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游戏与策略
知识框架
（1） 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律
（2） 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案
（3） 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题
重难点
实际操作与策略问题这 类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，
并通过寻找最佳策略过程， 培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。
例题精讲
一、 探索与操作
【例 1】 在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最 前面的三个数划去，然
后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98， 99，6；而第二次
操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下 一个数，则最后剩下
的数是 ．






【巩固】 在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4 个数的后两个之和8

9

17，取个位数
字7写在1，9，8，9 的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9

7

16 ；取
个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个 之和
7

6

13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后 面成为1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求
和，这样添写，成为数串1，9，8，9，7，6， 3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字
的和是________.







【例 2】 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每
六年级奥数.杂题.游戏与策略 .学生版 Page1 of 13

次拿出2枚棋子 ，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋
子回去．这样的操作，实际 上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下
的棋子是 颜色(填黑或者白)





【巩固】 在黑板上写上
1
、
2
、
3
、
4
、……、
200 8
，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数
a
和
b
， 然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数
还是偶数？为 什么？





【例 3】 有20堆石子，每堆都有 2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作．经
过不足20次操作后，某一堆 中有石子1990粒，另一堆石子数在2080到2100之间．这一堆石
子有 粒．





【巩固】 桌上有一堆石子共1001粒 。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一
步，都从某个石子数目多于1的堆中 扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之后，
桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？





【例 4】 今有101枚硬币，其中有100 枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚
伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没 有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达
到目的？
【巩固】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量
六年级奥数.杂题.游戏与策略 .学生版 Page2 of 13

一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？





【例 5】 一个数列有如下规则：当数
n
是奇数时，下一个数是
n1
；当数
n
是偶数时，下一个数是
果这列数的第一个数是奇数，第四个数 是
11
，则这列数的第一个数是 ．





【巩固】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止.
求经过9次操作变为1的数有多少个？

n
．如
2


二、 染色与操作（证明）
【例 6】 六年级一班全班有
35
名同学，共分成
5
排，每排
7
人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个
位置都叫作它的邻座．如果要让这
35
名同 学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什
么？




【巩固】 有一次车展共
6636
个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门 相通，入口和出口如图所
示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?

六年级奥数.杂题.游戏与策略 .学生版 Page3 of 13

【例 7】 如右图，在
55
方格的
A
格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格< br>中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到
A
格中?
A







【巩固】 一只电动老鼠从右图的
A< br>点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当这
只电动老鼠又回到
A
点时，甲说它共转了
81
次弯，乙说它共转了
82
次弯．如果甲、 乙二人有一
人说对了，那么谁正确？
A







三、 染色与操作（剪拼）
【例 8】 有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？



六年级奥数.杂题.游戏与策略 .学生版 Page4 of 13

【巩固】 右图是由
40
个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成
20
个相同的长方形？




【例 9】 用
9
个
14的长方形能不能拼成一个
66
的正方形？请说明理由．







【巩固】 能否用
9
个所示的卡片拼成一个
66
的棋盘？






【例 10】 有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸 是
124
．现有一批现成的木箱，内空尺寸是
666
，问：为什么不 能用这些商品将木箱装满?
四、 模块四、操作问题（计算）
【例 11】 观察下列正方 形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为
65，…（每个正方形 数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一
数表的最外层方格的数大1）． 如果表
n
中的各数之和等于15505，那么
n
等于_________．
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3< br>2
1
2
2
2
1
2
2
2
2< br>3
3
3
3
表 1
表 2
3
2
22
3
3
2
1
2
3
表 3
3
2
2
2
3
3
3
3
3
3
…










【巩固】 对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加 上
的数可以不同），变为表⑵？为什么？
1
4
7
23
56
8
(1)

1
0
1
01
00
0
(2)
1

9




【例 12】 在左下表中，在有公共边的两格 内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操
作后由左下表变为右下表，那么右下表中< br>A
处的数是 ．

【巩固】 在图⑴的方格表中，对任意相邻的上 下或左右两格中的数字同时加
1
或减
1
，这算一次操作，经过
若干次 操作后变为图⑵，问：图⑵中的
A
格中的数字是几？
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0
1< br>0
1
1
0
0
1
1
0
1
0< br>1
1
1
1
1
1
1
1
1
1< br>1
1
1
0
1
0
(1)
A1
1
1
(2)







【巩固】 如图，图
1
的
88
方格中交替填满了
0
和
1
，图
2
是从图
1
中任意位置截取的、、
三种 图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加
1
或同时减
1
，如此反复多 次，再
将这三种图形不重叠地拼成的．问：图
2
中的
A
格中的数字应 该是多少？
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1011
10A1
1
1
0
10
01
1
0
图1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
图2







【例 13】 现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同 的齿轮。用链条连接不同搭
配的齿轮，通过不同的传动比获得若干档不同的车速。“希望牌”变速自行车 主动轴上有三个齿
轮，齿数分别是48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16 ，12。问：“这种变
速车一共有几档不同的车速？

【例 14】 黑板上写着一 个形如777…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚才
擦掉的数字．对所 得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．
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【巩固】 黑板上写着1至2008共2008自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们 的平均数，
最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是 。





【例 15】 对任意两个不同的自然数，将其 中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作
这样的连续变换：18，42→18,2 4→18,6→12,6→6,6直到两数相同为止．问：对1234和4321作
这样的连续变换最后 得到的两个相同的数是 ．





【巩固】 将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行 这样
的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出 和最小的两个
四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．





【例 16】 二十多位小朋友围成一圈做 游戏．他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或
带有数字7的数都要跳过去不报；报错 的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边
的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数 报的是19，那么这群小朋友共有 人．




五、
游戏策略

【例 17】 请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻
六年级奥数.杂题.游戏与策略 .学生版 Page8 of 13

击．每个格最多 一枚棋子，标有数的格子不能放棋子．如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到
某个格子，只计算最前方的 那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格
子）．
1
7
4
5






【例 18】 小谢要把32张奖状贴到办公室的墙上. 他用胶涂好一张奖状需要2分钟，涂好后至少 需要等待
2分钟才可以开始往墙上粘贴，但是若等待时间超过6分钟，胶就会完全干掉而失去作用. 如果
小谢粘贴一张奖状还需要1分钟时间. 那么，小谢粘贴完全部奖状最少需要_____________分钟.





【例 19】 有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根 香蕉，然后要走1000米才能到
家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉 一根香蕉，那么，它最多可
以把 根香蕉带回家？









课堂检测
【随练1】 将1—13这13个自然数分别写在13张卡片上，再将这13张卡片按一定的顺序从左至 右排好．然
后进行如下操作：将从左数第一张和第二张依次放到最后，将第三张取出而这张卡片上的数是 1；
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再将下面的两张依次放到最后并取出下一张，取出的卡片上面的数是2；继续将下面的两张依次
放到最后 并取出下一张，取出的卡片上面的数是3……如此进行下去，直到取出最后一张是13为
止．则13张卡 片最初从左到右的顺序为 ．





【随练2】 圆周上放有
N
枚棋子，如图 所示，
B
点的那枚棋子紧邻
A
点的棋子．小洪首先拿走
B
点 处的1
枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过
A< br>．当将要
第10次越过
A
处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚 棋子．若
N
是14的倍数，
请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子？
A
B



【随练3】 30粒珠子依8粒红色、2粒黑色 、8粒红色、2粒黑色、的次序串成一圈．一只蚱蜢从第2
粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒 珠子上．这只蚱蜢至少要跳几次才能再次落在黑
珠子上．











家庭作业
【作业1】 在信息时代信息安全十分重要，往往需要对信息进行加密，若按照“乘3加1取个位”的方 式逐
位加密，明码“16”加密之后的密码为“49”，若某个四位明码按照上述加密方式，经过两次加 密得
到的密码是“2445”，则明码是 ．

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【作业2】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小 石子，或是将其中的某一
石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块 石子，第二堆有989
块石子，第三堆有89块石子．问，能否做到：⑴某2堆石子全部取光？⑵3堆中 的所有石子都
被取走？





【作业3】 右图是某套房子的平面图，共
12
个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出
发，不重复地走完每个房间吗?





【作业4】 有6张电影票(如右图) ，想撕成相连的3张，共有________种不同的撕法.






【作业5】 如图，按如下①和②的要求，从16个方格中选出6个数擦去。
①使每行和每列剩下的数的个数都是偶数。
②
使剩下的10个数之和最大。
则擦掉的6个数之和是 ，共有 种擦法(擦去6个数)。

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3
5
79
5
79
11
79
11
13
9
11
13
15




【作业6】 图 是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通．有一个人打算从
A
室< br>开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到
A
室，问他的目的能否达到，为什么 ？
AA





【作业7】 在
8 8
的网格正方形(如图1)中用图2形状的图形来覆盖，要求图2的分割线落在正方形的网格
线 上．为使所余部分不能再放下图2形状的图形，最少需用图2形状的图形 个．
8
2
1
1
2
8


图1 图2




【作业8】 小牛对小猴说：“对一个自然数
n
进行系列变换：当
n
是奇数时，则加上2007；当
n
是偶数时 ，
则除以2．现在对2004连续做这种变换，变换中终于出现了数2008．”小猴说：“你骗人！不 可
能出现2008．”请问：小牛和小猴谁说得对呢？为什么？


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【作业9】 先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再 写末两位数字2和8
的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：6 2 8 1 0 1 1 2 3 ……则这个整数的
数字之和是 。





【作业10】 甲、乙二人轮流在右上图的10个方格中，甲画“○” ，乙画“×”。甲胜的情况是：最后一行有4
个“○”或者其它的直线上有3个“○”；乙胜的情况是： 最后一行有4个“×”或者其它的直线上有3
个“×”。甲先画，他要取胜，第一步应填在标号为 的方格中(有几种就填几种)。










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