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云南省昆明市2019届高三摸底调研测试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、 座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置 贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选 择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求 的。
1.设集合A={x|-10}，则A∩B=
A．(-1，+∞) B．(-1，0) C.(-1，6) D.(0，6)
2.
2i
=
1i
A．1+i B．-1+i C．-1-i D．1-i
x
2
y
2
1
，则C的离心率为 3.已知双曲线C：
45
3525
53
A. B. C． D．
53
42
5
4.展开式中
x
3
的系数为
（3x）
A.10 B.30 C.90 D.270
5．设 l，m是两条不同的直线，

，

是两个不同的平面，l


，m


.下列结论正确的是
A．若

⊥

，则l⊥

B.若l⊥m，则

⊥


C．若

∥

，则l∥

D.若l∥m，则

∥


6．函数
f

x


x
1x
2
的图象大致是

A B C D
7．已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2),C(l,-2)，则
OB AC
=
A．-6 B．-3 C．3 D．6

（x1）y6
,在所有过点P(2，-1)的弦中，最短的弦的长度为 8.已知圆C：
A.2 B.4 C.2
2
D.2
6

9．法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如 下：在半径为1的圆内随机
地取一条弦，问：弦长超过圆内接等边三角形的边长
3
的概 率等于多少？基于对术语“随机地取
一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：
固定弦的一个端点A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为
22

A．
1111
B． C． D．
2346
10.如图，边长为1的正方形网格中，实线画出的是某种装饰品的三视图.已 知该装饰品由木质毛坯
切削得到，则所用毛坯可以是

A．棱长都为2的四面体 B.棱长都为2的直三棱柱
C.底面直径和高都为2的圆锥 D．底面直径和高都为2的圆柱
11.设点M为抛物线C：
y4x
的准线上一点（ 不同于准线与x轴的交点），过抛物线C的焦点F，
且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设MA， MF，MB的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
，则
的 值为
A.2 B.2
2
C.4 D.4
2

12.已知不等式xsinx+cosx≤a对任意的x∈[0,π]恒成立，则整数a的最小值为
A．2 B.1 C.0 D.-1
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．满足a，1，b三个数成等差数列的一组a，b的值分别为 .
2
k
1
k
3
k
2

2xy0
14.若变量x
，
y满足

xy30
,则z= 2x+y的最小值为 .

x30

15.已 知函数
f(x)sin(2x
为 .

6)
，若对任意实数x都有f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
), 则|x
1
-x
2
|的最小值

e
x
,x 0
16.已知函数
f(x)

，
g(x)f(x1)a(x 3)
,若g(x)有两个零点，则实数a的取

lnx,x0
值范围是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
ccosAacosC 2bcosC
.
(1)求C;
(2)若a=5,c=7，求△ABC的面积.
18.(12分)
某校为了解“准高三”学生的数学成绩情况，从一次模拟考试中随机抽取了25名学生的数学成
绩如下：
78 64 88 104 53 82 86 93 90 105 77 92 116
81 60 82 74 105 91 103 78 88 111 82 71
(l)完成这25名学生数学成绩的茎叶图：

(2)确定该样本的中位数和众数：
(3)规定数学成绩不低于9 0分为“及格”，从该样本“及格”的学生中任意抽出3名，设抽到成绩
在区间[90，100)的学生 人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．

19.(12分)
已知 等比数列

a
n

前n项和为S
n
，
a< br>6
8a
3
，S
3
=21.
(l)求数列

a
n

的通项公式；
（2)求数 列

a
2n

的前n项和T
n
.
20．（12分）
阳马和鳖臑(biē nào)是《九章算术·商功》里对两种锥 体的称谓.如下图所示，取一个长方休，
按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．


长方体 堑堵 堑堵
再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个,以矩形为底， 有一
棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马(四棱锥E- ABCD)，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四
面体（三棱锥E-FCD）称为鳖臑.
堑堵 阳马 鳖臑
(1)在阳马（四棱锥E-ABCD）中，连接BD，若AB=AD，证明:EC⊥BD;
(2)若AB=2,AD=2,EA=1,求鳖臑（三棱锥E-FCD）中二面角F-EC- D余弦值的大小．
21．(12分)
222

已知椭圆
C: x2ya(a0)
,过原点O
且斜率不为
0的直线与椭圆C交于P，Q两点.
(1)若F（1,0）为椭圆C的一个焦点，求椭圆C的标准方程；
(2)若经过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，四边形OAPB能否为平行四边形?
若能，求此时直线OP的方程，若不能，说明理由.

22.(12分)
已知函数
f（x）（2a1）lnxax
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
2
(aR)
.
x
e
x1
axa
(2)设函数
g(x)f(x)
，若x=2是g(x)的唯一极值点，求a.
x
2