E、开始于MP
L
的最高点，终止了MP
L
等于零的点
9、关于等产量曲线下列论述正确的有（ ）。
A、斜率为负 B、凸向原点
C、等产量曲线上任一点切线斜率的绝对值等于该点的
MRTS

D、任何两条等产量曲线不能相交
E、离原点越远的等产量曲线代表的产出水平越高
10、边际报酬递减规律发生作用的前提是（ ）
A、存在技术进步 B、生产技术水平不变
C、具有两种以上可变要素的生产 D、只有一种可变要素的生产。
E、前后投入的要素保持相同的质
11、下列说法正确的有（ ）。
A、等产量曲线上某点的边际技术替代率等于等产量曲线上该点斜率值
B、等产量曲线上某点的边际技术替代率等于等产量曲线上该点斜率的绝对值
C、边际技术替代率等于两种生产要素的边际产量之比
D、随着增加劳动投入去替代资本投人 ，MP
L
不断下降，MP
K
不断上升
E、随着增加劳动投入去替代 资本投人，MP
L
不断上升，MP
K
不断下降
12、有关等成本线变动的描述正确的是 （ ）。
A、在两种要素价格不变的条件下，成本增加使等成本曲线向右上方平移
B、在两种要素价格不变的条件下，成本减少使等成本曲线向左下方平移
C、在成本和另一种要素价格不变的条件下，一种要素的价格变动将导致等成本线旋转
D、等成本线的斜率等于两种生产要素价格之比
E、等成本线的斜率等于

w

r

13、等成本曲线平行向外移动表明( )。
A、产量提高了
B、两种生产要素的价格不变，要素投入增加了
C、要素投入不变，生产要素的价格按相同比例提高了
D、要素投入不变，生产要素的价格按相同比例降低了
E、产量降低了
14、以下说法正确的是 （ ）
A、MP大于AP时，AP下降 B、MP小于AP时，AP下降
C、MP等于AP时，AP下降 D、MP等于AP时，AP达到最低点
E、MP等于AP时，AP达到最高点
15、有关生产要素最优组合的条件及其含义的描述正确的是（ ）。
A、厂商的生产要素最优组合点位于等产量曲线与等成本线的切点
B、生产要素最优组合点的确定性原则是：
MRTS
LK
wr

C、生产要素最优组合点的确定性原则是：
MP
L
MP
K


wr
D、达到生产要素最优组合意味着厂商在既定成本下得到最大产量
E、达到生产要素最优组合意味着厂商在既定产量下成本最小

三、分析计算题 < /p>

1、某企业在短期生产中的生产函数为Q=－L+24L+240L，计算企业在下列情况 下的L
的取值范围。①在第Ⅰ阶段；②在第Ⅱ阶段；③在第III阶段。

2、已知某厂商的生产函数为 Q＝f（K，L）＝15KL／（2K＋L）。求（1）劳动的边际产< br>量（MP
L
）函数和劳动的平均产量（AP
L
）函数；（2）劳动边际 产量的增减性。

3、如果某企业仅生产一种产品，并且惟一可变要素是劳动，没有固定成本 。其短期生
32
产函数为Q=－0.1L＋3L＋8L，其中，Q是每月的产量，单位为吨，L 是雇用工人数，
试问：
(1)欲使劳动的平均产量达到最大，该企业需要雇用多少工人？
（2）要使劳动的边际产量达到最大，其应该雇用多少工人？
（3）在其平均可变成本最小时，生产多少产量（Q）？

22
4、已知某企业的生 产函数为Q=5L+12K－2L－K，其中，P
L
=3，P
K
=6，总成本 TC=160，
试求该企业的最优要素组合。

3747
5、已知厂商的生 产函数为Q＝LK，又设P
L
=3元，P
K
=4元。求如果该厂商要生产15 0
单位产品，那么他应该使用多少单位的劳动（L）和资本（K）才能使其成本降至最低？
6、已知某企业的生产函数为
QLK,
劳动的价格ω=2，资本的价格r=1。求：
（1）当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。
（2）当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。

7、已 知生产函数为Q=KL－0.5L－0.32K，Q表示产量,K表示资本,L表示劳动。令上式
的K= 10。
（1） 写出劳动的平均产量（AP
L
）函数和边际产量（MP
L
）函数。
（2） 分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到极大值时厂商雇佣的劳动
（3） 证明当AP
L
达到极大时AP
L
=MP
L
=2。

8、假定某完全竞争厂商只有一种可变要素劳动L，产出一种产品Q，固定成本为既定，
32
短期生产函数Q= -0.1L+6L+12L。求解：
（1） 劳动的平均产量（AP
L
）为极大时雇佣的劳动人数。
（2） 劳动的边际产量（MP
L
）为极大时雇佣的劳动人数。
（3） 假如每个工人工资W=360元，产品价格P=30元，求利润极大时雇佣的劳动人数。

2 2
9、已知：生产函数Q=20L+50K－6L－2K，P
L
=15元，P
K
=30元，TC=660元。其中：Q为
产量，L与K分别为不同的生产要素投入，PL
与P
K
分别为L和K的价格， TC为生产总成本。
试求最优的生产要素组合。

10、某钢铁厂的生产函数为Q=5LK，其中Q为该厂的产量，L为该厂每期使用的劳动数量，
K为该厂每期使用的资本数量。如果每单位资本和劳动力的价格分别为2元和1元，那么每期
生产20单位的产品，应该如何组织生产？

四、简答题
22
3 2
2
3
1
3

1、边际产量曲线、总产量曲线和平均产 量曲线之间存在怎样的关系？

2、等产量曲线有哪些特征，这些特征的经济含义是什么？

3、请解释生产可能性曲线凹向原点的原因。

4、简述规模报酬变动规律及其成因。

5、请比较说明消费者行为理论与生产者行为理论。

6、厂商利润最大化与生产要素最优组合之间的关系是怎样的？

7、试叙述理性的生产厂商如何选择最优的生产要素投入组合。

8、简述边际报酬率递减规律的内容。

9、某企业主管想增加聘用一单位工人来生产一批产品，那么他应该更多的考虑是劳动
的平均产量还是劳动的边际产量？为什么？

10、如果甲、乙两个地区生产同样的产品－布料，甲生产1平方米所需要的工人是5人，
而乙只需要2人即可。试问：我们能否判定乙的生产效率要比甲的生产效率高？为什么？

11、规模报酬的递增，不变和递减这三种情况与一种要素可变的报酬递增，不变和递
减
的三种情况的区别何在？

五、论述题
1、试阐明生产要素最佳配置的含义及其实现条件。

第四章参考答案
一、 单项选择题
1、A 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B 7、C 8、D 9、B 10、B
11、D 12、B 13、B 14、B 15、A 16、B 17、D 18、C 19、D 20、D
21、C 22、A 23、C 24、A 25、D 26、D 27、C 28、D 29、C 30、C
31、A 32、D 33、B 34、B 35、D 36、D
二、 多项选择题
1、ABC 2、AC 3、ABCD 4、ABCE 5、BDE
6、ABCD 7、ABC 8、CD 9、ABCDE 10、BDE
11、BCD 12、ABCE 13、BD 14、BE 15、ABCDE

三、分析计算题

1、在第Ⅰ阶段，L<12；在第Ⅱ阶段，12≤L≤20；在第Ⅲ阶段，L>20。
22
2、（1）劳动的边际产量为：MP
L
＝dQ／dL＝30K／（2K＋L）
劳动的平均产量为：AP
L
=Q／L=15K／（2K＋L）
（2）因为求解MPL的增减性实际上就是对MP
L
的一阶导数的结果的考察，
22
又因为MP
L
＝30K／（K＋L），
2323
所以 得：d（MP
L
）／dL=[30K×（-2）]／（2K＋L）＝－60K／（2K＋L）＜ 0
所以边际产量函数为减函数。

3、（1）L＝15
（2）L＝10
（3）由（l）可知：当L=15时，AP
L
达到最大，此时平均可 变成本最小。所以由该生产
32
函数Q＝－0．IL＋3L＋8L，可求得：L＝15时，Q= 457．5

4、L=15427，K=64327。

-474737 -37
5、由题可知：MP
L
＝（3／7）LK，MP
K
＝（4／7 ）LK
厂商要实现成本最小化，就必须使 MP
L
／MP
K
＝P
L
／P
K
= 3／4
所以有K=L
3747
由此可得：L（L）=150，因此L＝K=150

2

33
LK
MP
L
3
Kw2

2
6、由题可知：
22

MP
K
1
33
Lr1
LK
3
∴K=L
（1） C=wL+rK=3L=3000 ∴L=K=1000 Q=1000
（2）
QLK

2
3
1
3
11
800,
L=K=800 C=wL+rK=2400

7、（1） 劳动的平均产量函数AP
L
=10－0.5L－32L
劳动的边际产量函数MP
L
=10－L
（2）当总产量达到极大值时厂商雇佣的劳动为10。
当平均产量达到极大值时厂商雇佣的劳动为8。
当边际产量达到极大值时厂商雇佣的劳动为0。
（3）由（2）可知，当L=8时劳动的平均产量达到极大值
则 AP
L
=10－0.5L－32L=10－0.5×8－328=2
而当L=8时，MP
L
=10-L=10－8=2
故当AP
L
达到极大时AP
L
=MP
L
=2。

8、（1） 劳动的平均产量（AP
L
）为极大时雇佣的劳动人数为30。
（2）劳动的边际产量（MP
L
）为极大时雇佣的劳动人数为20。
（3）解法一：

TRTCPQP
L
L

30(0.1L
3
6L
2
12L)360L
< br>30(0.3L12L12)3600

L
L0(舍),L4 0
2

即利润极大时雇佣的劳动人数为40人
2
解法二：当工资W=360元，产品价格P=30元，由VMP= MP
L
×P=W，即9L+360L+360=360，
得利润极大时雇佣的劳动人数为40人。

9、L=3，K=20.3
10、K=
2
，L=2
2
。

四、简答题(答题要点)
1、略

2、等产量曲线的特征有如下四点：
（1）等产量曲线向右下方倾斜。这个特征表明，理性的 生产者应把两种投入的组合置
于合理的投人区域之中。
（2）产量曲线是凸向原点的。这个特征表明，边际技术替代率存在递减规律。
（3）等产量 曲线有无数多条，其中每一条代表着一个产量值，并且离原点越远，代表
的产量值越大。这个特征表明， 在投人组合可以任意改变的条件下，可以画出无数条
等产量曲线，在这些等产量曲线中，离原点越远，生 产过程中投人的劳动和资本的数
量越多，从而他们能生产的产量也越大。
（4）任意两条等产 量曲线不相交。这个特征表明，在生产技术水平既定的条件下，一
个特定的生产要素组合点所能生产的最 大产量只能是一个数值，因而过这一点的等产
量曲线也只能有一条。

3、因为资源 的稀缺性和要素之间的不完全替代，使得机会成本递增，这就表现为生产可能
性曲线凹向原点。当生产可 能性为凹性时，随着一种商品产量的增加，每增加一单位这种
商品所放弃的另一种商品的产量呈递增趋势 。

4、规模收益变动规律是指在技术水平不变的条件下，当两种生产要素按 同一比例同时增加
时，最初这种生产规模的扩大会使得产量增加超过生产规模的扩大，但当规模扩大超过 一
定限度时，产量的增加会小于生产规模的扩大，甚至会出现产量的绝对减少。在技术水平
不变 的条件下，生产要素同比例增加所引起的生产规模扩大使得产量的增加可以分成三个
阶段：最初，规模收 益递增，即产量增加的比率超过投入增加的比率；第二，规模收益不
变，即产量增加的比率等于投入增加 的比率；最后，规模收益递减，即产量增加的比率小
于投入增加的比率；之所以出现这种情况，一方面是 由于厂商规模的扩大使得厂商的生产
由内在经济逐渐转向内在不经济。在规模扩大的初期，厂商可以购置 到大型的先进机器设
备，这是小规模生产所无法解决的。随着规模的扩大，厂商可以在内部进一步实行专 业分
工，提高生产率。同时，企业的管理人员也可以发挥管理才能，提高管理效率，并且大规
模 的生产有利于副产品的综合利用。另一方面，大厂商在购买生产要素方面往往具有某些
优惠条件，从而减 少成本支出。因此，随着厂商规模的扩大收益的增加量会超过投入的增
加量，从而出现规模收益递减。但 是，厂商的规模并不是越大越好。当厂商的规模扩大到
一定程度以后，由于管理机构越来越大，信息不畅 ，从而出现管理效率下降的现象。此外，
一方面厂商规模的扩大使得信息处理费用和销售费用增加，可能 抵消规模经济带来的利益；
另一方面，当厂商的规模扩大到只有提高价格才能购买到足够的生产要素时， 厂商的成本
势必增加。这些因素最终会导致生产出现规模收益递减。当然，在规模收益递增和递减阶段会出现规模收益不变阶段，这一阶段的长短在不同的生产过程中表现不同。

5、 （1）消费者行为理论和生产者行为理论都假设行为者为理性的经济人，即消费者追
求最大效用，生产者 追求最大利润。
（2）消费者行为理论的目的是解释消费者行为，并把分析结果总结在需求曲 线中。而
生产者行为理论的目的则是解释生产者行为，并把分析结果总结在供给曲线中。
（3 ）消费者行为理论中序数效用论的分析工具为无差异曲线和预算约束线，两者的切
点为消费者的均衡点。 生产者行为理论的分析工具也类似，如等产量曲线和等成本曲线，
二者的切点为生产者均衡。二者均是供 求论的基石

6、①生产要素最优组合问题即厂商如何选择投入组合去实现某个产量的成本最 小化问题，
厂商为了实现利润最大化，必然要求实现其选择产量的成本最小化。因此，实现生产要素最优组合是厂商实现利润最大化的必要条件。
②厂商实现了生产要素的最优组合，即实现了某个产 量的成本最小化时，不一定能实
现利润最大化，也就是说生产要素最优组合不是利润最大化的充分条件。

7、厂商组织生产应分为以下两种情况：
（1）对于单一可变生产要素的情况，厂 商的最优生产投人量应该在生产的第二阶段，
也就是说在生产要素的平均产量下降且边际产量大于零的阶 段。这是因为，在第一阶段，
平均产量递增，如果继续增加该要素的投人量，总产量和平均产量会相应增 加，理性的生
产者自然不会停留在该阶段；而在第三阶段，边际产量为负，如果减少要素的投入量，总< br>产量会相应地增加，所以理性的生产也不会停留在这个阶段。至于生产者在第二阶段中何
处达到收 益最大值则取决于要素投人所能带来的收益与其花费的成本的比较。如果要素的
投人带来的边际收益等于 其导致的边际成本，则其达到最佳投人数量。否则，就需要增加
或减少投人量。
（2）对于两 种及两种以上的可变生产要素的情况，其投人比例取决于边际技术替代率

MRTS和各要 素的价格，当MRTS＝ω／r时，要素的投入比例为最佳。在等产量线和等成本线
上，则是二者相切之 处决定最佳比例。其表现为等产量线和等成本线的无数个切点上，这
些切点构成生产的扩展线。理性的生 产者应选择生产曲线上的哪一点取决于产品的价格和
要素的规模收益状况。
生产规模的确定需 要由收益情况来定。如果规模收益呈递增趋势，则生产规模应继续
扩大，增加使用各种要素的数量；如果 规模收益呈递减趋势，则生产规模应缩小，直到处
于规模收益不变阶段。生产者选择最优规模时，其基本 的原则是MR＝MC。

8、略

9、在该主管考虑聘用工人时 ，他更多的是关心劳动的边际产量而不是劳动的平均产量。这
是因为，该主管聘用工人时考虑的是该名工 人能否带来总产量的增加且增加量为多少。从
产量的角度来说，只要增雇的该名工人能够带来总产量的增 加，即边际产量大于零，主管
就会雇用他。

10、不能据此来判定乙的生产效率 比甲高。因为在使用的资本数量及劳动与资本的价格不
明确的条件下无法判断究竟哪一个生产者在经济上 的效率更高（即成本费用最低）。如果劳
动的价格为10，资本的价格为12，甲使用5单位的劳动力和 2单位的资本生产回平方米的
布料，其总成本为74；乙使用2单位的劳动力和5单位的资本生产1平方 米的布料的总成
本为80。明显的是乙要比甲的生产成本高。所以说，不能由此来判定乙的生产效率比甲 高。

11、规模报酬问题论及的是：一厂商的规模本身发生变化（这假定为该厂的厂房、设 备等
固定要素和劳动，原材料等可变要素发生同比例变化）相应的产量是不变，递增还是递减；
而可变比例生产函数所讨论的则是在该厂的规模已经固定下来，即厂房，设备等固定要素
既定不变，可变 要素的变化引起的产量（报酬）递增，递减及不变等三种情况。

五、论述题（答题要点）
1、（1）生产要素最佳配置是指以最小的成本取得最大的产出，实现资源最充分利用的
状态。
（2）要确定资源最充分利用的条件和界限，就需要把等产量线和等成本线结合起来考
察。这分 两种情况：一是在即定的产出水平下，如何求得最低成本，这就需要使既定的生
产等量线与离原点尽可能 近的一条等成本线相切，切点则为生产要素最佳配置点。二是厂
商投入的成本和要素价格已定的情况下， 如何求得最大产出水平。这就需要使既定的等成
本线与离原点尽可能远的一条等产量线相切，切点则为生 产要素最佳配置点。总之，实现
生产要素最佳配置的条件必须是等成本线与等产量线相切。
（3）由等成本线与等产量线相切可得
MP
L
MP
K
= P
L
P
K
，其经济含义是，实现生产要素最佳配
置的条件必须是两种投 入要素的边际产量之比与两种要素的价格之比相等。由此还可推出
MP
L
P
L
= MP
K
P
K
，其经济含义是，实现生产要素最 佳配置的条件必须是：厂商购买劳动与
资本所支出的每一元钱所获得的边际产量相等。

1. 下面(表4—1)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：

表4—1

可变要素的数量 可变要素的总产量 可变要素的平均产量 可变要素的边际产量
1 2
2 10
3 24
4 12
5 60
6 6
7 70
8 0
9 63
(1)在表中填空。
(2)该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开
始的？
解答：(1)利用短期生产的总产量(TP)、平均产量(AP)和边际产量(MP)之间的关系，可< br>以完成对该表的填空，其结果如表4—2所示：

表4—2

可变要素的平均产可变要素的边际产
可变要素的数量 可变要素的总产量
量 量
1 2 2 2
2 12 6 10
3 24 8 12
4 48 12 24
5 60 12 12
6 66 11 6
7 70 10 4
8 70 8f(3 4) 0
9 63 7 －7
(2)所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后
开始逐 步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具
体地说，由表4—2 可见，当可变要素的投入量从第4单位增加到第5单位时，该要素的边
际产量由原来的24下降为12。

2. 用图说明短期生产函数Q＝f(L， eq o(K,sup6(－)))的TPL
曲线、AP
L
曲线和
MP
L
曲线的特征及其相互之间 的关系。
解答：短期生产函数的TP
L
曲线、AP
L
曲线和MP< br>L
曲线的综合图如图4—1所示。
图4—1

< br>由图4—1可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MP
L
曲线呈现出先上升达
到最高点A以后又下降的趋势。从边际报酬递减规律决定的MP
L
曲线出发，可以方便 地推
导出TP
L
曲线和AP
L
曲线，并掌握它们各自的特征及相互之 间的关系。
关于TP
L
曲线。由于MP
L
＝eq f(dTPL
,dL)，所以，当MP
L
＞0时，TP
L
曲线是上
升的；当MP
L
＜0时，TP
L
曲线是下降的；而当MP
L
＝0时，TP
L
曲线达最高点。换言之，
在L＝L
3
时，MP
L
曲线达到零值的B点与TP
L
曲线达到最大值的B′点是相互对应的。此外，在L＜L
3
即MP
L
＞0的范围内，当MP′
L
＞0 时，TP
L
曲线的斜率递增，即TP
L
曲线以递增
的速率上升；当M P′
L
＜0时，TP
L
曲线的斜率递减，即TP
L
曲线以递 减的速率上升；而当
MP′＝0时，TP
L
曲线存在一个拐点，换言之，在L＝L1
时，MP
L
曲线斜率为零的A点与TP
L
曲线的拐点A′是相 互对应的。
关于AP
L
曲线。由于AP
L
＝eq f(TP
L
,L)，所以，在L＝L
2
时，TP
L
曲线有一条由
原 点出发的切线，其切点为C。该切线是由原点出发与TP
L
曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是AP
L
的最大值点。再考虑到AP
L
曲 线和MP
L
曲线一定会
相交在AP
L
曲线的最高点。因此，在图4— 1中，在L＝L
2
时，AP
L
曲线与MP
L
曲线相交于AP
L
曲线的最高点C′，而且与C′点相对应的是TP
L
曲线上的切点 C。

3. 已知生产函数Q＝f(L， K)＝2KL－0.5L
2
－0.5K
2
， 假定厂商目前处于短期生产，且
K＝10。
(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量 TP
L
函数、劳动的平均产量AP
L
函数和
劳动的边际产量MPL
函数。
(2)分别计算当劳动的总产量TP
L
、劳动的平均产量AP
L
和劳动的边际产量MP
L
各自达
到最大值时的厂商的劳动投入量。
(3)什么时候AP
L
＝MP
L
？它的值又是多少？
解答 ：(1)由生产函数Q＝2KL－0.5L
2
－0.5K
2
，且K＝10，可 得短期生产函数为

Q＝20L－0.5L
2
－0.5×10
2
＝20L－0.5L
2
－50

于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数
劳动的总产量函数：TP
L
＝20L－0.5L
2
－50
劳动的平均产量函数：AP
L
＝
劳动的边际产量函数：MP
L
＝(2)关于总产量的最大值：
令eq f(dTP
L
,dL)＝0，即
解得 L＝20
eq f(TP
L
,L)＝20－0.5L－
eq f(dTP
L
,dL)＝20－L
eq f(dTP
L
,dL)＝20－L＝0
eq f(50,L)
且 eq f(d
2
TP
L
,dL
2
)＝－1＜0
所以，当劳动投入量L＝20时，劳动的总产量TPL达到极大值。
关于平均产量的最大值：
令eq f(dAP
L
,dL)＝0，即
解得 L＝10(已舍去负值)
eq f(dAP
L
,dL)
－
＝－0.5＋50L
2
＝0
－
且 eq f(d
2
AP
L
,dL
2
)＝－100L
3
＜0
所以，当劳动投入量L＝10时，劳动的平均产量AP
L
达到极大值。
关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数MP
L
＝20－L可知，边 际产量曲线是一条斜率为负的直线。考虑
到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动 的边际产量MP
L
达到极大值。
(3)当劳动的平均产量AP
L
达 到最大值时，一定有AP
L
＝MP
L
。由(2)已知，当L＝10时，
劳动的平均产量AP
L
达到最大值，即相应的最大值为

AP
L
的最大值＝20－0.5×10－eq f(50,10)＝10

将L＝10代入劳动的边际产量函数MP
L
＝20－L，得MP
L
＝20－1 0＝10。
很显然，当AP
L
＝MP
L
＝10时，AP
L
一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L＝
10。

4.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。
解答：边际 报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的
总产量的变化量，即边际产量 的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入
数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括 边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边
际报酬分析可视为短期生产的分析视角。
规模 报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引
起的产量变化特征，当产 量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例
时，则分别为规模报酬递增、不变、递 减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视
角。

5. 已知生产函数为Q＝min{2L， 3K}。求：
(1)当产量Q＝36时，L与K值分别是多少？
(2)如果生产要素的价格分别为P
L
＝2，P
K
＝5，则生产48 0单位产量时的最小成本是多
少？
解答：(1)生产函数Q＝min{2L， 3K}表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所
以，厂商进行生产时，总有Q＝2L＝3K。
因为已知产量Q＝36，所以，相应地有L＝18，K＝12。
(2)由Q＝2L＝3K，且Q＝480，可得

L＝240，K＝160

又因为P
L
＝2，P
K
＝5，所以有

C＝P
L
·L＋P
K
·K
＝2×240＋5×160＝1 280

即生产480单位产量的最小成本为1 280。
6.假设某厂商的短期生产函数为 Q＝35L＋8L
2
－L
3
。
求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。
(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？
解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝eq f(Q(L),L)＝35＋8L－L
2

边际产量函数：MP(L)＝eq f(dQ(L),dL)＝35＋16L－3L
2

(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。
在生产要素L投入量的合理区间的左端， 有AP＝MP，于是，有35＋8L－L
2
＝35＋16L
－3L
2
。解得L＝0和L＝4。L＝0不合理，舍去，故取L＝4。
在生产要素L投入量的合理区间的右端， 有MP＝0，于是，有35＋16L－3L
2
＝0。解
得L＝－eq f(5,3)和L＝7。L＝－eq f(5,3)不合理，舍去，故取L＝7。
由此可得，生产要素 L投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L的使用量
为6是处于短期生产的合理区间的 。

7.假设生产函数Q＝3L
0.8
K
0.2
。试问：
(1)该生产函数是否为齐次生产函数？
(2)如果根据欧拉分配定理，生产要素L和K 都按其边际产量领取实物报酬，那么，分
配后产品还会有剩余吗？

解答：(1)因为

＋
f(λL，λK)＝3(λL)
0.8
(λK)
0.2
＝λ
0.80.2
3L
0. 8
K
0.2

＝λ·3L
0.8
K
0.2
＝λ·f(L，K)

所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。
(2)因为

－
MP
L
＝eq f(dQ,dL)＝2.4L
0.2
K
0.2

MP
K
＝eq f(dQ,dK)＝0.6L
0.8
K
0.8


所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为

－－
MP
L
·L＋MP
K
·K＝2.4L
0.2
K
0.2
· L＋0.6L
0.8
K
0.8
·K
＝2.4L
0.8K
0.2
＋0.6L
0.8
K
0.2
＝3L
0 .8
K
0.2


可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉 分配定理分配实物报酬，则所生产的
产品刚好分完，不会有剩余。

8.假设生产函数Q＝ min{5L,2K}。
(1)作出Q＝50时的等产量曲线。
(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。
(3)分析该生产函数的规模报酬情况。
解答：(1)生产函数Q＝min{5L,2K}是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图4—2< br>所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为

eq f(K,L)＝eq f(5,2)。
－



图4—2


当产量Q＝50时，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。相应的Q＝50的等产量曲线如
图 4—2所示。
(2)由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替
代率MRTS
LK
＝0。
(3) 因为Q＝f(L，K)＝min{5L,2K}

f(λL，λK)＝min{5λL,2λK}＝λmin{5L,2K}

所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。

9.已知柯布 道格拉斯生产函数为Q＝AL
α
K
β
。请讨论该生产函数的规模报酬情况。
解答：因为 Q＝f(L，K)＝AL
α
K
β


＋
f(λL，λK)＝A(λL)
α
(λK)
β
＝λ< br>αβ
AL
α
K
β


所以当α＋β>1时， 该生产函数为规模报酬递增；当α＋β＝1时，该生产函数为规模报
酬不变；当α＋β<1时，该生产函 数为规模报酬递减。

10. 已知生产函数为
(a)Q＝5Leq f(1,3)Keq f(2,3)；

(b)Q＝eq f(KL,K＋L)；
(c)Q＝KL
2
；
(d)Q＝min{3L， K}。
求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。
(2)当P
L
＝1，P
K
＝1，Q＝1 000时，厂商实现最小成本的要素投入组合。
解答：(1)(a)关于生产函数Q＝5Leq f(1,3)Keq f(2,3)。

MP
L
＝eq f(5,3)L－eq f(2,3)Keq f(2,3)
MP
K
＝eq f(10,3)Leq f(1,3)K－eq f(1,3)

由最优要素组合的均衡条件eq f(MP
L
,MP
K
)＝eq f(P
L
,P
K
)，可得

eq f(5,3)L－eq f(2,3)Keq f(2,3),eq f(10,3)Leq f(1,3)
K－eq f(1,3))＝eq f(P
L
,P
K
)

整理得

eq f(K,2L)＝eq f(P
L
,P
K
)

即厂商长期生产的扩展线方程为

K＝eq blc(rc)(avs4alco1(f(2P
L
,P
K
)))L

(b)关于生产函数Q＝eq f(KL,K＋L)。

MP
L
＝eq f(K(K＋L)－KL,(K＋L)
2
)＝eq f(K
2
,(K＋L)
2
)
MP
K
＝eq f(L(K＋L)－KL,(K＋L)
2
)＝eq f(L
2
,(K＋L)
2
)

由最优要素组合的均衡条件eq f(MP
L
,MP
K
)＝eq f(P
L
,P
K
)，可得

eq f(K
2
(K＋L)
2
,L
2
(K＋L)
2
)＝eq f(P
L
,P
K
)

整理得

eq f(K
2
,L
2
)＝eq f(P
L
,P
K
)

即厂商长期生产的扩展线方程为

K＝eq blc(rc)(avs4alco1(f(P
L
,P
K
)))eq f(1,2)·L

(c)关于生产函数Q＝KL
2
。

MP
L
＝2KL
MP
K
＝L
2


由最优要素组合的均衡条件eq f(MP
L
,MP
K
)＝eq f(P
L
,P
K
)，可得

eq f(2KL,L
2
)＝eq f(P
L
,P
K
)

即厂商长期生产的扩展线方程为

K＝eq blc(rc)(avs4alco1(f(P
L
,2P
K
)))L

(d)关于生产函数Q＝min(3L， K)。
由于该函数是固定投入比例的生 产函数，即厂商的生产总有3L＝K，所以，直接可以
得到厂商长期生产的扩展线方程为K＝3L。
(2)(a)关于生产函数Q＝5Leq f(1,3)K
eq
f(
2,3)。
eq 当P
L
＝1，P
K
＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝
b lc(rc)(avs4alco1(f(2P
L
,P
K
)))L得

K＝2L

代入生产函数Q＝5Leq f(1,3)Keq f(2,3)得

5Leq f(1,3)(2L)eq f(2,3)＝1 000

于是，有L＝eq f(200,r(3,4))，K＝eq f(400,r(3,4))。
(b)关于生产函数Q＝eq f(KL,K＋L)。
当P
L
＝1，P
K
＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝< br>blc(rc)(avs4alco1(f(P
L
,P
K
)))eq f(1,2)L得

K＝L

代入生产函数Q＝eq f(KL,K＋L)，得

eq f(L
2
,L＋L)＝1 000
于是，有L＝2 000，K＝2 000。

(c)关于生产函数Q＝KL
2
。
当P
L
＝1，P
K
＝1，Q＝1 000时，由其扩展线方程K＝< br>blc(rc)(avs4alco1(f(P
L
,2P
K
)))L得
eq
eq

K＝eq f(1,2)L

代入生产函数Q＝KL
2
，得

eq blc(rc)(avs4alco1(f(L,2)))·L
2
＝1 000
于是，有L＝10eq r(3,2)，K＝5eq r(3,2)。

(d)关于生产函数Q＝min{3L， K}。
当P
L
＝1，P
K
＝1，Q＝1 000时，将其扩展线方程K＝3L，代入生产函数，得

K＝3L＝1 000

于是，有K＝1 000，L＝eq f(1 000,3)。

11. 已知生产函数Q＝AL
13
K
23
。
判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？
(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
解答：(1)因为Q＝f(L，K)＝ALeq f(1,3)Keq f(2,3)， 于是有

f(λL，λK)＝A(λL)eq f(1,3)(λK)eq f(2,3)＝Aλeq f(1,3)＋
f(2,3)Leq f(1,3)K
K)

所以，生产函数Q＝AL
eq f(2,3)＝λALeq f(1,3)K
eq
eq f(2,3)＝λ·f(L，
eq f(1,3)Keq f(2,3)属于规模报酬不变的生产函数。
eq o(K,sup6(－))表示；而劳动投入(2 )假定在短期生产中，资本投入量不变，以
量可变，以L表示。
对于生产函数Q＝ALeq f(1,3)eq o(K,sup6(－))－eq f(2,3)，有

MP
L
＝eq f(1,3)AL－eq f(2,3)eq o(K,sup6(－))－eq f(2,3)


且 eq f(dMP
L
,dL)＝－eq f(2,9)AL－eq f(5,3)eq
o(K,sup6(－))－eq f(2,3)＜0
这表明：在短期资本投入量不变的前提 下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动
的边际产量MP
L
是递减的。
类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以
本投入量可变，以K表示。
eq o(L,sup6(－))表示；而资
对于生产函数Q＝Aeq o(L,sup6(－))eq f(1,3)Keq f(2,3)，有

MP
K
＝eq f(2,3)Aeq o(L,sup6(－))eq f(1,3)K－eq f(1,3)

且 eq f(dMP
K
,dK)＝－eq f(2,9)Aeq o(L,sup6(－))eq f(1,3)
K－eq f(4,3)＜0
这表明：在短期 劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本
的边际产量MP
K
是递减的。

以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。

12. 令生产函数f(L，K)＝α
0
＋α
1
(LK)eq f( 1,2)＋α
2
K＋α
3
L，其中0≤α
i
≤1，i＝0,1,2,3。
(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。
解答：(1)根据规模报酬不变的定义

f(λL，λK)＝λ·f(L，K) (λ＞0)

于是有

f(λL，λK)＝α
0
＋α
1
[(λL)(λK)]eq f(1,2)＋α
2
(λK)＋α
3
(λL)
＝α
0
＋λα
1
(LK)eq f(1,2)＋λα
2
K＋λα
3
L
＝λ[α
0
＋α
1
(LK)eq f(1,2)＋α
2
K＋α
3
L]＋(1－λ)α
0

＝λ·f(L，K)＋(1－λ)α
0


由上式可见，当α
0
＝0时，对于任何的λ＞0，有f(λL， λK)＝λ·f(L， K)成立，即当α
0
＝0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
(2)在规模报酬不变，即α
0
＝0时，生产函数可以写成

f(L，K)＝α
1
(LK)eq f(1,2)＋α
2
K＋α
3
L

相应地，劳动与资本的边际产量分别为

MP
L
(L，K)＝eq f(∂f(L，K),∂L)＝eq f(1,2)α
1
L－eq f(1,2)K
eq f(1,2)＋α
3

MP
K
(L，K)＝eq f(∂f(L，K),∂K)＝eq f(1,2)α
1
Leq f(1,2)K－
eq f(1,2)＋α
2


而且有

eq f(∂MP
L
(L，K),∂L)＝
eq f(3,2)

Keq f(1,2)
eq f(∂
2
f(L，K),∂K
2
)＝－eq f(1,4)α
1
Leq f(∂MP
K
(L，K),∂K)＝
eq f(∂
2
f(L，K),∂L
2
)＝－eq f(1,4)α
1
L－
eq f(1,2)K－eq f(3,2)

显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。

13. 已知某企业的生产函数为Q＝Leq f(2,3)Keq f(1,3)，劳动的价格w＝
2，资本的价格r＝1。求：
(1)当成本C＝3 000时，企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值。
(2)当产量Q＝800时，企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值。
解答：(1)根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件

eq f(MP
L
,MP
K
)＝eq f(w,r)

其中 MP
L
＝

eq f(dQ,dL)＝eq f(2,3)L－eq f(1,3)Keq f(1,3)

MP
K
＝eq f(dQ,dK)＝eq f(1,3)Leq f(2,3)K－eq f(2,3)
w＝2 r＝1

于是有 eq f(2,3)L－eq f(1,3)Keq f(1,3),eq f(1,3)Leq
f(2,3)K－eq f(2,3))＝eq f(2,1)
整理得 eq f(K,L)＝eq f(1,1)
即 K＝L
再将K＝L代入约束条件2L＋1·K＝3 000，有

2L＋L＝3 000

解得 L
*
＝1 000
且有 K
*
＝1 000
将L
*
＝K
*
＝1 000代入生产函数，求得最大的产量

Q
*
＝(L
*
)eq f(2,3)(K
*
)eq f(1,3)＝1 000eq f(2,3)＋eq f(1,3)
＝1 000

本题的计算结果表示：在成本C＝3 000时，厂商以L
*
＝1 000，K
*
＝1 000进行生产所
达到的最大产量为Q
*
＝1 000。
此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。

eq o(max,sdo4(L，K))Leq f(2,3)Keq f(1,3)
s.t. 2L＋1·K＝3 000
L(L，K，λ)＝Leq f(2,3)Keq f(1,3)＋λ(3 000－2L－K)

将拉格朗日函数分别对L、K和λ求偏导，得极值的一阶条件

eq f(∂L,∂L)＝eq f(2,3)L－eq f(1,3)Keq f(1,3)－2λ＝0(1)
eq f(∂L,∂K)＝eq f(1,3)Leq f(2,3)K－eq f(2,3)－λ＝0(2)
eq f(∂L,∂λ)＝3 000－2L－K＝0(3)

由式(1)、式(2)可得

eq f(K,L)＝eq f(1,1)

即 K＝L
将K＝L代入约束条件即式(3)，可得

3 000－2L－L＝0

解得 L
*
＝1 000
且有 K
*
＝1 000
再将L
*
＝K
*
＝1 000代入目标函数即生产函数，得最大产量

Q
*
＝(L
*
)eq f(2,3)(K
*
)eq f(1,3)＝1 000eq f(2,3)＋eq f(1,3)
＝1 000

在此略去关于极大值的二阶条件的讨论。
(2)根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件

eq f(MP
L
,MP
K
)＝eq f(w,r)

其中 MP
L
＝eq f(dQ,dL)＝eq f(2,3)L－eq f(1,3)Keq f(1,3)


MP
K
＝eq f(dQ,dK)＝eq f(1,3)Leq f(2,3)K－eq f(2,3)
w＝2 r＝1

于是有 eq f(2,3)L－eq f(1,3)Keq f(1,3),eq f(1,3)Leq
f(2,3)K－eq f(2,3))＝eq f(2,1)
eq f(1,1) 整理得 eq f(K,L)＝
即 K＝L
再将K＝L代入约束条件Leq f(2,3)Keq f(1,3)＝800，有

Leq f(2,3)Leq f(1,3)＝800

解得 L
*
＝800
且有 K
*
＝800
将L
*< br>＝K
*
＝800代入成本方程2L＋1·K＝C，求得最小成本

C
*
＝2×800＋1×800＝2 400

本题的计算结果表示：在Q ＝800时，厂商以L
*
＝800，K
*
＝800进行生产的最小成本
为C
*
＝2 400。
此外，本题也可以用以下的拉格朗日函数法来求解。

mieq o(n,sdo4(L，K))2L＋K
s.t. Leq f(2,3)Keq f(1,3)＝800
L(L，K，μ)＝2L＋K＋μ(800－Leq f(2,3)Keq f(1,3))

将拉格朗日函数分别对L、K和μ求偏导，得极值的一阶条件

eq f(∂L,∂L)＝2－eq f(2,3)μL－eq f(1,3)Keq f(1,3)＝0(1)
eq f(∂L,∂K)＝1－eq f(1,3)μL
K
eq f(2,3)K－eq f(2,3)＝0(2)
eq f(∂L,∂μ)＝800－Leq f(2,3)

由式(1)、式(2)可得

eq f(K,L)＝eq f(1,1)

即 K＝L
eq f(1,3)＝0(3)

将K＝L代入约束条件即式(3)，有

800－Leq f(2,3)Leq f(1,3)＝0

解得 L＝800
且有 K＝800
再将L
*
＝K
*
＝800代入目标函数即成本等式，得最小的成本

C＝2L＋1·K＝2×800＋1×800＝2 400

在此略去关于极小值的二阶条件的讨论。

14. 画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。
图4—3

解答：以图4—3为例，要点如下：
(1)由于本题的约束条件是既定的成本，所以，在图4 —3中，只有一条等成本线AB；
此外，有三条等产量曲线Q
1
、Q
2
和Q
3
以供分析，并从中找出相应的最大产量水平。
(2)在约束条件即等成本线 AB给定的条件下，先看等产量曲线Q
3
，该曲线处于AB线以
外，与AB线既无交点 又无切点，所以，等产量曲线Q
3
表示的产量过大，既定的等成本线
AB不可能实现Q
3
的产量。再看等产量曲线Q
1
，它与既定的AB线交于a、b两点。在这种
情况下，厂商只要从a点出发，沿着AB线往下向E点靠拢，或者从b点出发，沿着AB线
往上 向E点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地
增加产量，最后在等 成本线AB与等产量曲线Q
2
的相切处E点，实现最大的产量。由此可
得，厂商实现既 定成本条件下产量最大化的均衡条件是MRTS
LK
＝
得

eq f(MP
L
,w)＝eq f(MP
K
,r)。
eq f(w,r)，且整理可

图4—4
15. 画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。
解答：以图4—4为例，要点如下：
(1)由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图4—4中，只有一条等产量曲线eq
o (Q,sup6(－))；此外，有三条等成本线AB、A′B′和A″B″以供分析，并从中找出相应的
最小成本。
(2)在约束条件即等产量曲线
该线处于等产量曲线
eq o(Q,sup6(－))给定的条件下，先看等成本线AB，
eq o(Q,sup6(－))既
eq
eq o(Q,sup6(－))以下，与等产量曲线无交点又无切点，所以，等成本线AB所代表的成本过小，它不可能生产既定产量
况下，厂商只要从 a点出发，沿着等产量曲线
者，从b点出发，沿着等产量曲线
o(Q,sup6(－))。再看 等成本线A″B″，它与既定的等产量曲线交于a、b两点。在这种情
eq o(Q,sup6(－))往下向E点靠拢，或
eq o(Q,sup6(－))往上向E点靠拢，就都 可以在既
定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量曲线
eq o(Q,sup6(－))与等成本线A′B′的相切处E点，实现最小的成本。由此可得，厂商实
现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是MRTS
LK
＝
f(MP
L,w)＝

eq f(MP
K
,r)。
eq f(w,r)，且整理可得eq