云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 23抛物线的几何性质学案 新人教A版选修11
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云南省曲靖市麒麟区第七中学高中数学 2-3抛物线的几何性质学案
新人教A
版选修1-1
【学习目标】理解并掌握抛物线的简单的几何性质，能根据方程推导这些几何性质
能用性质解决一些简单的问题，从而培养学生分析、归纳、推理等能力
【学习重点】抛物线的几何性质，及简单应用
【学习难点】抛物线几何性质的应用
【问题导学】
前几节课我们学习过椭圆与双曲线的几何性质，这节课我们可以仿照前面的内容
来研究抛物线的几何性
质。
1、阅读课本第68-72页的有关内容完成下表:
1）、焦半径：指抛物线上一点M与焦点的距离，利用抛物线的定义容易得出结论
方程形式
y
2
2px
(p0)
y
2
2px
(p0)
x
2
2py
(p0)
x
2
2py
(p0)
图像
范围
对称性
顶点
准线方程
离心率
2）、 通径：通过抛物线的焦点做垂直于对称轴而交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“
通径”.
p
抛物线的焦距为
2
时通径为
2p
.
3）、焦点弦：过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，则线段AB称为焦点弦。
2、抛物线的开口关系？
2
y2px(p0)
中，对于x的一个确定值，p越大，则|y|也
，即对应点离从方程角度看：在方程
1
对称轴越远，所以抛物线开口越 ，反之，p越小，开口越
。
从图形角度看： p越大，通经也越 ，开口越
，反之p越小，通经也越 ，开口
越 。
【典型例题】
例1.已知抛物线关于
x
轴对称，它的顶点在坐标原点，并且
经过点
M(2,22)
，求它的标准方程，（如
果将上题中的
x
轴
改为坐标轴，满足条件的抛物线有几条？标准方程是什么？）
2
y4x
的焦点作直线交抛物线于例2.过抛物线
A(
x
1<
br>,y
1
)、
B(
x
2
,y
2
)两点
，若
x
1
x
2
=6，求|AB|的值．
例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，
物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,
求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
2通过点A和抛
例4.已知抛物线的方程为
y4x
，直线l过定点P(-2,1)
,斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线
y4x
：
只有一个公共点；有两个公共点
；没有公共点？
【基础题组】
1、在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P的值为（ ）
2
1
A、
2
B、
1
C、2 D、4
2．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(
k，－2)与F点的距离为4，则k的值是
( ) A．4 B．4或－4
C．－2 D．2或－2
3．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5,25)
到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x B．y2＝－4x
C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x
4．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2 B．－1 C．2 D．3
2
5.抛物线的焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线的标准方程为
6．抛物线y2＝16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．
7．抛物
线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为________．
8．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
⑴准线方程为x=-1；
⑵顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离是6；
⑶顶点在原点，坐标轴为对称轴，经过点（-2，3）
2
y
2x
上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
9、在抛物线
2
y2px
(p>0)的焦点弦,
A、B在准线上的射影分别为M、N,求证:以MN为直径的圆10、AB为抛物线
与AB相切于焦点F
.
【拓展题组】
11、直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )
A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
12、顶点在原
点，焦点在x轴上的抛物线经过点(3，－23)，过焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于
M、N
两点，则|MN|等于( )
A.13 B．8 C．16
D．82
13、等腰Rt△AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥
OB，则△AOB的面积是
( )A．8p2 B．4p2 C．2p2
D．p2
14、已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两
点，若P(2,2)
为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
y
15、已知直线l经过抛物线
1
2
x
4
的焦点F，且被抛物线截得的弦长为8，求l的方程
3
17．
一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否
安全通过？
4