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蔡继明《微观经济学（第2版）第4章 生产者选择：技术、成本与收益分析
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1．解释下列概念
投入、可变投入和固定投入、短期和长期、生产函数、总产量、 平均产量、边际产量、
边际生产力递减规律、等产量线、边际技术替代率、生产的经济区、规模收益、成 本、等成
本线、最佳投入组合、扩展线、三种短期总成本、三种短期平均成本、短期边际成本、长期总成本、长期平均成本、长期边际成本、总收益、平均收益、边际收益。
答：略。

2．判断题
（1）边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与之相交。（ ）
【答案】√
【解析】当平均产量处于递增阶段，
MP
L
APL
；当平均产量处于递减阶段时，这时
MP
L
AP
L
，这时说明边际产量的下降幅度大于平均产量的下降幅度。当
MP
L
AP
L
时，平均
产量达最大，所以，边际产量曲线一定在平均产量曲线的最高点与之相交。

（2）生产要素的边际技术替代率递减是规模收益递减造成的。（ ）
【答案】× < br>【解析】边际技术替代率递减规律是由技术因素所决定的普遍规律。边际技术替代率递
减的主要原 因在于：任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味
着要素之间的替代是有限 制的。

（3）规模收益递减是边际收益递减规律造成的。（ ）
【答案】×
【解析】规模收益递减是指产出量增加的比例小于投入量增加的比例。规模报酬递 减的
原因主要是规模过大造成的管理效率的下降。另外，规模报酬是一个长期概念，而边际收益
递减概念是一个短期概念，两者之间没有必然联系。

（4）如果规模收益不变，单位时间的劳动使用量加倍，但资本量保持不变，则产出将
加倍。（ ）
【答案】×
【解析】规模收益不变，是指产出量和投入量呈相同的比例增加。例如，当生 产要素劳
动和资本的投入量同时增加两倍时，产量也增加两倍。题目中只有劳动的投入量发生变化，而资本的投入量并未发生变化，所以产出不一定会加倍。

（5）以最小成本生产出既定商品的厂商一定获得最大利润。（ ）

【答案】×
【解析】厂商实现最大利润的条件是边际收益等于边际成本，此时 的产量并不一定处在
最小成本。

（6）当总产量达到最大时，边际产量曲线与平均产量曲线相交。（ ）
【答案】×
【解析】当总产量达到最大时，边际产量为零。而边际产量相交于平均产量最大点。

（7）边际产量减少，总产量不一定减少。（ ）
【答案】√
【解析】当边 际产量减少但是边际产量大于零的时候，总产量是递增的；当边际产量等
于零的时候，总产量达到最大。

（8）规模收益递增的厂商不可能也会面对要素报酬递减的现象。（ ）
【答案】×
【解析】规模报酬与生产要素报酬是两个不同的概念。规模报酬所涉及的是企业的 生产
规模变化与所引起的产量变化之间的关系，而要素报酬是指要素投入的边际产量收益。前者
是厂商根据经营规模设计不同的工厂，属长期分析；后者是在既定的生产规模中，增加可变
要素时相应产 量的变化，属短期分析。规模收益递增的厂商可能也会面对要素报酬递减的现
象。

（9）当我们处于厂商决策图上的第Ⅱ阶段时
MP
为正。（ ）
【答案】√
【解析】根据一种可变生产要素的生产函数的产量曲线图可知，处于厂商决策图上 的第
Ⅱ阶段时，
MP
为正，且小于
AP
，呈递减趋势。如图4-1所 示。

图4-1 可变投入使用量的合理区间

（10）生产一种商品 需要两种要素，一种要素价格的下降则会导致对第二种要素使用的
增加。（ ）
【答案】×
【解析】如果两种要素是互补要素，一种要素价格的下降则会导致对第二种要素使 用的
增加，但当两种要素为替代要素，一种要素价格的下降则会导致对第二种要素使用的减少。

3．选择题

（1）当资本（
K
）的总产量上升时，（ ）。
A．
AP
K
是递减的
B．
AP
K
是递增的
C．
MP
K
为负
D．
MP
K
非负
【答案】D
【解析】根据一种可变生产 要素的生产函数的产量曲线图可知：当资本
K
的总产量上
升时，当资本
K的总产量达到最大时，当资本
K
的总产量下降时，
MP
K
为正；
MP
K
为零，
MP
K
为负。

（2）生产者理论中的膨胀线类似于消费者理论中的（ ）曲线。
A．恩格尔
B．收入一消费
C．价格一消费
D．预算线
【答案】B
【解 析】扩展线是一组等产量线与等成本线相切点的轨迹，表示在生产要素价格、技术
以及其他条件不变的假 定下，当生产成本或产量发生变化时，利润最大化的厂商必然会选择
扩展线上的要素投入组合。收入—消 费曲线表示的是一组预算线与无差异曲线相切点的轨
迹，是指在两种商品的价格水平之比为常数的情况下 ，每一收入水平所对应的两种商品最佳
购买组合点组成的轨迹，二者具有相似性。

（3）等成本曲线的平移表明了（ ）。
A．产量的变动
B．成本的变动
C．某种要素价格的变动
【答案】B
【解析】等成本曲线的平移表明了成本的变动 ，等成本线右移表明成本增加，等成本线
左移表明成本减少。

（4）规模收益递增在下列（ ）中可能发生。
A．按比例连续增加各种要素
B．不按比例增加各种要素
C．连续增加某种要素投入而保持其他要素不变
D．上述都正确
【答案】A
【解析】规模收益指在其他条件不变的情况下，企业内 部各生产要素的投入按相同比例
变化时所引起的产量变化。规模收益递增时各种生产要素按照相同比例增 加时，规模收益递
增才能发生。

（5）如果等成本曲线与等产量线有交点，那么理 性的生产者如果想要生产出等产量线
所代表的产量，他应该（ ）。
A．增加投入
B．保持原投入不变

C．减少投入
【答案】C
【解析】 当等成本曲线与等产量线相切的时候，理性的生产者才能生产出理想的产量，
此时生产成本最小或者产量 最大。当等成本曲线与等产量曲线相交时，理性的生产者应该减
少投入，使得等成本曲线向左移动，并与 等产量线相切，在实现既定产量的同时付出最小的
代价。

（6）等成本曲线围绕着它与纵轴（代表
Y
）的交点顺时针转动表明（ ）。
A．
X
的价格上升了
B．
X
的价格下降了
C．
Y
的价格上升了
D．
Y
的价格下降了
【答案】A
【解析】等成本曲线围绕着它与纵轴（代表
Y
）的交点顺时针转 动表明，生产要素
X
的
投入量减少，即
X
的价格上升。

（7）如图4-2所示，理性的厂商选择在（ ）时生产。
A．2＜
K
＜7
B．4＜
K
＜7
C．2＜
K
＜4
D．O＜
K
＜4

图4-2 可变投入使用量的合理区间
【答案】B
【解析】当
0＜K＜ 4
时，
AP
K
始终是上升的，且达到最大值，
MP
K
上升达最大值，然后，
开始下降，且
MP
K
始终大于
AP
K
，资本的总产量始终是增加的。说明：在这一阶段，不变要
素资本的投入量相对过多，生产者 增加可变要素劳动的投入量是有利的。4＜
K
＜7是该图
中生产的第Ⅱ阶段。

（8）短期平均成本曲线之所以为U形，原因在于（ ）。
A．与规模收益有关
B．与要素的边际生产率有关
C．与不同成本的比重相关
D．与外部经济和不经济相关
【答案】B
【解析】边际报酬递减规律是指在技术水 平不变的条件下，在连续等量地把某一种可变
生产要素变生产要素的生产增加到其他一种或几种数量不变 的生产要素上去的过程中，当这
种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边 际产量是递增的；

当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投 入所带来的边际产量
是递减的。因此，当要素的投入低于这一特定值时，短期平均成本随产量的增加而减 少，但
当要素投入高于这一特定值时，则短期平均成本随着产量的增加而增加，即短期平均成本为
U形。

4．论述题
（1）试说明总收益曲线（
TR
）、平均 收益曲线（
AR
）和边际收益曲线（
MR
）的关系。
答：（1）总 收益是指一定时期内厂商从一定量产品的销售中得到的货币总额，它等于
单位产品的价格
P乘以销售量
Q
，即
TRP·Q
。由于完全竞争的厂商所面对的是一条水 平
的需求曲线，厂商增减一单位产品的销售所引起的总收益的变化（
TR
）总是等于 固定不
变的单位产品的价格
P
，所以，总收益曲线是一条从原点出发的直线，其斜率就 是固定不变
的价格。
（2）平均收益是指厂商在出售一定数量的产品时，平均出售每一单位的 产品所获得的
货币收入。平均收益等于产品价格，厂商所面临的需求曲线即为平均收益曲线。以
AR
、
TR
、
TRP•Q
Q
分别表示平均收益、总收益与产 品销量，则平均收益为：
ARP
。
QQ
在不同的市场结构中，厂商的 平均收益具有不同的变化规律。在完全竞争市场中，由于
单个厂商可以在市场价格下出售任何数量的商品 ，厂商面临一条水平的需求线（即平均收益
曲线）。这时，当市场达到长期均衡时，场上的平均收益与平 均成本相等，所以厂商的利润
为零，厂商只能得到正常利润。在非完全竞争市场上，厂商能够影响市场价 格。为了多销售
一单位产品，它不仅要以比原来价格更低的价格出售这一产品，而且还必须降低原来所有 产
品的价格。因此，厂商面临的需求曲线（即平均收益曲线）向右下方倾斜，表明厂商多销售
产 品，必须降低产品价格。
（3）边际收益又称“边际报酬”，它有两种含义：①与“边际产量”相同， 即在生产的
技术水平和其他投入要素的数量均保持不变的情况下，新增加一个单位的某种投入要素所引< br>起的产量的增加量。②新增加一个单位的产品销售量所引起的总收益的增加量。这里的收益
是指货 币收益或销售收入。随着投入要素的增加，边际收益是递减的。

（2）
LTC与
STC
、
LAC
与
SAC
、
LMC
与
SMC
曲线之间的关系。
答：（1）
LTC
与
STC
之间的关系
长期总成本（LTC
）曲线是指厂商在长期中在每一个产量水平上通过选择最优的生产
规模所能达到的最 低总成本与产出之间的关系。短期总成本（
STC
）曲线是指对每一个生
产规模而言产 出量与成本的关系。可以由短期总成本曲线出发，推导长期总成本曲线。

图4-3 长期总成本曲线的推导

对于每一个产量水平，都存在不同的生产规模（即存在不同的固 定成本），相应地对应
不同的总成本函数。在短期内，由于企业不能变动要素的投入量，所以只能按自己 既定的生
产规模进行生产，它生产某产量时，其短期总成本曲线上对应的成本就是其总成本，该成本可能比长期总成本相等，也可能较高。而在长期，由于企业可以变动全部的要素投入量，对
于每一个 产量水平，企业都可以选择最优的生产规模（也就是在这一产量上成本最小的那个
短期生产规模）来进行 生产，其成本是在该产量水平的各种短期成本曲线最低点所表示的成
本。厂商可以在任何一个产量水平上 ，都找到相应的一个最优的生产规模，都可以把总成本
降到最低水平。长期总成本曲线是无数条短期总成 本曲线的包络线。在这条包络线上，在连
续变化的每一个产量水平上，都存在着
LTC
曲线和一条
STC
曲线的相切点，该
STC
曲线所
代表的生产规模就 是生产该产量的最优生产规模，该切点所对应的总成本就是生产该产量的
最低总成本。
②
LAC
与
SAC
之间的关系
长期平均成本
LA C
表示厂商在长期内按产量平均计算的最低总成本。长期平均成本函
数可以写为：
LA C

Q


LTC

Q

Q。在短期内，由于企业不能变动要素的投入量，所以只能
按自己既定的生产规模进行生产，它生产某 产量时，其短期平均成本曲线上对应的成本就是
其平均成本。而在长期生产中，厂商总是可以在每一产量 水平上找到相应的最优的生产规模
进行生产。厂商总是可以找到长期内生产某一产量的最低平均成本的。 由于在长期内可供厂
商选择的生产规模是很多的，可以有无数条
SAC
曲线，于是，便 得到长期平均成本
LAC
曲
线，它是无数条短期平均成本曲线的包络线。在这条包络线 上，在连续变化的每一个产量水
平，都存在
LAC
曲线和一条
SAC
曲线的相切点，该
SAC
曲线所代表的生产规模就是生产该
产量的最优生产规模，该切 点所对应的平均成本就是相应的最低平均成本。

图4-4 长期平均成本曲线
此外，如图4-4所示，
LAC
曲线呈现出U形的特征。而且，在
LAC
曲线 的下降段，
LAC
曲线相切于所有相应的
SAC
曲线最低的左边；在
LAC
曲线的上升段，
LAC
曲线相切于所有
相应的
SAC
曲线最低点的右边。只有在
LAC
曲线的最低点上，
LAC
曲线才相切于相应 的
SAC
曲线（图中为
SAC
4
曲线）的最低点。
③
LMC
与
SMC
之间的关系
长期边际成本
LM C
表示厂商在长期内增加一单位产量所引起的最低总成本的增量。长期
边际成本函数可以写为：
LMC

Q


LTC

Q

Q
，或
LMC

Q

lim
LTC

Q

Q
Q0

dLTC

Q

dQ
。显
然，每一产量水平上的
LMC
值都是相应的
LTC
曲线的斜率。由短期边际成本推导长期边际
成本如图4-5所示。

图4-5 长期边际成本曲线的推导
在每一个产量水平，代表最 优生产规模的
SAC
曲线都有一条相应的
SMC
曲线，每一条
SMC
曲线都过相应的
SAC
曲线最低点。在
Q
1
的产量上，生产 该产量的最优生产规模由
SAC
1
曲线和
SMC
1
曲线所代 表，相应的短期边际成本由
P
点给出，
PQ
1
既是最优的短期边际成 本，
又是长期边际成本，即有
LMCSMC
1
PQ
1
。 或者说，在
Q
1
的产量上，长期边际成本
LMC
等于最优生产规模的 短期边际成本
SMC
1
，它们都等于
PQ
1
的高度。同理， 在
Q
2
的产量上，
有
LMCSMC
2
SQ2
。在
Q
3
的产量上，有
LMCSMC
3
 SQ
3
。在生产规模可以无限细分的
条件下，可以得到无数个类似与
P、R< br>和
S
的点，将这些点连结起来便得到一条平滑的长期
边际成本
LMC< br>曲线。

（3）如何从总产量曲线推导出平均产量和边际产量曲线？说明这三者之间的关系及其
原因。
答：（1）短期生产函数的
TP
L
曲线、
AP
L
曲 线和
MP
L
曲线的综合图如图4-6所示。

图4-6 总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线之间的关系
平均产量曲线可以通过连接总产量曲线上的点和 原点求得；边际产量则可以通过总产量
曲线上的点的斜率求得。
（2）①
TP
L
与
MP
L
的关系及其原因
dTP
L
，所以，当
MP
L
0
时，
TP
L
曲线是上升的；当
MP
L
0
时，
TP
L曲线是
dL
下降的；而当
MP
L
=0时，
TP
L
曲线达最高点。此外，在
LL
3
即
MP
L
0
的范围内，当
MP
L

0
时，
TP
L< br>曲线的斜率递增，即
TP
L
曲线以递增的速率上升；当
MP
L

0
时，
TP
L
曲线的斜率递
由于
MP
L

减，即
TP
L
曲线以递减的速率上升；而当
M P

0
时，换言之，在
LL
1
TP
L
曲线存在一个拐点，
时，
MP
L
曲线斜率为零的
A
点与TP
L
曲线的拐点
A

是相互对应的。
②
TP
L
与
AP
L
的关系及其原因

由于
AP
L

TP
L
，所以，在
LL
2
时，
TP
L
曲线有一条由原点出发的切线，其切点为C。
L
该切线是由原点出发与
TP
L
曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线 ，故该切点对应的
是的最大值点。再考虑到
AP
L
曲线和
MP
L
曲线一定会相交在
AP
L
曲线的最高点。因此，在图
4-6中， 在
LL
2
时，
AP
L
曲线与
MP
L曲线相交于
AP
L
，曲线的最高点
C

，而且与
C

点相对
应的是
TP
L
，曲线上的切点
C。
③
AP
L
与
MP
L
的关系及其原因 两条曲线相交于
AP
L
曲线的最高点
C

。在
C

点以前，
MP
L
曲线高于
AP
L
曲线 ，
MP
L
曲
线将
AP
L
曲线拉上；在
C< br>
点以后，
MP
L
曲线低于
AP
L
曲线，< br>MP
L
曲线将
AP
L
曲线拉下。不管
是上升还是下降 ，
MP
L
曲线的变动都快于
AP
L
曲线的变动。存在这样的 关系的原因是：就任
何一对边际量和平均量而言，只要边际量大于平均量，边际量就把平均量拉上；只要 边际量
小于平均量，边际量就把平均量拉下。

（4）为什么短期单位成本（
SAC
和
SMC
）曲线和长期单位成本（
LAC
和
LMC
）曲线
形状相同，成因不同？
答：长期平均成本曲线与短期平均成本曲线一样，都是 U形，这就是说，在产量增加到
一定点以前，二者都是下降的，当产量增加到一定点时，二者达到最低点 ，这时再进一步增
加产量，二者都是上升的。但是，U形的成因对这二者来说则是不同的。
（ 1）短期平均成本曲线之所以呈现为U形，是由于边际生产力递减规律的作用。具体
地说，短期平均成本 之所以由下降转而上升，这是因为
AFC
的下降最终要被
AVC
的上升所抵消，而
AVC
的上升是由可变投入的平均产量即
AP
下降所引起，至于
AP
的下降则是边际
生产力递减规律直接作用的结果。然而，边际生产力递减与长期平 均成本曲线形状的成因并
无直接的关系，因为在长期内没有任何固定投入。
（2）决定长期平 均成本曲线形状的因素是长期生产中的规模经济和规模不经济。在企
业生产扩张的开始阶段，存在规模经 济，厂商由于扩大生产规模而使经济效益得到提高，平
均成本下降。当生产扩张到一定的规模以后，厂商 继续扩大生产规模，就会出现规模不经济，
经济效益下降，平均成本上升。

（5）如何从扩展线推导出总成本曲线，并从总成本曲线推导出平均成本和边际成本曲
线？ < br>答：（1）长期总成本曲线表示的是长期总成本（
LTC
）与产量之间的关系，它可以从
扩展线中推导出来。扩展线是指代表不同产量水平的最佳投入组合点的轨迹。如图4-7（a）
所示，
E
0
、E
1
和
E
2
分别表示当产量 为
Q
1
、Q
2
和
Q
3
时的最佳投入组合， 它们都是代表不同产
量的等产量曲线与等成本曲线相切的切点。把所有这些切点连接起来，就形成扩展线 。扩展
线表明各种投入的量是如何随着产量的变化（假定投入价格不变）而变化的。如果劳动和资
本是仅有的两种投入，就很容易从扩展线推导出长期总成本函数。如上所述，扩展线上的每
一点都代表 着在长期内生产某一产量的成本最低的投入组合。考察与
Q
1
单位产量相对应的
E
0
点。显然，由
E
0
所代表的投入组合的总成本等于
O H
0
乘以单位劳动的价格
P
L
。这是因为
它所代表的投入组 合与
H
0
点所代表的投入组合所花费的成
E
0
是等成本曲线
B
0
H
0
上的一点，
本是相同的，而在
H
0
点上，其投入组合的成本等于
OH
0
乘以
P
L
。 根据同样的理由，由
E
1
所
代表的投入组合的总成本为
OH
1
P
L
，由
E
2
所代表的投入组合的总成本为
O H
2
P
L
。这意味
着长期总成本曲线上与
Q
1< br>、Q
2
和Q
3
单位产量相对应的点分别为
OH
0P
L
、
OH
1
P
L
和
OH
2
P
L
。这样，如果用横轴表示产量，用纵轴表示总成本，把上述分别对应于Q
1
、Q
2
和Q
3
单位产量的总成本标在纵轴上，如图 4-7（b）所示，就得到了相应的长期总成本曲线。

图4-7 长期总成本曲线的推导
（2）根据长期总成本
LTC
曲线，可以推导出如图4-8所 示的相应的长期平均成本
LAC
曲线和长期边际成本
LMC
曲线。平均成本表 现在图形上就意味着每一产量的
LAC
是
LTC
曲
线上相应点与原点 连线的斜率；边际成本曲线是用
LTC
曲线上与该产量相对应的点的切线
的斜率来表示 的

图4-8 长期平均成本和边际成本的推导

（6）为什么边际收益等于边际成本是厂商实现利润最大的条件？
答：厂商的利润是总收益与 总成本的差额。厂商的收益是指厂商从销售产品中得到的货
币额。厂商的总收益是厂商从一定量产品的销 售中得到的货币总额，它等于单位产品价格乘
Q
。以销售量。假定厂商的产量（销售量）为Q
，产品的价格为
P
p
，则总收益为：
TRP
p·

厂商的利润就等于：

TRTC
。要使利润最大化 ，那就意味着厂商要选择使总收益与总成
本之间的差额最大。从代数学上说，当额外增加一单位产量正好 使利润水平保持不变，即在


／Q0
的那一点上，利润是最大的：

／QTR／QTC／Q0
。
MRTR／Q
，
MCTC／Q
，可得利润最大化的产量决策原则为：
MRMC。

（7）试述规模收益的递增、不变和递减与可变比例生产函数的报酬递增、不变和递减
的区别。
答：规模报酬的递增、不变和递减这三种情况与可变化比例生产函数的报酬递增、不变
和递减的 区别如下：
（1）规模收益问题论及的是，一家厂商的规模本身发生变化，即该厂的厂房、设备等固定要素和劳动、原材料等可变要素发生同比例变化时相应的产量是不变、递增还是递减；
而可变比 例生产函数所讨论的则是在该厂的规模已经固定下来，即厂房、设备等固定要素既
定不变，可变要素的变 化引起的产量（报酬）递增、递减及不变等三种情况。规模报酬和可
变要素报酬是两个不同的概念。规模 报酬问题讨论的是厂商本身规模发生变化时产量的变
化，而可变要素报酬问题论及的则是厂房规模已经固 定下来，增加可变要素时相应的产量变
化。
（2）两者是不同的概念。规模收益问题属于长期 概念，而可变投入的要素报酬则属于
短期概念，两者没有必然联系，因此两者是可以以相同或相反的状态 同时存在的。事实上，
当厂商经营规模较大，在给定技术状况下投入要素的效率提高，即规模报酬递增的 同时，随
着可变要素投入增加到足以使固定要素得到最有效的利用后，继续增加可变要素，总产量的增加同样将会出现递减现象。所以规模报酬递增的厂商可能也会同时面临报酬递减现象。

（8）为什么由无数短期平均成本曲线推导出来的长期平均成本曲线必然有一个交点？
答：长 期平均成本曲线成U形是由规模报酬作用引起的。在生产开始扩张阶段，扩大生
产规模使产量增加的比例 大于要素投入增加的比例，即规模报酬递增。在要素价格不变的条
件下，这就表现为总成本增加的比例小 于产量增加的比例，即平均成本递减地减少。随着生
产的扩张，会出现这样一个阶段，产量增加的比例等 于要素投入增加的比例，即规模报酬不
变。这表现为平均成本最小。之后，生产规模继续扩大，产量增加 的比例小于要素投入增加
的比例，即规模报酬递减。这表现为平均成本递增地增加。因为平均长期成本曲 线是由无数
的短期平均成本曲线组成的，也即长期平均成本曲线上的点必有一点在这些短期平均成本曲< br>线上（包括最低短期平均成本曲线）。最低短期平均成本曲线的最低点是所有成本曲线中惟
一成本 最小点，也即对应长期平均成本曲线的最低点。

5．计算题
5L0．32K< br>，
Q
表示产量，
K
表示资本，
L
（1）已知生产函数 为
Qf

K，L

KL0．
22
表示劳动。 令上式的
K10
单位。
①写出劳动的平均产量（
AP
L
）函数和边际产量（
MP
L
）函数。
②分别计算当总产量、平均产量和边际产量达到极大值时厂商雇佣的劳动。
③证明
A P
L
达到极大时
AP
L
MP
L
2
。
5L0．32K
，令
K10
，则 解：对于生产函数
QKL 0．
Q10L0.5L0.32103210L0.5L

222< br>22

Q3210L0.5L32
①劳动的平均产量函数为：
AP
L
100.5L
。
LLL
劳动的边际产量函数为
MP
L
10L
。
2
②总产量函数：
Q3210L0.5L
。
总产量极大的一阶条件为：
dQ
L100

dL
2
解得
L10
；又因为
dQ

dQ

 
10
，所求
L10
为极大值点，即当总产量达到极大值
d L

dL

32
d32
，有
AP
L
0.5
2
。
L
dL
L
时厂商雇佣的劳动为10。
同样地，对于平均产量函数
AP
L
100.5L
令
2
32
d
，因此得
L8
。
AP
L
0< br>，即
0.5
2
0，L64
，得
L
1
8，L
2
8
（舍去负值）
dL
L
又因为
d< br>
d64

AP
L


3
0< br>，故
L8
为极大值点，即当平均产量达到极大时厂商雇佣

dL
dL

L
的劳动为8。
对于劳动的边际产量
MP< br>L
10L
，由于
MP
L
为负向倾斜的直线，而且劳动L
不可能小
于零。故当
L0
时，
MP
L
有极 大值时厂商雇佣的劳动为０。
③证明：由②可知，当
AP
L
达到极大值时，
AP
L
100.5L
而当
L8
时，
MP< br>L
1082
，证毕。

（2）假定某林场种树
X棵，根据经验每棵树的生产函数为
Qt

，这里，
Q
为
t
年之
后木料的板尺数，

为参数，因树种不同而异，且
0
1
；再假定树的成本为
FWQrp

Qdt
， 这里，
F
为种树的成本，
W
为维护成长中的树每板尺所需费用，
r< br>为利
0
t
3232
100.582
；
L 8
息率，
P
为每板尺木料的价格，
rp

Qdt
为 到砍树时为止的因积压资金引起的机会成本。试
0
t
问什么时候砍树利润最大（即求< br>t
之值）？
解：利润函数为总收益函数和总成本函数的差额，即：
t

1


PQTCPtFWQrp

QdtPtFWtrp
0

1

t

利润最大化的一阶条件为：


PQTCPt

FWQrp

Qdt

Pt

1
< br>
Wt

1

0

t



1

rpt0


1


Pt

1


Wt

1
rpt


t

t

1



Pw

rp
t


Pw


rp
因此，当
t


Pw
< br>rp
时，砍树利润最大。

（3）已知：生产函数
Q 20L50K6LK
，
P
L
15
元，
P
K
30
元，
TC660
元，
其中：
Q
为产量，
L
与
K
分别为不同的生产要素投入，
P
L
与
P
K
分别为
L
和
K
的投入价格，
TC
为 生产总成本。试求最优的生产要素组合。
22
22
解：对于生产函数
Q2 0L50K6LK
，
MP
L
2012L
，
MP< br>K
504K
。
由生产者均衡条件
MP
L
PL
2012L15
得：即
4024L504K
。
< br>
MP
K
P
K
504K30
得
K6L 2.5
。
成本函数为：
15L30K660
。
联立可得：
L3
，
K20.5
。

（4）已知生产函数为
Q2L
0.6
K
0.2
，请问：
①该生产函数是否为齐次函数，次数为多少？
②该生产函数的规模收益情况。
③假 如
L
与
K
均按其边际产量取得报酬，当
L
与
K取得报偿后，尚有多少剩余产值？
解：①
Qf

L,K
< br>2L
0.6
K
0.2

又
f


L,

K

2


L

0.6


K

0.2
2

K

L2

KL

Q

0.60.60.20 .20.80.20.60.8
所以该生产函数为齐次函数，其次数为
0.8
。 ②根据以上分析，
f


L,

K



Q
。
由此可知，生产函数为规模收益递减的生产函数。
③对于生产函数
Q2L
0.6
K
0.2
，得：
MP
L
2Kg0.6L
MP
K
2L
0.8
g0 .2L
0.20.4
0.8
1.2LK
0.4LK
0.60.40.2


0.80.8
这里的剩余产值指总产量减去劳动 和资本分别按边际产量取得报酬以后的余额，故：
剩余产值QLgMP
L
Kg MP
K
2L
0.6
K
0.2
L1.2LKK0. 4LK0.4LK0.2Q

因此，当
L
与
K
取得报偿 后，尚有
0.2Q
的剩余产值。
0.40.20.60.80.60.2

（5）某电子有限公司根据市场调查和 预测得知产品成本函数和收益函数分别为：
TC0．001Q
3
1.8Q
2
1180Q134000，TR0．859Q
2
1374.4Q
。其中
Q
为月产量。求利润最
大时的月产量为多少？
解：公司的利润函数为：

0．859Q
2
1374.4Q 

0．001Q
3
1.8Q
2
1180Q1340 00


利润最大化的一阶条件为：

2
d

0.003Q1.882Q194.40

dQ
解得：
Q
1
90.3
（舍去），
Q
2
717.7

所以，该公司利润最大时的月产量为717.7单位。

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