云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 23抛物线的几何性质学案 新人教A版选修11
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云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 2-3抛物线的几何性质学案
新人教A
版选修1-1
【学习目标】理解并掌握抛物线的简单的几何性质,能根据方程推导这些几何性质
能用性质解决一些简单的问题,从而培养学生分析、归纳、推理等能力
【学习重点】抛物线的几何性质,及简单应用
【学习难点】抛物线几何性质的应用
【问题导学】
前几节课我们学习过椭圆与双曲线的几何性质,这节课我们可以仿照前面的内容
来研究抛物线的几何性
质。
1、阅读课本第68-72页的有关内容完成下表:
1)、焦半径:指抛物线上一点M与焦点的距离,利用抛物线的定义容易得出结论
方程形式
y
2
2px
(p0)
y
2
2px
(p0)
x
2
2py
(p0)
x
2
2py
(p0)
图像
范围
对称性
顶点
准线方程
离心率
2)、 通径:通过抛物线的焦点做垂直于对称轴而交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“
通径”.
p
抛物线的焦距为
2
时通径为
2p
.
3)、焦点弦:过焦点的直线与抛物线交于A、B两点,则线段AB称为焦点弦。
2、抛物线的开口关系?
2
y2px(p0)
中,对于x的一个确定值,p越大,则|y|也
,即对应点离从方程角度看:在方程
1
对称轴越远,所以抛物线开口越 ,反之,p越小,开口越
。
从图形角度看: p越大,通经也越 ,开口越
,反之p越小,通经也越 ,开口
越 。
【典型例题】
例1.已知抛物线关于
x
轴对称,它的顶点在坐标原点,并且
经过点
M(2,22)
,求它的标准方程,(如
果将上题中的
x
轴
改为坐标轴,满足条件的抛物线有几条?标准方程是什么?)
2
y4x
的焦点作直线交抛物线于例2.过抛物线
A(
x
1<
br>,y
1
)、
B(
x
2
,y
2
)两点
,若
x
1
x
2
=6,求|AB|的值.
例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,
物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,
求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。
2通过点A和抛
例4.已知抛物线的方程为
y4x
,直线l过定点P(-2,1)
,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线
y4x
:
只有一个公共点;有两个公共点
;没有公共点?
【基础题组】
1、在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则P的值为( )
2
1
A、
2
B、
1
C、2 D、4
2.设抛物线的顶点在原点,其焦点F在y轴上,又抛物线上的点(
k,-2)与F点的距离为4,则k的值是
( ) A.4 B.4或-4
C.-2 D.2或-2
3.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点(-5,25)
到焦点的距离是6,则抛物线的方程为( )
A.y2=-2x B.y2=-4x
C.y2=2x D.y2=-4x或y2=-36x
4.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点,若AB中点的横坐标为2,则k=( )
A.2或-2 B.-1 C.2 D.3
2
5.抛物线的焦点在直线x-y+2=0上,则抛物线的标准方程为
6.抛物线y2=16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________.
7.抛物
线y2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为43,则焦点到AB的距离为________.
8.求适合下列条件的抛物线的标准方程:
⑴准线方程为x=-1;
⑵顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离是6;
⑶顶点在原点,坐标轴为对称轴,经过点(-2,3)
2
y
2x
上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
9、在抛物线
2
y2px
(p>0)的焦点弦,
A、B在准线上的射影分别为M、N,求证:以MN为直径的圆10、AB为抛物线
与AB相切于焦点F
.
【拓展题组】
11、直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( )
A.1 B.1或3 C.0 D.1或0
12、顶点在原
点,焦点在x轴上的抛物线经过点(3,-23),过焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于
M、N
两点,则|MN|等于( )
A.13 B.8 C.16
D.82
13、等腰Rt△AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥
OB,则△AOB的面积是
( )A.8p2 B.4p2 C.2p2
D.p2
14、已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛物线C交于A,B两
点,若P(2,2)
为AB的中点,则抛物线C的方程为________.
y
15、已知直线l经过抛物线
1
2
x
4
的焦点F,且被抛物线截得的弦长为8,求l的方程
3
17.
一抛物线拱桥跨度为52m,拱顶离水面6.5m,一竹排上载有一宽4m,高6m的大木箱,问竹排能否
安全通过?
4