数学建模作业1(长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗)知识交流
湖南师范大学理学院-月工作总结报告
科学技术学院
上 机 报 告
课程名称
数学建模
上机项目 长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗？
专业班级） 姓 学 号
一、问题提出
椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）能在不平的地面上放稳吗？
把椅
子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可
以四脚着地，放稳了
。下面用数学语言证明。
二、问题分析
该模型看似与数学与数学无关，但我们可以
用数学语言给予表述，并用数学工具来证实，
经过分析，我们可以用一元变量
表示椅
子的位置，用
的两个函数表示椅子四脚与地面的距
离，进而把模型假设和椅脚同时着
地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实
际问题的数学模型。
三、模型假设
为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：
（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．
（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数
学的角
度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．
（3）椅子在任何位
置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的
长度而言，地面是相对平坦的．
因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，
如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的
)，此时三只脚是无法同时着地的．
符号说明
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程）
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同
时着地表示出来．
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉
我们，要把椅子通过挪动
放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就
是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的
条件没有发
生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子
就地旋转，并
试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称
图形，绕它的对
称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，
这可
以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子
的位置．为此，在平面上建立直角坐标
系来解决问题．
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的
直
线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿
逆时针方向旋转角度θ后，长方形A
BCD转至A1B1C1D1
的位置，这样
就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．
我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，
而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于
椅子在不同的位置是θ的函
数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．
由于椅
子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们
都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何
位置至少有三只脚同时
着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因
此
，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，
绕其对称中心
O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C
和B,D对换了．因此，记
A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离
之和为g（θ），其中
θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对
任意
θ，f（θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ
0
∈[0，π]，使得f（θ
0
）＝g
（θ
0
）＝0成立。
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。
如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设
f（0）＞0，g（0）＝0。
这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C
，
D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）
＝g（0），g（
π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）
＞0， f（π）＝0。
令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)
也是连续函数。
又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根
据连续函数
介值定理，必存在θ
0
∈（0，π）使得h（θ
0
）＝0，即f（θ
0
）
＝g（θ
0
） ；
又因为f（θ
0
）•g（
θ
0
）＝0，所以f（θ
0
）＝g（θ
0
）＝0。于是，椅
子的四只脚同时着地，放稳了。