（2）如图2，点E（a，b）是对称轴右侧抛物线上一点，过点E垂直于y轴的直线与AC交于 点D（m，
n）．点P是x轴上的一点，点Q是该抛物线对称轴上的一点，当a+m最大时，求点E的坐 标，并直接写
出EQ+PQ+
2
PB的最小值；
3
（3）如图3， 在（2）的条件下，连结OD，将△AOD沿x轴翻折得到△AOM，再将△AOM沿射线CB的方向
以 每秒3个单位的速度沿平移，记平移后的△AOM为△A′O'M'，同时抛物线以每秒1个单位的速度沿x轴正方向平移，点B的对应点为B'．△A'B'M'能否为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点M '的
坐标；若不能，请说明理由．

x
2
xy6y
2
0
23．解方程组：


2xy1

24．计算：
（1）﹣3﹣（
0
1
﹣2
1
20102011
）﹣（）×（﹣4）
24
（2）（﹣3a）
3
﹣（﹣a）•（﹣3a）
2
． < br>25．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D， E是BC的中
点，连结DE、OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）求证：BC＝2CD•OE．
2





【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D B B C D C A C
二、填空题
13．
14．1
15．9+3
3
．
16．
a

a2

a2


17．：a≤3且a≠﹣12．
18．12
三、解答题
19．（1）y ＝﹣20x+1400（40≤x≤60）；（2）W＝﹣20x
2
+2200x﹣56000 ；（3）商场销售该品牌童装获
得的最大利润是4480元．
【解析】
【分析】
B D

（1）销售量y件为200件加增加的件数（60-x）×20；
（2）利润w等于单件利润×销售量y件，即W=（x-40）（-20x+1400），整理即可；
（3）先利用二次函数的性质得到w=-20x
2
+2200x-56000=-20 （x-55）
2
+4500，而56≤x≤60，根据二次函
数的性质得到当56≤x ≤60时，W随x的增大而减小，把x=56代入计算即可得到商场销售该品牌童装获
得的最大利润．
【详解】
（1）根据题意得，y＝200+（60﹣x）×20＝﹣20x+1400，
∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为: y＝﹣20x+1400，
（2）设该品牌童装获得的利润为W（元）
根据题意得，W＝（x﹣40）y
＝（x﹣40）（﹣20x+1400）
＝﹣20x
2
+2200x﹣56000，
∴销售该品牌童装获得的利润W 元与销售单价x元之间的函数关系式为：W＝﹣20x+2200x﹣56000；
（3）根据题意得56≤x≤60，
W＝﹣20x+2200x﹣56000
＝﹣20（x﹣55）+4500
∵a＝﹣20＜0，
∴抛物线开口向下，当56≤x≤60时，W随x的増大而减小，
∴当x＝56时，W有最大 值，W
max
＝﹣20（56﹣55）
2
+4500＝4480（元），
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．
【点睛】
本题考查了二次函 数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质，特别是二
次函数的最值问题解 决实际中的最大或最小值问题．
20．(1) 17、20；(2) 72°；(3) 120人
【解析】
【分析】
(1)根据1次的人数以及所占的百分比求出参与调查的人数， 用总人数减去其余的人数可求出a的值，用
3次的人数除以总人数即可求得b的值；
(2)用360度乘以3次所占的比例即可得；
(3)用2000乘以”锻炼“4次及以上”所占的比例即可得.
【详解】
(1)∵被调查的总人数为13÷26%＝50人，
∴a＝50﹣(7+13+10+3)＝17，
b%＝
2
2
2
10
×100%＝20%，即b＝20，
50
故答案为：17、20；
(2)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%＝72°；
(3)估计一周内前往木兰溪左岸绿道”锻炼“4次及以上”的人数2000×
【点睛】
本题考查了扇形统计图，统计表，用样本估计总体，准确识图表是解题的关键.
21．(1) y＝﹣x
2
+4x+5；(2) m＝7或m＝9.
【解析】
【分析】
3
＝120人．
50

（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解
析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值．
【详解】
（1）抛物线y＝﹣x
2
+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0），

1bc0



255bc0

解得b＝4，c＝5，
∴y＝﹣x+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（-6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=-x
2
+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（-6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平移的性质、方程思想及分类讨论思 想等知识．在（1）
中注意待定系数法的应用，在（2）中求得平移后C点的对应点的坐标是解题的关键 。
22．（1）
y5x25
；（2）E（3，
的点M'的坐标M′（0，
【解析】
【分析】
(1）y ＝
5
2
5
xx25
，令y＝0，x＝0，求出A（﹣2，0）、 B（4，0）、C（0，﹣2
5
），把A、
42
2
65
 5555
），点F（﹣1，），；（3）符合条件
12
44
135
）．
8
C坐标代入y＝kx+b，即可求解；
（2）①由n＝b，解得：m＝﹣
1
2
11119
m+ a，则a+m＝a+（﹣m
2
+a）＝﹣（a﹣3）
2
+ ，即可求
424244
2
PB是最小值，即可
3
解；②F是E关于 对称轴的对称点，则在如图位置时，EQ+PQ＝PF最小，即EQ+PQ+
求解；
（3）设 移动的时间t秒，各点坐标为：A′（﹣2+2t）、B′（4+t）、M′（﹣
分AB
′2< br>＝AM
′2
、AB′
2
＝BM
′2
、BM
′ 2
＝AM′
2
讨论求解．
【详解】
（1）y＝
5
2
5
xx25
，
42
3
55
+2t，
+5
t），
4
4< br>令y＝0，解得x＝﹣2或4，令x＝0，则y＝﹣2
5
，
∴点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣2
5
）；

把A、C坐标代入y＝kx+b，
解得：k＝﹣
5
，b＝﹣2
5
，
∴直线AC的解析式y＝﹣
5
x﹣2
5
；
（2）∵E（a ，b）在抛物线上，∴b＝
5
2
5
aa25
，
42
∵D（m，n）在直线AC上，∴n＝﹣
5
m﹣2
5
，
∵DE⊥y轴，∴n＝b，解得：m＝﹣
∴a+m＝a+（﹣
1
2
1
a+a，
42
1
2
119
a+a）＝﹣（a﹣3）
2
+，
4244
-55
，
4
∴当a＝3时，a+m由最大值，b＝则：E（3，
-55-55
），点F（﹣1，），
44
如下图2所示，连接BC，过点F作FP∥BC，交对称轴和x轴于点Q、P，

∵F是E关于对称轴的对称点，则在如图位置时，EQ+PQ＝PF最小，即EQ+PQ+
k< br>BC
＝
5
＝k
FP
，把k
FP
和点F坐标代入y＝kx+b，
2
35535
，即：y＝x﹣，
424
2
PB是最小值，
3
解得：b＝﹣
令y＝0，则x＝
则PF＝
EQ+ PQ+
33
，即点P（，0），
22
2235
15
，而PB＝（4﹣）＝ ，
4
3323
22
65
PB＝PF+PB＝ ；
33
12
2
65
-55
），EQ+PQ+PB的最小值为；
4
3
12
故：点E坐标为（3，
（3）设移动的时间t秒，△A′O ′M′移动到如图所示的位置，

则此时各点坐标为：A′（﹣2+2t）、 B′（4+t）、M′（﹣
则AB＝6t﹣12t+36，AM＝
′22′2
3
55
+2t，+
5
t），
4
4
75243
22
，BM′＝6t+3t+ ，
88
75
，方程无解，
8
2433
135
，t＝ ，M′（0， ），
88
8
当AB
′2
＝AM
′2
时，6t
2
﹣12t+36＝
当AB′
2
＝BM
′2时，6t
2
﹣12t+36＝6t
2
+3t+
当BM＝AM′时 ，6t+3t+
′222
24375
＝，方程无解，
88
故：符合条件的点M'的坐标M′（0，
【点睛】
135
）．
8
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合 的思想把
代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
2

3

xx


5
< br>5
23．

或

.
11

y< br>
y

5

5

【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
原方程组变形为

(x3y)(x2y)0
，

2xy1


x3y0

x2y0
∴

或


2xy12xy1

2
3

xx


5

5
∴原方程 组的解为

或


11

y

y

5

5

【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
24．（1）-1；（2）﹣18a
3

【解析】

【分析】
（1）直接利用负指数幂的性质以及积的乘方运算法则化简得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及结合单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】
（1）原式＝﹣1﹣4+（
＝﹣5+4
＝﹣1；
（2）原式＝﹣27a+a•9a
＝﹣27a
3
+9a
3

＝﹣18a．
【点睛】
此题主要考查了负指数幂的性质以及积的乘方运算、积的乘 方运算法则以及单项式乘以单项式运算，正
确掌握运算法则是解题关键．
25．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连 接OD，根据直角三角形中线性质和圆周角定理可得∠ODE＝90°；（2）连接OE，根据三角形中
位线性质证△ABC∽△BDC，BC
2
＝2CD•OE．
【详解】
（1）证明：连接OD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE＝DE＝BE＝ BC，
∴∠C＝∠CDE，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，
∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为圆O的切线；
（2）证明：连接OE，
∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC＝90°，
∴△ABC∽△BDC，．
BC
2
＝2CD•OE．；
3
32
1
×4）
2010
×4
4

【点睛】

考核知识点：三角形中位线，相似三角形判定和性质.

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．使两个直角三角形全等的条件是
A.一锐角对应相等
C.一条边对应相等
做对的是（ ）
A．a
8
÷a
4
＝a
2
B．a
3
•a
4
＝a
12
C．a
5
+a
5
＝a
10
D．2x
3
•x
2
＝2x
5

3．在某次数学测验 中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：73，78，79，81，81，81，83，83，85，
91，则这组数据的众数、中位数分别为( )
A.81，82
A.
C.
A．－8


B．－4
B.83，81 C.81，81
B.
D.
C．8


D．4
D.83，82
4．下列运算正确的是（ ）．
B.两锐角对应相等
D.两条边对应相等
2．马大哈做题很快，但经常不仔细，所 以往往错误率非常高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他
5．若x=2是关于x的一元一次方程a x－2=b的解，则3b－6a+2的值是( ).
6．如图，点A是双曲线y=
k上一点，过A作AB∥x轴，交直线y=-x于点B，点D是x轴上一点，连接
x
119< br>，tan∠ABD=，则k的值为
45
BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD= 3：2，△ABD的面积为
（ ）

A．-
3

4
B．-3 C．-2 D．
3

4
7．在平面直角坐标系 xOy中，已知点M，N的坐标分别为（-1，2），（2，1），若抛物线y=ax
2
-x+ 2（a
＜0）与线段MN有一个交点，则a的取值范围是（ ）
A．
a1
B．
1a0
C．
a1
D．
1a0

8．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接 圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中
错误的一项是（ ）

A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合

C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
9．如图，已知菱形ABCD的对角线 AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是
（ ）

A．
53
cm
2
B．2
5
cm
2
C．
48
cm
5
D．
24
cm 5
10．如图，抛物线y＝ax+bx+c的对称轴是x＝
1
，小亮通过观察得出 了下面四个结论：①c＜0，②a﹣
3
b+c＞0，③2a﹣3b＝0，④5b﹣2c＜0．其 中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3x y2
11．关于x，y的方程组

的解满足x＝y，则k的值是（ ）
xyk2

A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）

A．54°
二、填空题
B．64° C．27° D．37°
13．如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为2和1，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为_____．

14．若a+b＝3，a﹣b＝7，则ab＝_____．
15．为参加2018年“宜宾市 初中毕业生升学体育考试”，小聪同学每天进行立定跳远练习，并记录下其
中7天的最好成绩（单位：m ）分别为：2.21，2.12，2.43，2.39，2.43，2.40，2.43．这组数据的中位
数和众数分别是_____．
16．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A的位置观测停放于B 、C两处的小船，测得船B在点A北
偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200 米处，则船B与船C之间的距离为______
米．

17．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E
1
，
第二次操 作，分别作∠ABE
1
和∠DCE
1
的平分线，交点为E
2
，
第三次操作，分别作∠ABE
2
和∠DCE
2
的平分线，交点为 E
3
，…，
第n次操作，分别作∠ABE
n﹣1
和∠DCE
n﹣1
的平分线，交点为E
n
．
若∠E
n
=1度，那∠BEC等于________度

18．如 图，已知A
1
，A
2
，A
3
，…，A
n
是 x轴上的点，且OA
1
＝A
1
A
2
＝A
2
A
3
＝…＝A
n
A
n+1
＝1，分别过点A
1，A
2
，
A
3
，…，A
n+1
作x轴的垂线交 一次函数
y
1
x
的图象于点B
1
，B
2
，B
3
，…，B
n+1
，连接A
1
B
2
， B
1
A
2
，A
2
B
3
，
2
B
2
A
3
，…，A
n
B
n+1
，Bn
A
n+1
依次产生交点P
1
，P
2
，P3
，…，P
n
，则P
n
的坐标是______．

三、解答题
19．甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1 ，2，3后，放在一个不
透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学 抛掷一个质地均匀的、
各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体骰子，又得到另一个数字，再 把两个数字相加．若两人的
数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜．
①请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来；
②这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平．

5x23(x1)

20．解不等式组：

，并把它的解在 数轴上表示出来．
3xx
71

22

21．（1 ）计算：
18
+（﹣1）
2
﹣2019
0

（2）化简：（a+2）
2
﹣a（a﹣3）
x
2
11 x
22．先化简，再求值：
1
2
，其中x＝sin60°﹣1

x2x1x
23．如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线 AB的对称点为点E，连接AD、

DE，在AD上取点F，使得∠EFD=60°，射线 EF与AC交于点G．
（1）设∠BAD=α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．

24．已知，如图， 在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，AB＝A'B'，B C＝
B'C'，AD＝A'D'．求证：△ABC≌△A'B'C'．

25．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O是△ABC的外接圆．
（1）如图①，过A作MN∥BC，求证：MN与⊙O相切；
（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求⊙O的半径和AE的长．





【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D C C B C B D D C
二、填空题
13．
B C
4

3
14．﹣10．
15．40，2.43．
16．2
17．2
n
．

n
n
2
n
18．（n+，）．
2n1
4n2
三、解答题
19．①见解析；②这个游戏不公平，见解析 ，要使游戏公平，改规则如下：若两人的数字之和小于6，
则甲获胜；否则，乙获胜．
【解析】
【分析】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本 题中即两人的数字之和小于7与大于等于7
的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】
解：①两人所得的数字之和的所有结果如图：

②这个游戏不公平．
由图可知，所得结果小于7的情况有6种，即甲获胜的概率为
21
，乙获胜的概率为 ，很明显不公
33
平；要使游戏公平，改规则如下： 若两人的数字之和小于6，则甲获胜；否则，乙获胜．
【点睛】
考查的是游戏公平性的判断 ．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公
平．
20．
5
＜x≤4．
2
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】

5x23(x1)①



3xx
7 1②

22

解不等式组：解①得：x＞
解②得：x≤4，
故不等式组的解是
5

2
5
＜x≤4．
2

故答案为：
【点睛】
5
＜x≤4．
2本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能根据不等式的解集求出不
等式组的解集是此题的关键．
21．（1）
32
；（2）7a+4．

【解析】
【分析】
（1）先算二次根式、平方、零指数幂，再算加减法即可求解；
（2）先算完全平方公式、单项式乘多项式，再合并同类项即可求解．
【详解】
（1）
18(1)
2
2019
0

3211

32
；
（2）
(a2)a(a3)

2
a
2
4a4a
2
3a

＝7a+4．
【点睛】
考查了实数的运算，关键是熟练掌握二次根式、平方、零指 数幂、完全平方公式、单项式乘多项式，合
并同类项的计算法则．
22．﹣
1
23
；﹣.
x1
3
【解析】
【分析】
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
x
2
11x
，
1
2

x2x1x
(x1)(x1)x

＝﹣1﹣
(x1)
2
1x
＝﹣1+
＝
x

x1
x1x

x1
1
，
x1
＝﹣
1
323
当x＝sin60°﹣1＝﹣1时，原式＝﹣
3
＝﹣ ．
11
23
2
【点睛】
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
23．（1）60°+α；（2）CG=2BD，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；
（2）作辅助线，构建全等 三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE=PG，再证明△ABD≌△BCP
（AAS），可 得结论．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，
∵∠BAD=α，
∴∠FAG=60°-α，
∵∠AFG=∠EFD=60°，
∴∠AGE=180°-60°-（60°-α）=60°+α；
（2）CG=2BD，理由是：
如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC=∠EGP，

∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴∠ABE=∠ABD=60°，
∵∠C=60°，
∴∠EBD+∠C=180°，
∴EB∥GP，
∴四边形EBPG是平行四边形，
∴BE=PG，
∵∠DFG+∠C=120°+60°=180°，
∴∠FGC+∠FDC=180°，
∴∠ADB=∠BGP=∠BPC，
∵AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
∴△ABD≌△BCP（AAS），
∴BD=PC=BE=PG，
∴CG=2BD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性 质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添
加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
24．见解析.
【解析】
【分析】
依据BD＝B'D'，AB＝A'B '，AD＝A'D'，即可判定△ABD≌△A'B'D'，再根据∠B＝∠B'，AB＝A'B'，BC＝B'C'，即可得判定△ABC≌△A'B'C'．
【详解】
∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，BC＝B'C'，
∴BD＝B'D'，
又∵AB＝A'B'，AD＝A'D'，
∴△ABD≌△A'B'D'（SSS），
∴∠B＝∠B'，
又∵AB＝A'B'，BC＝B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）．

【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△ABD≌△A′B′D′是解此题的关键．
25．（1）详见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）作直径AD ，连接DC，证明∠D＝∠NAC，根据∠D＋∠DAC＝90°，可证∠OAN＝90°；
（2）作 直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC，由角平分线的性质可得EG＝EH，BG＝BH＝6，求出AH，在R t△
OBH中由勾股定理列出方程求出半径，再根据△AGE∽△AHB可求出AE.
【详解】
解：（1）作直径AD，连接DC，

∵AB＝AC且MN∥BC，
∴∠B＝∠ACB＝∠NAC，
∵∠D＝∠B，∴∠D＝∠NAC，
∵AD是直径，∴∠D＋∠DAC＝90° ，
∴∠NAC＋∠DAC＝90°，
∴∠OAN＝90°，
又∵点A 在⊙O上，∴MN与⊙O相切；
（2）作直径AF，EG⊥AB，连接OB、OC,
∵OB＝OC，AB＝AC
∴O、A在BC的垂直平分线上，即AF垂直平分BC，
∵BD平分∠ABC， EG⊥AB，FH⊥BC，
∴EG＝EH，BG＝BH＝6，
在Rt△ABH中，∵AB＝10，BH＝6，∴由勾股定理得AH＝8，
设⊙O的半径为x，在Rt△OBH中，
由勾股定理得： (8－x)
2
＋ 6
２
＝x
2
，∴x＝
∵AB＝10，BG＝6，∴AG＝4 ，
由△AGE∽△AHB得：
代入解得：AE＝5.
2525
，即⊙O的半径为，
44
AGAE

，
AHAB

【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、平行线 的性质、圆周角定理、切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理
以及相似三角形的判定和性质等知识点， 涉及知识点较多，有一定难度，根据题意作出常用辅助线是解
题关键.

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图， AD是∆ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
S
nABC
7
， DE=2，AB=4，则AC的长是
（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6
2．关于x的一元二次方程（k﹣1）x
2
﹣2x+3＝0有两个实数根，则 k的取值范围是（ ）
A．k≤
4
且k≠1
3
B．k≤
4

3
C．k＜
4
且k≠1
3
D．k＜
4

3
3．一次函数y
1
＝k x+b与y
2
＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y
1
＜
y
2
；④当y
1
＞0且y
2
＞0时，﹣a＜x＜4．其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，以两条直线l
1
，l
2
的交点坐标为解的方程组是( )

A．


xy1

2xy1

B．


xy1

2xy1

C．


xy1

2xy1

D．


xy1

2 xy1

5．若函数y＝2x+k的图象与y轴的正半轴相交，则函数
yA.第一、二象限
C.第二、四象限
6．下列运算正确的是（ ）
A．3a
2
﹣a
2
＝3
C．（a+3）
2
＝a
2
+9
锻炼时间的说法错误的是（ ）
B．a
8
÷a
4
＝a
2

k
的图象所在的象限是（ ）
x
B.第三、四象限
D.第一、三象限
D．（﹣3a
3
）
2
＝9a
6

7．如图 ，是根据九年级某班50名同学一周的锻炼情况绘制的条形统计图，下面关于该班50名同学一周

A．平均数是6
B．中位数是6.5
C．众数是7
D．平均每周锻炼超过6小时的人数占该班人数的一半
8．如图，水平的讲台上放置的圆柱笔筒和长方体形粉笔盒，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
9．如果1≤a≤
2
，则
a
2< br>2a1
+|a-2|的值是（ ）
A．6+a
10．如图，抛物线
y
面积为
(

)

B．﹣6﹣a C．﹣a D．1
1
2
x3x4
与x轴交于A 、B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC，则
VABC
的
2

A．1
（ ）
A．
B．2 C．4 D．8
11．A、B、 C、D四名同学随机分为两组，两个人一组去參加辩论赛，问A、B两人恰好分到一组的概率
1

4
B．
1

3
C．
1

6
D．
1

2
12．在整数范围内，有被除数＝除数×商+ 余数，即a＝bq+r(a≥b，且b≠0，0≤r＜b)，若被除数a和
除数b确定，则商q和余数r 也唯一确定，如：a＝11，b＝2，则11＝2×5+1此时q＝5，r＝1．在实数
范围中，也有a ＝bq+r(a≥b且b≠0，商q为整数，余数r满足：0≤r＜b)，若被除数是7
2
，除 数是
2，则q与r的和( )
A．7
2
﹣4
二、填空题 13．正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH沿FH翻折，使 点B的对
B．2
2
﹣6 C．6
2
-4 D．4
2
-2

应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交 FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=2
26
，AE=8，则
ED=_____ ．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D是AB的中 点，点P是直线AC上一点，将△ADP
沿DP所在的直线翻折后，点A落在A
1
处， 若A
1
D⊥AC，则点P与点A之间的距离为______．

15．计算
16．计算

32

32
的结果是________ .

33
3
27
__________．
17．如图，已知直线AB∥CD，∠1＝60°，∠2＝45°，则∠CBD的度数为_____．

18．如图，AB∥CD，AE⊥AC，∠ACE＝65°30′，则∠BAE 的度数为_____．

三、解答题
19．如图，点O是Rt△ABC斜边AB上 的一点，⊙O经过点A与BC相切于点D，分别交AB，AC于E，F，
OA＝2cm，AC＝3cm．
（1）求BE的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

2aa
2
20．（1）化简：
2
； （2）若 二次函数y＝x
2
+（c﹣1）x﹣c的图象与横轴有唯一交

a42a
点，求c的值．
21．在□ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过 点C的切线与AD的延长线相交于点
P，连接AC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，⊙O的半径为
5
，求PD的长．

22．甲、 乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车
离甲地 距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与
时 间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．

23．如图 ，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连 接OE，请你先补全图形，再求出当AB＝
OE的长．
，BD＝2时，

2 4．已知抛物线y＝ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+
2< br>1
交抛物线于A，Q两
2
点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF ⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；
（3） 如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否
存在 一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图， 在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，点F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反
比例函数y＝
k
的图象与BC边交于点E．
x
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？





【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A B C D D A A D C
二、填空题
13．4
14．
C A
5
或10
2
15．-1
16．
63

17．75°
18．24°30′
三、解答题
19．（1）BE＝2；（2）
74
3


23

【解析】
【分析】
（1）证△BOD∽△BAC，得比例线段即可求出BE的长；
（2）连OF，求出BC的长 及∠BOF的度数，则阴影部分的面积可用S
△ABC
-S
△AOF
-S扇形OFE
求出．
【详解】
（1）连结OD，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
又∵∠C＝90°，
∴AC∥OD，
∴△BOD∽△BAC，

ODOB22BE

，即

，
ACAB34BE
∴BE＝2；
（2）连结OF,

在Rt△ODB中，OD＝2，OB＝4，
∴∠B＝30°，∠BOD＝∠BAC＝60°，
∴BC＝3
3
，∠AOF＝60°，∠BOF＝120°，
S
 ABC
S
VAOF
S
扇形OFE

13
21
3332

2
2
，
243

74
3

．
23
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，扇形面积公< br>式等知识．
20．（1）

【解析】
【分析】
(1)利用除法法则转化为分式乘法，然后再进行计算即可；
(2)由二次函数图象与x轴有 唯一交点，可得出△＝(c+1)
2
＝0，解之即可得出c的值．
【详解】
2a
；（2）c＝﹣1.
a(a2)
2a2a
2a
g

(1)原式＝=； 
a2

a2

a
2
a(a2)(2)∵二次函数y＝x
2
+(c﹣1)x﹣c的图象与横轴有唯一交点，
∴△＝(c﹣1)
2
﹣4×1×(﹣c)＝(c+1)
2
＝0，
解得：c＝﹣1，
∴c的值为﹣1．

【点睛】
本题考查 了抛物线与x轴的交点以及分式的乘除法，解题的关键是：(1)牢记分式运算的法则；(2)牢记
“△ ＝b
2
﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点”．
21．（1）见解析，（2）
【解析】
【分析】
（1）连接AO并延长交 BC于点E，交⊙O于点F，由切线的性质可得∠FAP=90°，根据平行四边形的性
质可得∠AEB =90°，由垂径定理点BE=CE，根据垂直平分线的性质即可得AB=AC；（2）连接FC，OC，设OE＝x，则EF＝
5
－x，根据AF为直径可得∠ACF=90°，利用勾股定理可得C F的长，利用勾股定理可
证明OC
2
－OE
2
＝CF
2－EF
2
，即可求出x的值，进而可得EC、BC的长，由平行线性质可得∠PAC=∠A CB，由
切线长定理可得PA=PC，即可证明∠PAC=∠PCA，由AB=AC可得∠ABC=∠A CB，利用等量代换可得∠ABC=
∠PAC，即可证明△PAC∽△ABC，根据相似三角形的性质可 求出AP的长，根据PD=AP-AD即可得答案.
【详解】
（1）连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．
25

5

∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，
∴AF⊥AP，
∴∠FAP＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠AEB＝∠FAP＝90°，
∴AF⊥BC．
∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，
∴BE＝CE．
∵AF⊥BC，BE＝CE，
∴AB＝AC．
（2）连接FC，OC．
设OE＝x，则EF＝
5
－x．
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ACF＝90°．
∵AC＝AB＝4，AF＝2
5
，
∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，
∴CF＝
AF
2
AC
2
＝2．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴CE
2
＝OC
2
－OE
2
．
∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，

∴CE＝CF－EF．
∴OC
2
－OE
2
＝CF
2
－EF
2
.即
(5)
2
－x
2
＝2
2
－（
5
－ x）
2
．
解得x＝
222
35
．
5
45
．
5
∴EC＝
OC
2
-OE2
＝
∴BC＝2EC＝
85
．
5
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝
85
．
5
∵AD∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB．
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA＝PC．
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．
∴△PAC∽△ABC，
∴
APAC
＝．
ABBC
AC
·AB＝2
5
．
BC
25
．
5
∴AP＝
∴PD＝AP－AD＝
【点睛】
本题考查切线的性质、 圆周角定理的推论、垂径定理、平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，
直径所对的圆周角是直角 ；圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两
条弧；有两个角对应相等的 两个三角形相似；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.
22．（1）30；（2）当x＝3.9时， 轿车与货车相遇；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千
米时，x的值为3.5或4.3小 时．
【解析】
【分析】
（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求 出货车的速度为60千米时，再根据图象得出货车
出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙 地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地
相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：30 0﹣270＝30千米；
（2）先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；
（3）分两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）根据图象信息：货 车的速度V
货
＝
300
60
，
5
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，

∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）．
所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．
故答案为：30；
（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，

2.5kb80

k110
，解得，

4.5kb300b195

∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2. 5≤x≤4.5）；
易得OA：y＝60x，
x3.9

y110x195
，解得，

y234

y60x
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
（3）当x＝2.5时，y
货
＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数 的解析式的运用，
行程问题中路程＝速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是 解题的关键．
23．(1)见解析;(2)2.
【解析】
【分析】
（ 1）先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD．
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：补全图形如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，

在Rt△AOB中，AB＝
∴OA＝
∴OE＝OA＝2．
，OB＝1，
＝2，

【点睛】
此题主要考查了菱形的判定和 性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD
＝AD＝AB是解本题的关键 ．
24．（1）y＝﹣x+x+2；（2）点P的坐标为（
长最小，此时G（﹣，
【 解析】
【分析】
（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组， 然后求得a，b的值，从而得到
问题的答案；
（2）把A（﹣1，0）代入y＝mx+
（n，﹣n
2
+n+2），N（n，
3
8
2
19
，）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周
24
15
）．
16
1
求得m的值，可得到直线AQ的解析式，设点P的横坐标为n，则P
2
11
n+），F（n，0），
22
然后用含n的式子表示出PN、NF的长，然后依据PN＝2NF列方程求解即可； （3）连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小，先求得点M的坐标，然后求 得
AM和DE的解析式，最后在求得两直线的交点坐标即可．
【详解】
（1）∵抛物线y＝ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），
∴将点A和点B的 坐标代入得：

2
2

ab20
，解得a＝﹣1，b＝1，

4a2b20
∴抛物线的解析式为y＝﹣x+x+2．
（2）直线 y＝mx+
11
交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝，
22
11
x+．
22
2
∴直线AQ的解析式为y＝
设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n+n+2），N（n，
∴PN＝﹣n
2
+n+ 2﹣（
∵PN＝2NF，即﹣n
2
+
11
n+），F（n，0），
22
111311
n+）＝﹣n
2
+n+ ，NF＝n+．
222222
13111
n+＝2×（n+），解得：n＝﹣1或．
22222
当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．
∴点P的坐标为（
19
，）．
24
1
2
9
）+，
24
（3）∵y＝﹣x
2
+x+2，＝﹣（x﹣

∴M（
19
，）．
24
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（
3

k

kb0



2
根据题意得 ：
1
．
9
，解得

kb

b 
3

24

2
19
，）．
24
∴直线AM的函数解析式为y＝
∵D为AC的中点，
∴D（﹣
33
x+．
22
1
，1）．
2
设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，
∴AC的解析式为y＝2x+2．
设直线DE的解析式为y＝﹣
∴直线DE的解析式 为y＝﹣
将y＝﹣
3
11
x+c，将点D的坐标代入得： +c＝1，解得c＝，
24
4
1
3
x+．
2
4
1
3
33
15
3
x+ 与y＝x+联立，解得：x＝﹣ ，y＝ ．
8
16
2
4
223
8
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣，
【点睛】
15
）．
16
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了 待定系数法求一次函数、二次函数的解析
式、二次函数的性质，用含n的式子表示出PN、NF的长是解 答问题（2）的关键；明确相互垂直的两直
线的一次项系数乘积为﹣1是解答问题（3）的关键．
25．（1）
y
【解析】
【分析】
（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可；
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
【详解】
（1）∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B（3，2），
3
3
；（2）当k＝3时，S有最大值． S
最大值
＝．
x
4

∵F为AB的中点，
∴F（3，1），
∵点F在反比例函数y＝
∴k＝3，
∴该函数的解析式为y＝
k
的图象上，
x
3
；
x
（2）由题意知E，F两点坐标分别为E （
∴S
△EFA
＝
＝
kk
，2），F（3， ），
23
1111
AF•BE＝×k（3﹣k），
2232
11
k﹣ k
2

212
1
2
（k﹣6k+9﹣9）
12
＝﹣
＝﹣
3
1
（k﹣3）
2
+
12
4
3
．
4
当k＝3时，S有最大值．
S
最大值
＝
【点睛】
此题考查反比例函数综合题，涉及的知识有： 坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二
次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的 关键．

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1 ．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么
本 周星期几水位最低（ ）
星期
水位变化米
A.星期二
2．已知下列命题:
①若a一
0.12
二
﹣0.02
三
﹣0.13
C.星期六
四
﹣0.20
五
﹣0.08
D.星期五
六
﹣0.02
日
0.32
B.星期四
11
222>;②若三角形的三边a、b、c满足a+b+c=ac+bc+ab,则该三角形是正三角形;③斜边ab
和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似;④两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形. 其中原命
题与逆命题均为真命题的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AE平分∠CAB，EF∥A C，若AF=4，则CE=（ ）

A.3 B.
33
C.
23
D.2
4．已知函数：①y＝x；②y＝

增大的函数有（ ）
A．1个 B．2个
1
（x＜0）；③y＝﹣x+3；④y＝x
2
+x（x≥0），其 中，y随x的增大而
x
C．3个 D．4个
5．如图，点E、F是正方形ABCD的 边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，
连接FG、DF，若AB＝2， 则DF+GF的最小值为（ ）

A. ﹣1 B. C.3 D.4
6．32400000用科学记数法表示为（ ）
A．0.324×10
8
B．32.4×10
6
C．3.24×10
7
D．324×10
8

7．菱形
A BCD
中，
B60，AB5
，则以
AC
为边长的正方形ACEF
的周长为（ ）

A．15 B．16 C．17 D．20 < br>8．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直x 轴，

顶点A在函数y
1
＝
k
1
k
（ x＞0）的图象上，顶点B在函数y
2
＝
2
（x＞0）的图象上，∠ABO＝ 30°，则
x
x
k
1
＝（ ）
k
2

A．﹣
1

2
B．﹣
1

3
C．﹣
1

4
D．﹣
1

5
9．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5 年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x
岁，则下列式子正确的是（ ）
A．4x－5=3(x－5)
C．3x+5=4(x+5)
（ ）
B．4x+5=3(x+5)
D．3x－5=4(x－5)
10．用直尺和圆规作 Rt△ABC斜边AB上的高线CD，甲、乙两人的作法如图：根据两人的作法可判断

A．甲正确，乙错误
C．甲、乙均正确
B．乙正确，甲错误
D．甲、乙均错误
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm，动点P 从点A出发，以
2
cms的速度沿AB方向运动
到点B，动点Q同时从点A出发，以1 cms的速度沿折线AC→CB方向运动到点B，先到达点B的点保持
与点B重合，待另一个点到达点B 后同时停止运动。设△APQ的面积为y（cm），运动时间为x（s），
则下列图象能反映y与x之题 图间关系的是（ ）
2

A． B． C． D．
12．如图是二 次函数
yaxbxc
的图象，其对称轴为
x1
.下列结论：①
abc0
；②
2
2ab0
；③
9a3bc0
；④若


结论有（ ）

3

10

,y
1

,

,y
2
是抛物线上两点，则
y
1
y
2
.其中正确的

2

3


A．1个
二、填空题
B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，反比例函数y＝﹣
3
的图象经 过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥
x
CD，则▱ABCD的 面积是_____．

14．已知α，β是方程x﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α+αβ﹣3α的值为_____． 15．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点， 连接
AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
22

16．计算(-3x
2
y)•(
1
2
xy)=_____________．
3
17．如图，菱形ABCD中，对角线AC、B D相交于点O，H为AD边中点，OH＝4，则菱形ABCD的周长等于
___．

18．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11立方米以内(包括11立方米)每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取．如果某户使用9立方米燃气，需要燃气费为_____
元；如果某户的燃气使用量是x立方米(x超过11)，那么燃气费用y与x的函数关系式是_____ _．
三、解答题
19．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，交 CD于点F，过点C作CG⊥AE，垂足为
G，连接DG，
（1）若BC＝6，CF＝2，求CE的长；
（2）猜想：AG、CG、DG之间有何数量关系，并证明．

20 ．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（
a
且k≠0），则称点P ′为点P的“k关联点”．
b
，
kab
）（其中k为常数，
k< br>（1）点P（﹣3，4）的“2关联点”P′的坐标是_______________; （2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，9），请直接写出k的值及点P的坐标；
．．
（3）如图，点Q的坐标为（0，2 ），点A在函数
y
“﹣
2
关联点”，求线段BQ的最小值．
82
(x0)
的图象上运动，且点A是点B的
x

13
6
20
(3)()(32)
21．(1)计算：
2
3
(2)因式分解：4(x﹣2y)﹣16y
22．如图，在矩形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于E，CF平分∠ACD交AD于F．
（1）试说明四边形AECF为平行四边形；
（2）探索：当矩形ABCD的边AB和BC满 足什么数量关系时，四边形AECF为菱形，并说明理由．
22

23．如图在由边 长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，已知点A，B，C，D均为网格线的
交点 （1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°画出旋转后的图形△A
1
B
1
C
1
；
（2）在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF，使A与D为对应点．

< br>24．如图，直线l：y＝x+1与y轴交于点A，与双曲线
y
k
（x＞0） 交于点B（2，a）．
x

（1）求a，k的值．
（2）点P是直线l上 方的双曲线上一点，过点P作平行于y轴的直线，交直线l于点C，过点A作平行
于x轴的直线，交直线 PC于点D，设点P的横坐标为m．
①若m＝
3
，试判断线段CP与CD的数量关系 ，并说明理由；②若CP＞CD，请结合函数图象，直接写出
2
m的取值范围．
25 ．小丹有3张扑克牌，小林有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示．两人用这些扑克牌做游戏，他
们分 别从自己的扑克牌中随机抽取一张，比较这两张扑克牌上的数字大小，数字大的一方获胜．请用画
树状图 （或列表）的方法，求小丹获胜的概率．





【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C C A C D B D C
二、填空题
13．6
14．0
15．60°
16．
xy

17．32
18．y＝2.4x﹣4.4
三、解答题
19．（1）3（2）AG=CG+
2
DC
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；
33
B B

（2）在AE上截取AH＝CG，连接DH，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即 可．
【详解】
（1）在正方形ABCD中，
∵AB∥DC，AB＝BC，
∴△CEF∽△BEA，
∴
CECF

，
BEAB
CE2

，
6CE6
∵BC＝6，CF＝2，BE＝BC+CE，
∴
解得：CD＝3；
（2）猜想：AG、CG、DG之间的数量关系为：
AGCG2DG
，
证明如下：在AE上截取AH＝CG，连接DH，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD＝DC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠DAE＝∠E，∠DCG+∠GCE＝90°，
∵CG⊥AE，
∴∠E+∠GCE＝90°，
∴∠DCG＝∠E＝∠DAE，
在△ADH与△CDG中

ADCD


DAHDCG
，

AHCG

∴△ADH≌△CDG（SAS），
∴DH＝DG，∠ADH＝∠CDG，
∵∠ADC＝∠ADH+∠HDC＝90°，
∴∠HCD+∠GDC＝∠HDG＝90°，
∴HG＝
DH
2
DG
2
2DG
，
∵AG＝AH+HG，AH＝CG，
∴AG＝CG+
2
DG．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质，正方形的性质、勾股定理等知识的应用，关键是利用 全等三角形的判定
和性质以及勾股定理解答．
20．（1）(-1,-2)； （2）
k3
， P(1,6)或P(2,3)；（3）BQ的最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据题中的新定义求出点P（-3，4）的“2关联点”P′的坐标即可；
23

3

（2）根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；
（3）设点B的坐标为（m，n），从而表示出点A的坐标（m+
n
2
，-
2
m+n），由点A在函数
y
82
2
(x0)
的图象上可得到m、n之间的关系n=4+
2
m．然后将BQ用m的代数式表示，根据二x
次函数的最值性，求出BQ最小值．
【详解】
（1）∵x=-3+
4
=-1，y=2×（-3）+4=-2，
2
b
，ka+b）
k
∴P′（-1，-2）；
（2） 设P（a，b），则P′（
a
b


a＝3
∴

，
k


kab＝9
∴k=3，
∴3a+b=9．
∵a、b为正整数
∴P′（1，6）、（2，3）；
（3）设点B的坐标为（m，n），
∵点A是点B的“﹣
2
关联点”，
∴点A的坐标为（m+
n
2
，-
2
m+n），
∵点A在函数
y
∴（m+
82
(x0)
的图象上，
x
n
2
）（-
2
m+n）=-8
2
，且 m+
n
2
＜0．
整理得：（m+
n
2
）
2
=8．
∵m+
n
2
n
2
＜0，
∴m+=-2
2
．
∴n=4+
2
m．
∴点B的坐标为（m，4+
2
m）．
过点B作BH⊥OQ，垂足为H，如图所示．

∵点Q的坐标为（0，2），
∴QH
2
=（2-4-
2
m ）
2
=（2+
2
m）
2
，BH
2
=m2
．
∴BQ
2
=BH
2
+QH
2

=m+（2+
2
m）
=3m+4
2
m+4
=3（m+
2
22
24
2
）
2
+
33
24
2
时，BQ
2
最小，即BQ
2
=．
33
∵3＞0，
∴当m=-
∴BQ=
23
．
3
【点睛】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征、二次函数的最值等知识，考查了 新定义下的阅读理解能力，有
一定的综合性．
21．(1)﹣6+2
3
；(2)4x(x﹣4y)．
【解析】
【分析】
(1)根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
(2)根据平方差公式可以解答本题．
【详解】
解：(1)
(3)()
＝3+(﹣8)﹣1+2
3

＝﹣6+2
3
；
(2)4(x﹣2y)﹣16y
＝[2(x﹣2y)+4y][2(x﹣2y)﹣4y]
＝(2x﹣4y+4y)(2x﹣4y﹣4y)
＝2x(2x﹣8y)
＝4x(x﹣4y)．
【点睛】
本题考查负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混 合运算、分解因式，解答本题的关键是明确它们各自
的解答方法．
22．（1）见解析；（2）当
BC3AB
时，四边形AECF为菱形.
22
2
1
2
3
(32)
0

6

3

【解析】
【分析】
（1）先证明
EAC FCA
，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证.（2）逆向推理，
当四边形 AECF为菱形时，则有EA=EC，进而可得到∠EAC=∠ACE=30°，
所以可知
BC3AB
.
【详解】
（1）证明：在矩形ABCD中，
AD∥BC,AB∥CD，
∴
BACDCA
,
∵AE平分∠BAC，CF平分∠ACD， < br>∴
EAC
11
BAC
,
FCADCA
,
22
∴
EACFCA
,
∴AE∥CF,
又AF∥CE,
∴四边形AECF为平行四边形.
（2）当
BC3AB
时，四边形AECF为菱形.理由如下：
在Rt△ABC中，
BC3AB
，
则∠BAC=60°，∠BCA=30°，
∵AE平分∠BAC，
∴
EAC
1
BAC
=30°，
2
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴EA=EC,
又由（1）已证，四边形AECF为平行四边形，
∴四边形AECF为菱形.
即，当
BC3AB
时，四边形AECF为菱形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键.
23．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据旋转变换的定义和性质求解可得；
（2）根据位似变换的定义和性质求解可得．
【详解】
解：（1）如图所示，△A
1
B
1
C
1
即为所求；

（2）如图所示，△DEF即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图﹣位似变换与旋转变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义与性质．
24．（1）a＝3，k＝6；（2）①CP＝CD，见解析； ②
0m
【解析】
【分析】
(1)把点B(2，a)代入y＝x+1求得a的值，然后再根据待定系数法即可求得k；
(2)①把x＝
3
.
2
3
分别代入反比例函数的解析式和 一次函数的解析式求得P、C的坐标，根据一次函数的解
2
3
；
2
析式求得D点的坐标，从而求得PC＝CD＝
②由①的结论结合图象即可求得．
【详解】
(1)∵直线l：y＝x+1经过点B(2，a)，
∴a＝2+1＝3，
∴B(2，3)，
∵点B(2，3)在双曲线
y
∴k＝2×3＝6；
k
(x＞0)上，
x
6
5
3363
(2)①∵点 P的横坐标为，把x＝代入y＝得，y＝
3
＝4，代入y＝x+1得，y＝+1＝，
22x2
2
2
∴P(
33
5
，4)，C(，)，
22
2
∵直线l：y＝x+1与y轴交于点A，
∴A(0，1)，
∴D(
3
，1)，
2
∴CP＝4﹣
5
3
5
3
＝，CD＝﹣1＝，
2
2
2
2
3
．
2
∴CP＝CD；
②由图象结合①的结论可知，若CP＞CD，m的取值范围为0＜m＜
【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本
题的关键．
25．
1

2
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，小丹获胜的情况有3种，
∴P（小丹获胜）＝
【点睛】
此题考查列表法与树状图法，解题关键在于画出树状图.

31
=
．
62