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一元一次方程解应用题的思路和解法
一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。
主要困难体现在两个方面：一是 难以从实际问题中找出相等关
系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚
基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等
关系，导致解题时无从下手。 < br>事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是
要将实际问题中的一些数量关系用 这种含有未知数的等式的形式表
示出来。而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由此，解方程应
用题的关键就是要“抓住基本量 ，找出相等关系”。
所以，我认为解题关键为：先找出等量关系，根据基本量设未知
数。一般 是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时
会设一些中间量为未知数。
初中一年级涉及到的一元一次方程应用题主要有以下几类：
（1）行程问题；
（2）工程问题；
（3）溶液配比问题；
（4）销售问题；
（5）数字问题；
（6）比例问题；
（7）设中间变量的问题。

不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，
并了解各个问题所本身隐含的等 量关系，结合具体的问题，根据等量
关系列出方程。
下面针对以上七项分别进行讲解。
1 行程问题
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
等量关系为：①路程=速度×时间；
②速度=
③时间=
；
。
特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度
在不同的条件下会发生变化。
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风） 速度+水流速
度（风速）＝静水（无风）速度。
例1：一列火车从甲地开往乙地，每小时行9 0千米，行到一半
时耽误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了
乙地， 求甲、乙两站距离？
此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的
时间。
则可设甲乙之间距离为x千米，那么原计划的时间为（x90）小

时。
实际所用时间分三段，第一段用原速度90走了一半的路程所用
时间（）小时，第二段是耽误停留的1 2分钟（转换成小时为（1260）
小时），第三段为加速后走另一半路程所用的时间（
以可以 列方程为：

）小时，所
解得：x=360千米。
例2：甲骑车从A地到 B地，乙骑车从B地到A地，两人速前进。
已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人相距36 千米，到
中午12时，两人又相距36千米。求AB两地路程。
本题可以简化为：A、B两 地两人匀速相向而行，2小时候相距
36千米，4小时候后仍相距36千米，求A、B距离。而两人各自 的速
度是多少，是不是相等这些均没有交代。为了有助于我们找到等量关
系，我们可以借助草图 。


A
甲
C
D B
乙
甲从 A出发去B，乙从B出发去A，相向而行，2小时后假设甲
到C，乙到D，此时CD之间的距离为36千 米。又过了两小时后甲到
D，乙到C，此时CD之间的距离仍是36千米。我们根本不知道甲乙
的速度，但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度始终不变。

那么设A、B之间的距 离为x千米，那么2小时后，甲乙一共走
的路程是（x-36）千米，用时2小时，那么甲乙的速度和是 ：

4小时候后，甲乙仍相距36千米，此时他们共走的路程是（x+36）
千米， 用时4小时，那么甲乙的速度和是：

所以可以列方程为：

解得：x=108千米。
例3：某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到
排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米秒。问往返共需多少时
间？
这一问题实际上分为两个过程：
①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上
最前面的人；
②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到
与排尾的人相遇。
在第一个过程追及问题中，等量关系是：此人行进的路程- 队伍
行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为x，则：

解得x=300s。
在第二个过程相遇问题中，等量关系是：此人行进的路程 +队伍
行进的路程=队伍长度。设此段此人行进的时间为y，则：

解得：y=100s。
所以往返共用时间为x+y=400s。
例4：一艘轮船在 甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆
流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。求甲、乙两地之间的
距离。
顺水速度=静水速度+水流速度；
逆水速度=静水速度－水流速度。
此题的等量关系是：静水速度＝顺水速度－水流速度＝逆水速度
+水流速度。
设两地之间距离为x千米，则

解得x=96千米。
巩固练习：
1、某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排
头取东西后，立即返回排尾，速度 为3米秒。问往返共需多少时间？
2、一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽< br>误了12分钟，当着列火车每小时加快10千米后，恰好按时到了乙地，

求甲、乙 两站距离？
3、小明到去，若每小时行5千米，正好按预定时间到达，他走
了全程的五分之 一时，搭上了一辆每小时行40千米的汽车，因此比
预定时间提前1小时24分钟到达，求小明与他的距 离是多少千米？
4、甲乙两人分别从相距60千米的AB两地骑摩托车出发去某地，
甲在乙后 面，甲每小时骑80千米，乙每小时骑45千米，若甲比乙早
30分出发，问甲出发经过多长时间可以追 上乙？
5、某飞机原定以每小时495千米的速度飞往目的地，后因
任务紧急，飞行 速度提高到每小时660千米，结果提前1小时到达，
问总的航程是多少千米？
6、一列货 车和一列客车同时同地背向而行，当货车行5小时，
客车行6小时后，两车相距568千米。已知货车每 小时比客车快8千
米。客车每小时行多少千米？
7、骑自行车，骑摩托车，同时从相距60 千米的两地出发。途中
相遇后继续前进背向而行。在出发后6小时，他们相距240千米。已
知 每小时行18千米，求每小时行多少千米？
8、甲、乙两人相距22.5千米，并分别以2.5千米 时与5千米
时的速度同时，同时甲所带的小狗以7.5千米时的速度奔向乙，小
狗遇乙后立即回 头奔向甲，遇甲后又奔向乙……直到甲、乙两人相遇，
求小狗所走的路程。
9、一 辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地,当车
行驶了4小时30分后,遇雨路滑,车不能开快, 这样将速度每小时减少

20千米,结果比预计时间晚45分钟到达乙地,求甲,乙两地的 距离。
10、小刚和小明骑自行车去郊外游玩，事先决定早晨8时从家里
出发，预计每时骑7 .5千米，上午10时可到目的地。出发前他们又
决定上午9时到达目的地。那么每小时骑多少千米？
2 工程问题
工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：
工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=
工作效率=
；
。 < br>工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工
作的时间为t，则工作效率为。常 见的相等关系有两种：①如果以工
作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。②如果以时间作相等< br>关系，则完成同一工作的时间差=多用的时间。
在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出 了明确的数量，
这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。
例1：加工某种工件，甲 单独作要20天完成，乙只要10就能完
成任务，现在要求二人在12天内完成任务。问乙需工作几天后 甲再
继续加工才可正好按期完成任务？
解析：将全部工作看做整体1，由甲、乙单独完成的时 间可知，
甲的工作效率为，乙的工作效率为。问题是乙需要单独工作几天
后甲再工作正好完成任 务，可知整个工程分成了两部分，第一部分由

乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部 分的和是整个工作。所以
可知等量关系为：乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。
可设乙加 工x天，那么因为要12天内完成任务，则甲工作的天
数为（12-x）天。因为乙的效率为，则乙的工 程量为；甲的工作
效率为，则甲的工程量为

解得：x=8天。
例2：收割 一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割
了后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1 .5倍。因此比预
计时间提前1小时完工。求这块麦地有多少亩？
解析：本题的等量关系为： 老式收割与新式收割混合的作业时间
-单独老式收割的作业时间=1。
可设麦地有x亩，那么 在改用新式农具之前的工作效率是4亩
小时，按照此效率收割了亩，此作业时间为。改用新式工具后，< br>，
，所以可列方程为：
工作效率为1.5×4=6亩小时，工作任务为亩，此作业时间 为
所以老式收割与新式收割混合的作业时间为：，而单独老式收
割的作业时间为，所以根据等量 关系可列方程为：

解得x=36亩。

例3：一水池装有甲、乙、 丙三个水管，加、乙是进水管，丙是
排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一
池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注
满水池？
解析：可知三个水管的工作效率如下：
甲水管的注水效率为；
乙水管的注水效率为；
丙水管的放水效率为。
那么当三个水管同时开时，可知其等量关系为：一定时间内甲乙
的注水工作量- 丙的排水工作量=工程整体1。
则可设注水时间为x小时，则甲的注水工作量为，乙的注水工
作量为，丙的排水工作量为，则可列方程为：

解得x=5小时。
巩固练习： < br>1、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
甲乙合做，需几小时完成这件工 作?
2、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。
若甲先单独做4小 时，剩下的部分由甲、乙合做，还需几小时完成?
3、 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独 做12小时完成，
丙单独做15小时完成，若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合
做，问还 需几天完成?

4、整理一批数据，、由一人做需要80小时完成。现在计划先由< br>一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的34，怎样
安排参与整理数据的具体人数 ？
5、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用
24小时，不但完成了 任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生
产多少零件？
3 溶液配比问题
行程问题中有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液
（混合物）、浓度（含量）。
其关系式为：
溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；
浓度=×100％=×100％；
×100％=×100％。 纯度（含量）=
由①②可得到：溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）。
例1：把100 0克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，应
加入浓度为20％的酒精多少克？
解析：
等量关系是：溶质质量相等。
配比前的溶质质量分两部分，第一部分为80 %浓度的酒精的溶质
质量，第二部分为浓度为20%浓度的酒精的溶质质量。配比后的溶质
质量 为60%浓度的酒精的溶质质量。
则设加入溶度为20%的酒精x克，可以列式为：

计算得：x=2000克。
例2：现有浓度为10%及浓度为20 %的两种氯化钠溶液，问各取
多少可配制成浓度为14%的溶液100克？
解析：
本题跟上题等量关系一样。
可设需10%浓度的氯化钠溶液x克，那么需20%的氯化钠溶液
（100-x）克，可列方程为：

解得：x=60克，则需要20%浓度的100-60=40克。
巩固练习：
1、 有含盐8%的盐水40Kg，要使盐水含盐20%，①如果加盐，
需加盐多少千克？②如果蒸发掉水分， 需蒸发掉多少千克的水？
2、有两种合金，第一种含铜90%，第二种含铜80%，现要熔炼
一种含铜82.5%的合金240千克，则两种合金应各取多少千克？
3、从每千克0.8元的苹果中 取出一部分，又从每千克0.5元的苹
果中取出一部分混合后共15千克，每千克要卖0.6元，问需从 两种
苹果中各取出多少千克？
4、在全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败 ，
共积23分，按照比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该
队共胜利了多少场？ < /p>

5、小明在学校的篮球比赛中他一人得了23分，如果他投进的2
分球比3分球多 4个，那么他投进的2分球是多少个？
6、某同学要把450克浓度为60%的盐溶液配成浓度为40 %的溶
液，但他未经考虑便加入了300克水。①请通过计算说明该同学加进
的水是超量的。② 这时需加进盐多少克？配成40%浓度的盐溶液多少
克？
4 销售问题
与生活、 生产实际相关的销售类应用题，是近年中考数学创新题
中的一个突出类型。销售类问题主要体现为三大类 ：①销售利润问题、
②优惠（促销）问题、③存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，
在寻找 相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理
解问题的本质，正确列出方程。
（1）销售利润问题。
利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、
利润率。②
基本关系式有：
①利润=销售价（收入）－成本（进价）；
②成本（进价）=销售价（收入）－利润；
③利润率=；
④利润=成本（进价）×利润率。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题
中常以进价不变作相等关系。

（2）优惠（促销）问题。
日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费） 方式可以得到
不同的优惠。这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。
并以求得的数 值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检
验，预测其变化趋势。
（3）存贷问题 。存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题
时最好选取的问题情景之一。存贷问题中有本金、利息、 利息税三个
基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。
其关系式有：
①利息=本金×利率×期数；
②利息税=利息×税率；
③本息和（本利）=本金+利息－利息税。
例1：某商店先在广州以每件15元的价格购进某 种商品10件，
后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。如果商店销
售这种 商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？
解析：
设销售价每件x 元，销 售收入则为（10+40）x元，而成本（进
价）为（5×10+40×12.5）元，利润率为12％ ，则利润为（5×10+40
×12.5）×12％。则可列方程为：
（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％
解得x=14.56元。
例2：某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，

则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。问这种商品的定价是多
少？
解析：
设定价为x元，七五折售价为75％x元，因为赔25元则利润为
－25元， 进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％
x，利润为20元，进价为9 0％x－20。
根据等量关系进价一定，克列方程为：
75％x+25=90％x－20
解得x = 300元。
例3：小明假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为2.16％。取款时扣除20％利息税。小明
共得到本利504.32元 。问半年前小明共存入多少元？
解析：
本题中要求的未知数是本金，可设存入的本金为x元 ，由年利率
为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×2.16％x，利息税为20％×
0.5×2.16％x，则可列方程为：
x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32
解得x = 500元。
例4：某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，
凭卡可在这家商店8折购物， 什么情况下买卡购物合算？
解析：
购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。