深圳北理莫斯科大学-初中生物教案

让中等生变优秀，让优等生名列前茅
第七讲 无理数及算术平方根
知识要点：
一、无理数
1. 无限不循环小数称为无理数。
2. 判断一个数是无理数需满足三个条件：（1）是小数，（2）是无限小数，（3）是不循
环小数。三个条件，缺一不可。
3. 有理数与无理数的主要区别：
（1） 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2） 任何有理数都可以化为分数形式，而无理数则不能。
二、算术平方根
1. 一般地，如果一 个正数
x
的平方等于
a
，即
x
2
a
，那 么这个正数
x
就叫作
a
的算术
平方根，记为“
a
” ，读作“根号
a
”。
规定0的算术平方根是0.
2. 算术平方根根号
a
具有双重非负性：
（1）
a
中
a
是非负数，即
a
≥0；（2）算术平方根
a
本身是非负数，即
a< br>≥0。
也就是说，正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
思维驿站：
例题1、如图所示，（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为
a
，则
a
应满足什么条件？
（3）
a
是有理数吗？







变式练习：如图是由16个边长为1的正方形拼成的，连接这些小正方形的若干顶 点，
得到五条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度不是有理数的有 条。
例题2、已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是
x
cm。
（1） 估计
x
在哪两个整数之间；
（2） 如果把
x
精确到十分位，估计
x
介于哪两个数之间。





1

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变式练习：已知正整数< br>m
满足条件
m
2
39
，则
m
的整数部分为 。
例题3、下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
0,


2
,
0.12,
..

4,


11
7
,

1.112111211,

3.1415927





变式训练：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

3.14


,
3
4
,
..

1.34,

1
3
,

0.35,


0
,

0.2,

2

,

18





例题4、 求下列各数的算术平方根。
（1）1.69 （2）
1
7
9
（3）


16

（4）

10

2







变式练习：计算下列各数的算术平方根。
2
（1）0 （2）
121
（3）
3
2
4
2
（4）


2



3







巩固训练
一、选择题
1. 面积为6的长方形中，长是宽的2倍，则宽为 （ ）
A. 整数 B. 分数 C. 无理数 D. 无法确定
2. 一个面积为13cm²的正方形，它的边长是 （ ）
A. 一个整数 B. 一个分数 C. 一个有理数 D. 一个无理数
3. 面积为3的正方形，其边长为
x
，则
x
满足 （ ）
A.
1x2
B.
2x3
C.
3x4
D.
4x5


2

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4. 估计面积为11的正方形边长的值（精确到十分位）为 （ ）
A. 3.1 B. 3.4 C. 3.3 D. 3.5
5. 下列说法中正确的是 （ ）
A. 有理数与无理数的差是有理数 B. 无限小数都是无理数
C. 有理数都是有限小数 D. 两个无理数的和不一定是无理数
6. 下列说法不正确的是 （ ）
A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数
C. 有理数不都是有限小数 D. 有限小数都是有理数
7. 下列说法中正确的是 （ ）
A. 无理数是无限不循环小数 B. 有理数是有限小数
C. 正数、0、负数统称为有理数 D. 无限小数是无理数
..
1
8. 在实数

，
1.732
，
0.23
，
1.424424 442
，
2

，
2

6.28
中 ，无理数有（ ）
13
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9. 16的算术平方根是 （ ）
A. 4 B. 8 C. －4 D. ±4
10. 一个数的算术平方根是
a
，比这个数大2的数是 （ ）

A.
a2
B.
a2
C.
a2
D.
a
2
2

二、填空题
1. 等边△ABC中，BC边上的高是AD，如果AB=6，则AD的长是介于整数 和 之
间的无理数。
g
11
2. 在0，

，3.14，，< br>0.7
，－234.101010…，0.2020020002…中，有理数有 个，
3

无理数有 个。
3. 已知

x5

y60
，则
x
，
y
。
4. 已知
xy2z30
，则
xy2z
= 。
5. 化简：
36
= 。
6. 算术平方根等于它本身的数是 。
三、解答题
gg
32
2n
1. 在数

，
1.42
，

，
3.1416
，
1.424224222
， ，0，
4
2
，

1

中，
43
（1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数； （3）把这些数按由小到大的顺序排
列起来，并用符号“＜”连接
2

3

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2. 直角三角形中，两直角边长分别是
a1,b2
，斜边长为c。
（1）c满足什么条件？ （2）c是整数吗？为什么？ （3）c是一个无理数还是有理数？





4. 七年级（3）班两位同学在打羽毛球，一不小心球落 在离地面约6m的树上，其中一
位同学赶快搬来一架长为7m的梯子，架在树干上，梯子底端离树干2m 远，另一位
同学爬上梯子去拿羽毛球，问：这位同学能拿到球吗？






5. 小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20平方米的客 厅，试问小明家需要
购买边长是多少米的地板砖？





11
6. 已知
3mmn10
，求
mn
的值。
92






7. 如图，在棱长为4cm的正方体箱子中， 想放入一根细长的玻璃棒，则这根玻璃棒的
最大长度可能是多少？你能估算出来吗？（结果保留两位有效 数字）。





4