全球气候变化-过新年作文

2019-2020年高考数学 排列组合基础部分习题选讲教案

(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一
天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些
交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中
有m
1
种不同的方法，在第二类办法中有m
2
种不同的方法，……，在第n类办法中有m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m
1
十m< br>2
十…十m
n
种不同的方法．

(2) 由A村去B村的道 路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A
村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m
1种不同的方法，做第二步有m
2
种不同的方法，……，做第n步有m
n
种 不同的方法．那么完成这件事共有N＝m
1
m
2
…m
n
种不同的方法．
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语
文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位
数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复
三位数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重
复三位数？



练习：
1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆 路可走，
又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、 2、…、19、20的红卡
片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着
10张分别标有数1、2、…、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上
面的数作为加数．一共可以列出 多少个加法式子？
3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
< /p>

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时
用加法，分步 时用乘法
练习
1．一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成，另
有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少
种选法？
2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本
文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？
3．乘积（a
1
+a2
+a
3
）（b
1
+b
2
+b
3+b
4
）（c
1
+c
2
+c
3
+c< br>4
+c
5
）展开后共有多少项？
4．从甲地到乙地有2条路可通，从 乙地到丙地有3条路可通；从甲
地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这
些小球的颜色互不相同．
（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

排列
1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m( )个元素（这里的被取元
素各不相同）按照
一定的顺序
排成一列，叫做从n个不同元素 中
．．．．．
取出m个元素的
一个排列

．．．．
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
【例题与练习】
1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？


2.已知a、b、 c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；
②写出每次取出4个元素的所有排列.

【排列数】
1. 定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数 叫做
从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2. 排列数公式：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
； ； ；
；
1. 计算：
① ② ③ ④

例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
5040
⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
5040
⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不
同的排法？ 720
⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少
种？ 240
⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有
多少种？ 2400


例2 ： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？1440种．
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 720种．
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法
有多少种？ 960．
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

例3： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？种方法．
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？

1440种．


组 合 ⑴
1．组合的概念 ：一般地，从n个不同元素中取出m（m
≤
n）个元素并成一组，叫做从
n个不同元素 中取出m个元素的一个组合．
注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴ 从A
、
B
、
C
、
D四个景点选出2个进行游览；（组合）
⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）
2．组合数的 概念：从n个不同元素中取出m（m
≤
n）个元素的所有组合的个数，叫做
从n个不同 元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．
例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：
又如：从A
、
B
、
C
、
D四个景点选出2个进行游览的组合：
3．组合数公式的推导
⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：
① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元
素全排列数，根据分布计数原理得：＝
⑶ 组合数的公式：
A
m
n(n1)(n2)(nm1)
C
n

m !
A
m
m
m
n

或
⑷ 巩固练习：
1．计算：⑴ ⑵
2．求证：
3．设 求的值． 所求值为4或7或11．
4．例题讲评
例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
例2．4名男生和6名 女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法
共有多少种？

2．练习一：
练习1：求证：． （本式也可变形为：）
练习2：计算：① 和； ② 与；③
答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792

1．组合数的
性质1
：．

nm
证明：∵
C
n

n!n!


(nm)![n(nm)]!m!(nm)!

又 ∴
注：1 我们规定

3．组合数的
性质2
：＝+．

n!n!
m1
证明：
C
m


n
C
n
m!(nm )!(m1)![n(m1)]!




∴ ＝+．
4．例二：
⑴ 计算：


⑵ 求证：＝++


⑶ 解方程：


⑷ 解方程：



012345
⑸ 计算： 和
C
5
C
5
C
5
C
5
C
5
C
5

012n1nn
推广：
C
n
C
n
C
n
C
n
C
n
2

5．组合数性质的简单应用：
证明下列等式成立：
kkkkkk1
⑴ （讲解）
C
n1
C
n2
C
n3
C
k1
C
k
C
n



kkkkk1
⑵ （练习）
C
k
C
k1
C
k2
C
kn
C
nk 1




⑶
C
n
2C
n
3C
n
nC
n

123n
n
01 n
(C
n
C
n
C
n
)

2