读后感作文评语-留学咨询顾问

1.两个基本原理

(l)
从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2
班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的
走法？
分析：因为 一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种
走法都可以从甲地到达乙地， 因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十
3=9种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m
1
种不同的方法，
在第二类办法中有m
2
种不同的方法，……，在第n类办法中 有m
n
种不同的方法．那么完成
这件事共有N＝m
1
十m
2
十…十m
n
种不同的方法．

(2) 由A村去B村的道路有3条 ，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去
C村，共有多少种不同的走法？
分析 ：从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再
从B村到C村又有2种 不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有 3×2=6种不同的走法．
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成
n
个步骤，做第一步有
m
1
种不同的方法，做第
二步有
m
2
种不同的方法 ，…，做第
n
步有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．
例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
1）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书
中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5
种方 法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6+5=11．
（2）从书架上任取数学书与语文书各一 本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学
书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根 据乘法原理，得到不同的取法的种
数是
N6530
．

例2 (1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？
(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？
(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字
中任选一个数字， 共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5
种选法，第三步确定个位上的数 字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成
的三位数的个数是
N555 125
．

练习：

1、从甲地到乙地有2条陆路可走 ，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到
丙地有2条水路可走．
（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？
（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

2．一名儿童做加法游戏．在一个红 口袋中装着2O张分别标有数1、2、…、19、20的红卡
片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数 ；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、…、
9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数 作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法
式子？
3．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法


2.排列(1)
【基本概念】
1. 什么叫排列？从n个不同元素中， 任取m(
mn
)个元素（这里的被取元素各不相同）
按照
一定的顺序
排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
一个排列

．．．．．．．．．
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
【例题与练习】
1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

2.已知a、b、c、d四个 元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个
元素的所有排列.

【排列数】
1. 定义：从n个不同元素中，任取m(
mn
)个元素的所 有排列的个数叫做从n个元素中
取出m元素的排列数，用符号
A
n
表示. < br>m
m
排列数公式：
A
n
n(n1)(n2)(nm 1)
或
A
n

m
n!
，规定 0!=1
(nm)!
234
2.
A
n

；
A
n

；
A
n

；
计算：
A
5
= ；
A
5
= ；
A
15
=
3. 写出：
a) 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；
b) 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
c) 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.

242

3.排列(2)
例1：⑴ 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：7个元素的全排列——
A
7
＝5040
⑵ 7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？
解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040
⑶ 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——
A
6
=720
⑷ 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有
A
2
种；第二步 余下的5名
55
2
同学 进行全排列有
A
5
种，则共有
A
2
A
5
= 240种排列方法
6
7
2
⑸ 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在
排头和排尾有
A
5
种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列（全排
525
列）有
A
5
种方法 所以一共有
A
5
A
5
＝2400种排列方法．
2
解法二：（排除法）若甲站在排头有
A
6
种方法；若乙站在排尾有
A
6
种方法；若
甲站在排头且乙站在排尾则有
A
5
种方法．所以甲不能 站在排头，乙不能排在
排尾的排法共有
A
7
－
2A
6
＋
A
5
=2400种．
小结一：对于“在”与“不在”的问题， 常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特
殊元素可以优先考虑．

例2 ： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲 、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一
起进行全排列有
A6
种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有
A
2
种方法．所以这样的排法一共有
A
6
A
2
＝1440种．
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
53
解：方法同上，一共有
A
5
A
3
＝720种．
6
6
7
6
5
5
66
2
2
⑶甲、乙两同学必须 相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
解：将甲、乙两同学“捆绑”在一起 看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不
能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2 个元素放在排头和排尾，
有
A
5
种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A
4
种方法；最后将甲、乙两个同学
2
4

“松绑 ”进行排列有
A
2
种方法．所以这样的排法一共有
A
5
A< br>4
A
2
＝960种方法．
小结二：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．

例3： 7位同学站成一排．
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？
762
解法一： （排除法）
A
7
A
6
A
2
3600

2
2
42
解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有
A
5
种方法，此时他们留下六个位置
（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空 ）有
A
6
种方法，
52
所以一共有
A
5
A
6
3600
种方法．
2
5
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：先将其余四个同学排好有
A
4
种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和< br>33
4
丙三个同学分别插入这五个“空”有
A
5
种方法，所以 一共有
A
4
A
5
＝1440种．
4
小结三：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．

4.组合(1)
1．组合的概念：一般地，从
n
个不同元素中取出
m
（
m
≤
n
）个元素并成一组，叫做从
n
个
不同元素中取出
m
个元素的一个组合．
注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴ 从
A、B、C、D
四个景点选出2个进行游览；（组合）
⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）
2．组合数的概念：从n
个不同元素中取出
m
（
m
≤
n
）个元素的所 有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号
C
n
表示．
2
例如：示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为： 甲乙，甲丙，乙丙．即有
C
3
3
m
种组合．
又如：从< br>A、B、C、D
四个景点选出2个进行游览的组合：
AB
，
AC
，
AD
，
BC
，
BD
，
CD
一
共6种组合，即：
C
4
6

3．组合数公式
从4个不同 元素
a
，
b
，
c，d
中取出3个元素的组合数
C< br>4
是多少呢？
分析： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数
A
4
可
．．．．．．．．．
以求得，考察
C
4
和
A
4
的 关系，如下：
33
3
3
2

组 合 排列
abcabc,bac,cab,acb,bca,cba

abdabd,bad,dab,adb,bda,dba

acdacd,ca d,dac,adc,cda,dca
bcdbcd,cbd,dbc,bdc,cdb,dcb 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取
出3个元 素的排列数
A
4
，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素
的组合，共有
C
4
个；② 对每一个组合 的3个不同元素进行全排列，各有
A
3
种方法．由
3
A
4< br>分步计数原理得：
A
＝
C
A
，所以：
C
3
．
A
3
3
4
3
4
3
3
3
3
3
3
4
⑵ 推广： 一般地，求从
n
个不同 元素中取出
m
个元素的排列数
A
n
，可以分如下两步：
① 先求从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数
C
n
；② 求每一个组合中
m
个
mmmm
元素全排列数
A
m，根据分布计数原理得：
A
n
＝
C
n
A
m< br>
m
m
⑶ 组合数的公式：
m
A
n
n(n 1)(n2)(nm1)
C
m

m!
A
mm
n

或
C
n

m
n!


(n,mN,且mn)

m!(nm)!
例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
222
略解：
C
6
C
4
C
2
90

例2． 4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有
多少种？
21
3
解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有
C
4
，
C
4
C
6
，
12112
3
C
4
C
6
2
，所以一共有
C
4
+
C
4
C
6
+
C
4
C
6< br>＝100种方法．
33
解法二：（间接法）
C
10
C6
100

323
45
练习：计算：①
C
10
和
C
10
； ②
C
7
C
6
与
C
6
；③
C
11
C
11

37
答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792

5.组合(2)
mnm
1．组合数的 性质1：
C
n

C
n
．
理解： 一般地，从
n
个不同元素中取出
m
个元素后，剩下
n
?
m
个元素．因
为从
n
个不同元素中取出
m
个元素 的每一个组合，与剩下的
n
?
m
个元素的每一
个组合一一对应， 所以从
n
个不同元素中取出
m
个元素的组合数，等于从这
n
．．．．
mnm
个元素中取出
n
?
m
个元素的组合数 ，即：
C
n
C
n
．在这里，我们主要体
现：“取法”与“ 剩法”是“一一对应”的思想．
nm
证明：∵
C
n

n!n!

(nm)![n(nm)]!m!(nm)!
mnm
n!
∴
C
n
C
n

m!(nm)!
m
又
C
n

0
注：1? 我们规定
C
n
1

2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．
3? 此性质作用：当
m
例如：
C
2002
＝
C
2002
2001
n
m< br>nm
时，计算
C
n
可变为计算
C
n
，能够 使运算简化．
2
＝
C
2002
=2002．
1
20022001
例1. 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
323
解：⑴
C
8
56
⑵
C
7
21
⑶
C
7
35

323
引导学生发现：
C
8
C
7
C
7
．为什么呢？

例2．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．
⑴ 都不是次品的取法有多少种？
⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？
⑶ 不都是次品的取法有多少种？
4
解：⑴
C
90
2555190
；
441322314
⑵ C
100
C
90
C
10
C
90
 C
10
C
90
C
10
C
90
C
10
1366035
；
441322314
⑶
C
1 00
C
10
C
90
C
10
C
90< br>C
10
C
90
C
10
C
90
 3921015
．
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
⑴ 分给甲、乙、丙三人，每人两本；
⑵ 分为三份，每份两本；

⑶ 分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
⑷ 分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
⑸ 分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
222
解：⑴ 根据分步计数原理得到：
C
6
C
4
C
2
90
种．
⑵ 分给甲、乙、丙三人，每人两本有
C
6
C
4
C
2
种方法，这个过程可以分两步完成：
第一步分为 三份，每份两本，设有
x
种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名
22233
同学有
A
3
种方法．根据分步计数原理可得：
C
6< br>C
4
C
2
xC
3
，所以
222
2 22
C
6
C
4
C
2
x15
．因此分为 三份，每份两本一共有15种方法．
3
A
3
注：本题是分组中的“均匀分组”问题．
．．．．
123
⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有
C
6
C
5
C
3
60
种方法．
1233
⑷ 在⑶的基 础上在进行全排列，所以一共有
C
6
C
5
C
3
A< br>3
360
种方法．
222
⑸ 可以分为三类情况：①“2、2、2 型”即⑴中的分配情况，有
C
6
C
4
C
2
90< br>种
1233
方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有
C
6C
5
C
3
A
3
360
种方法；③“1、1、
43
4型”，有
C
6
A
3
90
种方法． 所以一共有90+360+90＝540种方法．

例4．⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？
⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？
解：⑴ 根据分步计数原理：一共有
4256
种方法．
⑵（捆绑法）第一步从四个不同的小 球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素
有
C
4
种方法，第二步从四个不同 的盒取其中的三个将球放入有
A
4
种方法．所以
一共有
C
4
A
4
＝144种方法．
例5．九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8， 从中取出三张排成一排组成一个三位数，
如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？
2111
解：可以分为两类情况：① 若取出6，则有
2(A
8
C
2
C
7
C
7
)
种方法；②若不取6，则
1 2211112
有
C
7
A
7
种方法．根据分类计数原理，一 共有
2(A
8
C
2
C
7
C
7
)
+
C
7
A
7
＝602种方法．
4
23
23

6.概率初步补充
（一）相互独立事件
1．中国福利彩票，是由01、02、03、…、30、31这31个 数字组成的，买彩票时可以
在这31个数字中任意选择其中的7个，如果与计算机随机摇出的7个数字都 一样（不考虑
顺序），则获一等奖。若有甲、乙两名同学前去抽奖，则他们均获一等奖的概率是多少？
（1）如果在甲中一等奖后乙去买彩票，则也中一等奖的概率为多少？（P=
1
）
1
C
31
1
）
1
C
31
（2） 如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，则乙中一等奖的概率为多少？（P=
2．一个袋子中有5个白球 和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。设第1次取出的球
是白球叫做事件A，第2次取出的球是白球叫 做事件B。
（1）若第1次取出的球不放回去，求事件B发生的概率；
（如果事件A发生，则P（B）=

45
；如果事件B不发生，则P（B）=）
77
55
；如果事件B不发生，则P（B）=）
88
（2）若第1次取出的球仍放回去，求事件B发生的概率。
（如果事件A发生，则P（B）=
（二）相互独立事件同时发生的概率
问题：甲坛 子中有3个白球，2个黑球；乙坛子中有1个白球，3个黑球；从这两个坛
子中分别摸出1个球，假设每 一个球被摸出的可能性都相等。问：
（1）它们都是白球的概率是多少？
（2）它们都是黑球的概率是多少？
（3）甲坛子中摸出白球，乙坛子中摸出黑球的概率是多少？
1
解：（1）显然，一次试验中可能出现的结果有n=
C
5
C
4
=20个,而这个事件包含的结果
1
有m=
C
3
C1
=3,根据等可能事件的概率计算公式得：P
1
=
11
C2
C
63
（2）同（1）可得：P
2
=
1
3< br>。

1
C
5
C
4
2010
11
C
3
C
9
（3）同理：P
3
=
1
3
；

1
C
5
C
4
20
11< br>m3
。

n20
（三）相互独立事件与互斥事件
1．互斥事件与相互独立事件有何区别？
两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相 互独立是指一个事件的发生与否对
另一事件发生的概率没有影响。
2．下列各对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？为什么？
（1）“掷一枚硬币，得到正面向上”与“掷一枚骰子，向上的面是2点”；
（2）“在一次考试中，张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”；
（3）在 一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球，得到白球”

与“从中任 意取出1个球，得到黑球”；
（4）在一个口袋内装有3个白球和2个黑球，则“从中任意取出1个球 ，得到白球”
与“在剩下的4个球中，任意取出1个球，得到黑球”。
3． 已知A、B是两 个相互独立事件，P（A）、P（B）分别表示它们发生的概率，则：1-P（A）·P
（B）是下列那 个事件的概率
A．事件A、B同时发生； B．事件A、B至少有一个发生；
C．事件A、B至多有一个发生； D．事件A、B都不发生；
4. 甲、乙2人各进行一次射击，如果2人击中目标的概率都是，且相互之间没有影响，计
算：
（1）2人都击中目标的概率；
（2）2人都没有击中目标的概率；
解：（1）P=

；
（2）P=（）

（）=；

（四）N次独立重复试验恰有K次发生的概率

1. 甲乙丙三人各射击一次，三人击中目标的概率都是，求其中恰有一人击中目标的概
率和目标被击中的概率。 （） （）

2. 如图，每个开关闭合的概率都为，计算这段时间内线路正常工作的概率。





3. 如图，每个开关闭合的概率都是，计算这段时间内线路正常工作的概率。
(提示：反向思考较为简单。（）)





4. 甲乙两战士向同一目标各射击一次
设A={甲战士射中目标} B={乙战士射中目标}
（1） 甲乙两战士同时射中；
（2） 甲乙两战士中至少有一人射中；
（3） 甲乙两战士中恰有一个射中。

练习：
1、一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，
问 取得颜色相同的球的概率是多少？ （12）

2、从甲乙丙三种零件中各取1件组 成某产品所有三零件必须都是正品，所得产品才是合格
品，已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5 %，求产品的次品率？（结果保留四位有效数

字） （）

3、某战士射击中靶的概率为，若连续射击两次，求：
（1） 两次都中靶的概率； （）
（2） 至少有一次中靶的概率；
（3） 至多有一次中靶的概率。
4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率是，乙击中敌机的概率为，
求
（1）求敌机被击中的概率； （）
（2）已知甲乙两炮都击中敌机时，敌机才坠毁，求敌机坠毁的概率。 （）
5、甲厂 生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是25，乙厂生产的脱柴油机，每
台连续使用不少于1 0年的概率是35，将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用，求下列各
事件的概率：
（1） A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）； 625
（2） B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年） 425
（3） C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年 1925
6、有4名学生参加体育达 标测验，4人各自合格的概率分别是13，14，15，16，求以
下的概率：
（1）四人中至少有二人合格的概率； 43180
（2）四人中恰好只有二人合格的概率。 71360