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2018年云南省曲靖市中考数学试卷



一、选择题（共8题，每题4分）

1．（4分）（2018•曲靖）﹣2的绝对值是（ ）

A．2

B．﹣2 C．


D．


2．（4分）（ 2018•曲靖）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽
度相等，则它的左视图为（ ）


A． B． C． D．

3．（4分）（2018•曲靖）下列计算正确的是（ ）

A．a
2
•a=a
2
B．a
6
÷a
2
=a
3

C．ab﹣2ba=﹣ab D．（﹣
222


）=﹣



3

4．（4分）（2018•曲靖）截止2018年5月末 ，中国人民银行公布的数据显示，
我国外汇的储备规模约为3.11×10
4
亿元美元 ，则3.11×10
4
亿表示的原数为
（ ）

A．2311000亿 B．31100亿 C．3110亿 D．311亿

5．（ 4分）（2018•曲靖）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每
一个内角是（ ）

A．60° B．90° C．108° D．120°

6．（4分）（2018•曲靖）下列二次根式中能与2

合并的是（ ）


A．

B．


C．

D．



7．（4分）（2018•曲靖）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线

交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=的图象经过点

第1页（共27页）

A的对应点A′，则k的值为（ ）


A．6 B．﹣3 C．3 D．6

8．（4分）（201 8•曲靖）如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适
当长为半径画弧，交AB、AC于 点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的
一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC 于点E，再分别以A、E
为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分 别
交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①
∠L KB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=
（ ）



，④S
△
CGE
：S
△
CAB
=1：4．其中正确 的是

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④



二、填空题（共6题，每题3分）

9．（3分）（2018•曲靖）如果水位升高2 m时，水位的变化记为+2m，那么水位
下降3m时，水位的变化情况是 ．

10．（3分）（2018•曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，
若∠ A=n°，则∠DCE= °．

第2页（共27页）

11．（3分）（2018•曲靖）如图：在△ABC中，AB= 13，BC=12，点D，E分别是
AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△A CD的周长是 ．


12．（3分）（2018•曲靖）关于x的方程ax
2
+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，那么负
整数a= （一个即可）．

13．（3分）（2018•曲靖）一个书包的标价为115元，按8折出售 仍可获利15%，
该书包的进价为 元．

14．（3分）（2018•曲靖 ）如图：图象①②③均是以P
0
为圆心，1个单位长度为
半径的扇形，将图形①②③分 别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一
个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P
1
P
2
P
3
，第二次移动后图形
①②③的圆心依次 为P
4
P
5
P
6
…，依次规律，P
0
P< br>2018
= 个单位长度．




三、解答题


﹣
1
15．（5分）（2018•曲靖）计 算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）+

+（﹣）





16．（2018•曲靖）先化简，在求值（﹣）÷

，其中a，b







满足a+b﹣=0．


0

17．（2018 •曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得
第3页（共27页）

AF=CE，连接EF，点M，N是线段上两点，且EM=FN，连接AN，CM．

（1）求证：△AFN≌△CEM；

（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．


18．（2018•曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做
120个所用的 时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零
件？

19．（2 018•曲靖）某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机
调查了该校部分学生的年龄 ，整理数据并绘制如下不完整的统计图．


依据以上信息解答一下问题：

（1）求样本容量；

（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；

（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．

2 0．（2018•曲靖）某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电
脑需0.6万元， 购买一台B型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全
部用于购进35台这两种型号的电脑， 设购进A型电脑x台．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若购进B 型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投
入资金多少万元？

2 1．（2018•曲靖）数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，
C，D，每张卡 片的正面标有字母a，b，c表示三条线段（如图），把四张卡片背
面朝上放在桌面上，李老师从这四张 卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机
第4页（共27页）

抽取一张．


（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；

（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．

22．（ 2018•曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线
BC翻折，使弧BC的 中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切
线与线段BA的延长线交于点P，连接A D，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．

（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若PC=

，求四边形OCDB的面积．



23．（2018•曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，


2
经过点A的抛物线y=ax﹣3x+c的对称轴是x=．


（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线 m上任意一点，PB⊥x
轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的廷长线 ，连
接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，
当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q， 使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求
出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

第5页（共27页）

第6页（共27页）

2018年云南省曲靖市中考数学试卷

参考答案与试题解析



一、选择题（共8题，每题4分）

1．（4分）（2018•曲靖）﹣2的绝对值是（ ）

A．2

B．﹣2 C．


D．


【考点】15：绝对值．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【解答】解：﹣2的绝对值是2，

即|﹣2|=2．

故选：A．

【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对 值是它
的相反数；0的绝对值是0．



2．（4分）（2018 •曲靖）如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽
度相等，则它的左视图为（ ）


A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【专题】55：几何图形．

【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图
中．

【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：

第7页（共27页）

故选：D．

【点评】本题考查了三 视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图
中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面， 而相连的两个闭合线框常不在一
个平面上．



3．（4分）（2018•曲靖）下列计算正确的是（ ）

A．a
2
•a=a
2
B．a
6
÷a
2
=a
3

C．a
2
b﹣2ba
2
=﹣a
2
b D．（﹣

）
3
=﹣



【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法；6A：
分式的乘除法 ．

【专题】11：计算题；513：分式．

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式=a
3
，不符合题意；

B、原式=a
4
，不符合题意；

C、原式=﹣a
2
b，符合题意；


D、原式=﹣

，不符合题意，


故选：C．

【点评】此题考查了分式的乘除法，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练
掌握运算法则是 解本题的关键．



4．（4分）（2018•曲靖）截止2018年5月 末，中国人民银行公布的数据显示，
我国外汇的储备规模约为3.11×10
4
亿元美 元，则3.11×10
4
亿表示的原数为
（ ）

A．2311000亿 B．31100亿 C．3110亿 D．311亿

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数；1K：科学记数法—原数．

【专题】17：推理填空题．

第8页（共27页）

【分析】科学记数法a×10
n
表示的数，“还原”成通常 表示的数，就是把a的小数
点向右移动n位所得到的数，据此求解即可．

【解答】解：3.11×10
4
亿=31100亿

故选：B．

【点评】此题主要考查了科学计数法﹣原数，要熟练掌握，解答此题的关 键是要
明确：科学记数法a×10
n
表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的 小数点
向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10
﹣
n
， 还原为原来的
数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．



5．（4分）（2018•曲靖）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每
一个内角是 （ ）

A．60° B．90° C．108° D．120°

【考点】L3：多边形内角与外角．

【专题】11：计算题．

【 分析】根据正多边形的内角和定义（n﹣2）×180°，先求出边数，再用内角和
除以边数即可求出这 个正多边形的每一个内角．

【解答】解：（n﹣2）×180°=720°，

∴n﹣2=4，

∴n=6．

则这个正多边形的每一个内角为720°÷6=120°．

故选：D．
< br>【点评】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n
﹣2）×180 °．



6．（4分）（2018•曲靖）下列二次根式中能与2

合并的是（ ）


A．

B．


C．

D．



【考点】77：同类二次根式．

【专题】11：计算题．

【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．

第9页（共27页）

【解答】解：A、



，不能与2

合并，错误；




B、




能与2

合并，正确；

C、



不能与2

合并，错误；

D、

不能与2

合并，错误；

故选：B．

【点评】本题主 要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解
题的关键．



7．（4分）（2018•曲靖）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB（顶点为网格线

交点）绕原点O顺时针旋转90°，得到△OA′B′，若反比例函数y=的图象经过点

A的对应点A′，则k的值为（ ）


A．6 B．﹣3 C．3 D．6

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化﹣旋转．

【专题】1：常规题型．

【分析】直接利用旋转的性质得出A′点坐标，再利用反比例函数的性质得出答案．

【解答】解：如图所示：∵将△OAB（顶点为网格线交点）绕原点O顺时针旋转

90°，得到△OA′B′，反比例函数y=的图象经过点A的对应点A′，


∴A′（3，1），

则把A′代入y=，


解得：k=3．

故选：C．

第10页（共27页）

【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特 征，正确得出A′点坐标是
解题关键．



8．（4分）（201 8•曲靖）如图，在正方形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，适
当长为半径画弧，交AB、AC于 点M，N，分别以M，N为圆心，大于MN长的
一半为半径画弧，两弧交于点H，连结AH并延长交BC 于点E，再分别以A、E
为圆心，以大于AE长的一半为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分 别
交CD，AC，AB于点F，G，L，交CB的延长线于点K，连接GE，下列结论：①
∠L KB=22.5°，②GE∥AB，③tan∠CGF=
（ ）



，④S
△
CGE
：S
△
CAB
=1：4．其中正确 的是

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【考点】LE： 正方形的性质；N2：作图—基本作图；S9：相似三角形的判定与性
质；T7：解直角三角形．

【专题】55：几何图形．

【分析】①在△AOL和△BLK中，根据三角形内 角和定理，如图两个角对应相等，
则第三个角∠LKB=∠BAC=22.5°；

②根据线段中垂线定理证明∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，可得EG∥AB；

③根据等量代换可得：∠CGF=∠BLK，可作判断；

第11页（共27页）

④连接EL，证明四边形ALEG是菱形，根据EL＞BL，及相 似三角形的性质可作判
断．

【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，


∴∠BAC=∠BAD=45°，


由作图可知：AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE=22.5°，

∵PQ是AE的中垂线，

∴AE⊥PQ，

∴∠AOL=90°，

∵∠AOL=∠LBK=90°，∠ALO=∠KLB，

∴∠LKB=∠BAE=22.5°；

故①正确；

②∵OG是AE的中垂线，

∴AG=EG，

∴∠AEG=∠EAG=22.5°=∠BAE，

∴EG∥AB，

故②正确；

③∵∠LAO=∠GAO，∠AOL=∠AOG=90°，

∴∠ALO=∠AGO，

∵∠CGF=∠AGO，∠BLK=∠ALO，

∴∠CGF=∠BLK，


在Rt△BKL中，tan∠CGF=tan∠BLK=，


故③正确；

④连接EL，

∵AL=AG=EG，EG∥AB，

∴四边形ALEG是菱形，

∴AL=EL=EG＞BL，


∴

，


第12页（共27页）

∵EG∥AB，

∴△CEG∽△CBA，






∴=


，




故④不正确；

本题正确的是：①②③，

故选：A．


【点评】本题考查了基本作图：角平分线和线段的垂直平分线 ，三角形相似的性
质和判定，菱形的性质和判定，三角函数，正方形的性质，熟练掌握基本作图是
关键，在正方形中由于性质比较多，要熟记各个性质并能运用；是中考常考的选
择题的压轴题．



二、填空题（共6题，每题3分）

9．（3分）（201 8•曲靖）如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位
下降3m时，水位的变化情况是 ﹣3m ．

【考点】11：正数和负数．

【专题】511：实数．

【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．

【解答】解：∵水位升高2m时水位变化记作+2m，

∴水位下降3m时水位变化记作﹣3m．

故答案是：﹣3m．

【 点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，
明确什么是一对具有相 反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一
个为正，则另一个就用负表示．



第13页（共27页）

10．（ 3分）（2018•曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，
若∠A=n°， 则∠DCE= n °．


【考点】M6：圆内接四边形的性质．

【专题】1：常规题型．

【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠DCB=180°，

又∵∠DCE+∠DCB=180°

∴∠DCE=∠A=n°

故答案为：n

【点评】本题考查了圆内 接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边
形的对角互补．



11．（3分）（2018•曲靖）如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是< br>AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是 18 ．


【考点】KX：三角形中位线定理．

【专题】17：推理填空题．

【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5 ，AC∥DE，根据勾股定理的逆定
理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=B D，根据三角形的周长
公式计算即可．

【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴AC=2DE=5，AC∥DE，

AC
2
+BC
2=5
2
+12
2
=169，

第14页（共27页）

AB
2
=13
2
=169，

∴AC
2
+BC
2
=AB
2
，

∴∠ACB=90°，

∵AC∥DE，

∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，

∴直线DE是线段BC的垂直平分线，

∴DC=BD，

∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，

故答案为：18．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定 和性质，掌握
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．



12．（3分）（2018•曲靖）关于x的方程ax
2
+4x﹣2=0（ a≠0）有实数根，那么负
整数a= ﹣2 （一个即可）．

【考点】AA：根的判别式．

【专题】1：常规题型．

【分析】 先根据判别式的意义得到△=4
2
+8a≥0，解得a≥﹣2，然后在解集中找
出负整 数即可．

【解答】解：∵关于x的方程ax
2
+4x﹣2=0（a≠0）有实数根，

∴△=4
2
+8a≥0，

解得a≥﹣2，

∴负整数a=﹣1或﹣2．

故答案为﹣2．

【点评】本题考查了 一元二次方程ax
2
+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判
别式△=b
2
﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个
相等的实 数根；当△＜0，方程没有实数根．



13．（3分）（2018•曲靖 ）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，
该书包的进价为 80 元．

第15页（共27页）

【考点】8A：一元一次方程的应用．

【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用．

【分析】设该书包的进 价为x元，根据销售收入﹣成本=利润，即可得出关于x
的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设该书包的进价为x元，

根据题意得：115×0.8﹣x=15%x，

解得：x=80．

答：该书包的进价为80元．

故答案为：80．

【点评】本题考 查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．



14．（3分）（2018•曲靖）如图：图象①②③均是以P
0
为圆心， 1个单位长度为
半径的扇形，将图形①②③分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动一
个单位长度，第一次移动后图形①②③的圆心依次为P
1
P
2
P
3< br>，第二次移动后图形
①②③的圆心依次为P
4
P
5
P
6
…，依次规律，P
0
P
2018
= 673 个单位长度．


【考点】38：规律型：图形的变化类；Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【专题】2A：规律型．

【分析】根据P
0
P
1
=1，P
0
P
2
=1，P
0
P
3
=1；P
0
P
4
=2，P
0
P
5
=2，P
0
P
6
=2；P
0
P
7
=3，P
0
P
8
=3，
P
0
P
9
=3；可知每移动一次，圆 心离中心的距离增加1个单位，依据2018=3×672+2，
即可得到点P
2018
在正南方向上，P
0
P
2018
=672+1=673．

【解答】解：由图可得，P
0
P
1
=1，P
0
P
2
=1，P
0
P
3
=1；

P
0
P
4
=2，P
0
P
5
=2，P
0
P
6
=2；

第16页（共27页）

P
0
P
7
=3，P
0
P
8
=3，P
0
P
9
=3；

∵2018=3×672+2，

∴点P
2018
在正南方向上，

∴P
0
P
2018
=672+1=673，

故答案为：673．

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，应找出图形哪些部分 发生了变化，是
按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探
寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．



三、解答题



15．（5分）（2018•曲靖）计算﹣（﹣2）+（π﹣3.14）
0
+

+（﹣）
﹣
1


【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．

【专题】1：常规题型．

【分析】直接利用立方根的性质以及零指数幂的性质以及负 指数幂的性质分别化
简得出答案．

【解答】解：原式=2+1+3﹣3

=3．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．



16．（2018•曲靖）先化简，在求值（

满足a+b﹣=0．











﹣





）÷，其中a，b
【考点】6D：分式的化简求值．

【专题】11：计算题；513：分式．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母 分式的减法法则计算，同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出 值．

【解答】解：原式=•=，






由a+b﹣=0，得到a+b=，


第17页（共27页）

则原式=2．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．



17．（2018•曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE， 使得
AF=CE，连接EF，点M，N是线段上两点，且EM=FN，连接AN，CM．

（1）求证：△AFN≌△CEM；

（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．


【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．

【专题】555：多边形与平行四边形．

【分析】（1）利用平行线的性质，根据SAS即可证明；

（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM即可；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠AFN=∠CEM，

∵FN=EM，AF=CE，

∴△AFN≌△CEM（SAS）．


（2）解：∵△AFN≌△CEM，

∴∠NAF=∠ECM，

∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，

∴107°=72°+∠ECM，

∴∠ECM=35°，

∴∠NAF=35°．

【点评】本题考查 平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型．



第18页（共27页）

< br>18．（2018•曲靖）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做4个，甲做
120个 所用的时间与乙做100个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零
件？

【考点】B7：分式方程的应用．

【专题】34：方程思想；522：分式方程及应用．

【分析】设甲每小时做x个零 件，则乙每小时做（x﹣4）个零件，根据工作时间
=工作总量÷工作效率结合甲做120个所用的时间 与乙做100个所用的时间相等，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣4）个零件，


根据题意得：=，


解得：x=24，

经检验，x=24是分式方程的解，

∴x﹣4=20．

答：甲每小时做24个零件，乙每小时做20个零件．

【点评】本题考查了分式方程 的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题
的关键．



1 9．（2018•曲靖）某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机
调查了该校部分学 生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．


依据以上信息解答一下问题：

（1）求样本容量；

（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；

（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上的学生人数．

【 考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V5：用样本估计总体；W2：加权
第19页（共27页）

平均数；W4：中位数；W5：众数．

【专题】1：常规题型；542：统计的应用．

【分析】（1）由12岁的人数及其所占百分比可得样本容量；

（2）先求出14、16岁的人数，再根据平均数、众数和中位数的定义求解可得；

（3）用总人数乘以样本中15、16岁的人数所占比例可得．

【解答】解：（1）样本容量为6÷12%=50；


（2）14岁的人数 为50×28%=14、16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2，


则这组数据的平均数为=14（岁），



中位数为=14（岁），众数为15岁；




（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800×=720人．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不
同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每
个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小．



20．（2018•曲靖）某公司计划购买A，B两 种型号的电脑，已知购买一台A型电
脑需0.6万元，购买一台B型电脑需0.4万元，该公司准备投入 资金y万元，全
部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进A型电脑x台．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量 的2倍，则该公司至少需要投
入资金多少万元？

【考点】C9：一元一次不等式的应用；FH：一次函数的应用．

【专题】11：计算题．

【分析】（1）根据题意列出关于x、y的方程，整理得到y关于x的函数解析式；

（2）解不等式求出x的范围，根据一次函数的性质计算即可．

【解答】解：（1）由题意得，0.6x+0.4×（35﹣x）=y，

整理得，y=0.2x+14（0＜x＜35）；

第20页（共27页）

（2）由题意得，35﹣x≤2x，

解得，x≥

，


则x的最小整数为12，

∵k=0.2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=12时，y有最小值16.4，

答：该公司至少需要投入资金16.4万元．

【点评】本题考查的是一次函数的应用 、一元一次不等式的应用，掌握一次函数
的性质是解题的关键．



21．（2018•曲靖）数学课上，李老师准备了四张背面看上去无差别的卡片A，B，
C，D，每 张卡片的正面标有字母a，b，c表示三条线段（如图），把四张卡片背
面朝上放在桌面上，李老师从这 四张卡片中随机抽取一张卡片后不放回，再随机
抽取一张．


（1）用树状图或者列表表示所有可能出现的结果；

（2）求抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率．

【考点】K6：三角形三边关系；X6：列表法与树状图法．

【专题】1：常规题型；543：概率及其应用．

【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果；

（2）由四张卡片中只有C、D两张卡片能构成三角形，据此利用概率公式求解
可得．

【解答】解：（1）由题意可得，

第21页（共27页）

共有12种等可能的结果；


（2） ∵共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都
能组成三角形有2种结果，< br>

∴抽取的两张卡片中每张卡片上的三条线段都能组成三角形的概率为=．


【点评】本题考查树状图的运用，注意作图列表时按一定的顺序，做到不重不
漏 ．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．



22．（20 18•曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线
BC翻折，使弧BC的中点 D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切
线与线段BA的延长线交于点P，连接AD， 在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．

（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若PC=

，求四边形OCDB的面积．


【考点】M5：圆周角定理；MB：直线 与圆的位置关系；MC：切线的性质；PB：
翻折变换（折叠问题）．

【专题】11：计算题．

【分析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折 叠的性质得OC=DC，BO=BD，
则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△ OBD都是等边三角形，

从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到 OE⊥PM，所以OE=OP，

第22页（共27页）

根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；


（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．

【解答】解：（1）PM与⊙O相切．

理由如下：

连接DO并延长交PM于E，如图，

∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，

∴OC=DC，BO=BD，

∴OC=DC=BO=BD，

∴四边形OBDC为菱形，

∴OD⊥BC，

∴△OCD和△OBD都是等边三角形，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∴∠COP=∠EOP=60°，

∵∠MPB=∠ADC，

而∠ADC=∠ABC，

∴∠ABC=∠MPB，

∴PM∥BC，

∴OE⊥PM，


∴OE=OP，


∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，


∴OC=OP，


∴OE=OC，

而OE⊥PC，

∴PM是⊙O的切线；





（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×

=1，




2


∴四边形OCDB的面积=2S
△
OCD
=2××1=．


第23页（共27页）

【点评】本题考查了 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的
切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出 垂直关系．也考查了直线与圆的关
系、圆周角定理和折叠的性质．




23．（2018•曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，


2
经过点A的抛物线y=ax﹣3x+c的对称轴是x=．


（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线 m上任意一点，PB⊥x
轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的廷长线 ，连
接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，
当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q， 使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求
出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．


【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】16：压轴题．

第24页（共27页）

【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关

于a、c的方程组求解即可；

（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a， 然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量
代换进行证明即可；

（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是
















可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到=，=，

从而可求得点Q的 坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线
的解析式求得a的值即可．


【解答】解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，



，

对称轴是x=，得







解得


，抛物线的解析式为y=x
2
﹣3x﹣4；


（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，


∴直线m的解析式为y=x．


∵点P是直线1上任意一点，

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，


∴=．


∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

第25页（共27页）

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

















∴=，=，


∴Q
x
+6=0+a，Q
y
+2=20﹣3a+0，

∴Q
x
=a﹣6，Q
y
=18﹣3a．

2
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）﹣3（a﹣6）﹣4，解得：
a=4或 a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．


∵CF=3BE=3a﹣18，

第26页（共27页）

∴OF=3a﹣20．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

















∴=，=，


∴Q
x
+6=0+a，Q
y
+2=20﹣3a+0，

∴Q
x
=a﹣6，Q
y
=18﹣3a．

2
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）﹣3（a﹣6）﹣4，解得：
a=8或 a=4（舍去）．

∴Q（2，﹣6）．

综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．

【点评】本题主要考查的是 二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性
质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式 ，用含a的式子表示点Q
的坐标是解题的关键．



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