山西省分数线-图书馆工作计划

_._
云南省曲靖市中考数学试卷



一、选择 题（共
8
个小题，每小题只有一个正确选项，每小题
4
分，共
32< br>分）

1
．
4
的倒数是（ ）

A
．
4 B
．
C
．﹣
D
．﹣
4
2
．下列运算正确的是（ ）

A
．
3
﹣
=3 B
．
a
6
÷
a
3
=a
2
C
．
a
2
+
a
3
=a
5
D
．（
3a
3
）
2
=9a
6

3
．单项式
x
m
﹣
1
y
3
与
4xy
n
的和是单项式，则
n
m
的值是（ ）

A
．
3 B
．
6 C
．
8 D
．
9
4
．实数
a
，
b
在数轴上对应点 的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）


A
．|
a
|＜|
b
|
B
．
a
＞
b C
．
a
＜﹣
b D
．|
a
|＞|
b
|

5
．某校九年级体 育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：
10
、
6
、9
、
11
、
8
、
10
，下列
关于这组 数据描述正确的是（ ）

A
．极差是
6 B
．众数是
10 C
．平均数是
9.5 D
．方差是
16
6
．小明所在城市的
“
阶梯水价
”
收费办法是：每户用水不 超过
5
吨，每吨水费
x
元；超过
5
吨，每吨加收
2
元，小明家今年
5
月份用水
9
吨，共交水费为
44
元，根据题意列出关于
x
的方程正确的是（ ）

A
．
5 x
+
4
（
x
+
2
）
=44 B
．
5x
+
4
（
x
﹣
2
）
=44 C
．
9
（
x
+
2
）
=44 D
．
9
（
x
+
2
）﹣
4
×
2=44
7
．数如图，
AD
，
BE
，
CF
是正六边 形
ABCDEF
的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）


A
．
2
个
B
．
4
个
C
．
6
个
D
．
8
个

8
．如图，
C
，
E
是直线
l
两侧的点，以
C
为圆心，
CE
长为半径画弧交
l
于
A
，
B
两点，又分别以
A
，
B
为

圆心，大于
AB的长为半径画弧，两弧交于点
D
，连接
CA
，
CB
，< br>CD
，下列结论不一定正确的是（ ）

A
．
CD
⊥
l B
．点
A
，
B
关于直线
CD
对称

C
．点
C
，
D
关于直线
l
对称
D
．
CD
平分∠
ACB


二、填空题（共6
个小题，每小题
3
分，共
18
分）

9
．计算：
=
．

10
．如果整数
x
＞﹣
3
，那么使函数
y=
有意义的
x
的 值是 （只填一个）

11
．已知一元二次方程
x
2+
mx
+
m
﹣
1=0
有两个相等的实数根，则
m=
．

12
．

如果一个圆锥的主视图是等 边三角形，俯视图是面积为
4
π
的圆，那么它的左视图的高是 ．
13
．如图，在矩形
ABCD
中，
AD=10
，
CD=6< br>，
E
是
CD
边上一点，沿
AE
折叠△
ADE
，使点
D
恰好落在
BC
边上的
F
处，
M< br>是
AF
的中点，连接
BM
，则
sin
∠
AB M=
．

_._

_._

14
．等腰三角形
ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点
A（﹣
6
，
0
），点
B
在原点，
CA=CB=5
，
把等腰三角形
ABC
沿
x
轴正半轴作无滑动顺时针翻转， 第一次翻转到位置
①
，第二次翻转到位置
②…
依此
规律，第
15
次翻转后点
C
的横坐标是 ．




三、解答题（共
9
个小题，共
70
分）

15
． +（
2
﹣）
0
﹣（﹣）
﹣
2+|﹣
1
|

16
．如图，已知点
B
，
E
，
C
，
F
在一条直线上，
AB=DF
，
AC=DE
，∠
A=
∠
D
．

（
1
）求证：
AC
∥
DE
；

（
2
）若
BF=13
，
EC=5
，求
BC
的 长．


17
．先化简：÷+，再求当
x
+
1与
x
+
6
互为相反数时代数式的值．

18
． 如图，已知直线
y
1
=
﹣
x
+
1
与
x
轴交于点
A
，与直线
y
2
=
﹣
x交于点
B
．

（
1
）求△
AOB
的面积；

（
2
）求
y
1
＞
y
2
时
x
的取值范围．

19
．甲、乙两地相距
240
千米，一辆小轿车的速度是货 车速度的
2
倍，走完全程，小轿车比货车少用
2
小
时，求货车的速度 ．

20
．根据频数分布表或频数分布直方图求加权平均数时，统计中常用各组的组中 值代表各组的实际数据，
把各组的频数看作相应组中值的权，请你依据以上知识，解决下面的实际问题．

为了解
5
路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天
5
路公共汽车每个运行班次的载客量，并按载客量
的多少分成
A
，
B
，
C
，
D
四组，得到如下统计图：

_._

_._

（
1
）求
A
组对应扇形 圆心角的度数，并写出这天载客量的中位数所在的组；

（
2
）求这天
5
路公共汽车平均每班的载客量；


（
3
）如果一个月按
30
天计算，请估计
5
路公共 汽车一个月的总载客量，并把结果用科学记数法表示出来．
21
．在平面直角坐标系中，把横纵 坐标都是整数的点称为
“
整点
”
．

（
1
）直接写出函数
y=
图象上的所有
“
整点
”
A
1< br>，
A
2
，
A
3
，
…
的坐标；

（
2
）在（
1
）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出 这两点关于原点对称的概率．


22
．如图，在
Rt
△< br>ABC
中，∠
BAC=90
°
，
O
是
AB< br>边上的一点，以
OA
为半径的⊙
O
与边
BC
相切于点
E
．

（
1
）若
AC=5
，
BC =13
，求⊙
O
的半径；

（
2
）过点
E
作弦
EF
⊥
AB
于
M
，连接
AF
，若∠
F=2
∠
B
，求证：四边形
ACEF
是菱形．


23
．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax
2
+
2ax
+
c
交
x
轴于
A
，
B
两点，交
y
轴于点
C
（
0
，
3
） ，
tan
∠
OAC=
．

（
1
）求抛物线的解析式；


（
2
）点
H
是线段
AC
上任意一点，过
H
作直线
HN
⊥
x
轴于点
N
，交抛物线于点
P
，求线段
PH< br>的最大值；
（
3
）点
M
是抛物线上任意一点，连接
C M
，以
CM
为边作正方形
CMEF
，是否存在点
M
使点
E
恰好落在
对称轴上？若存在，请求出点
M
的坐标；若不存在， 请说明理由．




_._

_._

云南省曲靖市中考数学试卷

参考答案与试题解析



一、选择题（共
8
个小题，每小题只有一个正确选项，每小题
4< br>分，共
32
分）

1
．
4
的倒数是（ ）

A
．
4 B
．
C
．﹣
D
．﹣
4
【考点】倒数．

【分析】根据乘积是
1
的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．

【解答】解：
4
的倒数是，

故选：
B
．



2
．下列运算正确的是（ ）

A
．
3
﹣
=3 B
．
a
6
÷
a
3
=a
2
C
．
a
2
+
a
3
=a
5
D
．（
3a
3
）
2
=9a
6

【考点】二次根式的加减法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

【分析】根据二次根式的加减法、同底数幂的除法、合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则解
答．

【解答】解：
A
、由于
3
﹣
=
（< br>3
﹣
1
）
=2
≠
3
，故本选项错误；

B
、由于
a
6
÷
a
3
=a
6
﹣
3
=a
3
≠
a
2
，故本选项错误；
C
、由于
a
2
与
a
3
不是同类项， 不能进行合并同类项计算，故本选项错误；

D
、由于（
3a
3）
2
=9a
6
，符合积的乘方与幂的乘方的运算法则，故本选项正确．< br>
故选
D
．



3
．单项式x
m
﹣
1
y
3
与
4xy
n
的 和是单项式，则
n
m
的值是（ ）

A
．
3 B
．
6 C
．
8 D
．
9
【考点】合并同类项；单项式．

【分析】根据已知得出两单项式是同类项，得出m
﹣
1=1
，
n=3
，求出
m
、
n< br>后代入即可．

【解答】解：∵
x
m
﹣
1
y
3
与
4xy
n
的和是单项式，

∴
m
﹣
1=1
，
n=3
，

∴
m=2
，

∴
n
m
=3
2
=9
故选
D
．



4
．实数
a，
b
在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）


A
．|
a
|＜|
b
|
B
．
a
＞
b C
．
a
＜﹣
b D
．|
a
|＞|
b
|

【考点】实数与数轴．

【分析】据点的坐标，可得
a
、
b
的值，根据相反数的意义，有理数的减法，有理数的加法，可得答案．

【解答】解：由点的坐标，得

0
＞
a
＞﹣
1，
1
＜
b
＜
2
．

A
、|
a
|＜|
b
|，故本选项正确；

B
、
a
＜
b
，故本选项错误；

C
、
a
＞﹣
b
，故本选项错误；

D
、|
a
|＜|
b
|，故本选项错误；

故选：
A
．



5
．某校九年级体育模 拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：
10
、
6
、
9
、
11
、
8
、
10
，下列
关于这组数据 描述正确的是（ ）

A
．极差是
6 B
．众数是
10 C
．平均数是
9.5 D
．方差是
16
【考点】方差；算术平均数；众数；极差．

_._

_._
【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均
数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平
均数，叫做这组数据的方差．

【解答】解：（
A
）极差为
11
﹣
6=5
，故（
A
）错误；

（
B< br>）根据出现次数最多的数据是
10
可得，众数是
10
，故（
B
）正确；

（
C
）平均数为（
10
+
6< br>+
9
+
11
+
8
+
10
）÷
6=9
，故（
C
）错误；


（
D
）方差为 [（
10
﹣
9
）
2
+（
6
﹣
9
）
2
+（
9
﹣
9< br>）
2
+（
11
﹣
9
）
2
+（
8
﹣
9
）
2
+（
10
﹣
9
）< br>2
]
=
，故（
D
）错误．
故选（
B
）



6
．小明所在城市的
“
阶梯水价
”
收费办法是：每户用水不超过
5
吨，每吨水费
x
元；超过
5
吨，每吨加收
2
元，小明家今年
5
月份用水
9
吨 ，共交水费为
44
元，根据题意列出关于
x
的方程正确的是（ ）

A
．
5x
+
4
（
x
+
2
）
=44 B
．
5x
+
4
（
x
﹣
2
）
=44 C
．
9
（
x
+
2
）
=44 D
．
9
（
x
+
2
）﹣
4
×
2=44
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．

【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

5x
+（
9
﹣
5）×（
x
+
2
）
=44
，

化简，得

5x
+
4
（
x
+
2< br>）
=44
，

故选
A
．



7
．数如图，
AD
，
BE
，
CF
是正六边形
ABCDEF
的对角线，图中平行四边形的个数有（ ）


A
．
2
个
B
．
4
个
C
．
6
个
D
．
8
个

【考点】正多边形和圆；平行四边形的判定．

【分析】根据正六边形的性质，直接判断即可；

【解答】解：如图，


∵
AD
，
BE
，
CF
是正六边形
ABCDEF
的对角线，

∴
OA=OE=AF=EF
，

∴四边形
AOEF
是平行四边形，

同理：四边形
DEFO
，四边形
ABCO
，四边形
BCDO
，四边形
CDEO，四边形
FABOD
都是平行四边形，共
6
个，

故选
C


8
．如图，
C
，
E
是直线
l
两侧的点，以
C
为圆心，
CE
长为半径画 弧交
l
于
A
，
B
两点，又分别以
A
，B
为

圆心，大于
AB
的长为半径画弧，两弧交于点
D
，连接
CA
，
CB
，
CD
，下列结论不一定正确的 是（ ）
_._

_._

A
．
CD
⊥
l B
．点
A
，
B
关于直线
CD
对称

C
．点
C
，
D
关于直线
l
对称
D
．
CD
平分∠
ACB
【考点】作图
—
基本作图；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质．

【分析】利用基本作图可对
A
进行判断；利用
CD
垂直平分
AB< br>可对
B
、
D
进行判断；利用
AC
与
AD不一
定相等可对
C
进行判断．

【解答】解：由作法得
CD
垂直平分
AB
，所以
A
、
B
选项正确；

因为
CD
垂直平分
AB
，

所以
CA=CB
，

所以
CD
平分∠
AC B
，所以
D
选项正确；

因为
AD
不一定等于AD
，所以
C
选项错误．

故选
C
．



二、填空题（共
6
个小题，每小题
3
分，共< br>18
分）

9
．计算：
=

2
．

【考点】立方根．

【分析】根据立方根的定义即可求解．

【解答】解：∵
2
3
=8
=2
∴
故答案为：
2
．



10
． 如果整数
x
＞﹣
3
，那么使函数
y=
有意义的
x< br>的值是
0
（只填一个）

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据题意可以求得使得二次根式有意义的
x
满足的条件，又因为整数
x
＞﹣
3
，从而可以写出一个< br>符号要求的
x
值．

【解答】解：∵
y=
，

∴
π
﹣
2x
≥
0
，

即
x
≤，

∵整数
x
＞﹣
3
，

∴当
x=0
时符号要求，

故答案为：
0
．



11
．已知一元二 次方程
x
2
+
mx
+
m
﹣
1=0
有两个相等的实数根，则
m=

2
．

【考点】根的判别式．

【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出
m
的值即可．
【解答】解：∵关于
x
的一元二次方程
x
2
﹣
mx+
m
﹣
1=0
有两个相等的实数根，

∴△
= b
2
﹣
4ac=m
2
﹣
4
×
1
× （
m
﹣
1
）
=m
2
﹣
4m
+4=
（
m
﹣
2
）
2
=0
，

∴
m=2
，

故答案为：
2
．



12
．如果一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为
4
π
的圆，那么它的左视图的高是
2
．

【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．

【分析】先利用圆的面积公式得到圆锥 的底面圆的半径为
2
，再利用等边三角形的性质得母线长，然后根据
勾股定理计算圆锥 的高．

_._

_._
【解答】解：设圆锥的底面圆的半 径为
r
，则
π
r
2
=4
π
，解得
r=2
，

因为圆锥的主视图是等边三角形，

所以圆锥的母线长为
4
，

所以它的左视图的高
==2
．

故答案为
2
．



13
．如图，在矩形
ABCD
中，
AD=10
，
CD=6
，
E
是
CD
边上一点，沿
AE
折叠△
ADE
，使点
D< br>恰好落在
BC
边上的
F
处，
M
是
AF
的中点，连接
BM
，则
sin
∠
ABM=
．


【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；解直角三角形．

【分析】 直接利用翻折变换的性质得出
AF
的长，再利用勾股定理得出
BF
的长，再利 用锐角三角函数关系
得出答案．


【解答】解：∵在矩形
ABCD
中，
AD=10
，
CD=6
，沿
AE
折叠△
ADE
，使点
D
恰好落在
BC
边上的
F
处，∴
AD=AF=10
，

∴
BF=
则
sin< br>∠
ABM=
故答案为：．



14
．等腰 三角形
ABC
在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点
A
（﹣
6
，
0
），点
B
在原点，
CA=CB=5
，
把等腰三角形
ABC
沿
x
轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置< br>①
，第二次翻转到位置
②…
依此
规律，第
15
次翻转 后点
C
的横坐标是
77
．

=
=8
，

=
．


【考点】坐标与图形变化
-
旋转；等腰三角形的性质．

【分析】根 据题意可知每翻折三次与初始位置的形状相同，第
15
次于开始时形状相同，故以点
B
为参照点，
第
15
次的坐标减去
3
即可的此时点
C
的横坐标．

【解答】解：由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，

15
÷
3=5
，

故第
15
次翻转后点< br>C
的横坐标是：（
5
+
5
+
6
）×
5
﹣
3=77
，

故答案为：
77
．



三、解答题（共
9
个小题，共
70
分）

15
． +（
2
﹣）
0
﹣（﹣）
﹣
2+|﹣
1
|

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】根据绝对值、算术平方根和零指数幂的意义计算．

【解答】解： +（2
﹣）
0
﹣（﹣）
﹣
2
+|﹣
1
|< br>=4
+
1
﹣
4
+
1=2
．



16
．如图，已知点
B
，
E
，
C
，
F
在一条直线上，
AB=DF
，
AC=DE
，∠
A=
∠
D
．

（
1
）求证：
AC
∥
DE
；

_._

_._
（
2
）若
BF=13，
EC=5
，求
BC
的长．


【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】（
1
）首先证明△< br>ABC
≌△
DFE
可得∠
ACE=
∠
DEF
，进而可得
AC
∥
DE
；

（
2
）根据△
ABC
≌△
DFE
可得
BC=EF
，利用等式的性质可得< br>EB=CF
，再由
BF=13
，
EC=5
进而可得
E B
的
长，然后可得答案．

【解答】（
1
）证明：在△ABC
和△
DFE
中
∴△
ABC
≌△
DFE< br>（
SAS
），

∴∠
ACE=
∠
DEF
，

∴
AC
∥
DE
；


（
2
）解：∵△
ABC
≌△
DFE
，

∴
BC=EF
，

∴
CB
﹣
EC=EF
﹣
EC
，

∴
EB=CF
，

∵
BF=13
，
EC=5
，

∴
EB==4
，

，

∴
CB=4
+
5=9
．




17
．先化简：÷+，再求当
x
+
1
与
x
+
6
互为相反数时代数式的值．

【考点】分式的化简求值；解一元一次方程．

【分析】先把分子分母因式分解和除法 运算化为乘法运算，再约分得到原式
=
为相反数可得到原式的值．

【解答】解：原式
=
=
=
+
，


•
+

，然后利用
x
+
1
与
x< br>+
6
互
∵
x
+
1
与
x
+< br>6
互为相反数，

∴原式
=
﹣
1
．



_._

_._
18
．如图，已知直 线
y
1
=
﹣
x
+
1
与
x
轴交于点
A
，与直线
y
2
=
﹣
x
交于点< br>B
．

（
1
）求△
AOB
的面积；

（
2
）求
y
1
＞
y
2
时
x
的取值范围．


【考点】一次函数与一元一次不等式．

【分析】（
1
）由函数的解析式可求出点
A
和点
B
的坐标 ，进而可求出△
AOB
的面积；

（
2
）结合函数图象即可 求出
y
1
＞
y
2
时
x
的取值范围．

【解答】解：

（
1
）由
y
1
=﹣
x
+
1
，

可知当
y=0
时，
x=2
，

∴点
A
的坐标是（
2
，
0
），

∴
AO=2
，

∵
y
1
=
﹣x
+
1
与
x
与直线
y
2
=
﹣
x
交于点
B
，

∴
B
点的坐标是（﹣
1
，
1.5
），
< br>∴△
AOB
的面积
=
×
2
×
1.5=1.5
；

（
2
）由（
1
）可知交点
B
的坐标是（﹣
1
，
1.5
），

由函数图象可知
y
1
＞
y
2
时
x
＞﹣
1
．



19
．甲、乙两地相距
240
千米，一辆小轿车的速度 是货车速度的
2
倍，走完全程，小轿车比货车少用
2
小
时，求货车的 速度．

【考点】分式方程的应用．

【分析】设货车的速度是
x< br>千米

小时，根据一辆小轿车的速度是货车速度的
2
倍列出方程，求出方 程的解
即可得到结果．

【解答】解：设货车速度是
x
千米

小时，

根据题意得：﹣
=2
，

解得：
x=60
，

经检验
x=60
是分式方程的解，且符合题意，

答：货车的速度是
60
千米

小时．



20
．根据频数分布表或频数分布直方图求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的 实际数据，
把各组的频数看作相应组中值的权，请你依据以上知识，解决下面的实际问题．
< br>为了解
5
路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天
5
路公共汽车每 个运行班次的载客量，并按载客量
的多少分成
A
，
B
，
C< br>，
D
四组，得到如下统计图：

_._

_._

（
1
）求
A
组对应扇形 圆心角的度数，并写出这天载客量的中位数所在的组；

（
2
）求这天
5
路公共汽车平均每班的载客量；


（
3
）如果一个月按
30
天计算，请估计
5
路公共 汽车一个月的总载客量，并把结果用科学记数法表示出来．
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图 ；中位数．

【分析】（
1
）利用
360
°
乘以< br>A
组所占比例即可；

（
2
）首先计算出各组的组中值，然后再利用加权平均数公式计算平均数；

（
3
）利用平均每班的载客量×天数×次数可得一个月的总载客量．

【解答】解：（
1
）
A
组对应扇形圆心角度数为：
360
°
×
这天载客量的中位数在
B
组；


（
2
）各组组中值为：
A
：
=
=10
，
B
：
=38
（人），

=30
；
C
：
=50
；
D
：
=70
；

=72
°
；

答：这天
5
路公共汽车平均每班的载客量是
38
人；


（
3
）可以估计，一个月的总载客量约为
38
×
50
×
30=57000=5.7
×
10
4
（人），

4
答：
5
路公共汽车一个月的总载客量约为
5.7
×< br>10
人．



21
．在平面直角坐标系中，把横纵 坐标都是整数的点称为
“
整点
”
．

（
1
）直接写出函数
y=
图象上的所有
“
整点
”
A
1< br>，
A
2
，
A
3
，
…
的坐标；

（
2
）在（
1
）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出 这两点关于原点对称的概率．


【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．

【分析】（
1
）根据题意，可以直接写出函数
y=
图象上的所有
“
整点
”
；

（
2
）根据题意可以用树状图写出所有的可能性，从而可以求 得两点关于原点对称的概率．

【解答】解：（
1
）由题意可得
< br>函数
y=
图象上的所有
“
整点
”
的坐标为：
A
1
（﹣
3
，﹣
1
），
A
2
（﹣
1
，﹣
3
），
A
3
（
1
，
3
），
A
4
（
3
，
1
）；

（
2
）所有的可能性如下图所示，

_._

_._

由图可知，共有
12
种结果，关于原点对称的有
4
种，

∴
P
（关于原点对称）
=
．



22
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
BAC=90
°
，
O
是
AB
边上的一点，以
OA
为半径的⊙< br>O
与边
BC
相切于点
E
．

（
1< br>）若
AC=5
，
BC=13
，求⊙
O
的半径；

（
2
）过点
E
作弦
EF
⊥
AB
于
M
，连接
AF
，若∠
F=2
∠
B
，求 证：四边形
ACEF
是菱形．


【考点】切线的性质；菱形的判定；垂径定理．

【分析】（
1
）连 接
OE
，设圆的半径为
r
，在之间三角形
ABC
中，利用勾 股定理求出
AB
的长，根据
BC
与
圆相切，得到
OE
垂直于
BC
，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到三角形
BOE
与三角形
ABC
相似，由相似得比例求出
r
的值即可；

（
2
）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠
AOE= 4
∠
B
，进而求出∠
B
与∠
F
的度数，根据
EF
与
AD
垂直，
CA
与
EF
平行，得到一对直 角相等，确定出∠
MEB=
∠
F=60
°
，进而得到
CB< br>与
AF
平行，确定出四边形
ACEF
为平行四边形，再由∠
C AB
为直角，得到
CA
为圆的切线，利用切线长定理得到
CA=CE
，利用邻边相等的
平行四边形为菱形即可得证．

【解答】（
1
）解 ：连接
OE
，设圆
O
半径为人，

在
Rt
△
ABC
中，
BC=13
，
AC=5
，

根据勾股定理得：
AB=
∵
BC
与圆
O
相切，

∴
OE
⊥
BC
，

∴∠
OEB=
∠
BAC=90
°
，

∵∠
B=
∠
B
，

∴△
BOE
∽△
BCA
，

∴
=
，即
=
；

，

=12
，

解得：
r=
（
2
）∵
=
，∠
F=2
∠
B
，

∴∠
AOE=2
∠
F=4
∠
B
，

∵∠
AOE=
∠
OEB
+∠
B
，

∴∠
B=30
°
，∠
F=60
°
，

∵
EF
⊥
AD
，

∴∠
EMB=
∠
CAB=90
°
，

∴∠
MEB=
∠
F=60
°
，
CA
∥
EF，

∴
CB
∥
AF
，

∴四边形
ACEF
为平行四边形，

∵∠
CAB=90
°
，
OA
为半径，

_._

_._
∴
CA
为圆
O
的切线，

∵
BC
为圆
O
的切线，

∴
CA=CE
，

∴平行四边形
ACEF
为菱形．




23
．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax
2
+
2ax+
c
交
x
轴于
A
，
B
两点，交
y
轴于点
C
（
0
，
3
），
tan
∠
OAC=
．

（
1
）求抛物线的解析式；


（
2
）点
H
是线段
AC
上任意一点，过
H
作直线
HN
⊥
x
轴于点
N
，交抛物线于 点
P
，求线段
PH
的最大值；
（
3
）点
M
是抛物线上任意一点，连接
CM
，以
CM
为边作正方形
CM EF
，是否存在点
M
使点
E
恰好落在
对称轴上？若存在，请 求出点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．


【考点】二次函数综合题．

【分析】（
1
）由点
C
的坐标以及
tan
∠
OAC=
可得出点
A
的坐标，结合点
A
、
C
的坐标利用待定系数法即
可求出抛物线的解析式；

（
2
）设直线
AC
的解析式为
y=kx
+
b
，由点
A
、
C
的解析式利用待定系数法即可求出直线
AC
的解析式，设
N
（
x
，
0
）（﹣
4
＜
x
＜
0
），可找出
H
、
P
的坐标，由 此即可得出
PH
关于
x
的解析式，利用配方法即二次函数
的性质即可 解决最值问题；

（
3
）过点
M
作
MK
⊥
y
轴于点
K
，交对称轴于点
G
，根据角的计算依据正方形的 性质即可得出△
MCK
≌△
MEG
（
AAS
），进而得出< br>MG=CK
．设出点
M
的坐标利用正方形的性质即可得出点
G
、
K
的坐标，由正方形
的性质即可得出关于
x
的含绝对值符号的一元 二次方程，解方程即可求出
x
值，将其代入抛物线解析式中
即可求出点
M的坐标．

【解答】解：（
1
）∵
C
（
0，
3
），

∴
OC=3
，

∵
tan
∠
OAC=
，

∴
OA=4
，

∴
A
（﹣
4
，
0
）．

把
A
（﹣
4
，
0
）、
C
（
0
，< br>3
）代入
y=ax
2
+
2ax
+
c
中，

得，解得：，

∴抛物线的解析式为
y=
﹣
x
2
﹣
x
+
3
．

_._

_._
（
2
）设直线
AC
的解析式为y=kx
+
b
，

把
A
（﹣
4
，
0
）、
C
（
0
，
3
）代入
y =kx
+
b
中，

得：，解得：，

∴直线
AC
的解析式为
y=x
+
3
．
< br>设
N
（
x
，
0
）（﹣
4
＜
x
＜
0
），则
H
（
x
，
x
+< br>3
），
P
（
x
，﹣
x
2
﹣
x
+
3
），

∴
PH=
﹣
x
2< br>﹣
x
+
3
﹣（
x
+
3
）
=
﹣
x
2
﹣
x=
﹣（
x
﹣
2
）
2
+，

∵﹣＜
0
，

∴
PH
有最大值，

当
x=2
时，
PH
取最大值，最大值为．

（3
）过点
M
作
MK
⊥
y
轴于点
K，交对称轴于点
G
，则∠
MGE=
∠
MKC=90
°< br>，

∴∠
MEG
+∠
EMG=90
°
，

∵四边形
CMEF
是正方形，

∴
EM=MC
，∠
MEC=90
°
，

∴∠
EMG
+∠
CMK=90
°
，

∴∠
MEG=
∠
CMK
．

在△
MCK< br>和△
MEG
中，
∴△
MCK
≌△
MEG
（< br>AAS
），

∴
MG=CK
．

K
由抛物线的对称轴为
x=
﹣
1
，设
M
（
x
，﹣
x
2
﹣
x
+
3
），则
G
（ ﹣
1
，﹣
x
2
﹣
x
+
3
），（< br>0
，﹣
x
2
﹣
x
+
3
），
∴
MG=
|
x
+
1
|，
CK=
|﹣
x
2
﹣
x
+
3
﹣
3
|
=
|﹣
x
2
﹣
x
|
=
|
x
2+
x
|，

∴|
x
+
1
|
=
|
x
2
+
x
|，

∴
x
2
+
x=
±（
x
+
1
），

解得 ：
x
1
=
﹣
4
，
x
2
=
﹣，
x
3
=
﹣，
x
4
=2
，
< br>代入抛物线解析式得：
y
1
=0
，
y
2
=< br>，
y
3
=
，
y
4
=0
，

）或（
2
，
0
）．

，

∴点< br>M
的坐标是（﹣
4
，
0
），（﹣，），（﹣，
_._

_._




_._