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第五章
六、 证明：无论是成本给定使产量达到最大，还是产量给定使成本
实 现最小，厂商的最优要素投入组合均衡点，均是等成本线与等产量
曲线相切的切点。
证明 ： （1） 产量一定，成本最小化
Q
0
=f(L,K)
C=wL+rk
令 U=wL+rk+λ(Q
0
－f(L,K))


所以
f
l
dU
dL
dU
dk
w
=W－λ
=r－λ
f
k
f
l
f
k
r
=0
=0
f
w
r
=

= 所以 =

l
f
k
=MRTS
LK

(2)成本一定，产量最大化
wl
r
Q=f(L,K) C
0
=wL+rk 所以 k=
c
0
因为一阶导数为零
f
Q
l
Q=f(L,
c
0
+
f
k
wl
r
)
=
f
l
+
f
K
k
l
=
f
l
（－）=0
r
w
所以
l
f
k
==MRTS
LK
r
w
第三章
五 、考虑某消费者对两种商品X
1
和X2
的选择问题。假定某消费者
效用函数为U（X
1
，X
2
），两种商品的价格分别为P
1
和P
2
。写出消费
者在达到一定效 用水平U
0
的前提下，实现支出最小化的数学模型。
以此模型推导出消费者对两种商品 最优选择的均衡条件，并结合无差

异曲线图加以说明。
答：模型 min p
1
x
1
＋p
2
x
2

s.t. u(x
1
,x
2
)=u
0

用拉格朗日乘数法证明见课本44面注释。
通过平移预算线可知，在预算线和效用曲线相切时，支出最小
在效用不变的情况下m u
1
dx
1
+mu
2
dx
2
=0
p
mudxdx
所以 mrs
12
==－ 预算线斜率：=－
p
mudxdx
122
1
211
2
相切时，预算线为无差异曲线的切线
p
dx
mrs
12
=－=
dx
p
2
1
1
2
第五章
四 、证明：边际产量曲线必过平均产量曲线的最高点。
证明： 因为 AP
L
= MP
L
=
L
Q
dQ
dL

d
1
L
dL
所以
d
A P
=
L
d
Q
dL
L
dL
=
dQ1
dLL
+Q
Q
L
=
dQ1
dLL
—
Q
L
2

=（
L
1
dQ
dL
—）
因为 L>0 故当
（1）
（2）
dQ
dL
>
Q
L
,
d
AP
>0 边际产量大于平均产量
L
dL
dQ
dL
<
Q
L
,
d
AP
<0 边际产量小于平均产量
L
dL
（3）
dQ
dL
=
Q
L
d
，
AP
L
=0 边际产量等于平均产量
dL
所以 AP
L
取最高值时，边际产量等于平均产量

第六章
四、为 什么短期平均成本曲线和长期平均成本曲线都是U形曲线？
试证明短期边际成本和长期边际成本分别过短 期平均成本和长期平
均成本的最低点。
证明：在短期，在边际报酬递减规律的作用下 ，MC曲线是先降
后升。同时，只要边际量小于平均量，边际量就把平均量拉
下：只要边际量大 于平均量，边际量就把平均量拉上；当边
际量等于平均量时，平均量达到本身的极值点。短期平均成本曲线必然也是先降后升的U型曲线。
长期生产技术的规模经济和规模不经济是长期平均成本
LAC曲线呈U型的主要原因。
设成本函数为C=f(Q)
所以 MC=
d(
dC
dQ
)
=
f
(Q) AC=
'
f(Q)
Q

f(Q)
Q
dQ

AC
'

f
'
(Q)
Q
'
< br>f(Q)
Q
2

令
AC
'
0
所以
f
(Q)
f(Q)
Q
当AC取最小值时，MC=AC
第七章
五、完全竞争行业的代表厂商的长期总成本函数为 ：
LTC=q
3
-60q
2
+1500q成本用美元计，q为每月产 量。求解：
（a）推导出长期平均成本函数和长期边际成本函数。

（b）假设产品价格为975美元，求利润为最大的产量。
（c）上述利润为最大的长期平均成本为多少？利润为多少？为
什么这与行业的长期均衡相矛盾？
答：（a） LAC=
LMC=
LTC
q

q
2
60q1500


dLTC
dq
3
q
120q1500
2
（b）由 MR=MC
MR=P=975=3
q
2
120q1500
q=35或q=5（舍去）
在完全竞争市场上，价格等于边际成本是利润最大化的
一个必要条件，但不是一个充分条件。
（c）LAC=
35

2
60351500625



975356253512250
P大于LAC, 该行业并未达到长期均衡状态，此时行业中
仍有利润可寻，导致不断有厂商进入,从而导致行业供给增< br>加或生产成本上升，最终达到均衡。