入伏时间-中国新版护照

【无理数】
√2=1.414 √3=1.732 √5=2.236 √7=2.645 （熟记）
1.
定义：无限 不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”
这两个条件。
2.
常见无理数的几种类型：
（1）特殊意义的数，如：圆周率

以及含有
的一些数，如：2-

，3

等；
（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1
之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的 和差 结果都是无理数。如：2-

是
无理数
（4）无理数 乘除以 一个不 为0的有理数结果是无理数。如2

,
（5）开方开不尽的数，如:
2,5 ,
3
9
等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无
理数，如：
9< br>等；无理数也不一定带根号，如：

）
3.有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的 有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则
不能写成分数形式。 例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③
57
、④π、⑤
2.25
、⑥

2
、
3
⑦0.3……（相邻两个3之间 0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿
＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）
（2 ）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-

,
4
,
3
2
其中无理数有 ( )个
拓展中考在线：
1.下列各数中：－1,
37
5
,3.14,－π,3,0,2,, ,－0 .2020020002……(相邻两个2之间0
22
2
的个数逐次加1).其中，是 有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在
上面的有 理数中，分数有____________，整数有______________.
2.x=8，则 x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）
3.面积为 3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数．（填“是”
或“ 不是”）
4.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米（精确到0.01）.
5.下列数中是无理数的是（ ）.
A.0.12
23



2
B.

C．0
2
D．
22

7

6.下列说法中正确的是（ ）.
A.不循环小数是无理数 B.分数不是有理数 C.有理数都是有限小数 D.3.1415926是有理数
7.下列语句正确的是（ ）.
A.3.78788788878888是无理数 B.无理数分正无理数、零、负无理数
C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数
8.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=
3
，BC=2，则AB为（ ）.
2
D.不能确定
D.不能确定
A.整数 B.分数 C.无理数
A.小数
9.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）.
B.分数 C.无理数
10.下列说法中，正确的是（ ）.
A.数轴上的点表示的都是有理数 B.无理数不能比较大小
C.无理数没有倒数及相反数 D.实数与数轴上的点是一一对应的
11.在
2< br>
0
，
3
8
,0,
9
,0.010010 001……，

，－0.333…，
5
， 3.1415，
2
2.010101…(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ）.
A.1个 B.2个 C .3个 D.4个
12.下列说法正确的是（ ）.
A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数 D.
13.下列说法错误的是 ( ).
A.无理数的相反数还是无理数 B.无限小数都是无理数
C.正数、负数统称有理数 D.实数与数轴上的点一一对应
14. 下列说法中：1、无理数就是开方开不尽的数；2、无理数是无限小数；3、无理数包括正
无理数、零、 负无理数；4、无理数可以用数轴上的点来表示． 共有（ ）个是正确
的． A.2 B.3 C.4 D.1
15.下列各数中，不是无理数的是（ ）.
A.
7
B.0.5 C.2

D. 0.151151115…
16.下列说法正确的是（ ）.
A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限不循环小数
C.无限小数是无理数 D.带根号的数都是无理数
17.在实数：3.14159，

，π，
，1.010010001…，

是无理数
3
中，无理数的（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B.π C.


D.|﹣2| 18.下列实数中，无理数是（ ）. A.﹣

19.下列实数中是无理数的是( ). A.
4
B.
38
C.

0
D.
2

20.边长为4的正方形的对角线的长是 （ ）. A.整数 B.分数 C.有理数 D.
不是有理数
21.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数
2
；②任何一个无理数都能用数轴上的点
表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限 个，无理数有有限个.其中正确的结
论是( ).
A.①② B.②③ C.③④ D.②③④

【算术平方根】：
1.
定义：如果一个正 数x的平方等于a，即
x
2
a
，那么，这个正数x就叫做a的算术
平方根，记为：“
a
”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如3=9，那么92
的算术平方根是3，即
93
。
特别规地，0的算术平方根是0，即
00
，负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性：（1）若
a
有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平
方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根 的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同
构成了平方根。因此，算术平方根只有 一个值，并且是非负数，它只表示为：
a
；而平
方根具有两个互为相反数的值，表示为 ：

例：（1）下列说法正确的是 （ ）
A．1的立方根是
1
； B．
42
；（C）、
81
的平方根是
3
；（ D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A、
819
B、
3.14



3.14
C、
2793
D、
53
2
（3）
(3)
的算术平方根是 。（4）若
a
。
2

xx
有意义，则
x1
___________。
（5）已 知△ABC的三边分别是
a,b,c,
且
a,b
满足
a3(b 4)
2
0
，求c的取值范
围。


（6）（提高题）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的值.


平方根：

1.定义：如果一个数x的平方等于a，即
x a
，那么这个数x就叫做a的平方根；，
我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：
xa(a0)

2.性质： （1）一个正数有两个平方根，且它们 相等或 互为相反数；
（2）0只有一个平方根，它是0本身；
（3）负数没有平方根
例（1）若
x
的平方根是±2，则x= ；
16
的平方根是
（2）当x 时，
3－2x
有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
22
3.
(a)(a0)与a的性质

2
2
（1）
（a)
2
a(a0)如：7）7

2
（2）< br>a|a|
中，a可以取任意实数。如
5
2
|5|5

2
（-3）|-3|3

例：1.求下列各式的值
2
（-
（1）
7
2
（2）
（-7）
（3）
2
49）

2.已知
（a1)
2
a1
，那么a的取值范围是 。3.已知2＜x＜3,化简
（2-x)
2
|x3|
。
【立方根】
1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x=a,那么这个数x就叫做 a的立方
根（也叫做三次方根）记为
3
a
，读作，3次根号a。如2=8，则 2是8的立方根，0的立
3
3
方根是0。

2.性质：正数的立方根 的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身
的数有0,1，-1.
例：
（1）64的立方根是
（2）若
3
a2.89,
3
ab28.9
，则b等于


3
（3）下列说法中：①
3
都是27的立方根，②
3
yy
，③
64
的立方根是2，
④
3

8

 4
。其中正确的有 （ ）
2
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个


平方根与立方根练习题

一、填空题
1．如果
x9
，那么
x
＝________；如果
x9
，那么
x
_ _______；
2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；
3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．
4. 若
x
3
2
x,则x
，若
x
2
x,则x
。
5．
81< br>的平方根是_______，
4
的算术平方根是_________，
10
2
的算术平方根是 ；
6．当
m_____ _
时，
3m
有意义；当
m______
时，
3
m 3
有意义；
7．若一个正数的平方根是
2a1
和
a2，则
a____
，这个正数是 ；
8．
a12< br>的最小值是________，此时
a
的取值是________．
2
9.若
x1|y2|0
，则x+y=； 10．若
x64
，则
3
x
＝＿＿＿＿.
11．立方根是－8的数是＿＿＿，
64
的立方根是＿＿＿＿。
12．如果x、y满足
xy|x2|
=0，则x=，y=＿＿＿；
13、如果a的算术平方根和算术立方根相等，则a等于 ；
14.若x的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若
3
x
=1，则x=＿＿＿
二、选择题
1. 若
xa
，则（ ）
A.
x0
B.
x0
C.
a0
D.
a0

2
2．
(3)
的值是（ ）． A．
3
B．3 C．
9
D．9
2
3．设
x
、
y
为实数，且
y45 xx5
，则
xy
的值是（ ）
A、1 B、9 C、4 D、5
4．如果
3x5
有意义，则
x
可以取的最小整数为（ ）．A．0 B．1 C．2 D．3
5．一个等腰三角形的两边长分别为
52
和
23
，则这个三角形的周长是（ ）
A、
10223
B、
5243
C、
10223
或
5243
D、无法确定
6. 若
x5
能开偶次方，则
x
的取值范围是（ ）
A．
x0
B.
x5
C.
x5
D.
x5

7. 若
n
为正整数,则
2n1
1
等于（ ）
A．-1 B.1 C.±1 D.
2n1

8. 若正数
a
的算术平方根比它本身大，则（ ）
A.
0a1
B.
a0
C.
a1
D.
a1

9、2008年是北京奥运年，下列各整数中，与
2008
最接近的一个是（ ）
A．43； B、44； C、45； D、46；
10．如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
A、n+1； B、
n
+1； C、
n1
； D、
n
2
1
。
2
11. 以下四个命题
①若
a
是无理数，则
a
是实数；②若
a
是有理数，则
a
是无理数；③若
a
是整数，则
a
是有理数；④若
a
是自然数，则
a
是实数．其中，真命题的是（ ）
Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③
12. 当
0a1
，下列关系式成立的是（ ）
Ｄ．④
Ａ．
aa
，
3
aa

Ｂ．
aa
，
3
aa

Ｃ．
aa
，
3
aa

Ｄ．
aa
，
3
aa

13. 下列说法中，正确的是（ ）
Ａ．
27
的立方根是
3
，记作
273

Ｂ．
25
的算术平方根是
5

Ｃ．
a
的三次立方根是

3
a

Ｄ．正数
a
的算术平方根是
a

14．下列命题中正确的是（ ）
（1）0.027的立方根是0.3；（2）
3
a
不可能是负数；（3）如果a是b的立方根，那么ab

0;(4)一个 数的平方根与其立方根相同，则这个数是1.
A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（3）(4)
15. 下列各式中，不正确的是（ ）
2
Ａ．
(3)
3
(3)< br>3
Ｂ．
3
(8)
2
(2)
3

22
Ｃ．
a2a1
Ｄ．
(5)5

2
a
2
16.若a<0，则等于（）
2a
A、
111
B、

C、± D、0
222
2
17、化简(－3) 的结果是（ ） A.3 B.－3 C.±3 D．9

18．已知正方形的边长为a，面积为S，则（ ）
A．
Sa
B．±
Sa

C．
aS

D．
aS

19、算术平方根等于它本身的数（ ）
A、不存在； B、只有1个； C、有2个； D、有无数多个；
20、下列说法正确的是（ ）
A．a的平方根是±
a
； B．a的算术平方根是
a
；
C．a的算术立方根
3
a
； D．-a的立方根是－
3
a
．
21、满足-
2
＜x＜
3
的整数x共有（ ）
A．4个； B．3个； C．2个； D．1个．
22、如果a、b两数在数轴上的位置如图所示，则

ab

的算术平方根是（ ）；
2
A、a+b； B、a-b； C、b-a； D、-a-b；
23、如果-

x1

有平方根，则x的值是（ ）
A、x≥1； B、x≤1； C、x=1； D、x≥0；
24．已知
a
中，a是正数，如果a的值扩大100倍，则
a
的值（ ）
A、扩大100倍；B、缩小100倍；C、扩大10倍；D、缩小10倍；
三、解方程
1.
(2x1)


四、解答题
1.已知： 实数a、b满足条件

2.已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求a的值

3.（1）若b=
a3
+
3a
+2,求b的值。 （2）已知a 、b满足
a5
+2
5a
=b+4,
a
2
a －1 0 b 1

．．．．．
3
22
3
8
2．4(x+1)=8 3. (2x+1)-16=0 4.(2x-5)=-27
a1(ab2)
2
0

求ab的值


4.实数
a
，
b
，
c
在数轴上的位置如图，且ab
，化简
aab(ca)2c
．


2
22
c

a

0

b

5.已知一个正方体的体积是1000
cm
，现在要在它的8个角上分别截去8个大小 相同的小
正方体，截去后余下的体积是488
cm
，问截去的每个小正方体的棱长是多 少？
2

【估算】
用估算法确定无理数的大小 ：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立
方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼 近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，
再确定十分位，百分位等小数部分。
方法 点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而
采取两边逼近的办 法求解。
例：估算下列各数的大小
（1）
327
（2）
（误差小于0.1）
例：通过估算比较下列各组数的大小
比较两个数的大小：
方法一：估算法。如3＜
10
＜4
方法二：作差法。如a＞b则a-b＞0.
方法三：乘方法.如比较
26与33
的大小。
例：比较下列两数的大小
327（精确到0.1）
（误差小于1）
（3）
3
3345

（1）


10-31
与
（2）
52与35

22

用估算的方法比较数的大小
用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无 理数，且在比较大小时，一般先采用分析
法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较
当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：
（1）若a＞b≥0,则
ab
（2）若a＞b，则
3
a
3
b或a
3
b
3

22
（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a＞b
【实数】
定义：（1）有理数与无理数统 称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；
绝对值最小的实数是0，最大的负整数是- 1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是
1
（a≠0）；
a< br>实数a的绝对值|a|=


a(a0)
，它的几何意义是：在数轴 上的点到原点的距离。
a(a0)

实数的大小比较法则：实数的大小比较的法 则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，
0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就 大，两个负数，绝对值大的反
而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理 数，我们可
以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加 、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和
运算顺序与有理数的一
实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的
（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
例：（1）下列说法正确的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C、1和2之间的无理数只有
2
； D、不带根号的数都是有理数。



（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )



a
0 b

A、
ab
B、
ab
C、
ab
D、
ba

（3）比较大小(填“>”或“<”).
3
10
，
3

3
20
，
76______67
，
（4）数
7,2,3
的大小关系是 ( )
A.
732
B.
372
C.
273
D.
327

（5）将下列各数：
2,
3
8,3, 15
，用“＜”连接起来；
____________________________ __________。
（6）若
a3,b2
，且
【二次根式】
定义：形如
（
的式子叫做二次根式，a叫做被开方数
aa0）
注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“
然就不是二次根式。
（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数；若
a是代数 式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。
例：下列根式是否为二次根式
（1）
-3
（2）
｜-3｜
（3）
-a
（4）
二次根式的性质：
性质1：
ab< br>”，如
9
是二次根式，而
9
=3,3显
1
51 ，
2
2
ab0
，则：
ab
= 。
2

3
a.b(a0,b0)
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，
运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
性质2：
aa
.(a0,b0)
商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算
bb
术平方根。
最简二次根式 ：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，
叫做最简二次根式。
例：1.化简：
42
（1）
1215
（2）
27ab(b0)
（3）
4

9x

2.计算：
18
1

1

0.5
2

3< br>11

3
0.1253
3




427
16

8




3.已知：

x7

121,

y1

0.064
，求代数式
23
2

x2x10y
3
245y
的值。