怀宁县教育网-临时工协议

2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1}
假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量
H(X
1
)lognlog42 bitsymbol

八进制脉冲的平均信息量
H(X
2
)lognlog83 bitsymbol

二进制脉冲的平均信息量
H(X
0
)lognlog21 bitsymbol

所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。

2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女
孩子中身 高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大
学生”的消息，问 获得多少信息量？
解：
设随机变量X代表女孩子学历
X x
1
（是大学生） x
2
（不是大学生）
P(X) 0.25 0.75

设随机变量Y代表女孩子身高
Y y
1
（身高>160cm） y
2
（身高<160cm）
P(Y) 0.5 0.5

已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的
即：
p(y
1
x
1
)0.75

求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量
即：
I(x
1
y
1
)logp(x
1
y
1
)log
< br>p(x
1
)p(y
1
x
1
)
0.250. 75
log1.415 bit

p(y
1
)0.5
2.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
(1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
(1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的，则所给出的信息量是：
p(x
i
)
1

52!
I(x
i
)logp(x
i
)log52!225.581 bit

(2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：

· 1 ·

4
13
p(x
i
)
13
C
52
I(x
i
)logp(x
i
) log

4
13.208 bit
13
C
52
13


X

x
1
0x
2
1x
3
2x
4
3< br>
2.4 设离散无记忆信源



，其发出的信息为
141418

P(X)

38
(221223 210)，求
(1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：

3
1

1

p






8

4

8

此消息的信息量是：
Ilogp87.811 bit

(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：
In87.811451.951 bit


14256
2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发 病率为0.5%，如果你问一
位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这 两个回答中各含多少
信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自 信息量
是多少？
解：
男士：
p(x
Y
)7%
I(x
Y
)logp(x
Y
)log0.073.837 b it
p(x
N
)93%
I(x
N
)logp(xN
)log0.930.105 bit
H(X)

p(x
i
)logp(x
i
)(0.07log0.070.93log0. 93)0.366 bitsymbol
i
2

女士：
H(X )

p(x
i
)logp(x
i
)(0.005l og0.0050.995log0.995)0.045 bitsymbol

i< br>2
x
2
x
3
x
4
x
5
x< br>6

X

x
1
2.6 设信源


0.20.190.180.170.160.17

，求这个信源 的熵，并解释为什么
P(X)

H(X)
> log6不满足信源熵的极值性。
解：
· 2

·

< br>H(X)

p(x
i
)logp(x
i
)
i
6
(0.2log0.20.19log0.190.18 log0.180.17log0.170.16log0.160.17log0.17)

2.657 bitsymbol
H(X)log
262.585
不满足极值性的原因是

6
p(x
i
) 1.071
。
i

2.7 证明：
H(X
3
X
1
X
2
) ≤ H(X
3
X
1
)
，并说明当
X
1
, X
2
, X
3
是马氏链时等式成立。
证明：
H(X3
X
1
X
2
)H(X
3
X
1
)


p(x
i1
x
i2
x
i3
)logp(x
i3
x
i1
x
i2
)
 
p(x
i1
x
i3
)logp(x
i3
x
i1
)
i1i2i3i1i3


p(x
i1x
i2
x
i3
)logp(x
i3
x
i1x
i2
)

p(x
i1
x
i2
x
i3
)logp(x
i3
x
i1
)
i1i2i3 i1i2i3


p(x
p(x
i3
x
i1< br>)
i1
x
i2
x
i3
)log
i1i2i3
p(x
i3
x
i1
x
i2
)

 
p(x

p(x
i3
x
i1
)

i1
x
i2
x
i3
)

i1i2i 3


p(x
1
i3
x
i1
x
i2
)



log
2
e

< br>


p(xx

i1i2
)p(x
i 3
x
i1
)
i1i2i3

p(x
i1x
i2
x
i3
)

log
2
e
i1i2i3







p(x


i1
x
i2
)
i1i2



p(x
i3
x
i1
)
i3


1



log
2
e
0
 H(X
3
X
1
X
2
)H(X
3
X
1
)
当
p(x
i3
x
i1
)
p(x10
时等式成立
i3
x
i1
x
i2
)p(x
i3
x
i1
)p(x
i3
x
i1< br>x
i2
)

p(x
i1
x
i2
) p(x
i3
x
i1
)p(x
i3
x
i1
x
i2
)p(x
i1
x
i2
)
p(x
i 1
)p(x
i2
x
i1
)p(x
i3
x
i 1
)p(x
i1
x
i2
x
i3
)
p( x
i2
x
i1
)p(x
i3
x
i1
)p (x
i2
x
i3
x
i1
)

等式成立的条 件是
X
1
,X
2
,X
3
是马
_
氏 链

2.8证明：
H(X
1
X
2 。。。
X
n
) ≤ H(X
1
) + H(X
2
) + … + H(X
n
)
。
证明：
H(X
1
X2
...X
n
)H(X
1
)H(X
2
X< br>1
)H(X
3
X
1
X
2
)...H( X
n
X
1
X
2
...X
n1
)
I(X
2
;X
1
)0 H(X
2
)H(X
2
X
1
)
I(X
3
;X
1
X
2
)0 H(X
3
)H(X3
X
1
X
2
)
...

3 · ·

I(X
N
;X
1
X
2
...Xn1
)0 H(X
N
)H(X
N
X
1
X
2
...X
n1
)

H(X1
X
2
...X
n
)H(X
1
)H(X< br>2
)H(X
3
)...H(X
n
)


2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，
均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。
(1) 试问这个信源是否是平稳的？
(2) 试计算
H(X
2
)
,
H(X
3
X
1
X
2
)
及
H
∞
；

(3) 试计算
H(X
4
)
并写出
X
4
信 源中可能有的所有符号。
解：
(1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些 词语：“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号
……”
．．．．．．．．．．．．．．．
(2)
H(X
2
)2H(X )2(0.4log0.40.6log0.6)1.942 bitsymbol
H(X
3
X
1
X
2
)H(X
3
)

p(x
i
)logp(x
i
)(0.4log0.40.6 log0.6)0.971 bitsymbol

i
H

l imH(X
N
X
1
X
2
...X
N1
) H(X
N
)0.971 bitsymbol
N
(3) H(X
4
)4H(X)4(0.4log0.40.6log0.6)3.8 84 bitsymbol
X
4
的所有符号：
0011
0111< br>1011
1111


2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源
X
的符号集为{0, 1, 2}。
(1) 求平稳后信源的概率分布；
(2) 求信源的熵
H
∞
。
P
P
0
P
1
PP
2
P

解：
(1)
· 4

·


p(e
1
)p(e
1
)p(e
1
e
1
) p(e
2
)p(e
1
e
2
)


p(e
2
)p(e
2
)p(e
2
e
2
)p(e
3
)p(e
2
e
3
)

p(e )p(e)p(ee)p(e)p(ee)
333131

3

p(e
1
)pp(e
1
)pp(e
2
)



p(e
2
)pp(e
2
)pp(e< br>3
)



p(e
3
)pp(e
3
)pp(e
1
)

p(e
1
)p(e< br>2
)p(e
3
)


p(e
1
) p(e
2
)p(e
3
)1

p(e
1
)13


p(e
2
)13

p(e)1 3

3


p(x
1
)p(e
1
)p(x
1
e
1
)p(e
2
)p(x
1
e
2
)pp(e
1
)pp(e
2
)(pp) 313



p(x
2
)p(e
2
) p(x
2
e
2
)p(e
3
)p(x
2
e
3
)pp(e
2
)pp(e
3
)(pp)3 13




p(x
3
)p(e
3)p(x
3
e
3
)p(e
1
)p(x
3e
1
)pp(e
3
)pp(e
1
)(pp )313
12

X

0


P(X )


131313


(2)
3
i
3
j
H



p(e
i
)p(e
j
e
i
)logp(e
j
e
i
)
11

1


p(e
1
e
1
)logp(e
1
e
1
)p(e
2
e
1
)logp(e
2
e
1
)p(e
3
e
1
)logp(e
3
e
1
)
33
3
111
p(e
1
e
2
)logp(e
1
e
2
)p(e
2
e
2
)logp(e
2
e
2
)p(e
3
e
2
)logp(e
3
e
2
)

333
111

p(e
1
e
3
)logp(e
1
e
3
)p(e
2
e
3
)logp(e
2
e
3
)p(e
3
e
3
)logp(e
3
e
3
)

333
11111

1


plog pplogpplogpplogpplogpplog
33333
3
plogpplogp bitsymbol



p


2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白 色两种，即信源
X
={黑，白}。设黑色出现的概率为
P(黑)
= 0.3，白色出现的概率为
P(白)
= 0.7。
(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵
H(X)
；
(2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为
P(白白)
= 0.9，
P(黑白)
= 0.1，
P(白黑)
= 0.2，
P(黑黑)
= 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵
H
2
(X)
;
(3) 分别求 上述两种信源的剩余度，比较
H(X)
和
H
2
(X)
的大小 ，并说明其物理含义。
解：
(1)
H(X)

p(xi
)logp(x
i
)(0.3log0.30.7log0.7)0. 881 bitsymbol

i
(2)

· 5 ·


p(e
1
)p(e
1
)p(e
1< br>e
1
)p(e
2
)p(e
1
e
2
)


p(e
2
)p(e
2
)p(e
2
e
2
)p(e
1
)p(e
2
e
1
)

p(e
1
)0.8p(e
1
)0.1p(e2
)


p(e
2
)0.9p(e
2
)0.2p(e
1
)

p(e
2
)2p(e
1
)


p(e
1
)p(e
2
)1< br>
p(e
1
)13


p(e
2
)23
H



p(e
i
)p(e
j
e
i
)logp(e
j
e
i
)
ijp(黑黑)=0.8
黑
e1
p(白黑)=0.2
p
(
白

白
)
=
0
.
1
白
e2

p(白白)=0.9
122

1



0.8log0.80.2log0.20.1log0.10.9log0.9
333

3

0.553 bitsymbol
(3)

1

H
0
H< br>
log20.881
11.9%
H
0
log2
HH

log20.553

1

0
4 4.7%
H
0
log2

H(X) > H
2
(X)
表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度， 有记忆信源的结构化信息较多，
能够进行较大程度的压缩。

2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为16，求：
(1) “3和5同时出现”这事件的自信息；
(2) “两个1同时出现”这事件的自信息；
(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；
(4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵；
(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解：
(1)
11111
p(x
i
)
666618
I(x
i
)logp(x
i
)log
(2)
1
4.170 bit
18

111
p(x< br>i
)
6636
I(x
i
)logp(x
i
)log
(3)
两个点数的排列如下：
11 12 13 14
· 6

·
1
5.170 bit
36

15 16

21
31
41
51
61
22
32
42
52
62
23
33
43
53
63
24
34
44
54
64
25
35
45
55
65
26
36
46
56
66

共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是
其他15个组 合的概率是
2
111


6636
111


6618
1111
H(X)

p(x
i
)logp(x
i
)
6log15log

4.337 bitsymbol

361818

36
i
(4)
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
2
3
4
56789
101112


X



1

11
1115151
1


P(X)




36

12
183 6


H(X)

p(x
i
)logp(x< br>i
)
i

1



2log2log2log2log2loglog

3663 666

36
3.274 bitsymbol
(5)
1111
p(x
i
)116636
I(x
i
)logp(x
i
)log

11
1.710 bit
36

2.13 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知
P(0)
= 14，
P(1)
= 34。
(1) 求符号的平均熵；
(2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有
m
个“0”和（100 -
m
）个“1”）
的自信息量的表达式；
(3) 计算(2)中序列的熵。
解：
(1)
133

1
H(X)
p(x
i
)logp(x
i
)

loglog< br>
0.811 bitsymbol

444

4
i
(2)
m100m

1

3

p(x
i
)




4

4

3
100m
100
4
3
41.51.585m bit
100
4
100m

I(x
i
)logp(x
i
)log

· 7 ·

(3)
H(X
100
)100H(X)1000.81181.1 bitsymbol


2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨 两种状态，气温分成冷暖两个状态，
调查结果得联合出现的相对频度如下：
冷 12
晴晴
冷 8
暖 8
忙
冷 27
雨雨
闲
暖 15
冷 5
暖 16暖 12

若把这些频度看作概率测度，求：
(1) 忙闲的无条件熵；
(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵；
(3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解：
(1)
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
x忙x
2
闲


X



1

40


P(X)



63


103103


634040

63
H(X)

p(x
i
)logp(x
i
)

loglog

0.964 bitsymbol
1

i
(2)
设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z
2

H(XYZ)

p(x
i
y
j
z
k
)logp(x
i
y
j
z
k
)
ijk
6

12


logloglog log

1
881515551212

loglogloglog

1

2.836 bitsymbol

H(YZ)

p(y
j
z
k
)logp(y
j
z
k
)
jk28

20


loglogloglog

1

1.977 bitsymbol
H(XYZ)H(XYZ)H(YZ)2.8361.9770.859 bitsymbol
(3)
I(X;YZ)H(X)H(XYZ)0.9640.8590.159 bitsymbol

· 8

·

2.15 有两个二元随机变量
X
和
Y
，它们的联合概率为
Y
X
y
1
=0
y
2
=1
x
1
=0
18
38
x
2
=1
38
18
并定义另一随机变量
Z = XY
（一般乘积），试计算：
(1)
H(X)
,
H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)
和
H(XYZ)
；
(2)
H(XY), H(YX), H(XZ), H(ZX), H(YZ), H(ZY), H(XYZ), H(YXZ)
和
H(ZXY)
；
(3)
I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;YZ), I(Y;ZX)
和
I(X;ZY)
。
解：
(1)
p( xx
131
1
)p(x
1
y
1
)p(
1
y
2
)
8

8

2
p(xp (x
311
2
)p(x
2
y
1
)
2< br>y
2
)
8

8

2
H(X)

p(x
i
)logp(x
i
)1 bitsymbol
i

p(yx
131
1
)p(x1
y
1
)p(
2
y
1
)
8

8

2
p(yp(x
311
2
)p(x1
y
2
)
2
y
2
)
8

8

2
H(Y)

p(y
j
)log p(y
j
)1 bitsymbol
j
Z = XY的概率分布如下：


Z



z
1
0z
2
1


P(Z)




71




88



2H(Z)

p(z

7711

k
)

log
k

88

8
log
8


0.544 bitsymbol
p(x
1
)p (x
1
z
1
)p(x
1
z
2
)
p(x
1
z
2
)0
p(x
1
z
1
)p(x
1
)0.5
p(z
1
)p(x
1
z
1
)p(x
2
z
1
)
p(x
2
z
1
)p(z
1
)p(x
73
1
z
1
)
8
0.5
8
p(z
2
)p(x
1
z
2
)p(x
2
z
2
)
p(x1
2
z
2
)p(z
2
)
8
H(X Z)

p(x)


1
log
1

3
log
3

1
log
1

i
z
k
)logp(x
i
z
k

1.4 06
ik

228888

bitsymbol

9 ·

·

p(y
1
)p(y
1
z
1
)p(y
1
z
2
)
p(y1
z
2
)0
p(y
1
z
1
)p( y
1
)0.5
p(z
1
)p(y
1
z
1
)p(y
2
z
1
)
p(y
2
z
1
)p(z
1
)p(y
1
z
1
)
p(z
2
)p(y
1
z
2
)p(y
2
z
2
)
p(y
2
z
2
)p(z
2
)
1
8
73
0.5
88

13311
1
H(YZ)

p(y
j
z
k)logp(y
j
z
k
)

logloglo g

1.406 bitsymbol
28888

2
jk
p(x
1
y
1
z
2
)0
p(x< br>1
y
2
z
2
)0
p(x
2
y1
z
2
)0
p(x
1
y
1
z
1
)p(x
1
y
1
z
2
)p(x
1
y
1
)
p(x
1
y
1
z
1
)p(x
1
y
1
)18
p(x
1
y
2
z
1
)p(x
1
y
1
z
1
) p(x
1
z
1
)
p(x
1
y
2
z
1
)p(x
1
z
1
)p(x
1
y< br>1
z
1
)
p(x
2
y
1
z
1
)p(x
2
y
1
z
2
)p(x
2
y
1
)
p(x
2
y
1
z
1
)p(x
2
y
1
)
p(x
2
y
2< br>z
1
)0
p(x
2
y
2
z
1)p(x
2
y
2
z
2
)p(x
2
y
2
)
1
8
H(XYZ)

p(x
i
y
j
z
k
)log
2
p(x
i
y
j
z
k
)
p(x
2
y
2
z< br>2
)p(x
2
y
2
)
ijk
113
288
3
8
1333311

1


loglogloglog

1.811 bitsymbol
8888888

8
(2)

13 33311

1
H(XY)

p(x
i
y
j
)log
2
p(x
i
y
j
)
loglogloglog

1.811 bitsymbol8888888

8
ij
H(XY)H(XY)H(Y)1.8 1110.811 bitsymbol
H(YX)H(XY)H(X)1.81110.811 bitsymbol
H(XZ)H(XZ)H(Z)1.4060.5440.862 bitsymbol
H(ZX)H(XZ)H(X)1.40610.406 bitsymbol
H(YZ)H(YZ)H(Z)1.4060.5440.862 bitsymbol
H(ZY)H(YZ)H(Y)1.40610.406 bitsymbol
H(XYZ)H(XYZ)H(YZ)1.8111.4060.405 bitsymbol
H(YXZ)H(XYZ)H(XZ)1.8111.4060.405 bitsymbol
H(ZXY)H(XYZ)H(XY)1.8111.8110 bitsymbol
(3)

·· 10

I(X;Y)H(X)H(XY)10.8110.189 bitsymbol
I(X;Z)H(X)H(XZ)10.8620.138 bitsymbol
I(Y;Z)H(Y)H(YZ)10.8620.138 bitsymbol

I(X;YZ)H(XZ)H(XYZ)0.8620.4050.457 bitsym bol
I(Y;ZX)H(YX)H(YXZ)0.8620.4050.457 bit symbol
I(X;ZY)H(XY)H(XYZ)0.8110.4050.406 bitsymbol

2.16 有两个随机变量
X
和
Y
，其和为
Z = X + Y
（一般加法），若
X
和
Y
相互独立，求证：
H(X)
≤ H(Z), H(Y) ≤ H(Z)。

证明：
ZXY

p(y
j
) (z
k
x< br>i
)Y
p(z
k
x
i
)p(z
kx
i
)

(z
k
x
i
)Y

0
 
H(ZX)

p(x
i
z
k
)logp( z
k
x
i
)

p(x
i
)


p(z
k
x
i
)logp(z
k
xi
)

iki

k





p(x
i
)


p(y
j
)log
2
p(y
j
)

H(Y)
i

j

H(Z)H(ZX)
H(Z)H(Y)
同理可得
H(Z)H(X)
。

1


x
2.17 给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布
p(x)

e,x
，求
H
c
(X)
，并
2
证明它小于同样方差的正态变量的连 续熵。
解：

· 11 ·


1
H
c
(X)

p(x)logp(x)dx

p (x)log

e


|x|
dx

2
log
log
log
其中：
2

2





p(x)dx

p(x)loge


|x|dx



2
1


|x|
eloge


|x|
dx

2






e


xloge


x
dx
0


0
e


x
loge


x
dx



loge


x
de


x
0






e


x
dloge


x
 

e


x


log
2< br>elog
2
e
00

0

22e
H
c
(X)loglog
2
elog bitsymbole


x
log
2
e


x


0
1

11


| x|

x
mE(X)

p(x)xdx


exdx


exdx


e
< br>
x
xdx

2

2
0
2
0
1
0
1
0
1

1

x

(y)

y



exdx< br>

e(y)d(y)


eydy
< br>
e


y
ydy

2
2

2
0
2

1

1


x
m


exdx

e


x
xdx0
0
2
0
2


1


|x|2

E

xm

E(x)

p(x)xdx


exdx


e


x
x
2< br>dx

2
0


 

x
2
de


x

e


x
x
2


e

x
dx
2



e

< br>x
dx
2
2

e


x
xdx

0
000

0
2

2

x




x

2


xde


x


ex
0


0
edx


2
0




122e
H
c
(X
正态
)log2

e

2
log

eH
c
(X)log
2


2
2
2

2




1

2.18 连续随机变量
X
和
Y
的 联合概率密度为：
p(x,y)


r
2

< br>0
x
2
y
2
r
2
其他
，求H(X)
,
H(Y),
H(XYZ)
和
I(X;Y)。 < br>
（提示：

2
log
2
sinxdx
0

2
log
2
2
）
解：

·· 12

22
p(x)

r
2x
2
r
2
x
2
p(xy)dy
rx
1
r
2
x
2

r
2
dy
2r
2
x
2


r
2
(rxr)
H
r
c
(X)

r
p(x )logp(x)dx
r
2r
2


r
p(x )log
x
2


r
2
dx


r< br>r
p(x)log
2
r

r
2
dx
r
p(x)logr
2
x
2
dx
lo g

r
2

r
2


r
p(x)logr
2
x
2
dx
log

r
2
1
2
logr1
2
log
2
e
log
1
2

r
2
log
2
e bitsymbol
其中：

r
r
p(x)logr
2< br>x
2
dx


r
2r
2
x2
r

r
2
logr
2
x
2dx

4
r
2

r
2

0< br>rx
2
logr
2
x
2
dx
令xrc os

4
0

r
2


rsin

logrsin

d(rcos

)
2

4
0

r
2


r
2
sin
2

logrsin

d

2

4



2
0
sin
2

logrsin

d



4
2
sin
2

logrd


4

2
< br>
0


0
sin
2

logsi n

d



4
2
cos2
< br>

logr

1
0
2
d

41cos2



2
0
2
lo gsin

d


13 ·

·


2


logr

2
d
< br>
0
2



0
logr

2
cos2

d


0


2

2
0
logsin

d




2

2
0
cos2

logsin
d

logr
1

logr

2
dsin2


2

(

2
log
2
2)


2

2
0
c os2

logsin

d

logr1


2

2
0
cos2

logsin
d

1
logr1log
2
e
2其中：



2

2
0
cos2
logsin

d


2
0

1
logsin

dsin2


2
0
1



sin2

logsin







1



2
sin2

dlogsin



0



2

2
0
2sin

cos


cos

log
2
e
d

sin


2
log
2
e

2
cos
2

d

0
1co s2

d

0

2

11
2< br>log
2
e

d

log
2
e

2
cos2

d

log
2
e

2
0



0
11
l og
2
elog
2
esin2

22

1
log
2
e
2
p(y)

r
2< br>y
2
r
2
y
2

2
0
p(xy)dx

r
2
y
2

2r
2
y
2
1
dx (ryr)
r
2
y
2

r
2

r
2
p(y)p(x)1
H
C
(Y)H
C
(X)log
2
rlog
2
e bitsymbol
2
H
c
(X Y)

p(xy)logp(xy)dxdy
R


p(xy)log
R
R
1
dxdy
2
r

log

r
2

p(xy)dxdy
log
2

r
2
bitsymbol
I
c
(X;Y)H
c
(X)H
c
(Y)H
c
(X Y)
2log
2

rlog
2elog

r
2
log
2

log
2
e bitsymbol


·· 14

2.19 每帧电视图像可以认为是由3105
个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又
取128个不同的亮度电平，并设亮 度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一
个广播员，在约10000个汉字中选出100 0个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像
所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布 ，并彼此无依赖）？若要恰当的描述此
图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
解：
1)
H(X)lognlog1287 bitsymbol
H(X)NH(X)31072.110 bitsymbol

2)
N56

H(X)lognlog1000013.288 bitsymbol
H(X
N
)NH(X)100013.28813288 bitsymbol

3)
H(X
N
)2.110
6
N158037

H(X)13.288


2.20 设
XX
1
X
2
...X
N
是平稳离散有记忆信源，试证明：
H(X
1
X
2
...X
N
)H(X
1
)H(X
2
X
1
)H(X
3
X
1
X
2
)...H(X
N
X
1
X
2
...X
N1< br>)
。
证明：
H(X
1
X
2
...XN
)


...

p(x
i
1< br>x
i
2
...x
i
N
)logp(x
i1
x
i
2
...x
i
N
)
i
1
i
2
i
N


...

p (x
i
1
x
i
2
...x
i
N
) logp(x
i
1
)p(x
i
2
x
i
1< br>)...p(x
i
N
x
i
1
...x
iN1
)
i
1
i
2
i
N




...

p(x
i
1x
i
2
...x
i
N
)

logp( x
i
1
)


...

p(x
i
1
x
i
2
...x
i
N
)

logp(x
i
2
x
i
1
)
i
1

i
2
i
N
i
1
i
2

i
N


...

...

p(x
i
1
x
i
2
...x
i
N
)logp(x
i
N
x
i
1
...x
i< br>N1
)
i
1
i
2
i
N


p(x
i
1
)logp(x
i
1
)

p(x
i
1
x
i
2
)logp(x
i
2
x
i
1
)
i
1
i
1
i
2
...

...

p(x
i
1
x
i
2
...x
i
N
)logp(x
i
N
x
i
1
...x
i
N1
)
i
1
i
2
i
N
H(X
1
)H(X
2
X
1
)H(X
3
X
1
X
2
)...H(X
N
X
1
X
2
...X
N1< br>)

2.21 设
XX
1
X
2
...X< br>N
是
N
维高斯分布的连续信源，且
X
1
, X
2
, … , X
N
的方差分别是
22

12
,

2
,...,

N
，它们之间的相关系 数

(X
i
X
j
)0(i,j1,2...,N,i j)
。试证明：
N
维高斯分布
的连续信源熵

· 15 ·

1
N
H
c
(X)H
c
(X< br>1
X
2
...X
N
)

log2

e

i
2

2
i
证明：
相关系数

x
i
x
j
0

i,j1,2,...,N, ij

，说明
X
1
X
2
...X
N
是相互独立的。

Hc
(X)H
c
(X
1
X
2
...X
N
)H
c
(X
1
)H
c
(X
2
)...H
c
(X
N
)
1
H
c
( X
i
)log2

e

i
2
2
H
c
(X)H
c
(X
1
)H
c
(X
2
)...H
c
(X
N
)


1
2
log2

e

2
1
2< br>1
2
1

2
log2

e

2
...
2
log2

e

N

1
N
2

log2

e

2< br>i
i1
2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数
p(x)


bx
2

0
(1) 试求信源
X
的熵
H
c
(X)
；
(2) 试求
Y = X + A (A > 0)
的熵
H
c
(Y)
；
(3) 试求
Y = 2X
的熵
H
c
(Y)
。
解：
1)
H
c
(X)

R
f(x)logf(x)dx
R
f(x)logbx
2
dx
logb

R
f(x)dx

R
f(x)logx
2dx
logb2b

x
2
R
logxdx
logb
2ba
3
a
3

9
log
e
bx
3
F(x)
3
,F(a) 
ba
3
XX
3
1
H
2a
3
c
(X)logb
3
log
e
bitsymbol
2)
0xa0yAa
AyaA
F
Y
(y)P(Yy)P(XAy)P(XyA)


yA
bx
2
dx
b
3
(yA)
3
A
f(y)F

(y)b(yA)
2
< br>H
c
(Y)

R
f(y)logf(y)dy

R
f(y)logb(yA)
2
dy
logb

R
f(y)dy

R
f(y)log( yA)
2
dy
logb2b

R< br>(yA)
2
log(yA)d(yA)
· 16

·
0xa
其他

logb
2ba
3
a
3

9
log
e
bitsymbol
F)
b
3
(yA),F(aA)
ba
3
3
Y
(y
Y
3
1

H)logb
2a
3
c
(Y
3
log
e
bitsymbol
3)
0 xa0
y
2
a
0y2a
Fy)P(Yy)P( 2Xy)P(X
y
Y
(
2
)
y


2
b
3
0
bx
2
dx
24
y
f(y)F

(y)
b
y
2
8H
c
(Y)

f(y)logf(y)dy

f(y
b
2
RR
)log
8
ydy
log
b
8


R
f(y)dy

R
f(y)logy
2
dy
log
b
b

R
y
2
84
logydy
l og
b2ba
3
8a
3

8

9
log
e
logb
2ba
3
a
3
92ba
3

9
log
e

3
F
b
3
ba
3

Y
(y)
24
y,F
Y
(2a)
3
1
2a
3< br>H
c
(Y)logb
3
log
e
1 bitsymbol

17 ·

·