y)
绕原点
O按逆时针方向旋转
90
到达点
Q
，则
Q
(y,x )

知识点4 坐标轴上两点间的距离
从知识点4有
M
AM
B
x
2
x
1
,N
A
N
B
y
2
y
1



y

y


N
B

B(x
2
,y
2
)

B(x
2
,y
2
)

A(x
1
,y
1
)

N
A

M(x,y)


M
A

O

M
B

x

A(x
1
,y
1
)

O

x



图15-9 图15-10
知识点5 中点坐标
设
A、B
的直角坐标分别为
A (x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，
M(x,y)
是
AB
的中点，则
x
1
x
2

2
yy
2

y
1

2

x

【典例例题】

1.根据点的坐标求图形面积

【
例1
】
已知如图15-19ABC
的三顶点的坐标分别为
A(0,3)
、
B(1,0)
、
C(2,1)
，求
ABC
的面积.
【
解答
】
过点
C
作
x
轴的垂线，垂足为
D(2,0)
。
60 68

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S
ABC
S
AOB
S
梯形OACD
S< br>BCD

111
13(21)2(21)1

222
33

44
（面积单位）。
22




y


A(0,3)



C




B



2.根据图形的变换求点的坐标

【
例2
】
将例1中的
ABC
先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，达到
ABC
，
求
ABC
的坐标.
【
解答
】

ABC
的坐标分别为
A(1,5)
、
B(0,2)
、
C(3,3)
，平移变换是全等变换，
ABCABC

【
例3
】
已知
ABC
的三顶点分别为
A(a ,0)
、
B(a,0)
、
C(b,c)
，将
BC
绕
B
按顺时 针
旋转
90
，达到
BC
1
， 求
C
1
的直角坐标.

y

C(b,c)



【
解答
】
如图15-20，分别过
C
与
C
1
作
C
1


x
轴的垂线，垂足为
D
、
E
，
O

D

E

x

则
BCBC
1

A(a,0)

B(a,0)


C
1
BE90CBDBCD
， 图15-20

BDCBEC
1
90
,
B CDEBC
1
(A.A.S)
,从而，有
BEDCc
，
61 68

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EC
1
DBab
，

点
C
1
的坐标为
(ac,ab)

【
说明
】
这仍是简单的旋转，解决的防护还是与全等三角形相结合的方法.

【
例4
】
已知如图15-21
ABC
三顶点 的坐标分别为
A(a
1
,b
1
)
、
B(a
2
,b
2
)
、
C(a
3
,b
3
)
，
以
x
轴为对称轴，将此三角形最对称变换得
ABC
,求
A
、
B
、
C
的坐标.
【
解答
】

Aa
1
,b
1
)
、
B(a
2
,b
2
)
、
C(a3
,b
3
)
，显然是全等变换

y

B


C


A





A


C



x

B
【基础训练】

1.点A（－3，5）在第象限，到x轴的距离为，到y轴的距离为.
关于原点的对称点坐标为，关于y轴的对称点坐标为.
2.已知x轴上点P到y 轴的距离是3，则点P坐标是.
3.一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位 长度，再向下爬2个单位
长度后，它所在位置的坐标是.
4.已知长方形中，5，8，并且∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为.
5.已知点P的坐标（2，36），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标
是 .
6.将点P（-3，2）沿x轴的负方向平移3个单位长度，得到点Q的坐标是.
在将Q沿y轴正方向平移5个单位长度，得到点R的坐标是.
7.点P的横坐标是-3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（ ）
A. （5，-3）或（-5，-3） B. （-3，5）或（-3，-5）
C. （-3，5） D. （-3，-5）
8.三角形中，A（-1，0），B（5，0），C（2，5），则三角形的面积为（ ）
A. 30 B. 15 C. 20 D. 10
9.在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形
62 68

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相比（ ）
A. 向右平移了3个单位长度 B. 向左平移了3个单位长度
C. 向上平移了3个单位长度 D. 向下平移了3个单位长度
10.点P位于x轴下方，y轴左 侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么
点P的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（－2，－4） C．（－4，－2） D．（2，4）
11.如果点M到x轴和y轴的距离相等，则点M横、纵坐标的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．相等或互为相反数
12.已知点A（2，－3），线段与坐标轴没有交点，则点B的坐标可能是 （ ）
A．（－1，－2） B．（ 3，－2） C．（1，2） D．（－2，3）
13.点A（0，－3），以A为圆心，5为半径画圆交y轴负半轴的坐标是 （ ）
A．（8，0） B．（ 0，－8） C．（0，8） D．（－8，0）
14.一个正方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（－2，－3），（－2，1），（2，1），则
第四个顶点的坐标为（ ）
A.（2，2） B.（3，2） C.（2，－3） D.（2，3）

【能力提高】
1.已知四边形各顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0）
（1）请建立平面直角坐标系，并画出四边形.
（2）求四边形的面积.






2.在直角坐标系中，画出三角形，使A、B两 点的坐标分别为A（-4，-2），B（-6，-2）试
求出三角形的面积.





63 68

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3.如图，线段的端点坐标为A（2，-1 ），B（3，1）。试画出向左平移4个单位长度的图形，
写出A、B对应点C、D的坐标，并判断A、 B、C、D四点组成的四边形的形状.（不必说明理
由）



B



A



3
2
1
-4-22
-1
-2
-3
4











平面直角坐标系单元测试
(时间100分钟，满分150分)


一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 若α>0, 则点 P(-α,2) 应在 ( ).
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2．己知点 A(2,0),点B(-12,0),点C(0,1), 以A、B、C三点为顶点画平行四边形,则第四
个顶点不可能在第( )象限 .
A.一 B.二 C.三 D.四
3. 若54,且点M()在第二象限,则点M的坐标是( )
A.(5,4) B.(-5,4) C.(-54) D.(54)
4.若点A（）,点B（）表示同一点, 则这一点一定在（ ）
A.第二、四象限的角平分线上 B.第一、三象限的角平分线上
C.平行于X轴的直线上 D.平行于Y轴的直线上
5.已知坐标平面内的三个点A（5，4），B（2，4），C（4，2），则⊿的面积为（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
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6.点p（），＞0，a＋b＜0,则点p在（ ）
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7.已知点P(-1，3), 则P到y轴的距离为 。
8.平面直角坐标系中
ABC
三个顶点的横坐标保持不变, 纵坐标都减去了3，则得到的新三
角形与原三角形相比向 平移了 个单位。
9.已知点A(3,2)，平行于x轴且4，则点B坐标为 。
10.在直角坐标系中为坐标原点,已知A(1,1),在x轴上确定点P, 使
AOP
为等腰三角形 ,
则符合条件的点P的个数共有 个。
11.点P(-3,5) 先向右平移 2 个单位长度 , 再向下平移 2 个单位长度后的坐标
是 。
12.平面直角坐标系中,点A是y轴上一点,若它的坐标为(α,α+1),另一点B的坐标为
(α+3,α-5), 则点B的坐标是 。
13.若点P()在第四象限，则点Q(1)在 。
14. 已知平面直角坐标系中,
ABC
的三个顶点坐标分别是(-2,0)，B(1,0)，C(- 32),则
ABC
的面积为 。
15. 若20,则点P()和点Q(222)关于 对称。
16.已知点M
< br>a3,4a

在
y
轴上，则点M的坐标为 。
17.若点P到
x
轴的距离为2，到
y
轴的距离为3，则点P的坐标 为 。
18. 根据指令
s,A

s0,0
< br>A360


，机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针
放置角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，现在机器人在平面直角坐标系的原点处，
且面对y轴 的负方向，为使其移动到点(-3,3)，应下的指令是 。

三．解答题：（本大题共七题，满分78分）
19.（本题满分为10分）
在平面直角坐标系内，已知点（1+22)在第二，四象限的角平分线上，
求a的值及点的坐标。






65 68

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20.（本题满分10分）
（1）在平面直角坐标系中画出下列各点：
A（-2，0）B（4，0）C（3，2）D（0，2）
（2）顺次连接，计算四边形的面积。






21.（本题满分10分）
已知点A(-5,0)、B(3,0)
(1) 在y轴上找一点C，使之满足三角形的面积等于16，求点C的坐标。



(2) 在坐标平面上找一点C，能满足三角形的面积等于16的点C有多少个?这些点有什么规
律？



22.（本题满分10分）
四边形各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。
（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?
（2）如果把原来各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？















23.（本题满分10分）
66 68

沪教版初一下数学详细讲义详细版
王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩， 回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景
区地图，如图所示。可是她忘记了在图中标出原点和x 轴、y轴。只知道游乐园D的坐标为
（2，－2），你能帮她求出其他各景点的坐标？
A
音乐台
B
湖心亭
E
牡丹园











24.（本题满分12分）
图中标明了李明同学家附近的一些地方。
望春亭< br>C
F
(2,-2)
D
游乐园
（1）根据图中所建立的平面直角 坐标系，写出学校，邮局的坐标。
（2）某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿着（－2, －1）、（－1,－2）、（1,－2）、（2,－1）、
（1,－1）、（1,3）、（－1,0）、（0,－1）的路线转了一下，写出他路上经过的地方。
（3）连接他在（2）中经过的地点，你能得到什么图形？

y
3
学校
2
1
-2-1
游乐场
李明家
商店
o
1 2
3
4
x
-1
邮局水果店汽车站
-2
公园
图5











25.（本题满分14分）
如图 在直角坐标系中第一次将△变换成△
1
B
1
，第二次又变换△
2
B
2
第三次变 换成
△
3
B
3
，已知：A（1，3）A
1
（-2 ，-3）A
2
（4，3）A
3
（-8，-3）；B（2，0）B
1< br>（-4，0）
B
2
（8，0）B
3
（-16，0）
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（B） 观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律变换成
△0A
4
B
4
则点A
4
的坐标为，点B
4
的坐标 为。
（C） 若按第（1题）中找到的规律将△进行了n次变换，得到的△推测点坐标为，点
坐标为。







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