湖南食品药品职业学院-黄赌毒标语

（12套）2018年云南全省 含所有市 高考数学模拟试卷汇总

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）



一、选择 题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求 的）

1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈R}，B={x|（x+5）（x﹣a） ≤0}，则“A⊆B”是“a
＞4”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（5 分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的
平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．

正确的命题是（ ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

3．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

A． B．4 C． D．6

4．（5分）已知等比数列 {a
n
}公比为q，其前n项和为S
n
，若S
3
、S
9
、S
6
成等差
数列，则q
3
等于（ ）

A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或

5．（5分）下图是某次考试对一道题评 分的算法框图，其中x
1
，x
2
，x
3
为三个评
阅 人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x
1
=6，x
2
=9，p=8 .5时，x
3
等于
（ ）

A．11 B．10 C．8 D．7

上的图象，为6．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）


A．向左平移
不变

B．向左平移
不变

C．向左平移
不变

D．向左平移
不变

个单位长 度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标
个单位长度，再把所得 各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标

7．（5分）若存在实数x∈[2， 4]，使x
2
﹣2x+5﹣m＜0成立，则m的取值范围
为（ ）

A．（13，+∞） B．（5，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，13）

8．（5分）已知奇函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三
角形两内角，下 列结论正确的是（ ）

A．f（cosα）＞f（cosβ）

B．f（sinα）＞f（sinβ） C．f（sinα）＞f（cosβ）
D．f（sinα）＜f（cosβ）

++= ，则△PAB的面积与△ABC9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足
的面积比为（ ）

A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6

10．（5分）如 图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同
的速度注入其中，注满为止．用下面对应 的图象显示该容器中水面的高度h和时
间t之间的关系，其中不正确的有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个



二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横
线上）

11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4
x
+2
x
+
1
+m=0”，若“非p”是假命题，则实
数m的取值范围是 ．

12．（5分）若a＞3，则函数f（x）=x
2
﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有 个
零点．

13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则
小关系是 ．

14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3 ），（2，2），
，，的大

（3，1），（1，4），（2，3）（ 3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…则第57个数对
是 ．

15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体
积是 ．




三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文 字说明、证明过程和演
算步骤）

16．（12分）已知α∈（0，π）且cos（α ﹣
17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i﹣3j，
）=．求cosα
=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，
j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向 量．

（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；

（2 ）对任意m∈[1，2]，不等式
2
≤﹣x
2
+x+3恒成立，求x的取值范 围．

18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运行时，前后两车必须要保持一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速度v（千
米小时）的平 方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千
米，最大速度均为v
0（千米小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=
最大？

19．（12分 ）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D1
中，E为CC
1
的中点．

（1）求直线A
1
E与平面BDD
1
B
1
所成的角的正弦值

（2）求点E到平面A
1
DB的距离．

20．（13分）在数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n=n
2
[1+
（1）当n≥2时，求证：
（2）求证：（1+）（1+< br>=
）…（1+

++…+]（n≥2，n∈N）

）＜4．

21．（14分）已知函数f（x）=（x
2
+ax﹣2 a﹣3）•e
3
﹣
x
（a∈R）；

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=（a
2
+）e
x
（a＞0），若存在（a＞0），x
1
，x
2
∈[0，4 ]使得|f
（x
1
）﹣g（x
2
）|＜1成立，求a的取值范围．< br>

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（01）

参考答案与试题解析



一、选择题（本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个< br>选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）集合A={x||x|≤4，x∈ R}，B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，则“A⊆B”是“a
＞4”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：集合A={x||x|≤4，x∈R}={x|﹣4≤x≤4}，

B={x|（x+5）（x﹣a）≤0}，

由A⊆B，可得B≠∅，

即有（5﹣4）（﹣4﹣a）≤0且（5+4）（4﹣a）≤0，

解得a≥4，

则则“A⊆B”是“a＞4”的必要不充分条件，

故选B．



2．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直 线，α、β、γ表示三个不同的
平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．

正确的命题是（ ）

A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

【解答】解：由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面

考察 ①选项，此命题正确，若m⊥α，则m垂直于α中所有直线，由n∥α，知
m⊥n；

考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平 行
或相交；

考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系 是平行、
相交或异面；

考察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ ，再由m⊥α，得到m
⊥γ．

故选C．



3．（5分）由曲线y=
A． B．4 C．
，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）

D．6

得到两曲线的交点（4，2），

【解答】解：联立方程
因此曲线y=
S=
，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：

．故选C．




4．（5分）已知等比数列{a
n
}公比为q，其前 n项和为S
n
，若S
3
、S
9
、S
6
成等 差
数列，则q
3
等于（ ）

A．﹣ B．1 C．﹣或1 D．﹣1或

【解答】解：若S
3
、S
9
、S
6< br>成等差数列，

则S
3
+S
6
=2S
9
，

若公比q=1，

则S
3
=3a
1
，S
9
=9a
1
，S
6
=6a
1
，

即3a
1
+6a
1
=18a
1
，则 方程不成立，

即q≠1，

则
即1﹣q
3
+1﹣ q
6
=2﹣2q
9
，

即q
3
+q
6
=2q
9
，

即1+q
3
=2q
6
，

即2（q
3
）
2
﹣q
3
﹣1=0，

解得q
3
=
故选：A．



5．（5分 ）下图是某次考试对一道题评分的算法框图，其中x
1
，x
2
，x
3
为三个评
阅人对该题的独立评分，p为该题的最终得分，当x
1
=6，x2
=9，p=8.5时，x
3
等于
（ ）

，

=，

A．11 B．10 C．8 D．7

【解答】解：根据框图的流程，当输入x
1
=6，x
2
=9时，不满足|x
1
﹣x
2
|=3＜2，

当输入x
3
＜7 .5时，满足|x
3
﹣x
1
|＜|x
3
﹣x
2|，则执行x
2
=x
3
．输出P=
x
3
=11 （舍去）；

当输入x
3
≥7.5时，不满足|x
3
﹣x< br>1
|＜|x
3
﹣x
2
|，则执行x
1
=x< br>3
，输出P=
⇒x
3
=8．

故选：C．



6．（5分）图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R）在区间上的图象，为
=8.5
=8.5⇒

了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）


A．向左平移
不变

B．向左平移
不变

C．向左平移
不变

D．向左平移
不变

个单位长 度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标
个单位长度，再把所得 各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，

所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．

代入（﹣，0）可得φ的一个值为 ，

），

故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+
即y=sin2（x+），

所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移
得各点的横坐标缩短到原来的
故选A．



倍，纵坐标不变．

个单位长度， 再把所
7．（5分）若存在实数x∈[2，4]，使x
2
﹣2x+5﹣m＜0成立，则 m的取值范围
为（ ）

A．（13，+∞） B．（5，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，13）

【解答】解：存在实数x ∈[2，4]，使x
2
﹣2x+5﹣m＜0成立，等价于x∈[2，4]，
m＞（x< br>2
﹣2x+5）
min
．

令f（x）=x
2
﹣2x+5=（x﹣1）
2
+4

∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1

∵x∈[2，4]，

∴x=2时，f（x）
min
=f（2）=2
2
﹣2×2+5=5

∴m＞5

故选：B．



8．（5分）已知奇 函数f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三
角形两内角，下列结论正确的是（ ）

A．f（cosα）＞f（cosβ）

B．f（sinα）＞f（sinβ） C．f（sinα）＞f（cosβ）
D．f（sinα）＜f（cosβ）

【解答】解：∵奇函数y=f（x）在[﹣1，0]上为单调递减函数

∴f（x）在[0，1]上为单调递减函数，

∴f（x）在[﹣1，1]上为单调递减函数，

又α、β为锐角三角形的两内角，

∴α+β＞
∴＞α＞
，

﹣β＞0，

﹣β）=cosβ＞0，

∴1＞sinα＞sin（
∴f（sinα）＜f（cosβ），

故选：D．



9．（5分）△ABC所在平面上一点P满足
的面积比为（ ）

A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：6

++=，

+ +=，则△PAB的面积与△ABC
【解答】解：如图所示，∵点P满足
∴=，

∴．

∴△PAB的面积与△ABC的面积比=AP：AC=1：3．

故选：B．




10．（5分）如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个 孔中以相同
的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时
间t 之间的关系，其中不正确的有（ ）


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：A、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A不对；

B、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同 ，所以下面的高度
增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B正确；

C、 球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越
慢；上半球恰相反，所以水的 高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C
正确；

D、图中几何体两头宽、中 间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，
则图象先平缓再变陡，故D正确．

故选A．



二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横
线上）

11．（5分）已知命题p：“存在x∈R，使4
x
+2< br>x
+
1
+m=0”，若“非p”是假命题，则实
数m的取值范围是 （﹣∞，0） ．

【解答】解：∵命题p：“存在x∈R，使4
x
+2x
+
1
+m=0”，

∴p为真时，m=﹣（2
x）
2
﹣2×2
x
，存在x∈R成立

∴m的取值范围是：m＜0

又∵非p”是假命题

∴p是真命题

∴m∈（﹣∞，0）

故答案为：（﹣∞，0）



12．（5分）若a＞3，则函数f （x）=x
2
﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有 1 个
零点．
【解答】解：当a＞3时，由于次二次函数f（x）=x
2
﹣ax+1，可得f（0）=1 ＞0，
f（2）=5﹣2a＜0，

即f（0）f（2）＜0，

故函数f（x）=x
2
﹣ax+1在区间（0，2）上恰好有一个零点，

故答案为：1．



13．（5分）已知函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，则
小关系是 ＜＜ ．

，，的大
【解答】解：函数f（x）=lnx，0＜a＜b＜c＜1，

设g（x）=
g′（x）=
=
，

，

可得0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增，

由0＜a＜b＜c＜1，可得

g（a）＜g（b）＜g（c），

即＜＜．

故答案为：


＜＜．

14．（5分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1 ），（1，3），（2，2），
（3，1），（1，4），（2，3）（3，2），（4，1），（1， 5），（2，4）…则第57个数对
是 （2，10） ．

【解答】解：（1，1），两数的和为2，共1个，

（1，2），（2，1），两数的和为3，共2个，

（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共3个，

（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），两数的和为5，共4个

…

∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，

∴第57个数对在第11组之中的第2个数，从而两数之和为12，应为（2，10）；

故答案为：（2，10）．



15．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的体
积是 2 ．


【解答】解：由三视图还原原几何体如图，


该几何体为五面体ABCDEF，

其中面ABCD为等腰梯形，EF∥BC∥AD，

EF在平面ABCD上的射影在梯形ABCD的中位线上，

分别过E、F作BC、AD的垂线，把原几何体分割为两个四棱锥及一个三棱柱，

则几何体的体积V=
故答案为：2．



三、解答题（本 大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演
算步骤）

16．（1 2分）已知α∈（0，π）且cos（α﹣
【解答】解：∵α∈（0，π），∴
又
∴< br>=
．



17．（12分）已知向量=3i﹣4j，=6i ﹣3j，=（5﹣m）i﹣（3+m）j，其中i，
，∴
）=．求cosα

，

，

．

j分别是平面直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量．

（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；

（2）对任意m∈[ 1，2]，不等式
2
≤﹣x
2
+x+3恒成立，求x的取值范围．

【解答】解：（1）依题意，以O为坐标原点建立直角坐标系，则A（3，﹣4），B
（6，﹣ 3），C（5﹣m，﹣3﹣m），

∵A，B，C能构成三角形，

则A、B、C三点不共线，

若A、B、C三点共线，则
解得；

=t⇔（3，1）=t（2﹣m，1﹣m），即，

∴当m≠时，A，B，C能构成三角形；

（2）∵
∴
=（2﹣m，1﹣m），m∈[1，2]，

）
2
+，其对称轴为m=，

2
=（2﹣m）
2< br>+（1﹣m）
2
=2m
2
﹣6m+5=2（m﹣
当m∈[1， ]时，该函数单调递减，当m∈[，2]时，该函数单调递增，

∴当m=1或m=2时，
2
取得最大值1．

恒成立，
< br>∵对任意m∈[1，2]，不等式
∴﹣x
2
+x+3≥
即x
2
﹣x﹣2≤0，

解得：﹣1≤x≤2．

∴x的取值范围为[﹣1，2]．



=1，

2
≤﹣x
2
+x+3
18．（12分）列车提速可以提高铁路运输量．列车运 行时，前后两车必须要保持
一个“安全间隔距离d（千米）”，“安全间隔距离d（千米）”与列车的速 度v（千
米小时）的平方成正比（比例系数k=）．假设所有的列车长度l均为0.4千
米， 最大速度均为v
0
（千米小时）．问：列车车速多大时，单位时间流量Q=
最大？
【解答】解：因为 ，所以…（4分）

≥2=，当且仅当v=40时取等号；

当v
0
≥40时，Q≤50 ，所以v=40，Q
max
=50…（8分）

当0＜v
0
＜40时，…（12分）



19． （12分）如图，边长为a的正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为CC
1
的中点．

（1）求直线A
1
E与平面BDD
1
B
1
所成的角的正弦值

（2）求点E到平面A
1
DB的距离．


【解答】解：以DA、DC、DD
1
所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直
角坐标系如图，

则D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（ 0，a，0），E（0，a，），
A
1
（a，0，a）． …（3分）
（1）设直线A
1
E与平面BDD
1
B
1
所成的角为α ．

因为AC⊥平面BDD
1
B
1
，所以平面BDD
1
B
1
的法向量为
又．

，

，

所以 s．…（6分）

（2）设=（x，y，1）为平面A
1
DB的法向量，
∵，

∴x=﹣1，y=1…（8分）

∴又
．…（12分）

…（11分）

即点E到平面A
1
DB的距离为

20．（13分）在数列{a
n
}中，a
1
=1，an
=n
2
[1+
（1）当n≥2时，求证：
（2）求证：（1+ ）（1+
=
）…（1+

++…+]（n≥2，n∈N）

）＜4．

，…（1分）

【解答】（1）证明：当n≥2时，
所以…（4分）

故
（2）证
…（5分）

明：当n≥2时
…（6分）

，
=
…（8分）

=
=
当n=1时，…（12分）

．…（11分）

…（10分）

综上所述，对任意n∈N
*
，不等式都成立．…（13分）

21．（14分）已知函数f（x）=（x
2
+ax﹣2a﹣3）•e
3
﹣
x
（a∈R）；

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）=（a
2
+）e
x
（a＞0），若存在（a＞0），x
1
，x
2
∈[0，4 ]使得|f
（x
1
）﹣g（x
2
）|＜1成立，求a的取值范围．< br>
【解答】．解：（1）f'（x）=﹣[x
2
+（a﹣2）x﹣3a﹣3]e
3
﹣
x
=﹣（x﹣3）（x+a+1）
e
3
﹣x

由﹣a﹣1=3得a=﹣4，

当a=﹣4时，f′（x）=﹣（x ﹣3）
2
e
3
﹣
x
≤0，此时函数在（﹣∞，+∞）上为减 函
数，

当a＜﹣4时，﹣a﹣1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞﹣a﹣1， f'（x）＞0⇒3＜x
＜﹣a﹣1．

∴f（x）单调减区间为（﹣∞，3），（﹣ a﹣1，+∞），单调增区间为（3，﹣a﹣1）．

当a＞﹣4时，﹣a﹣1＜3，

f'（x）＜0⇒x＞3或x＜﹣a﹣1，f'（x）＞0⇒﹣a﹣1＜x＜3．

∴ f（x）单调减区间为（﹣∞，﹣a﹣1），（3，+∞），单调增区间为（﹣a﹣1，3）．

（2）由（1）知，当a＞0时，﹣a﹣1＜0，f（x）在区间[0，3]上的单调递增，

在区间[3，4）]单调递减，而f（0）=﹣（2a+3）e
3
＜0，f（4）=（ 2a+13）e
﹣
1
＞0，f（3）=a+6．

那么f（x）在区 间[0，4]上的值域是F=[﹣（2a+3）e
3
，a+6]

又g（x） =（a
2
+
（a
2
+）e
4
]，

＜（a
2
+）e
4
，

）e
x
（ a＞0），在[0，4]上是增函数，对应的值域为G=[a
2
+，
∵a＞0，∴﹣（ 2a+3）e
3
＜a+6≤a
2
+
|f（x
1
）﹣ g（x
2
）|＜1等价为g（x
2
）﹣f（x
1
）＜1
若存在（a＞0），x
1
，x
2
∈[0，4]使得|f（x< br>1
）﹣g（x
2
）|＜1成立，

只需要g
min
（x）﹣f
max
（x）＜1，

∴a
2
+﹣a﹣6＜1，得4a
2
﹣4a﹣3＜0，得﹣＜a＜

∵a＞0，

∴0＜a＜

∴a的取值范围为（0，）．


2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）



一、选择 题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求 的．

1．（5分）若全集U=R，集合
于（ ）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2或x≥3} C．{x|x≥3} D．{x|﹣2≤x＜3}

，则M∩（∁
U
N）等
2．（5分）与 函数y=10
lg
（
x
﹣
1
）
的图象相同的函数是 （ ）

A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1| C． D．

3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax
2
+bx及指数函数y=（）
x
的图象只可
能是（ ）

A． B． C．
D．

5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x），若f（a）• f（b）＜0（a，b∈R，且
a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（ ）

A．只有一个零点 B．至少有一个零点

C．无零点 D．无法判断

6．（5分）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0 ）=3，f（2）=1，
若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（ ）

A．（0，+∞） B．[2，+∞） C．（0，2] D．[2，4]

7．（5分）设奇函数f （x ）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]
时f （x）=2
x
+1，则f （x ）在区间[﹣2，0]上的表达式为（ ）

A．f（x）=2
x
+1 B．f（x）=﹣2
﹣
x
+
4
﹣1 C．f（x）=2
﹣
x
+
4
+1 D．f（x）=2
﹣
x
+1

，且f（x
1
）+f （x
2
）=1，8．（5分）正实数x
1
，x
2
及函数f（ x）满足
则f（x
1
+x
2
）的最小值为（ ）

A．4


B．2 C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x
2
+2x+2＞0”的否定是 ．

10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是 ．

11．（5分）设g（x）=，则g（g（））= ．

12．（5分）下列 命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小
数；（3）有一个实数x，使x
2
+2x+3=0；（4）x
2
≠y
2
⇔x≠y或x≠﹣y；（5 ）命题“a、
b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；
（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，
关于 x的不等式ax
2
+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的
序号是 ．（把符合要求的命题序号都填上）

13．（5分）若直线y=x+b与曲线
是 ．

14．（5分）函 数f（x）的图象与函数g（x）=（）
x
的图象关于直线y=x对称，
则f（2x﹣ x
2
）的单调减区间为 ．

有公共点，则b的取值范围

三、解答题：本大 题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或
演算步骤．

15．（1 2分）已知函数f（x）=sin
2
x+sinx•cosx+2cos
2
x ，x∈R

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？

16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为
60元．该厂为鼓励 销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一
件，订购的全部服装的出厂单价就降低0. 02元．根据市场调查，销售商一次订
购量不会超过500件．

（I）设一次订购量 为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的
表达式；

（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？

（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）

17．（14分）如图，棱锥 P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，
BD=2．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；

（3）求点C到平面PBD的距离．


18．（14分）已知函数f（x） 对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y）=f（x+y）+2，
当x＞0时，f（x）＞2．

（1）求证：f（x）在R上是增函数；

（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a
2
﹣2a﹣2）＜3．

19．（14分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则

函数f（x）的图象关于点（a，b）对称．

（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；

（2）已 知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对
称，且当x∈（0，+∞） 时，g（x）=x
2
+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的
解析式；

（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程 f（x）﹣x=0有实
数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．
< br>（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有
一个实根；

（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

（3）设函数f（ x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|
＜1，|β﹣2012|＜1时 ，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（02）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个< br>选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）若全集U=R，集合
于（ ）

A．{x|x＜﹣2} B．{x|x＜﹣2或x≥3} C．{x|x≥3} D．{x|﹣2≤x＜3}

，则M∩（∁
U
N）等
【解答】解：∵全集U=R，M={x|x＞2，或 x＜﹣2 }，N={x|﹣1＜x＜3}，

∴C
U
N={x|x≤﹣1，或 x≥3}，M∩（C
U
N）={x|x＜﹣2，或 x≥3}，

故选 B．



2．（5分）与函数y=10
lg
（
x
﹣
1
）
的图象相同的函数是（ ）

A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1| C． D．

【解答】解：函数y=10
lg
（
x
﹣
1
）
的定义域为{x|x＞1}，且y=x﹣1

对于A，它的定义域为R，故错；

对于B，它的定义域为R，故错；

对于C，它的定义域为{x|x＞1}，解析式也相同，故正确；

对于D，它的定义域为{x|x≠﹣1}，故错；

故选C．



3．（5分）若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【解答】解：∵（a﹣1）（a﹣2）=0，

∴a=1或a=2，

根据充分必要条件的定义可判断：

若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件，

故选：A



4．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2
+bx及指数函数y=（）
x
的图象只可
能是（ ）

A． B． C．
D．

【解答】解：根据指数函数y=（）
x
可知a，b同号且不相等

则二次函数y=ax
2
+bx的对称轴＜0可排除B与D

选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确

故选：A



5．（5分）对于定义在R上的函数y=f（x）， 若f（a）•f（b）＜0（a，b∈R，且
a＜b），则函数y=f（x）在区间（a，b）内（ ）

A．只有一个零点 B．至少有一个零点

C．无零点 D．无法判断

【解答】解：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，“f（a）
•f（b）＜0”

∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，

但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=
函数不是列出函数，定义域 为R，没有零点．

则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．

，

故选：D．



6．（5分 ）二次函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x+2），又f（0）=3，f（2）=1，
若在[0， m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是（ ）

A．（0，+∞） B．[2，+∞） C．（0，2] D．[2，4]

【解答】解：∵二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），

∴其对称轴是x=2，

可设其方程为y=a（x﹣2）
2
+b

∵f（0）=3，f（2）=1

∴

解得a=，b=1

函数f（x）的解析式是y=（x﹣2）
2
+1

∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，

∴m≥2

又f（4）=3，由二次函数的性质知，m≤4

综上得2≤m≤4

故选D



7．（5分）设奇函数f （x ）的定义域为R，且f（x+4）=f（x），当x∈[4，6]
时f （x）=2
x
+1，则f （x ）在区间[﹣2，0]上的表达式为（ ）

A．f（x）=2
x
+1 B．f（x）=﹣2
﹣
x
+
4
﹣1 C．f（x）=2
﹣
x
+
4
+1 D．f（x）=2
﹣
x
+1

【解答】解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，

∴﹣x+4∈[4，6]，

又∵当x∈[4，6]时，f（x）=2
x
+1，

∴f（﹣x+4）=2
﹣
x
+
4
+1．

又∵f（x+4）=f（x），

∴函数f（x）的周期为T=4，

∴f（﹣x+4）=f（﹣x），

又∵函数f（x）是R上的奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴﹣f（x）=2
﹣
x
+
4
+1，

∴当 x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣2
﹣
x
+
4
﹣1．

故选：B．



8．（5分）正实数x
1
，x< br>2
及函数f（x）满足
则f（x
1
+x
2
）的最小值 为（ ）

A．4 B．2 C． D．

得，由（fx
1
）+（fx
2
）=+=1

，且f （x
1
）+f（x
2
）=1，
【解答】解：由已知
于是可得 ：
所以得：
设
=≥2
，

，①

=t，则①式可得：t
2
﹣2t﹣3≥0，又因为t＞0，

≥3，即：
=
≥9，

≥1﹣=．

于是有：t≥ 3或t≤﹣1（舍），从而得
所以得：f（x
1
+x
2
）==
所以有：f（x
1
+x
2
）的最小值为．

故应选：C



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．（5分）已知命题P：“对任何x∈R，x
2
+2x+2＞0”的否定是 ∃x∈R，x
2
+2x+2
≤0 ．

【解答】解：因为全称命题的 否定是特称命题，所以，命题“对任何x∈R，x
2
+2x+2
＞0”的否定为：∃x ∈R，x
2
+2x+2≤0．

故答案为：∃x∈R，x
2
+2x+2≤0

10．（5分）函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是 （﹣，1） ．

【解答】解：由，解得：﹣．

∴函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域是（﹣，1）．

故答案为：（﹣，1）．



11．（5分）设g（x）=，则g（g（））= ．

【解答】解：∵g（x）=
∴g（）=ln=﹣ln2＜0，

∴g（g（））=g（﹣ln2）

=e
﹣
ln2

=
=2
﹣
1

=．

故答案为：．




，

12．（5分 ）下列命题：（1）梯形的对角线相等；（2）有些实数是无限不循环小
数；（3）有一个实数x，使x
2
+2x+3=0；（4）x
2
≠y
2
⇔x≠y或x≠﹣y ；（5）命题“a、
b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶 数”；
（6）若p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；（7）已知a、b、c是实数，
关于x的不等式ax
2
+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0．其中真命题的< br>序号是 （2）（6） ．（把符合要求的命题序号都填上）

【解答】解：对于（1），梯形的对角线不一定相等，∴（1）错误；

对于（2），无理数是无限不循环小数，无理数是实数，∴（2）正确；

对于（3） ，△=2
2
﹣4×1×3＜0，方程x
2
+2x+3=0无实根，∴（3）错 误；

对于（4），x
2
≠y
2
⇔x≠y且x≠﹣y，∴（ 4）错误；

对于（5），命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题

“若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数”，∴（5）错误；

对于（6），“若p或q”为假命题，则它的否定“非p且非q”是真命题，（6）正确；
< br>对于（7），a、b、c是实数，关于x的不等式ax
2
+bx+c≤0的解集是空集，

则必有a＞0且△＜0，∴（7）错误；

综上，以上真命题的序号是（2）（6）．

故答案为：（2）（6）．



13．（5分）若直线y=x+b与曲线
．

【解答】解：如图所示：曲线，

有公共点，则b的取值范围是
即 （x﹣2）
2
+（y﹣3）
2
=4（ 3≤y≤5，0≤x≤4），

表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．

由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，

可得
∴b=1+2
=2，

，或b=1﹣2．

，

结合图象可得﹣1≤b≤1+2
故答案为：．

14．（5分）函数f（x）的图象与函数 g（x）=（）
x
的图象关于直线y=x对称，
则f（2x﹣x
2
） 的单调减区间为 （0，1） ．

【解答】解：由y=g（x）=（）
x
，得x=，

∴函数g（x）=（）
x
的反函数为
该函数为定义域内的减函数，

由2x﹣x
2
＞0，得0＜x＜2，

函数y=2x﹣x
2
在（0，1）内为增函数，

，

由复合函数的单调性可得，f（2x﹣x
2
）的单调减区间为（0，1）．

故答案为：（0，1）．



三、解答题：本大题共6小题，满分 80分．解答须写出文字说明，证明过程或
演算步骤．

15．（12分）已知函数f （x）=sin
2
x+sinx•cosx+2cos
2
x，x∈R

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？

【解答】解：（1）f（x）=sin
2
x+
=，

x，

=
=，

，
< br>函数的最小正周期为：T=
令：
解得：
函数的单调递减区间为：
．
（k∈Z），

（k∈Z），

（k∈Z）．
个单位得到函数y=sin（2x+）的图象，（2）函数y=sin2x的图象向左平移
再将函数 图象向上平移各单位得到f（x）=sin（2x+


）+的图象．
16．（12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为
60元．该厂为 鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一
件，订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02元．根据市场调查，销售商一次订
购量不会超过500件．

（I）设一次订 购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的
表达式；

（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？

（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价﹣成本）

【解答】解：（I）当0＜x≤100时，P=60

当100＜x≤500时，
所以


（II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，

则

此函数在[0，450]上是增函数，故当x=450时，函数取到最大值

因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元．

17．（14分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面AB CD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，
BD=2．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求二面角P﹣CD﹣B的大小；

（3）求点C到平面PBD的距离．


【解答】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，

则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．

在Rt△BAD中，AD=2，BD=2，

∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），

∴
∴
=（ 0，0，2），
•=0，•
=（2，2，0），=（﹣2，2，0）

=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，

又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

（2）解：由（1）得=（0，2，﹣2），
=（x，y，z），

=（﹣2，0，0）．

设平面PCD的法向量为
即，

故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，

∴
=（0，1，1）

=（0，0，2）为平面ABCD的法向量．

，

设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得cosθ=
∴二面角P﹣ CD﹣B的大小是45°．

（3）解：由（1）得=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），

同理，可得平面PBD的法向量为
∵=（2，2，﹣2），

=（1，1，1）．

∴C到面PBD的距离为d=||=．




18．（14分）已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足f（x）+f（y） =f（x+y）+2，
当x＞0时，f（x）＞2．

（1）求证：f（x）在R上是增函数；

（2）当f（3）=5时，解不等式：f（a
2
﹣2a﹣2）＜3．

【解答】解：（1）设x
1
＜x
2
，则x
2
﹣x
1
＞0，

∵x＞0，f（x）＞2；

∴f（x
2
﹣x
1
）＞2；

又f（x
2
）=f[（x
2
﹣x
1
）+x
1
]=f（x
2
﹣x
1
）+f（x
1
）﹣2＞2+f（x
1
） ﹣2=f（x
1
），

即f（x
2
）＞f（x
1
）．

所以：函数f（x）为单调增函数

（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f （1）﹣2=[f（1）+f（1）﹣2]+f（1）﹣2=3f
（1）﹣4=5

∴f（1）=3．

即f（a
2
﹣2a﹣2）＜3⇒f（a
2
﹣2a﹣2）＜f（1）

∴a
2
﹣2a﹣2＜1⇒a
2
﹣2a﹣3＜0

解得：﹣1＜a＜3．

19．（1 4分）若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a﹣x）=2b，则
函数f（x）的图 象关于点（a，b）对称．

（1）已知函数f（x）=的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；

（2）已 知函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点（0，1）对
称，且当x∈（0，+∞） 时，g（x）=x
2
+ax+1，求函数g（x）在（﹣∞，0）上的
解析式；

（3）在（1）、（2）的条件下，若对实数x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t）成立，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象关于点（0，1）对称，

∴f（x）+f（﹣x）=2，

即
所以2m=2，

∴m=1．

（2）因为函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的图象关于点 （0，1）对
称，

则g（x）+g（﹣x）=2，

∴g（x）=2﹣g（﹣x），

∴当x＜0时，则﹣x＞0，

∴g（﹣x）=x
2
﹣ax+1，

∴g（x）=2﹣g（﹣x）=﹣x
2
+ax+1；

（3）由（1）知，
∴f（t）
min
=3，

又当x＜0时，g（x）=﹣x
2
+ax+1

∴g（x）=﹣x
2
+ax+1＜3，

∴ax＜2+x
2
又x＜0，

∴
∴


，

．

，

，

20．（14分）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣ x=0有实
数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．

（1 ）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有
一个实根；

（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

（3）设函数f（x）为集合 M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|
＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：| f（α）﹣f（β）|＜2．

【解答】解：（1）证明：令h（x）=f（x）﹣x，则h′ （x）=f′（x）﹣1＜0，故h
（x）是单调递减函数，

所以，方程h（x）=0，即f（x）﹣x=0至多有一解，

又由题设①知方程f（x）﹣x=0有实数根，

所以，方程f（x）﹣x=0有且只有一个实数根…..（4分）

（2）易知，
令
则
，

，…..（7分）

，满足条件②；

又F（x）在区间[e，e
2
]上连续，所以F（ x）在[e，e
2
]上存在零点x
0
，

即方程g（x）﹣x=0有实数根
综上可知，g（x）∈M…（9分）

（3）证明：不妨设α＜β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，

∴f（α）＜f（β），即f（β）﹣f（α）＞0，

令h（x）=f（x）﹣x， 则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h（x）是单调递减函数，

∴f（β）﹣β＜f（α）﹣α，即f（β）﹣f（α）＜β﹣α，

∴0＜f（β）﹣f（α）＜β﹣α，

则有|f（α）﹣f（β）|＜|α﹣β|≤ |α﹣2012|+|β﹣2012|＜2．（14分）



，故g（x）满足条件①，

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（03）

一.选择题：本卷共12小题每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，
只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）

2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A．y=x+1 B．y=﹣x
2
C．y= D．y=x|x|

为纯虚数，则实数a的值为（ ）

3．（5分）已知
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．

4．（5分）曲线y= x
3
+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）

A．﹣9 B．﹣3 C．9
5．（5分）公比为
（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

，则目标函数z=3x﹣y的取值范
D．15

的等比数列{a
n< br>}的各项都是正数，且a
3
a
11
=16，则log
2
a
16
=
6．（5分）设变量x，y满足约束条件
围是（ ）

A． B． C．[﹣1，6] D．

7．（5分）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a在平面α内，直线b在平面
β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）

A．12π B．45π C．57π D．81π

9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若
则
A．
=（ ）

B． C． D．
+

=，=，•=0，||=1，||=2，
1 0．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a
2
+
A．2 B．4 C． D．5

﹣10ac+25c
2
的最小值是（ ）

11．（5分）已知f （x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f
（x）=x
3
﹣x， 则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

12．（5分）函数y=x
2
（x＞0）的图象在 点（a
k
，a
k
2
）处的切线与x轴交点的横坐
标为ak
+
1
，k为正整数，a
1
=16，则a
1
+ a
3
+a
5
=（ ）

A．18 B．21 C．24 D．30



二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

13．（5分）已知{a
n
}为等差数列，a
1
+a
3
+a
5
=105，a
2
+a
4
+a
6
=99， 以S
n
表示{a
n
}的
前项和，则使得S
n
达到最 大值的是 ．

14．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3， BD=1，则
15．（5分）设
+f（2）+…+f（n）+f
1
（1）+f
2
（1）+…+f
n
（1）= ．

16．（5分 ）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a
2
﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取
值 范围为 ．



= ．

，则f（1）

三.解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应 写出文字说明，证明过程或
演算步骤.）

17．（10分）在△ABC中，角A，B ，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1
﹣sin

（1）求sinC的值

（2）若 a
2
+b
2
=4（a+b）﹣8，求边c的值．

18．（ 12分）设函数f（x）=2
|
x
+
1
|﹣|
x
﹣
1
|
，求使f（x）≥2的x的取值范围．

19．（12分）已知 等差数列{a
n
}满足：a
3
=7，a
5
+a
7< br>=26，{a
n
}的前n项和为S
n
．

（Ⅰ）求a
n
及S
n
；

（Ⅱ）令b
n< br>=（n∈N
*
），求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

＜2中至少有20．（12分）设x，y都是正数，且x+y＞2，求证：
一个成立．

21．（12分）已知函数f（x）=x
3
+ax
2
+bx+c的一 个零点为x=1，另外两个零点分别
在（0，1）和（1，+∞）内．

（1）求a+b+c；

（2）求的取值范围．

22．（12分）（理） 已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0

（1）求f（x）的解析式

（ 2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的
定值，并求出此定值 ．

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（03）

参考答案与试题解析



一.选择题：本卷共12小题每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域是（ ）

A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣1，1）∪（1，+∞）

【解答】解：要使函数f（x）有意义，则
即，

，

解得x＞﹣1且x≠1，

即函数的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞），

故选：D



2．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A．y=x+1 B．y=﹣x
2
C．y= D．y=x|x|

【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．

B．y=﹣x
2
是偶函数，不满足条件．

C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．

D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，

当x＞0时，y=x|x|=x
2
，此时为增函数，

当x≤0时， y=x|x|=﹣x
2
，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．

故选：D



3．（5分）已知
A．2
为纯虚数，则实数a的值为（ ）

B．﹣2 C．﹣ D．

【解答】解：已知
1+2a≠0，

解得 a=2，

故选A．



== 为纯虚数，∴2﹣a=0，且
4．（5分）曲线y=x
3
+11在点P（1，12） 处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）

A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15

【解答】解：∵y=x
3
+11∴y'=3x
2

则y'|
x=1
=3x
2
|
x=1
=3

∴曲线y=x
3
+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即 3x﹣y+9=0

令x=0解得y=9

∴曲线y=x
3
+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9

故选C



5．（5分）公比为
（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

的等比数列{a
n
}的各项都是 正数，且a
3
a
11
=16，

的等比数列{a
n
}的各项都是正数，且a
3
a
11
=16，则log
2a
16
=
【解答】解：∵公比为
∴
∴a
7
=4 ，

∴=32，

，

∴log
2
a
16
=log
2
32=5．

故选B．



6．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范
围是（ ）

A． B． C．[﹣1，6] D．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示


由z=3x﹣y可 得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z
越小

结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大

由
由
∴
故选A



7．（5分）设平面 α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面
β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b ”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，

若a⊥b，则α⊥β不一定成立，

故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，

故选：A．

可得B（，3），
可得C（2，0），z
max
=6

8．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）


A．12π B．45π C．57π D．81π

【解答】解：由三视图可知，此 组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3
的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱

故它的体积是5×π×3
2
+
故选C



9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若
则
A．
=（ ）

B． C． D．

π×3
2
×=57π

=，=，•=0，||=1，||=2，
【解答】解：∵•=0，

∴CA⊥CB

∵CD⊥AB

∵||=1，||=2

∴AB=

由射影定理可得，AC
2
=AD•AB

∴

∴
∴=

=

故选D




10．（5分）设a＞b＞c＞0，则2a
2
+
A．2 B．4 C． D．5




+﹣10ac+25c
2
的最小值是（ ）

【解答】解：
=
=
≥0+2+2=4

当且仅当a﹣5c=0，ab=1，a（a﹣b）=1时等号成立

如取a=
故选B



11．（5分）已知f（x）是R上 最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f
（x）=x
3
﹣x，则函数y=f （x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

，b=，c=满足条件．

【解答】解：当0≤x＜2时，f（x） =x
3
﹣x=0解得x=0或x=1，

因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，

故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，

又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，

即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7

故选B



12．（5分）函数y=x
2
（x＞ 0）的图象在点（a
k
，a
k
2
）处的切线与x轴交点的横坐
标为a
k
+
1
，k为正整数，a
1
=16，则a
1
+a
3
+a
5
=（ ）

A．18 B．21 C．24 D．30

【解答】解：依题意，y′=2x，

∴函数y=x
2
（x＞0）的 图象在点（a
k
，a
k
2
）处的切线方程为y﹣a
k
2
=2a
k
（x﹣a
k
）

令y=0，可得x= a
k
，即a
k
+
1
=a
k
，
< br>∴数列{a
n
}为等比数列a
n
=16×（）
n
﹣< br>1

∴a
1
+a
3
+a
5
=16+ 4+1=21

故选B



二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.

13．（5分）已知{a
n
}为等差数列，a
1
+a
3
+a
5
=105，a
2
+a
4
+a
6
=99， 以S
n
表示{a
n
}的
前项和，则使得S
n
达到最 大值的是 20 ．

【解答】解：设等差数列公差为d，则有
∴a
20=39﹣2×19=1＞0，a
21
=39﹣2×20=﹣1＜0

∴数列的前20项为正，

∴使得S
n
达到最大值的是20

故答案为20



14．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则
．

【解答】解：∵AB=3，BD=1，

∴D是BC上的三等分点，

∴
∴
=
故答案为


=
=9﹣
．

，


解得a
1
=39，d=﹣2

=
=，

15．（5分）设
+f（2）+…+f（n）+f
1
（1）+f
2
（1）+…+f
n
（1）= n ．

【解答】解：∵
∴f（1）+f（2）+…+f（n）=+…+


，则f（1）

∵f
1
（1）=，f
2
（1）=f
1
[f（1）]=f
1
（）=，…f
n
（1）=
∴ f
1
（1）+f
2
（1）+…+f
n
（1）=++…+
∴f（1）+f（2）+…+f（n）+f
1
（1）+f
2
（ 1）+…+f
n
（1）=n

故答案为：n



16．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a
2
﹣3a对任意实数x恒成立，则 实数a的取
值范围为 （﹣∞，﹣1]∪[4，+∞） ．

【解答】解：令y=|x+3|﹣|x﹣1|

当x＞1时，y=x+3﹣x+1=4

当x＜﹣3时，y=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4

当﹣3≤x≤1时，y=x+3+x﹣1=2x+2 所以﹣4≤y≤4

所以要使得不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a
2
﹣3a对任意实数x恒成立

只要a
2
﹣3a≥4即可

∴a≤﹣1或a≥4

故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）



三.解答题：（本 大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤.）

17． （10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1
﹣si n

（1）求sinC的值

（2）若 a
2
+b
2
=4（a+b）﹣8，求边c的值．

【解答】解：（1）∵

∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
（2）由
即
∴









得

∵a
2
+b
2
=4（a+b）﹣8

∴（a﹣2）
2
+（b﹣2）
2
=0

∴a=2，b=2

由余弦定理得
∴


18．（ 12分）设函数f（x）=2
|
x
+
1
|﹣|
x
﹣
1
|
，求使f（x）≥2
【解答】解：由于y=2
x
是增函数，f（x）≥2
的x的取值范围．



等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥，①

（1）当 x≥1时，|x+1|﹣|x﹣1|=2，则①式恒成立，

（2）当﹣1＜x＜1 时，|x+1|﹣|x﹣1|=2x，①式化为 2x≥，即
（3）当x≤﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|=﹣2，①式无解．

综上，x取值范围是[，+∞）．



19．（12分）已知等差 数列{a
n
}满足：a
3
=7，a
5
+a
7
=26，{a
n
}的前n项和为S
n
．

（Ⅰ）求a
n
及S
n
；

≤x＜1，

（Ⅱ）令b
n
=（n∈N
*
），求数列{ b
n
}的前n项和T
n
．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列 {a
n
}的公差为d，因为a
3
=7，a
5
+a
7
=26，所以有

，解得a
1
=3，d=2，

所 以a
n
=3+2（n﹣1）=2n+1；S
n
=3n+
（Ⅱ）由（Ⅰ ）知a
n
=2n+1，所以b
n
=
所以数列{b
n
}的前n项和T
n
=（1﹣
=，

．

==
﹣
．

=（﹣
）=（1﹣
），

）
即数列{b
n
}的前n项和T
n
=


20．（12分）设x，y都是正数，且x+y＞2，求证：
一个成立．

【解答】证明：假设＜2都不成立，即≥2且
＜2中至少有
≥2，

∵x，y都是正数，∴1+x≥2y，1+y≥2x，

∴1+x+1+y≥2x+2y，

∴x+y≤2

这与已知x+y＞2矛盾

∴假设不成立，


21．（1 2分）已知函数f（x）=x
3
+ax
2
+bx+c的一个零点为x=1，另 外两个零点分别
在（0，1）和（1，+∞）内．

（1）求a+b+c；

（2）求的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，可得

∵函 数f（x）=x
3
+ax
2
+bx+c的一个零点为x=1，

＜2中至少有一个成立

∴f（1）=1+a+b+c=0，即a+b+c=﹣1

（2）由（1），得c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）解析式，得

f（x）=x
3
+ax
2
+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x
2
+x+1）+ a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x
﹣1）[x
2
+（a+1）x+1+a +b）

设g（x）=x
2
+（a+1）x+1+a+b，

∵f（x）的另外两个零点分别在（0，1）和（1，+∞）内

∴函数g（x）的两 个零点x
1
、x
2
满足：0＜x
1
＜1 x
2
＞1，

因此，可得，

利用用线性规划知识，可得得﹣2＜＜﹣．




22．（12分）（理） 已知函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：7x﹣4y﹣12=0

（1）求f（x）的解析式

（ 2）曲线f（x）上任一点的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积的
定值，并求出此定值 ．

【解答】解：（1）求导函数可得：f′（x）=a+，

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．

∴f（2）=，

∴a+=，2a﹣=，

∴a=1，b=3

∴f（x）的解析式为f（x）=x﹣；

（2）设（x
0
，x0
﹣）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+，

∴切线方程为y﹣（x
0
﹣
令x=0，可得y=﹣
）=（1+）（x﹣x
0
），< br>
由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x
0

∴曲 线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定
值×|2x
0
|×|﹣


|=6．

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）



一、选择 题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求 .）

1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（ ）

A． B． C． D．2

=（ ）

2．（5分）i是虚数单位，复数
A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

3．（5分）若复数（a
2
﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）

A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1

等于（ ）

4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量

A． B． C． D．

5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于
（ ）

A．10 B．5 C． D．﹣10

6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（ ）

A． B． C． D．

7．（5分）下列各式中，值为的是（ ）

A．sin15°cos15° B．cos
2
﹣sin
2

C． D．

8．（5分）要得到函数y=sin（2x+
A．向左平移C．向右平移
）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

个单位

个单位

个单位 B．向左平移
个单位 D．向右平移
9．（5分）有以下四个命题：

①如果
②如果
且
，那么
，那么
或；

，那么△ABC是钝角三角形；

，那么△ABC为直角三角形．

；

③△ABC中，如果
④△ABC中，如果
其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

）的部分图象如图所示，10．（5分）已知函数 y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
则（ ）


A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣ C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ．

12．（5分）已知向量
= ．

13．（5分）已知 两个单位向量
，则
，的夹角为，若向量=，
满足与的夹角为60°，则
= ．

14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，
则λ= ．



三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、 证明过程和演
算步骤.

15．（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：

（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．

）﹣1．

16．（12分 ）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲
车间加工一箱原料需耗费工时1 0小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品
获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可 加工出4千克B产品，
每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每
天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，那么要满足上述的要求，并且获
利最大，甲、 乙两车间应当各生产多少箱？

17．（14分）已知函数
（1）求A的值；

（2）设
的值．

，
，x∈R，且

，，求cos （α+β）
18．（14分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且D E
⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿 DE，
CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．

（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积．


19．（14分）在海岸A处，发现 北偏东45°方向，距离Anmile的B处有
一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nm ile的C处的缉私船奉命以
nmileh的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmileh的速 度从B处向
北偏东30°方向逃窜．

（1）求线段BC的长度；

（2）求∠ACB的大小；

（参考数值：）

（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？


20．（14 分）已知函数f（x）=ax
3
﹣+1（x∈R），其中a＞0．

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间[﹣


]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（04）

参考答案与试题解析



一、选择题（本大题共10小题，每小题 5分，满分50分.每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求.）

1．（5分）已知i为虚数单位，则复数﹣1+i的模等于（ ）

A． B． C． D．2

【解答】解：．

所以，复数﹣1+i的模等于．

故选C．



2．（5分）i是虚数单位，复数=（ ）

A．2+i B．2﹣i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

【解答】解：复数===2﹣i

故选B．



3．（5分）若复数（a
2
﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（
A．1 B．2 C．1或2 D．﹣1

【解答】解：由a
2
﹣3 a+2=0得a=1或2，且a﹣1≠0得a≠1∴a=2．

故选B．



4．（5分）如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量等于（ ）


A． B． C． D．


）

【解答】解：∵D是△ABC的边AB的中点，∴
∵
∴
=﹣，

﹣﹣）=﹣+

=（+）

=（
故选：A



5．（5分）已知向量=（4，﹣2），向量=（x，5），且∥，那么x的值等于
（ ）

A．10 B．5 C． D．﹣10

【解答】解：∵=（4，﹣2），=（x，5），且∥，

∴4×5=﹣2x，解之得x=﹣10

故选：D



6．（5分）已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：

对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，
A错误；

对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；

对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；

对于D、、是两个单位向 量，即||=||，则有
2
=
2
，D正确；

故选：D．



7．（5分）下列各式中，值为的是（ ）

A．sin15°cos15° B．cos
2
﹣sin
2

C． D．

【解答】解：sin15°cos15°=sin30°=，排除A项．

cos
2
﹣sin
2
=cos=，排除B项．

=
由tan45°=
故选D



=，排除C项

，知选D．

8．（5分）要得到函数y=sin（ 2x+
A．向左平移
C．向右平移
）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

个单位

个单位

），

）的图
个单位 B．向左平移
个单位 D．向右平移
【解答】解：由于函数y =sin（2x+
∴将函数y=sin2x的图象向左平移
象，

故选：B



9．（5分）有以下四个命题：

①如果
②如果
且
，那么
，那么
或；

）=sin2（x+
个单位长度，可得函数y=sin（2x+
；

③△ABC中，如果
④△ABC中，如果
，那么△ABC是钝角三角形；

，那么△ABC为直角三角形．

其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

且，∴，与不一定相等，故①【解答】解：①∵

不正确；

②∵，∴，或，或
，∴
，故不正确；

，∴∠ABC是钝角，故△BAC是钝角③在△ABC中，∵
三角形，因此正确；

④在△ABC中，∵
是直角三角形，故正确．

，∴，即AB⊥BC，∴∠A BC=90°，∴△ABC
综上可知：只有③④正确，即正确命题的个数是2．

故选C．



10．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
则（ ）

）的部分图象如图所示，

A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣ C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣

【解答】解：由图象可知：T=
所以 2×
故选D．



+φ=，φ=﹣．

=π，∴ω=2；（，1）在图象上，

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

11．（5分）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为 ﹣1 ．

【解答】解：由（1+i）z=2，得：
所以，z的虚部为﹣1．

故答案为﹣1．



．

12．（5分）已知向量
．

满足与的夹角为60°，则=
【解答】解：根据题意，•=||||cos60°=1，

2
=||
2
﹣4•+4||
2
=13，

，

．

则
故答案为


2=
13．（5分）已知两个单位向量
，则
，的夹角为，若向量=，
= ﹣12 ．

=

）=6

【解答】解：由已知可得，
∴=（）•（
=6﹣4×﹣16

=﹣12

故答案为：﹣12



14．（5分）已知向量=（1，﹣3），=（4，2），若⊥（+λ），其中λ∈R，
则λ= ．

【解答】解：∵⊥（+λ），

∴•（+λ）=0．

∴（1，﹣3）•（4+λ，2﹣3λ）=0，

即（4+λ）﹣3（2﹣3λ）=0．

解得λ=．

故答案为．

三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演
算步骤.

15．（12分 ）已知函数f（x）=4cosxsin（x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：

（Ⅱ）求 f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．

）﹣1，

）﹣1．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+
=4c osx（
=
=
sinx+cosx）﹣1

sin2x+2cos
2
x﹣1

sin2x+cos2x

），

=2sin（2x+
所以函数的最小正周期为π；

（Ⅱ）∵﹣
∴﹣≤2x+
=
=﹣
≤x≤
≤
，

，

时，f（x）取最大值2，

时，f（x）取得最小值﹣1．

∴当2x+
当2x+


，即x=
时，即x=﹣
16．（12分）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由 乙车间加工出B产品．甲
车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品
获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，
每千克B产品获 利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每
天甲、乙车间耗费工时总和不得超过4 80小时，那么要满足上述的要求，并且获
利最大，甲、乙两车间应当各生产多少箱？

【解答】解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，…（1分）

根据题意，得约束条件 …（4分）

画出可行域．…（7分）

目标函数z=280x+200y，…（8分）

即
作直线
，…（9分）

并平移，得直线经过点A（15，55）时z取最大值．…（11分）

．…（12分）

所以当x=15，y=55时，z取最大值



17．（14分）已知函数
（1）求A的值；

（2）设
的值．

【解答】解：（1），解得A=2

，，，求cos（α+β）
，x∈R，且

（2）

，即
，即
因为
所以
所以


，

，，


．

18．（1 4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE
⊥AB，CF⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=4，DE=4．现将△ADE，△CFB分别沿DE，
CF折起，使A ，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．

（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积．


【解答】解：（1）证明：因为DE⊥EF，CF⊥EF，所以四边形CDEF为矩形，
由AD=5，DE=4，得AE=GE=
由GC=4，CF=4，得BF=FG=
=3，< br>
=4，所以EF=5，

在△EFG中，有EF
2
=GE< br>2
+FG
2
，所以EG⊥GF，

又因为CF⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，

所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．

（2）解： 在平面EGF中，过点G作GH⊥EF于H，则GH=
因为平面CDEF⊥平面EFG，得GH⊥平面C DEF，

=16．

=，

19．（14分）在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处 有
一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以
nmi leh的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmileh的速度从B处向
北偏东30°方向逃窜．

（1）求线段BC的长度；

（2）求∠ACB的大小；

（参考数值：）

（3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船？


【解答】解：（1）在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…（1分）
由余弦定理，得BC
2
=AB
2
+AC
2
﹣2AB•A Ccos∠CAB…（2分）

=+2
2
﹣2×（﹣1）×2×（﹣）=6，…（3分）

所以，BC=．…（4分）

=，

（2）在△ABC中，由正弦定 理，得
所以，sin∠ACB=
==．…（7分）

…（6分）

又∵0°＜∠ACB＜60°，

∴∠ACB=15°．…（8分）

（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，

则有CD=10t，BD=10t．

在△ABC中，

又∠CBD=90°+30°=120°，

在△BCD中，由正弦定理，得

sin∠BCD=
=
∴∠BCD=30°，

又因为∠ACB=15°…（12分）

所以180
0
﹣（∠BCD +∠ACB+75°）=180°﹣（30°+15°+75°）=60°

即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…（14分）

…（8分）

=．…（10分）




20．（ 14分）已知函数f（x）=ax
3
﹣+1（x∈R），其中a＞0．

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

，

【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=
∴f（2）=3；

∵f′（x）=3x
2
﹣3x，

∴f′（2）=6．

所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），

即y=6x﹣9；


（Ⅱ）解：f′（x）=3ax
2
﹣3x=3x（ax﹣1）．

令f′（x）=0，

解得x=0或x=．

以下分两种情况讨论：

（1）若0＜a≤2，则；

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

f′（x）

f（x）

当
（﹣，0）

+

增

时，f（x）＞0，等价于
0

0

极大值

即．

（0，）

﹣

减

解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；


（2）若a＞2，则

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x



（﹣，0）

f′（x）

f（x）

+

增

0

极大值

﹣

减

0

极小值

+

增

0

（0，）

（，）

当时，f（x）＞0等价于即

解不等式组得
因此2＜a＜5．

或．

综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．



2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（05）



一、选择 题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要 求的．

1．（5分）“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视 图都是直角三角
形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（ ）


A． B． C． D．1

3．（5分）设a=3
0.5
，b=log
3
2，c=cos2，则（ ）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a

4．（5分）设向量
（ ）

A．﹣3 B．3 C． D．

，若，则=
5．（5分）已知集合，集合N={y|y=3
x< br>，x＞0}，则如图所示的
韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）


A．（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞） C．[0，1]∪（2，+∞）
1]∪[2，+∞）

D．[0，
6．（5分）由曲线xy=1，直线y=x ，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．4﹣ln3

）是（ ）

B．最小正周期为π的奇函数

7．（5分）函数y=1﹣2sin
2
（x+
A．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为2π的奇函数

8．（5分）下列命题正确的是（ ）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

9．（5分）设a＜b，函数y=（x﹣a）
2
（x﹣b）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

10．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，
则实数k的值为（ ）

A．﹣1 B．﹣ C． D．1

11．（5分）以双曲线
方程是（ ）

A． B．（x﹣3）
2
+y
2
=3 C．=3 D．（x﹣3）
2
+y
2
=9

）的图象如图所示，
的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的
12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ） （其中
为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）


A．向右平移
C．向左平移


个长度单位 B．向右平移
个长度单位 D．向左平移
个长度单位

个长度单位

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题 纸的
相应位置上.

13．（4分）设非零向量
= ．
< br>14．（4分）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，
写出第n个图 形中小正方形的个数是 ．

满足，则

15．（4分）已知F是抛 物线y=x
2
的焦点，M、N是该抛物线上的两点，|MF|+|NF|=3，
则线段 MN的中点到x轴的距离为 ．

16．（4分）已知函数f（x）的定义域为[﹣1 ，5]，部分对应值如下表，f（x）的
导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（x）的下 列命题：

x

f（x）

﹣1

1

0

2

2

0

4

2

5

1

①函数y=f（x）在x=2取到极小值；

②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；

③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

④如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．

其中所有正确命题是 （写出正确命题的序号）．




三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步 骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.

17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

（I）求角C；

（II）求的最大值．

18．（12分）在等差数列{a
n
}中，a
1
=3，其前n项和为Sn
，等比数列{b
n
}的各项
均为正数，b
1
=1，公 比为q，且
（I）求a
n
与b
n
；

（II）设，求T
n
的值．

．

19．（12分 ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯
形，∠ABC=90°， AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．

（I）求证：CD⊥平面PBD；

（II）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．


20．（12分）小张于年初 支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用
需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加 支出2万元，假定该车每年的
运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大 货车
作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规
定大货车 的报废年限为10年）．

（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

（2）在第几年年 底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=
累计收入+销售收入﹣总支出）

21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F
2
分别为
．

椭圆C的左、右焦点，过F
2
的直线l与C相交于A、B两点，△F
1< br>AB的周长为
（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C上存在点P，使得四 边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方

程．

22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）

（I）若函数f（x）在区间[e
2
，+∞）上为增函数，求a的取值范围；

（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的
值．

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（05）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当m=1时，两直线的方程分别为x﹣y=0，与x +y=0，可得出此两直
线是垂直的；

当两直线垂直时1×1+（﹣1）×m=0，可解得，m=1，

所以“m=1”可得 出“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”，由“直线x﹣y=0和直
线x+my=0互相垂直 ”可得出“m=1”

所以“m=1”是“直线x﹣y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件，

故选C



2．（5分）如图，若一个空间几何体的三视图中，正 视图和侧视图都是直角三角
形，其直角边均为1，则该几何体的体积为（ ）


A． B． C． D．1

【解答】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面为 边长为1的正方形，高
为1的四棱锥，

所以体积为V=×1×1×1=．

故选A．



3．（5分）设a=3
0.5
，b=log
3
2，c=cos2，则（ ）

A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a

【解答】解：∵
0=log
3
1＜log
3
2＜log
3< br>3=1，

又∵
所以c＜b＜a．

故选A．



4．（5分）设向量
（ ）

A．﹣3 B．3 C． D．

，

，∴cos2＜0，

，若，则=
【解答】解：∵=（cosα，﹣1），=（2，sinα），⊥，

∴2cosα﹣sinα=0，

∴tanα=2．

∴tan（α﹣）

=

=
=．


故选C．



5．（5分）已知集合，集合N={y|y=3x
，x＞0}，则如图所示的

韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）


A．（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞） C．[0，1]∪（2，+∞）
1]∪[2，+∞）

【解答】解：
0}={y|y＞1}，

D．[0，
，N={y|y =3
x
，x＞
则阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}，M∪N={x|x≥0 }，M∩N={x|1＜x≤2}，

所以，即阴影部分为{x|x∈M∪N且x∉M∩N}={x|0≤x≤1或x＞2}，

即[0，1]∪（2，+∞），

故选C．



6．（5分）由曲线xy=1，直线y=x，x=3及x轴所围成的曲边四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．4﹣ln3

，

【解答】解：由xy=1得
由得x
D
=1，

所以曲边四边形的面积为：

，

故选C．

7．（5分）函数y=1﹣2sin
2
（x+
A．最小正周期为π的偶函数
）是（ ）

B．最小正周期为π的奇函数

C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为2π的奇函数

【解答】解：因为函数y=f（x）=1﹣2sin
2
（x+
R；

所以函数y=f（x）的最小正周期为T==π，

）=cos2（x+）=﹣sin 2x，x∈
且f（﹣x）=﹣sin2（﹣x）=sin2x=﹣f（x），

所以f（x）是定义域R上的奇函数．

故选：B．



8．（5分）下列命题正确的是（ ）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【解答】解：A、若两条直 线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、
相交或异面，故A错误；

B、若 一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，
故B错误；

C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线
b∥l，在平 面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判
定定理可证明b∥β，进而由线 面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C
正确；

D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．

故选C．



9．（5分）设a＜b，函数y=（x﹣a）
2
（x﹣b）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：由题，=（x﹣a）
2
的值大于等于0，故

当x＞b时，y＞0，

x＜b时，y≤0．

对照四个选项，C选项中的图符合

故选C．



10．（5分）已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，
则实数k的值为（ ）

A．﹣1 B．﹣ C． D．1

【解答】解：∵不等式组所表示的平面区域三角形，如图：

平面为三角形所以过点（2，0），

∵y=kx﹣1，与x轴的交点为（，0），

y=kx﹣1与y=﹣x+2的交点为（
三角形的面积为：
解得：k=1．

故选D．

），

=，

11．（5分）以双曲线
方程是（ ）

A． B．（x﹣3）
2
+y
2
=3 C．=3 D．（x﹣3）
2
+y
2
=9

的右焦点为圆心且与双曲线 的渐近线相切的圆的
【解答】解：由已知，双曲线
故圆心（3，0），

渐近线方程：y=±
中，c
2
=6+3，c=3，焦点在x轴上，

x，又圆与渐近线相切，

=，

∴圆心到渐近线距离即为半径长， r=
∴所求圆的方程为（x﹣3）
2
+y
2
=3，

故选B．



12．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ ）（其中）的图象如图所示，
为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）


A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位

）的图【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中
象，

过（，0）点，（）点，

）=π，即ω=2

）点代入得：


易得：A=1，T=4（
即f（x）=sin（2 x+φ），将（
+φ=
∴φ=

+2kπ，k∈Z又由
∴f（x）=sin（2x+），

设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，

则2（x+a）+
解得a=﹣

=2x

故将函数f（x）的图象向右平移
故选A



个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，

二、填空题：本大题共4个小题 ，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的
相应位置上.

13．（4分）设非零向量
120° ．

【解答】解：因为
所以
，所以
，即
，所以
，

，

满足，则=
所以
由向量夹角的范围可得．

，

故答案为：120°



14．（4分）下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，
写出第n个 图形中小正方形的个数是 ．


【解答】解：∵a
1
=1，a< br>2
=3，a
3
=6，a
4
=10，∴a
2
﹣ a
1
=2，a
3
﹣a
2
=3，a
4
﹣a< br>3
=4，…a
n
﹣a
n
﹣
1
=n，

等式两边同时累加得a
n
﹣a
1
=2+3+…+n，即
所以 第n个图形中小正方形的个数是
故答案为


15．（4分）已知F是抛物线 y=x
2
的焦点，M、N是该抛物线上的两点，|MF|+|NF|=3，
则线段MN 的中点到x轴的距离为 ．


，

．

【解答】解：抛物线的焦点为（0，），准线为y=﹣，过M，N分别作准线的
垂线，

则|MM'|=|MF|，|NN'|=|NF|，

所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=3，

所以中位线|PP′|==，

所以中点P到x轴的距离为|PP′|﹣=﹣=．

故答案为：．

16．（4分）已知函数f（x）的定义域 为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的
导函数y=f′（x）的图象如图所示，给出关于f（ x）的下列命题：

x

f（x）

﹣1

1

0

2

2

0

4

2

5

1

①函数y=f（x）在x=2取到极小值；

②函数f（x）在[0，1]是减函数，在[1，2]是增函数；

③当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

④如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最小值为0．

其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．


【解答】解： 由图象可知当﹣1＜x＜0，2＜x＜4时，f′（x）＞0，此时函数单调
递增，

当0＜x＜2，4＜x＜5时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，

所以当x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．

所以①正确．

②函数在[0，2]上单调递减，所以②错误．

③因为x=0或x=4时，函数取得极大值，当x=2时，函数取得极小值．

所以f（0）=2，f（4）=2，f（2）=0，

因为f（﹣1）=f（5）=1 ，所以由函数图象可知当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a

有4个零点；正确．

④因为函数在[﹣1，0]上单调递增，且函数的最大值为2，

所以要使当x∈[﹣ 1，t]时，f（x）的最大值是2，则t≥0即可，所以t的最小
值为0，所以④正确．

故答案为：①③④．



三、解答题：本大题共6个小题，满分7 4分.解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.

17．（12分）△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

（I）求角C；

（II）求
【解答】解：（I）∵
∴
即< br>由余弦定理cosC=
∵C∈（0，π）

∴



的最大值．


=

（II）由题意可得
=
=2sin（A
=
）


=

∵A∈（0，π）

∴
∴
∴




的最大值为2

18．（ 12分）在等差数列{a
n
}中，a
1
=3，其前n项和为S
n，等比数列{b
n
}的各项
均为正数，b
1
=1，公比为q，且
（I）求a
n
与b
n
；

（II）设，求T
n
的值．

．

【解答】解（Ⅰ ）设等差数列{a
n
}的公差为d，∵差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，
数列{b
n
}为等比数列，

且，

∴，即，解得：．

∴a
n
=a
1
+（n﹣1）d =3+（n﹣1）•3=3n，

．

（Ⅱ）T
n
=an
b
1
+a
n
﹣
1
b
2
+a
n
﹣
2
b
3
+…+a
1
b
n
=3n•1+3（n﹣1）•3+3（n﹣2）•3
2
+…+3×2×3
n2
+3•3
n1

=n•3+（n﹣1）•3
2
+（n ﹣2）•3
3
+…+2•3
n
﹣
1
+3
n
．

∴
∴
=（3
2
+3
3
+…+3
n
+
1
）﹣3n

=
∴


1 9．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯
形，∠AB C=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．

（I）求证：CD⊥平面PBD；

（II）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．

=
．

．


﹣﹣
．

【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，
所以AB⊥BC．

PB⊥底面ABCD．

而CD⊂底面ABCD，所以PB⊥CD．

在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=BC，

所以BD=CD=BC，所以BD⊥CD．

又因为PB∩BD=B，所以CD⊥平面PAC

（Ⅱ）解：设平面EBD的法向量为 =（x，y，1），B（0，0，0），E
，D（1，1，0），
则，即，


，
又∵平面ABE的法向量为=（0，1，0），

∴cos==．

．

即二面角A﹣BE﹣D的大小的余弦值为

20．（12分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因 缴纳各种费用
需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的
运 输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车
作为二手车出售，若该车在 第x年年底出售，其销售收入为25﹣x万元（国家规
定大货车的报废年限为10年）．

（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？

（2）在第几年年 底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=
累计收入+销售收入﹣总支出）

【解答】解：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差
为y万元，< br>
则y=25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50=﹣x
2
+20x﹣50（0 ＜x≤10，x∈N）

由﹣x
2
+20x﹣50＞0，可得10﹣5
∵2＜10﹣5
＜x＜10+5

＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；

（2）∵利润=累计收入+销售收入﹣总支出，

∴二手车出售后，小张的年平均利润为
当且仅当x=5时，等号成立

=19﹣（x+）≤19﹣10=9

∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．



21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F
2
分别为
．

椭圆C的左、右焦点，过F
2
的直线l与C相交于A、B两点，△F
1< br>AB的周长为
（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C上存在点P，使得四 边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方
程．

【解答】解：（I）∵椭圆离心 率为
又△F
1
AB周长为4，∴4a=4
，∴=，∴a=c，

，

，解得a=
；

，∴c=1，b=
∴椭圆C的 标准方程为：
（II）设点A（x
1
，y
1
），B（x
2< br>，y
2
），P（x
0
，y
0
），

当斜率不存在时，这样的直线不满足题意，

∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x﹣1），

将直线l的方程代 入椭圆方程，整理得：（2+3k
2
）x
2
﹣6k
2
x+3 k
2
﹣6=0，∴
x
1
+x
2
=，
故y
1
+y
2
=k（x
1
+x
2
）﹣ 2k=﹣2k=
=+
，

，

，

∵四边 形OAPB为平行四边形，∴
从而，
又P（x
0
，y
0
）在 椭圆上，∴，

整理得：
得k=±，

， 12k
4
+8k
2
=4+12k
2
+9k
4
，3k
4
﹣4k
2
﹣4=0，解
故所求直线l的方程为：y=±< br>

（x﹣1）．

22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）

（I）若函数f（x）在区间[e
2
，+∞）上为增函数，求a的取值范围；

（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的
值．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1

∵函数f（x）在区间[e
2
，+∞）上为增函数，

∴当x∈[e
2
，+∞）时f′（x）≥0，

即lnx+a+1≥0在区间[e
2
，+∞）上恒成立，

∴a≥﹣1﹣lnx．

又当x∈[e
2
，+∞）时，

lnx∈[2，+∞），∴﹣1﹣lnx∈（﹣∞，﹣3]．

∴a≥﹣3；

（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，

即x•lnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，

也就是k（x﹣1）＜x•lnx+ax﹣ax+x恒成立，

∵x∈（1，+∞），∴x﹣1＞0．

则问题转化为k
设函数h（x）=
对任意x∈（1，+∞）恒成立，

，则
．

，

再设m（x）=x﹣lnx﹣2，则
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x﹣lnx﹣2在（1，+∞）上为增函
数，< br>
∵m（1）=1﹣ln1﹣2=﹣1，m（2）=2﹣ln2﹣2=﹣ln2，m（3）=3﹣ ln3﹣2=1﹣ln3
＜0，m（4）=4﹣ln4﹣2=2﹣ln4＞0．

∴∃x
0
∈（3，4），使m（x
0
）= x
0
﹣lnx
0
﹣2=0．

∴当x∈（1，x
0
）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，∴
上递减，

x∈（x
0< br>，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴
上递增，

∴h（x）的最小值为h（x
0
）=．

得h（x
0
）
在（x
0
，+∞）
在（1，x
0
）
∵m（x< br>0
）=x
0
﹣lnx
0
﹣2=0，∴lnx
0
+1=x
0
﹣1，代入函数h（x）=
=x
0
，

∵x
0
∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，

∴k＜h（x）
min
=x
0
，∴k≤3，

∴k的值为1，2，3．



2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（06）



一、选择 题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求 的．

1．（5分）已知集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，则CA
B=（ ）

A．{x|x是菱形} B．{x|x是内角都不是直角的菱形}

C．{x|x是正方形} D．{x|x是邻边都不相等的矩形}

2．（5分）已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为
（ ）

A． B． C． D．

3．（5分）设集合M={x||x﹣1|＜ 2}，N={x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈
N”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且
A． B． C．5 D．13

，则|+|的值为（ ）

5．（5分）函数
A．
6
B．
．（
C．π
5
D．2π

分）当
的最小正周期为（ ）

时，函数
的最大值和最小值分别是
（ ）

A．， B．， C．， D．，

7．（5分）已知函数f（x）=x+2
x
，g（x）=x +lnx，
x
2
，x
3
，则x
1
，x
2< br>，x
3
的大小关系是（ ）

的零点分别为x
1
，
A．x
1
＜x
2
＜x
3
B．x
2
＜x
1
＜x
3
C．x
1
＜x
3
＜x
2
D．x
3
＜x
2
＜x
1

8．（5分）定义在R上 的函数，若关于x的方程f
2
（x）
+bf（x）+c=0恰好有5个不同的实数解x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5< br>，则f（x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
）
=（ ）

A．lg2 B．lg4 C．lg8 D．1



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，
10．（5分）|x﹣1|dx= ．

= ．

的定义域为 ．

= ．

11．（5分）已知α为锐角，
12．（5分）函数f（x）=
13．（ 5分）平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知两点A（2，1），B（﹣1，
﹣2），若点C满足，且 s+t=1，则点C的轨迹方程是 ．

14．（5分）飞机的航线和山顶C在同一个 铅锤平面内，已知飞机的高度保持在

海拔h（km），飞行员先在点A处看到 山顶的俯角为α，继续飞行a（km）后在
点B处看到山顶的俯角为β，试用h、a、α、β表示山顶的 海拔高度为 （km）．




三、解答题：本大题共6 小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或
演算步骤．

15．（12分）（1）写出余弦定理．

（2）证明余弦定理．

16．（12分）已知集合A={x|x
2
﹣7x+6≤0，x∈N
*
}，集 合B={x||x﹣3|≤3．x∈
N
*
}，集合M={（x，y）|x∈A，y∈B }

（1）求从集合M中任取一个元素是（3，5）的概率；

（2）从集合M中任取一个元素，求x+y≥10的概率；

（3）设ξ为随机变量，ξ=x+y，写出ξ的分布列，并求Eξ．

17．（14分 ）如图所示的长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是边长为2的正
方形，O为AC与BD的交点，
（Ⅰ）求证：BM∥ 平面D
1
AC；

（Ⅱ）求证：D
1
O⊥平面AB
1
C；

（Ⅲ）求二面角B﹣AB
1
﹣C的大小．

，M是线段B
1
D
1
的中点．


18． （14分）设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）
上的导 函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在

（a，b）上为“凸函数”．已知．

（Ⅰ）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；

（Ⅱ） 若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求
b﹣a的最大值．
19．（14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水
域． 点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的
船只位于点A北偏东45°且 与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得
，0°＜θ＜90°）且与点A相距该船已行驶到点 A北偏东45°+θ（其中sinθ=
10海里的位置C．

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里小时）；

（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理
由．


20．（14分）已知函数f（x）=x
3
﹣x
2
+ax﹣a （a∈R）．

（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；

（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（06）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个< br>选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x是菱形或矩 形}，B={x|x是矩形}，则C
A
B=（ ）

A．{x|x是菱形} B．{x|x是内角都不是直角的菱形}

C．{x|x是正方形} D．{x|x是邻边都不相等的矩形}

【解答】解：由集合A={x|x是菱形或矩形}，B={x|x是矩形}，

则C
A
B={x|x是内角都不是直角的菱形}．

故选B



2．（5分）已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为
（ ）

A． B． C． D．


【解答】解：∵
∴
∴
∵



∴两个向量的夹角余弦为
故选C




3．（5 分）设集合M={x||x﹣1|＜2}，N={x|x（x﹣3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈
N ”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：∵集合M={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}

N={x|x（x﹣3）＜0}={x|0＜x＜3}

∴M⊇N，

∴a∈M是a∈N必要不充分条件，

故选A．



4．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且
A． B． C．5 D．13

，

，则|+|的值为（ ）

【解答】解： 由向量=（2，﹣3），=（x，6），且
则2×6﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4．

所以
则
所以
故选B．



5．（5分）函数
A． B． C．π D．2π

=
，

=（﹣2，3）．

．

的最小正周期为（ ）

【解答】解：函数
所以函数的最小正周期是：T=
故选C



6．（5分）当

=cos（2x+）=﹣sin2x，

时，函数
的最大值和最小值分别是
（ ）

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：∵sin（2π+x）=sinx， cos（2π﹣x）=cosx，sin（2013π+
﹣

∴
（x+
∵
）+

，得

）=﹣sin=
=sinx+cosx+=2sin
∴﹣≤sin（x+）+≤1，得﹣1≤2sin（x+） ≤2

由此可得f（x）的最小值为﹣1+=﹣，最大值为2+=

故选：A



7．（5分）已知函数f（x）=x+2
x
，g（x）=x+lnx，
x
2
，x
3
，则x
1< br>，x
2
，x
3
的大小关系是（ ）

A．x
1
＜x
2
＜x
3
B．x
2
＜x
1
＜x
3
C．x
1
＜x
3
＜x
2
D．x
3
＜x
2
＜x
1

【解答】解：f（x）= x+2
x
的零点必定小于零，g（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）
内，
函数的零点必定大于1．

的零点分别为x
1
，
因此，这三个函数的零点依次增大，

故x
1
＜x
2
＜x
3
．

故选A．



8．（5分）定义在R上的函数，若关于x的方程f
2
（x）
+bf（x）+c=0恰好有5个不同的实数解x
1
，x< br>2
，x
3
，x
4
，x
5
，则f（x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
）
=（ ）

A．lg2 B．lg4 C．lg8 D．1

【解 答】解：由题意，对于f
2
（x）+bf（x）+c=0来说，f（x）最多只有2解，又f（x）=lg|x﹣2|（x≠2），当x不等于2时，x最多四解，而题目要求5解，即可

推断f（2）为一解

∵
∴x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
=10

∴f（x
1
+x
2
+x
3
+x
4
+x< br>5
）=f（10）=lg8

故选C．



二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．

9．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，
【解答】解：如图所示：

向量
∴
与
=
．

的夹角应为∠ABC的补角∠DBC=120°．

=．

= ．

的图象关于x=2对称，

故答案为



10．（5分）|x﹣1|dx= 1 ．

x
2
【解答】解：∫< br>0
2
|x﹣1|dx=∫
0
1
（1﹣x）dx+∫
1
2
（x﹣1）dx=（x﹣x
2
）|
0
1
+（
﹣x）|
1
2
=1

故答案为：1



11．（5分）已知α为锐角，
【解答】解：∵α为锐角，∴α+∈（，），

= ．

又cos（α+
∴sin（α+
）=，

）=
）﹣
=，

]=cos（α+）cos+sin（α+）sin =×+则cosα=cos[（α+
×=．


故答案为：


12．（5分）函数f（x）=的定义域为 [3，+∞） ．

【解答】解：若使函数f（x）=的解析式有意义，

自变量x须满足：，

解得：x∈[3，+∞），

故函数f（x）=
故答案为：[3，+∞）



13．（ 5分）平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知两点A（2，1），B（﹣1，
﹣2），若点C满足【解答】解：C点满足
由共线向量定理可知，

A、B、C三点共线．

∴C点的轨迹是直线AB，

又A（2，1）、B（﹣1，﹣2），

∴直线AB的方程为：
整理得x﹣y﹣1=0．

，

，且s+t=1，则点C的轨迹方程是 x﹣y﹣1=0 ．

，且s+t=1，

的定义域为[3，+∞），

故C点的轨迹方程为x﹣y﹣1=0．

故答案为：x﹣y﹣1=0．



14．（5分）飞机的航线和山顶C在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在
海拔h（km），飞行员先在点A处看到山顶的俯角为α，继续飞行a（km）后在
点B处看到 山顶的俯角为β，试用h、a、α、β表示山顶的海拔高度为
（或） （km）．


【解答】解：如图在△ABC中，由正弦定理得，
∴
∴
，在Rt△BDC中< br>（km）．〔或CD=ADtanα



，

=（a+BD）tanα，BD=CDtanβ⇒
∴

．〕

故答案为：或km




三、解答题：本大题共6小题 ，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或
演算步骤．

15．（12分）（1）写出余弦定理．

（2）证明余弦定理．

【解答】解：（1）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去
这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对
边， 有a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，b
2=c
2
+a
2
﹣2cacosB，c
2
=a
2
+b
2
﹣2abcosC．

（2）证明：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，

以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，

则C（bcosA，bsinA），B（c，0），

∴a
2
=|B C|
2
=（bcosA﹣c）
2
+（bsinA）
2
=b
2
cos
2
A﹣2bccosA+c
2
+b
2
sin
2
A

=b
2
+c
2
﹣2bccosA，

同理可证b< br>2
=a
2
+c
2
﹣2accosB，c
2
= a
2
+b
2
﹣2abcosC．




16．（12分）已知集合A={x|x
2
﹣7x+6≤0，x∈N
*
}，集合B={x||x﹣3|≤3．x∈
N
*
}，集合M={（x，y）|x∈A ，y∈B}

（1）求从集合M中任取一个元素是（3，5）的概率；

（2）从集合M中任取一个元素，求x+y≥10的概率；

（3）设ξ为随机变量，ξ=x+y，写出ξ的分布列，并求Eξ．

【解答】解：（ 1）设从M中任取一个元素是（3，5）的事件为B，则P（B）=
所以从M中任取一个元素是（3，5 ）的概率为


（2）设从M中任取一个元素，x+y≥10的事件为C，有

（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）

则P（C）=，所以从M中任取一个元素x+y≥10的概率为

（3）ξ可能取的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12

ξ的分布列为

ξ

P

2


3


4


5


6


7


8


9


10


11


12

Eξ=2×
=7

++8×


17．（14分）如图所示的长方体ABCD﹣A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，
（Ⅰ）求证：BM∥平面D
1
AC；

（Ⅱ）求证：D
1
O⊥平面AB
1
C；

（Ⅲ）求二面角B﹣AB
1
﹣C的大小．

，M是线段B
1
D
1
的中点．


【解答 】解：（Ⅰ）连接D
1
O，如图，∵O、M分别是BD、B
1
D
1< br>的中点，BD
1
D
1
B
是矩形，

∴四边形D
1
OBM是平行四边形，∴D
1
O∥BM．
< br>∵D
1
O⊂平面D
1
AC，BM⊄平面D
1
AC，< br>
∴BM∥平面D
1
AC．

（Ⅱ）连接OB
1，∵正方形ABCD的边长为2，
∴，OB
1
=2，D
1
O=2 ，

，

则OB
1
2
+D
1
O< br>2
=B
1
D
1
2
，∴OB
1
⊥D< br>1
O．

∵在长方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，AC⊥BD，AC⊥D
1
D，

∴AC⊥平面BDD
1
B
1
，又D
1
O⊂平面BDD1
B
1
，

∴AC⊥D
1
O，又AC∩OB
1
=O，

∴D
1
O⊥平面AB
1
C．

（Ⅲ）在平面ABB
1
中过点B作BE⊥AB
1
于E，连接EC，

∵CB⊥AB，CB⊥BB
1
，

∴CB ⊥平面ABB
1
，又AB
1
⊂平面ABB
1
，

∴CB⊥AB
1
，又BE⊥AB
1
，且CB∩BE=B，

∴AB
1
⊥平面EBC，而EC⊂平面EBC，

∴AB
1
⊥EC．

∴∠BEC是二面角B﹣AB
1
﹣C的平面角．

在Rt△BEC中，
∴
，BC=2

，∠BEC=60°，

∴二面角B﹣AB
1
﹣C的大小为60°．



18．（14分）设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）
上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在
（a，b） 上为“凸函数”．已知．

（Ⅰ）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；

（Ⅱ） 若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求
b﹣a的最大值．
【解答】解：由函数得，f″（x）=x
2
﹣mx﹣3（3分）
（Ⅰ）若f（x）为区间（﹣1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x
2
﹣mx﹣3 ＜0在
区间（﹣1，3）上恒成立，

由二次函数的图象，当且仅当
即⇔m=2．（7分）

，

（Ⅱ）当|m|≤2时，f″（x）=x
2
﹣mx﹣3＜0恒成立⇔当|m|≤2时，mx＞x
2
﹣3
恒成立．（8分）

当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立．（9分）

当x＞0，

∵m的最小值是﹣2．

∴．

从而解得0＜x＜1（11分）

当x＜0，

∵m的最大值是2，∴，

从而解得﹣1＜x＜0．（13分）

综 上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）
max
=1﹣（﹣1）=2（14分）



19．（14分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒 水
域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的
船只位于点A 北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得
，0°＜θ＜90°）且与点A相距 该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=
10海里的位置C．

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里小时）；

（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理
由．


【解答】解：（I）如图，AB=40
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为
，AC=10，
．

．

．

（海里小时）．


（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．

在△ABC中，由余弦定理得，

==．

从而
在△ABQ中，由正弦定理得，

．

AQ=．

由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．

过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．

在Rt△QPE中， PE=QE•sin∠PQE=QE•sin∠AQC=QE•sin（45°﹣∠ABC）

=．

所以船会进入警戒水域．

20．（14分）已知函数f（x）=x
3
﹣x
2
+ax﹣a （a∈R）．

（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的极值；

（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．

【解答】 解：（1）当a=﹣3时，f（x）=
∴f′（x）=x
2
﹣2x﹣3=（x﹣3）（ x+1）．

令f′（x）=0，得x
1
=﹣1，x
2
=3．

当x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，

当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，3）上单调递减，

当x＞3时，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增．

∴当x=﹣1 时，f（x）取得极大值为f（﹣1）=﹣
当x=3时，f（x）取得极小值为f（3）=
（2 ）∵f′（x）=x
2
﹣2x+a，∴△=4﹣4a=4（1﹣a）．

①若a≥1，则△≤0，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．

∵f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

②若a＜1，则△＞ 0，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x
1
，x
2
，（x< br>1
＜x
2
）．

∴x
1
+x
2=2，x
1
x
2
=a．

当x变化时，f′（x），f（x）的取值情况如下表：

x

（﹣∞，
x
1
）

f′（x）

f（x）

∵
∴
=
同理f（x
2
）=
．

．

+

↗

0

极大值

，∴a=﹣
=
．

=

﹣x
2
﹣3x+3，

；

．

x
1

（x
1
，x
2
）

x
2

（x
2
，+∞）

﹣

↘

0

极小值

+

↗

∴f（x
1
）•f（x
2< br>）=
=[（x
1
x
2
）
2
+3（a﹣2）（
•[]•[
）+9（a﹣2）
2
]

]

=a{a
2
+3（a﹣2）[（x
1
+x
2
）
2< br>﹣2x
1
x
2
]+9（a﹣2）
2
}

=a（a
2
﹣3a+3）．

令f（x
1
）•f（x
2
）＞0，解得a＞0．

而当0＜a＜1时，f（0）=﹣a＜0，f（3）=2a＞0，

故当0＜a＜1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．



2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（07）



一、选择 题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求 的．

1．（5分）已知集合M={m，﹣3}，N={x|2x
2
+7x+ 3＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，
则m等于（ ）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣2或﹣1 D．
2．（5分）已知函数f（x）=
A．7 B．2 C．5 D．3


，则f（f（1））+f（log
3
）的值是（ ）

3．（5分）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（如
图），要测算A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC=50m，∠
ABC=10 5°，∠BCA=45°，就可以计算出A，B两点的距离为（ ）