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云南省昭通市2019-2020学年中考第五次大联考数学试卷
一、选择题（本大题 共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1
．下列计算正确的是（ ）

A
．
a
2
+a
2
=2a
4
B< br>．（﹣
a
2
b
）
3
=
﹣
a
6
b
3
C
．
a
2
•a
3
=a
6
D
．
a
8
÷a
2
=a
4

2．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第
2019
个 图形共有
(

)
个〇．


A
．
6055
3
．已知
A
（
B
．
6056 C
．
6057 D
．
6058
，
y
1
） ，
B
（
2
，
y
2
）两点在双曲线
y32m
上，且
y
1
y
2
，则
m
的 取

x
3

2
3

2
值范围是（

）

A
．
m0
B
．
m0
C
．
m
D
．
m
4
．已知抛物线
y=ax
2+bx+c
与
x
轴交于点
A
和点
B
，顶点为< br>P
，若
△ABP
组成的三角形恰为等腰直角
三角形，则
b2
﹣
4ac
的值为（ ）

A
．
1 B
．
4 C
．
8 D
．
12
5
．如图， 把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠
1=40°
，则∠
2
的 度数为（ ）


A
．
50° B
．
40° C
．
30° D
．
25°
6
．在刚刚结束的中考英语听力 、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）


A
．中位数是
9 B
．众数为
16 C
．平均分为
7.78 D
．方差为
2
7
．下列各式属于最简二次根式的有（

）

A
．
8
B
．
x
2
1
C
．
3
y
D
．
1

2
8
．某市
6
月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中，中位数是（ ）

A
．
8 B
．
10 C
．
21 D
．
22
2
9
．给出下列各数式，①

②
2
③


计算结果为负数的有（ ）

（2）?
（2）
2
2
④
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

10．如图，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c(a≠0)
的对称轴为直线
x
＝
1
，与
x
轴的一 个交点坐标为
(
－
1
，
0)
，其部分
图象如图所示 ，下列结论：①
4ac
＜
b
2
；②方程
ax
2＋
bx
＋
c
＝
0
的两个根是
x
1＝－
1
，
x
2
＝
3
；③
3a
＋
c
＞
0
；
④当y
＞
0
时，
x< br>的取值范围是－
1≤x
＜
3
；
⑤当x
＜
0< br>时，
y
随
x
增大而增大．其中结论正确的个数是
( )

A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个

11
．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）


A
．
B
．
C
．
D
．
12
．第四届济南国际旅游节期间，全市共接待游客
686000
人次．将
686000
用科学记数法表示为（ ）

A
．
686×10
4
B
．
68.6×10
5
C
．
6.86×10
6
D
．
6.86×10
5

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13
．观察下列的< br>“
蜂窝图
”
按照它呈现的规律第
n
个图案中的
“表示）

”
的个数是
_____
（用含
n
的代数式

14
．如图，已知
△ABC
，
AB=6
，
AC=5
，
D
是边
AB
的中点，
E
是边
AC
上一 点，∠
ADE=∠C
，∠
BAC

的平分线分别交
DE
、
BC
于点
F
、
G
，那么
AF
的 值为
__________
．

AG

15
．如图 ，在
△ABC
中，
BE
平分∠
ABC
，
DE∥BC
，如果
DE=2AD
，
AE=3
，那么
EC=_____< br>．


16
．计算：
2a×
（﹣
2b
）
=_____
．

17
．圆锥的底面半径是
4cm，母线长是
5cm
，则圆锥的侧面积等于
_____cm
1
．< br>
18
．如图，在直角坐标系中，点
A
，
B
分别在< br>x
轴，
y
轴上，点
A
的坐标为（﹣
1
，0
），∠
ABO=30°
，线
段
PQ
的端点
P
从点
O
出发，沿
△OBA
的边按
O→B→A→O
运 动一周，同时另一端点
Q
随之在
x
轴的
非负半轴上运动，如果
PQ=
3
，那么当点
P
运动一周时，点
Q
运动的总路程为
__________
．


三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19
．（
6
分）如图，在
Rt△ABC
中，
ACB90 
，
CD⊥AB
于点
D
，
BE⊥AB
于点
B
，
BE=CD
，连接
CE
，
DE
．

（
1
）求证：四边形
CDBE
为矩形；

（
2
）若
AC=2
，
tanACD
1
，求
DE
的长．

2

8x
2
411
20
．（
6
分）先化简后求值：已知：
x=
3
﹣
2
， 求
1
2
[(1)()]
的值．

x44x2x< /p>

21
．（
6
分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编 排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、
相声四类节目进行了一次随机抽样调查
(
每名学生必须选择且只能选择一类
)
，并将调查结果绘制成如下不
完整的统计图．

请你根据图中信息，回答下列问题：

(1)
求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

(2)
在扇形 统计图中，求
“
歌曲
”
所在扇形的圆心角的度数；

(3)
九年一班和九年二班各有
2
名学生擅长舞蹈，学校准备从这
4
名学生 中随机抽取
2
名学生参加舞蹈节目
的编排，那么抽取的
2
名学生恰好 来自同一个班级的概率是多少？

22
．（
8
分）阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次 方程，根据等式的基本性质，把方程转化为
x=a
的形式．求解二元一次方程组，把它转化为< br>一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，< br>把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于
“
去 分母
”
可能产生增
根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们 有一个共同的基本数学思想

转化，
把未知转化为已知．

用“
转化
”
的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程
x
3
+x
2
-2x=0
，可以通过因式分解
把它转化为x(x
2
+x-2)=0
，解方程
x=0
和
x
2
+x-2=0
，可得方程
x
3
+x
2
-2x=0
的解．问题：方程
x
3
+x
2
-2x=0
的
解是
x
1
=0,x
2
=
，
x
3
=
；拓展：用
“
转化
”< br>思想求方程
2x3x
的解；应用：如图，已知矩形
草坪
ABCD< br>的长
AD=8m
，宽
AB=3m
，小华把一根长为
10m的绳子的一端固定在点
B
，沿草坪边沿
BA
，
AD
走到 点
P
处，把长绳
PB
段拉直并固定在点
P
，然后沿草坪边沿
PD
、
DC
走到点
C
处，把长绳剩下的
一段拉直， 长绳的另一端恰好落在点
C
．求
AP
的长．


2 3
．（
8
分）如图
1
，
△ABC
与
△CD E
都是等腰直角三角形，直角边
AC
，
CD
在同一条直线上，点M
、
N
分别是斜边
AB
、
DE
的中点，点P
为
AD
的中点，连接
AE
，
BD
，
PM
，
PN
，
MN
．

（
1
）观察猜想：

图
1
中，
PM
与
PN
的数量关系是

，位置关系是

．

（
2
）探究证明：

将图
1
中的
△CDE
绕着点
C
顺时针旋转
α
（
0°
＜
α
＜
90°
），得到图
2
，
AE
与
MP
、
BD
分别交于点
G
、
H
，
判断
△PMN< br>的形状，并说明理由；

（
3
）拓展延伸：

把△CDE
绕点
C
任意旋转，若
AC=4
，
CD=2，请直接写出
△PMN
面积的最大值．



x„
1
x
2
1

x

x
1 
24
．（
10
分）先化简，再求值：

2
，其中 的值从不等式组

的整数解中

2

xx
x2x1
2x14

选取
.
25
．（
10
分）如图，
△ABC
内接与⊙
O
，
AB
是直 径，⊙
O
的切线
PC
交
BA
的延长线于点
P
，
OF∥BC
交
AC
于
AC
点
E
，交< br>PC
于点
F
，连接
AF
．

判断
A F
与⊙
O
的位置关系并说明理由；若⊙
O
的半径为
4
，
AF=3
，求
AC
的长．

26
．（
12
分）先化简，再求值：

1


3

x1x

，其中
x
满足
x
2
x10< br>.

2
x2

x2xx1
交于
A< br>（
3
，
B
）、（
-5
，）两点
.AD⊥27
．（
12
分）如图，已知直线
AB
与轴交于点
C
， 与双曲线
轴于点
D
，
BE∥
轴且与轴交于点
E.
求 点
B
的坐标及直线
AB
的解析式；判断四边形
CBED
的形 状，
并说明理由
.

参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合
题目要求的．）
1
．
B
【解析】

【分析】

【详解】

解：
A
．
a
2
+a
2
=2a
2
，故
A
错误；
C
、
a
2
a
3
=a
5
，故
C
错误；

D
、
a
8
÷a
2
=a< br>6
，故
D
错误；

本题选
B.
考点：合同类型、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方

2
．
D
【解析】

【分析】

设第n
个图形有
a
n
个
O(n
为正整数
),
观察图形
,
根据各图形中
O
的个数的变化可找出

n
=1+3n(n
为正整
数
)
再代入
a=2019
即可得 出结论

【详解】

设第
n
个图形有
a
n
个〇
(n
为正整数
)
，

1
，
a
2
＝
1+3×2
，
a
3
＝
1+3×3，
a
4
＝
1+3×4
，
…
，

观察图形，可知：
a
1
＝
1+3×
∴a
n
＝1+3n(n
为正整数
)
，

∴a
2019
＝
1+3×2019
＝
1
．

故选：
D
．

【点睛】

此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律

3
．
D
【解析】

【分析】

32m
上，

x
32m32m
，y
2

∴根据点在曲线上，点的坐标满足方程的 关系，得
y
1

.
12
32m32m3
>
∵
y
1
y
2
，∴，解得
m
.
故选
D.
122
∵A
（
1
，
y
1
），
B
（
2
，
y
2
）两点在双曲线
y
【详解】

请在此输入详解！

4
．
B
【解析】

【分析】

b
4acb
2
B
坐标分别为
0
）
0
）设抛物线与
x
轴的两交点A
、（
x
1
，，（
x
2
，，利用二次函数的性 质得到
P
（
-
，），
2a
4a
利用
x1
、
x
2
为方程
ax
2
+bx+c=0
的两根得到
x
1
+x
2
=-
bc
，
x< br>1
•x
2
=
，则利用完全平方公式变形得到
aa
2< br>b
2
4ac
4acb
2
1
b4ac
A B=|x
1
-x
2
|=
，接着根据等腰直角三角形的性质得到||=
•
，然后进行化
2
aa
4a
简可得到
b
2
-1ac
的值．

【详解】

b
4ac b
2
设抛物线与
x
轴的两交点
A
、
B
坐 标分别为（
x
1
，
0
），（
x
2
，
0
），顶点
P
的坐标为（
-
，），

2a
4a
则
x
1
、
x
2
为方程
ax
2
+bx+c=0
的两根，

∴x
1
+x
2
=-
bc
，
x
1
•x
2
=
，

aa
22
b
2
4ac
b
2
c
∴ AB=|x
1
-x
2
|=
(x
1
x
2< br>)
=
(x
1
x
2
)4x
1
x< br>2
=
()4
=
，

a
aa
∵△ABP
组成的三角形恰为等腰直角三角形，

b
2
4ac
4acb
2
1
∴||=
•
，

2
a
4a
(b
2
4ac)
2
b
2
4ac
=
，

2
2
16a
4a
∴b
2
-1ac=1
．

故选
B
．

【点睛】

本题考查了 抛物线与
x
轴的交点：把求二次函数
y=ax
2
+bx+c
（
a
，
b
，
c
是常数，
a≠0
）与
x
轴的交点坐标
问题转化为解关于
x
的一元二次方程．也考查了二次函数的 性质和等腰直角三角形的性质．

5
．
A
【解析】

【分析】

由两直线平行，同位角相等，可求得∠
3
的度数，然后求 得∠
2
的度数．

【详解】

如图，


∵∠1=40°
，

∴∠3=∠1=40°
，

∴∠2=90°-40°=50°
．

故选
A
．

【点睛】

此题考查了平行线的性质．利用两直线平行，同位角相等是解此题的关键．

6
．
A
【解析】

【分析】

根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；

【详解】

观 察图象可知，共有
50
个学生，从低到高排列后，中位数是
25
位与
26
位的平均数，即为
1
．

故选
A
．

【点睛】

本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型．

7
．
B
【解析】

【分析】

先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．

【详解】

A
选项：
822
，故不是最简 二次根式，故
A
选项错误；

B
选项：
x
2
1
是最简二次根式，故
B
选项正确；

C
选项：
y
3
yy
，故不是最简二次根式，故本选项错误；

D
选项：
故选：
B
．

【点睛】

11
2
，故不是最简二次根式，故
D
选项错误；

22
考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．

8
．
D
【解析】

分析：根据条形统计图得到各数据的权，然后根据中位数的定义求解．

详解：一共< br>30
个数据，第
15
个数和第
16
个数都是
22，所以中位数是
22.
故选
D.
点睛：考查中位数的定义，看懂条形统计图是解题的关键
.
9
．
B
【解析】

∵①
(2)2
；②
22
；③
2
2
4
；④
(2)
2
4
；

∴上述各式中计算结果为负数的有2
个
.
故选
B.
10
．
B
【解析】

【详解】

解：∵ 抛物线与
x
轴有
2
个交点，∴
b
2
﹣
4a c
＞
0
，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1
，
0
）
0
）
∴方程ax
2
+bx+c=0
而 点（﹣
1
，关于直线
x=1
的对称点的坐标为（
3
，，的两个根是
x
1
=
﹣
1
，
x
2
=3
，所以②正确；

∵x=
﹣
b
=1
，即b=
﹣
2a
，而
x=
﹣
1
时，
y=0
，即
a
﹣
b+c=0
，∴
a+2a+c=0
，所以 ③错误；

2a
∵抛物线与x
轴的两点坐标为（﹣
1
，0
），（
3
，
0
），∴当﹣
1
＜
x< br>＜
3
时，
y
＞
0
，所以④错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1
，∴当
x
＜
1
时，
y
随
x
增大而增大，所以⑤正确．

故选：
B
．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数
y=ax< br>2
+bx+c
（
a≠0
），二次项系数
a
决定抛物线 的
开口方向和大小：当
a
＞
0
时，抛物线向上开口；当
a< br>＜
0
时，抛物线向下开口；一次项系数
b
和二次项系

< br>数
a
共同决定对称轴的位置：当
a
与
b
同号时（即< br>ab
＞
0
），对称轴在
y
轴左；当
a
与b
异号时（即
ab
＜
0
），
对称轴在
y
轴右；常数项
c
决定抛物线与
y
轴交点位置：抛物线与
y
轴交于（
0
，
c
）；抛物线与
x
轴交点
个数由△
决定：
△=b
2
﹣
4ac
＞
0
时， 抛物线与
x
轴有
2
个交点；
△=b
2
﹣
4 ac=0
时，抛物线与
x
轴有
1
个交
点；
△=b< br>2
﹣
4ac
＜
0
时，抛物线与
x
轴没有交点 ．

11
．
A
【解析】

分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，

故选
A
．

点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．

12
．
D
【解析】

10
n
，其中1≤|a|
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时 ，要看把原数变成
a
时，小根据科学记数法的表示形式
(a×
数点移动了多少 位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞
1
时，
n
是正数；当原数的绝
对值＜
1
时，
n
是负数
)可得
:
686000=6.86×10
5
，

故选：
D
．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13
．
3n+1
【解析】

【分析】

根据题意可知：第
1
个图有
4
个图案，第
2
个共有
7
个图案，第
3
个共有
10
个图案，第
4
个共有< br>13
个图
案，由此可得出规律．

【详解】

解：由 题意可知：每
1
个都比前一个多出了
3
个
“”
，

∴第n
个图案中共有
“
故答案为：
3n+1.
【点睛】

”
为：
4+3
（
n
﹣
1
）＝
3n+1
本题考查学生的观察能力，解题的关键是熟练正确找出图中的规律，本题属于基础题型．

14
．
3

5
【解析】

【分析】

由题中所给条件证明
△ADF
~
△ACG
，可求出
【详解】

解：在
△ADF
和
△ACG
中，

AB=6
，
AC=5
，
D
是边
AB
的中点

AG
是∠
BAC
的平分线，

∴∠DAF=∠CAG
∠ADE
＝∠
C
∴△ADF
~
△ACG
AF
的值
.
AG
AFAD3

.
AGAC5
3
故答案为
.
5
∴
【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握
.
15
．
1
．

【解析】

【分析】

由
BE
平分∠
ABC
，
DE∥ BC
，易得
△BDE
是等腰三角形，即可得
BD=2AD
，又由平行 线分线段成比例定
理，即可求得答案．

【详解】

解：∵
DE∥BC
，

∴∠DEB=∠CBE
，

∵BE
平分∠
ABC
，

∴∠ABE=∠CBE
，

∴∠ABE=∠DEB
，

∴BD=DE
，

∵DE=2AD
，

∴BD=2AD
，

∵DE∥BC
，

∴AD
：
DB=AE
：
EC
，

∴EC=2AE=2×3=1
．

故答案为：
1
．

【点睛】

此题考查了平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定 与性质．注意掌握线段的对应关系是解此题的
关键．

16
．﹣
4ab
【解析】

【分析】

根据单项式与单项式的乘法解答即可．

【详解】

2a×
（﹣
2b
）
=
﹣
4ab
．

故答案为﹣
4ab
．

【点睛】

本题考查了单项式的乘法，关键是根据单项式的乘法法则解答．

17
．
10π
【解析】

【分析】

【详解】

解：根据圆锥的侧面积公式可得这个圆锥的侧面积
=
故答案为：
10π
【点睛】

本题考查圆锥的计算．

18
．
4
【解析】

【分析】

首先根据题意正确画出从
O→B→A
运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点
P
从
O→B
时，路程是
②当点P
从
B→C
时，
③点P
从
C→A
线 段
PQ
的长；点
Q
从
O
运动到
Q
，计算< br>OQ
的长就是运动的路程；
时，点
Q
由
Q
向左运动， 路程为
QQ′
；④点
P
从
A→O
时，点
Q
运动的路程就是点
P
运动的路程；最后
相加即可．

【详解】

在
Rt△AOB
中，∵∠
ABO=30°
，
AO=1
，

∴AB=2
，
BO=
2
2
1
2

1
•1π•4•5=10π
（
cm1
）．

2
3

①当点P
从
O→B< br>时，如图
1
、图
2
所示，点
Q
运动的路程为
3
，

②当点P
从
B→C
时，如 图
3
所示，这时
QC⊥AB
，则∠
ACQ=90°

∵∠ABO=30°
∴∠BAO=60°
∴∠OQD=90°=30°
﹣
60°
∴AQ=2AC,
又∵
CQ=
3
,
∴AQ=2
∴OQ=2
﹣
1=1,
则点
Q
运动的 路程为
QO=1
，

③当点P
从
C→A
时，如图< br>3
所示，点
Q
运动的路程为
QQ′=2
﹣
3
，

④当点P
从
A→O
时，点
Q
运动的路程为AO=1
，

∴点Q
运动的总路程为：
3
+1+2
﹣
3
+1=4
故答案为
4.
考点：解直角三角形

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19
．
(1)
见解析；（
2
）
1
【解析】

【分析】

【详解】

分析：
(1)
根据平行四边形的判定与矩形的判定证明即可
;(2)
根据矩形 的性质和三角函数解答即可
.
详解：（
1
）证明：

∵ CD⊥AB
于点
D
，
BE⊥AB
于点
B
，

∴
CDADBE90
．

∴ CD∥BE
．

又∵
BE=CD
，

∴
四边形
CDBE
为平行四边形．

又∵
DBE90
，

∴
四边形
CDBE
为矩形．

（
2
）解：∵

四边形
CDBE
为矩形，

∴ DE=BC
．

∵
在
Rt△ABC
中，< br>ACB90
，
CD⊥AB
，

可得

ACDABC
．

∵
tanACD
1
，

2
1
．

2
1
，

2
∴
tanABCtanACD
∵
在
Rt△ABC
中，
ACB90
，
AC=2
，
tanABC
∴
BC
AC
4
．

tanABC
∴ DE=BC=1
．

点睛：本题考查了矩形的判定与性质，关键是根据平行四边形的判定与矩形的判定解答
.
20
．
343

3
【解析】

【分析】

先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将
x
的值代入计算可得．

【详解】

2
8
2x
x
2
44xx2
x2

•
（
÷
••
=1
﹣ 解：原式
=1
﹣）
=1
﹣
x2x2

x2< br>
x2

2x
x2
4x
4x
8
4x2
=
，

x2x2
当
x=
3
﹣
2
时，

原式
=
3﹣223﹣4
343
==
．

3
3﹣223
【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．

21
．（
1
）共调查了
50
名学生；统计图见解析；（
2
）
72°
；（
3
）
.
【解析】

【分析】

（
1
）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得 到调查的总人数
,
先计算出最喜欢舞蹈类的人数，
然后补全条形统计图；
< br>（
2
）用
360°
乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到
“
歌曲
”
所在扇形的圆心角的度数；

（
3
）画树状 图展示所有
12
种等可能的结果数，再找出抽取的
2
名学生恰好来自同一个班 级的结果数，然
后根据概率公式求解．

【详解】

28%
＝
50
，

解：
(1)14÷
∴本次共调查了50
名学生．

补全条形统计图如下．


(2)
在扇形统计图中，
“歌曲
”
所在扇形的圆心角的度数为
360°×
＝
72°. (3)
设一班
2
名学生为数字
“1”
，
“1”
，二班
2
名学生为数字
“2”
，
“2”
，画树状图如下．< br>

共有
12
种等可能的结果，其中抽取的
2
名学生 恰好来自同一个班级的结果有
4
种，

∴抽取的2
名学生恰好来自同一个班级的概率
P
＝＝
.
【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结 果
n
，再从中选出符合事件
A

或
B
的结果数 目
m
，然后利用概率公式计算事件
A
或事件
B
的概率．也考 查了统计图．

22
．
(1)-2
，
1
；（2
）
x=3
；（
3
）
4m.
【解析】

【分析】

（
1
）因式分解多项式，然后得结论；

（
2
）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；

（
3
）设
AP
的长为
xm
，根据勾股定理和
BP+ CP=10
，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无
理方程转化为整式方程，求解，

【详解】

解：（
1
）
x
3
 x
2
2x0
，

xx
2
x20
，


x

x2

x1

0

所以
x0
或
x20
或
x10

x
1
0
，
x
2
2
，
x
3
1
；

故答案为
2
，
1
；

（
2
）
2x3x
，

方程的两边平方，得
2x3x
2

即
x
2
2x30


x3

x1

0

x30
或
x10

x
1
3
，
x
2
1
，

当
x1
时，
2x3111
，

所以
1
不是原方程的解．

所以方程
2x3x
的解是
x3
；

（
3
）因为四边形
ABCD
是矩形，

所以
AD90
，
ABCD3m

设
APxm
，则
PD

8x

m

因为
BPCP10
，

BPAP
2
AB< br>2
，
CPCD
2
PD
2





9x
2

< br>8x

2
910


8x

2
9109x
2

2
两边平方，得

8x

9100209x
29x
2

整理，得
5x
2
94x9

两边平方并整理，得
x
2
8x160

即

x4

0

所以
x4
．

经检验，
x4
是方程的解．

答：
AP
的长为
4m
．

【点睛】
考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（
3
）时， 根据勾股定
理和绳长，列出方程是关键．

23
．（
1
）< br>PM=PN
，
PM⊥PN
（
2
）等腰直角三角形，理由见解析 （
3
）
【解析】

【分析】

（
1
）由等腰直角三角形的性质易证
△ACE≌△BCD
，由此可得
AE=BD
，再根据三角形中位线定理即可
得到
PM=PN
，由平行线的性质可得
PM⊥ PN
；

（
2
）（
1
）中的结论仍旧成立，由（< br>1
）中的证明思路即可证明；

（
3
）由（
2
）可知
△PMN
是等腰直角三角形，
PM=
2
9
2
1
BD
，推出当
BD
的值最大时，
PM
的值 最大，
△PMN
2
的面积最大，推出当
B
、
C
、< br>D
共线时，
BD
的最大值
=BC+CD=6
，由此即可解决问 题；

【详解】

解：（
1
）
PM=PN
，
PM⊥PN
，理由如下：

延长
AE
交
BD
于
O
，


∵△ACB
和
△ECD
是等腰直角三角形，

∴AC=BC
，
EC=CD
，∠
ACB=∠ECD=90°
．

在
△ACE
和
△BCD
中

ACBC
{ACBECD90
0
，

CECD
∴△ACE≌△BCD
（
SAS
），

∴AE=BD
，∠
EAC=∠CBD
，

∵∠EAC+∠AEC=90°
，∠
AEC=∠BEO
，

∴∠CBD+∠BEO=90°
，

∴∠BOE=90°
，即
AE⊥BD
，

∵点M
、
N
分别是斜边
AB
、
DE
的中点，点
P
为
AD
的中点，

∴PM=
11
BD
，
PN=AE
，

22
∴PM=PM
，

∵PM∥BD
，
PN∥AE
，
AE⊥BD
，
∴∠NPD=∠EAC
，∠
MPA=∠BDC
，∠
EAC+∠BDC=9 0°
，

∴∠MPA+∠NPC=90°
，

∴∠MPN=90°
，

即
PM⊥PN
，

故答案是：
PM=PN
，
PM⊥PN
；

（
2
）如图②中，设
AE
交
BC
于
O
，


∵△ACB
和
△ECD
是等腰直角三角形，

∴AC=BC
，
EC=CD
，

∠ACB=∠ECD=90°
，

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
，

∴∠ACE=∠BCD
，

∴△ACE≌△BCD
，

∴AE=BD
，∠
CAE=∠CBD
，

又∵∠
AOC=∠BOE
，

∠CAE=∠CBD
，

∴∠BHO=∠ACO=90°
，

∵点P
、
M
、
N
分别为
AD
、
AB
、
DE
的中点，
∴PM=
PN=
1
BD
，
PM∥BD
，

2
1
AE
，
PN∥AE
，

2
∴PM=PN
，

∴∠MGE+∠BHA=180°
，

∴∠MGE=90°
，

∴∠MPN=90°
，

∴PM⊥PN
；

（
3
）由（
2
）可知< br>△PMN
是等腰直角三角形，
PM=
1
BD
，
2
∴当BD
的值最大时，
PM
的值最大，
△PMN
的面 积最大，

∴当B
、
C
、
D
共线时，
BD
的最大值
=BC+CD=6
，

∴PM=PN=3
，

∴△PMN
的面积的最大值
=
【点睛】

本题考查的是几何 变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中
位线定理的运用， 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，
属于中考压轴题 ．

24
．
-2.
【解析】

试题分析：先算括 号里面的，再算除法，解不等式组，求出
x
的取值范围，选出合适的
x
的值代 入求值即
可．

9
1
×3×3=
．

2< br>2

x+1

x-1

x
2


试题解析：原式
=
2
x

x+1

x+1

=
xx+1x

=


x+1x-1x-1
x1
2x14
得
-1≤x<
解
{
5
，

2
∴不等式组的整数解为-1
，
0
，
1
，
2

若分式有意义，只能取
x=2
，

∴原式=-
2
=
－
2
21
【点 睛】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多
问题 还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题
技巧 的丰富与提高有一定帮助．

25
．解：（
1
）
AF
与圆
O
的相切．理由为：

如图，连接
OC
，


∵PC
为圆
O
切线，∴
CP⊥OC
．

∴∠OCP=90°
．

∵OF∥BC
，

∴∠AOF=∠B
，∠
COF=∠OCB
．

∵OC=OB
，∴∠
OCB=∠B
．∴∠
AOF=∠COF
．

∵在△AOF
和
△COF
中，
OA=OC
，∠
AOF=∠C OF
，
OF=OF
，

∴△AOF≌△COF
（
S AS
）．∴∠
OAF=∠OCF=90°
．

∴AF
为圆< br>O
的切线，即
AF
与⊙
O
的位置关系是相切．
（
2
）∵△
AOF≌△COF
，∴∠
AOF=∠COF
．

∵OA=OC
，∴
E
为
AC
中点，即
AE=CE=
1
AC
，
OE⊥AC
．

2
∵OA⊥AF
，∴在
Rt△AOF
中，
OA=4
，
AF=3
，根据勾股定理得：
OF=1
．

∵S
△AOF
=
1124
•OA•AF=•OF•AE
，∴
AE=
．

225
．
∴AC=2AE=
【解析】

试题分析：（1
）连接
OC
，先证出∠
3=∠2
，由
SAS
证明
△OAF≌△OCF
，得对应角相等∠
OAF=∠OCF
，
再根 据切线的性质得出∠
OCF=90°
，证出∠
OAF=90°
，即可得出结论 ；

（
2
）先由勾股定理求出
OF
，再由三角形的面积求出
AE
，根据垂径定理得出
AC=2AE
．

试题解析：（
1
）连接
OC
，如图所示：

∵AB
是⊙
O
直径，

∴∠BCA=90°
，

∵OF∥BC
，

∴∠AEO=90°
，∠
1=∠2
，∠
B=∠3
，

∴OF⊥AC
，

∵OC=OA
，

∴∠B=∠1
，

∴∠3=∠2
，

在
△OAF
和
△OCF
中，

OAOC
{32
，

OFOF
∴△OAF≌△OCF
（
SAS
），

∴∠OAF=∠OCF
，

∵PC
是⊙
O
的切线，

∴∠OCF=90°
，

∴∠OAF=90°
，

∴FA⊥OA
，

∴AF
是⊙
O
的切线；

（
2
）∵⊙
O
的半径为
4
，
AF=3，∠
OAF=90°
，

∴OF=
OF
2
O A
2
3
2
4
2
=1
∵FA⊥OA
，
OF⊥AC
，

∴AC=2AE
，
△OAF
的面积
=
∴3×4=1×AE
，

11
AF•OA=OF•AE
，

22
12
，

5
24
∴AC=2AE=
．

5
解得：
A E=
考点：
1.
切线的判定与性质；
2.
勾股定理；
3.< br>相似三角形的判定与性质．

26
．
1
【解析】

试题分析：原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分
后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，已知方程变形后代入计算即可求出值．< br>
试题解析：

x1x(x2)x

x2x1x1

原式
=
2
x

x1
∵x
2
−x−1=0
，∴
x
2
=x+1
，

则原式
=1. < br>27
．（
1
）点
B
的坐标是（
-5
，
-4
）；直线
AB
的解析式为：
（
2
）四边形
C BED
是菱形
.
理由见解析

【解析】

【分析】

（
1
）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点
A
代入双曲线方程求得
k
值，即利用待定系数法求得双
曲线方程；然后将< br>B
点代入其中，从而求得
a
值；设直线
AB
的解析式为
y=mx+n
，将
A
、
B
两点的坐标
代入，利用待定系数 法解答；

（
2
）由点
C
、
D
的坐标、已 知条件
“BE∥x
轴
”
及两点间的距离公式求得，
CD=5
，
BE=5
，且
BE∥CD
，
从而可以证明四边形
CBED
是平行四边形；然后在
Rt△OED
中根据勾股定理求得
ED=5
， 所以
ED=CD
，
从而证明四边形
CBED
是菱形．

【详解】

解：（
1
）∵双曲线
得
过
A< br>（
3
，），∴
.
把
B
（
-5
，）代 入
,

. ∴点B
的坐标是（
-5
，
-4
）

，

设直线
AB
的解析式为
将
A
（
3
，）、
B
（
-5
，
-4
）代入得，

，

解得：
.
∴直线AB
的解析式为：

（
2
）四边形
CBED
是菱形
.
理由如下
:
点
D
的坐标是（
3,0
），点
C
的坐标是（
-2,0
）
.
∵ BE∥
轴，
∴点E
的坐标是（
0,-4
）
.
而
CD =5
，
BE=5
，且
BE∥CD.
∴四边形CBED
是平行四边形

在
Rt△OED
中，ED
2
＝
OE
2
＋
OD
2
，∴
ED
＝
∴□CBED
是菱形

＝
5
，∴
ED
＝
CD.