波罗的海指数-房补申请

教学准备
1.

教学目标

1.1
知识与技能：

1.
初步了解
“
抽屉原理
”
，

会运用< br>“
抽屉原理
”
解决简单的实际问题或解释相关的现象。

2.
通过操作、观察、比较、推理等数学活动，引导学生理解并掌握这一类
“
抽屉原理”
的一般规律。

1.2
过程与方法

：
< br>经历
“
抽屉原理
”
的探究过程，初步了解
“
抽屉原理
”
，体会比较的学习方法。

1.3
情感态度与价值观

：

感受数学的魅力，提高学习数学的兴趣和应用意识，培养学习数学的兴趣。

2.

教学重点

难点

2.1
教学重点

经历抽屉原理的探究过程，理解抽屉原理，灵活运用抽屉原理解决生活中的简单问题。

2.2
教学难点

理解
“
总有
”
、“
至少
”
，构建
“
抽屉原理
”
的数学模型，并 对一些简单的实际问题加以模
型化。

3.

教学用具

多媒体课件，铅笔，笔筒，一副扑克牌

4.

标签

教学过程
一、开门见山，引入课题

师：课前老师表演了一个魔术 ，其实，这里面蕴含了一个重要的数学原理
——
抽屉原
理（板书：抽屉原理）。看到这 个课题，你有什么问题要问吗？

学生提出问题：什么是抽屉原理？怎样研究抽屉原理？抽屉原理有什么用？等等。

师：同学们都很爱提问题，也很会提问题，这节课我们就带着这些问题来研究。

二、自主探究，构建模型

1.
教学例
1
，初步感知，体验方法，概括规律。

师：我 们先从简单的例子入手，请看，如果把
4
个小球放进
3
个抽屉里，我可以肯定
地说，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放
2
个小球。

稍加停顿。

师：
“
总有
”
是什么意思？

生：一定有。

师：“
至少放
2
个小球
”
你是怎样理解的？

生： 最少放
2
个小球，也可以放
3
个、
4
个。

师：
2
个或比
2
个多，我们就说
“
至少放
2个小球
”
。

师：老师说的这句话对吗？我们得需要验证，怎么验证呢？ 华罗庚说过不懂就画图，
下面请同学们用圆形代替小球，用长方形代替抽屉，画一画，看有几种不同的方 法。也可
以寻求其他的方法验证，听明白了吗？开始吧！

学生活动，教师巡视指导。

汇报交流。

师：哪位同学愿意把你的方法分享给大家？

一生上前汇报。

生< br>1
：可以在第一个抽屉里放
4
个小球，其他两个抽屉空着。

师：这
4
个小球一定要放在第一个抽屉里吗？

生：不一定，也可以放在其他两个抽屉里。

师：看来不管怎么放，总有一个抽屉里放 进
4
个小球。这种放法可以简单的记作
4,0,0
。
不好意思，接着 介绍吧。

生：第二种方法是第一个抽屉里放
3
个小球，第二个抽屉里放
1
个，第三个抽屉空着，
也就是
3,1,0
；第三种方法是
2,2,0
；第四种方法是
2,1,1
。

（此环节可以先让一名学生汇报，其他学生补充、评价）

师：他找到了
4
种不同的方法，谁来评一评？

生
2
：他找的很全，并且排列的有序。

师：除了这
4种放法，还有没有不同的放法？（没有）谢谢你的精彩展示，请回。看
来，把
4
个 小球放进
3
个抽屉里，就有这
4
种不同的方法。同学们真不简单，一下子就找
到了
4
种放法。

出示课件，展示
4
种方法。

师：请同学们仔细观察、分析每一种放 法，对照老师的猜测，我们凭什么就说
“
总有一
个抽屉里至少放两个小球
”< br>呢？

生：第一种放法有一个抽屉里放
4
个，大于
2
，符合至少
2
个，第二种放法有一个抽
屉里放
3
个，也大于
2
，符合至少
2
个，第三种放法有一个抽屉里放
2
个，符合至少2
个，
第四种放法有一个抽屉里放
2
个，符合至少
2
个 。所以，总有一个抽屉里至少放两个小球。

师：说得有理有据。谁愿意再解释解释？（再找一名学生解释）

师：原来呀！这两位 同学关注的都是每种方法当中放的最
——
多的抽屉，分别放了几
个小球？（
4
个、
3
个、
2
个、
2
个）最少放了几个？（
2
个），最少
2
个，有的超过了
2
个，
我们就说至少2
个。确实，不管怎么放，我们都找到了这样的一个抽屉，里面至少放
2
个
小球。看来，老师的猜测对不对？
(
对
)
是正确的！

师 ：刚才，同学们在研究的时候，采用了一一列举的方法（板书：列举法），列举法
是我们研究问题时常用 的方法，它非常的直观。除了像刚才这样，把所有的放法都一一列
举出来，还有什么方法也能证明老师的 猜测是正确的呢？有没有一种更直接的方法呢？

生
1
：把小球分散地放，每 个抽屉里先放
1
个小球？剩下的
1
个小球任意放在其中的
一个抽屉里 ，这样总有一个抽屉里至少放了两个小球。

生
2
：先把小球平均放，余下的
1
个小球不管放在哪个抽屉里，一定会出现总有一个
抽屉里至少放了
2
个小球。

师：每个抽屉里先放
1
个小球，也就是我们以前学过的怎么分？

生：平均分。

师：为什么要先平均分？

生：先平均分，就能使每 个抽屉里的小球放得均匀，都比较少，再把余下的
1
个小球
任意放在其中的一个抽屉中 ，这样一定会出现
“
总有一个抽屉至少放了
2
个小球
”
。< br>
课件演示。

师：假设每个抽屉先放
1
个小球，余下的1
个小球可以任意放在其中的一个抽屉里，
这样就会发现，不管怎么放，总有一个抽屉至少 放
2
个小球。这种方法叫假设法。（板书：
假设法）它体现了平均分的思想，你能不能 把刚才平均分的过程用算式表示出来？

3
＝
1……1,1+1
＝
2
。

生：
4÷
3
＝
1……1,1+1
＝
2
教师随机板书：
4÷
师：这两个
“1”
表示的意思一样吗？

生：不一样，第一个
“1”
表示每个抽屉里分得的
1
个小球，第二个
“1”
表示剩下的那个
小球，可以放在任意一个抽屉里。

师：第一 个
“1”
就是先分得的
1
个小球，也就是除法中的商，第二个
“1”
是剩下的
1
个
小球，可以任意放在其中的一个抽屉中。瞧，用算式来表示多么 地简洁明了。

师：同学们真聪明，用列举法和假设法，都验证了老师的猜测是正确的。对比这 两种
方法，假设法出现的这种的情况，其实就是列举法当中第几种放法所出现的情况？

生：第四种放法出现的情况。

师：你认为用列举法和假设法进行验证，哪种方法比较简便？为什么？

生：假设法， 列举法需要把所有的情况都一一列举出来，假设法只需要研究一种情况，
并且可以用算式简明地表示出来 。

师：请同学们根据刚才的研究经验和方法，想一想，如果把
5
个小球放进
4
个抽屉里，
不管怎么放，总有一个抽屉里至少放几个小球？

生：
2
个，先往每个抽屉里放一个小球，这样还剩下
1
个，剩下的
1
个小球任意放在
一个其中的一个抽屉里，这样，不管怎么放 ，总有一个抽屉里至少放
2
个小球。

4
＝
1……1,1+ 1
＝
2
，总有一个抽屉至少放
2
个小球。

生2
：我是用算式表示的，
5÷
师：把
6
个小球放进
5< br>个抽屉里，总有一个抽屉里至少放几个小球呢？

5
＝
1……1,1+ 1
＝
2
，还是总有一个抽屉里至少放
2
个小球。

生：
6÷
师：把
7
个小球放进
6
个抽屉里呢？

生：总有一个抽屉里至少放
2
个小球。

师：接着往后想，你能继续说吗？

生：把
7
个小球放进
6
个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放
2
个小球。

生：把
8
个小球放进
7
个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放
2< br>个小球。

师：咱们能说完吗？（不能）是不是有什么规律呢？你能概括地说一说吗？

生
1
：小球个数和抽屉个数都依次增加
1
，总有一个抽屉里至少放的小球个数都是2.
生
2
：当小球的个数比抽屉数多
1
时，不管怎么放，总有 一个抽屉里至少放
2
个小球。

师：你们真善于概括总结！

2.
教学例
2
，深入研究，提升思维，构建模型。

师：刚 才我们研究了小球数比抽屉数多
1
时，总有一个抽屉至少放
2
个小球，当小球
数比抽屉数多
2
、多
3
，甚至更多，又会出现什么情况呢？想不想继 续研究？（想）

师：我们在
6
个小球放进
5
个抽屉的基础 上继续研究，抽屉数不变，小球的个数增加
1
，
7
个小球放进
5个抽屉里，总有一个抽屉至少放几个小球？

5
＝
1……2
，
1+2
＝
3
。

生
1
：
7÷
师：有不同意见吗？

5
＝
1……2
，
1+1
＝
2
。

生
2
：
7÷

5
＝< br>1……2
，不同点是一位同学认师：出现了两种不同的声音，这两位同学都是用
7÷为是
1+1
＝
2
，另一位同学认为是
1+2
＝
3
。到底哪种想法正确呢？你能谈谈自己的意见吗？

生
3
：我赞同
1+1
＝
2
。因为余下的
2
个还要分到不同的抽屉里，所以 总有一个抽屉至
少放
2
个小球。

出示课件。

师 ：大家看，把
7
个小球放进
5
个抽屉，都同意每个抽屉先放
1
个是吗？余下的
2
个
怎么放？是一块儿放到一个抽屉里，还是怎么放呀？

生：把其中的
1
个小球放到任意一个抽屉里，再把另
1
个小球放到和 它不同的抽屉里。

师：你的意思是说，把这两个小球怎样放？（分开放）为什么要分开放？

生：这样能 使每个抽屉里的小球都尽可能地少，一定会出现
“
总有一个抽屉里至少放
2
个 小球
”
。

师：是呀！由于我们找的是
“
总有一个抽屉里至 少放几个小球
”
，所以应该把这
2
个小
球分别放到不同的抽屉里，应 该是什么？（
1+1
＝
2
。）看来呀，先把小球平均分，再把余
下的 小球分开放，这才是解决此类问题的关键。

师：感谢刚才三位同学，给我们的课堂带来了不同 的声音，使我们的认识越来越深刻，
掌声送给他们！

师：抽屉数不变，再增加小球的个数，会出现什么情况？

5
＝
1… …3
，
1+1
＝
2
，
“
总有一个抽屉里至少放2
个小球
”
。

生：
8÷
师：小球数再增加
1
个。

5
＝
1……4
，
1+1
＝
2
，也是
“
总有一个 抽屉里至少放
2
个小球
”
。

生：
9÷
师 ：总有一个抽屉里至少放的小球个数怎么还是
3
呀？

生：先往每个抽屉中放
1
个小球，再把余下的
4
个小球任意放在
4
个不同的抽屉里 ，
这样
“
总有一个抽屉里至少放
2
个小球
”
，所以 还是
1+1
＝
2
。

5
＝
2
）还用加
1
吗？（不用）正好分完。
师：小球数再增加
1
个，（
10÷
师：再增加
1
个。< br>

5
＝
2……1
，
2+ 1
＝
3
，总有一个抽屉里至少放
3
个小球。

生：
11÷
师：刚才都是
1+1
，现在怎么变成
2+1
了？
生：抽屉数不变，小球数增加了，导致商变了，商变了，总有一个抽屉里至少放的小
球数 也变了。

师：请同学们推想一下，小球个数是几的时候，总有一个抽屉里至少放的小球个数还
是
3
？

生：
13,14,15
。

如果学生出现不同的数，教师及时纠正。

师：同学们太聪明了，这里面是不是有什么 规律呢？请同学们认真观察思考，总有一
个抽屉里至少放的小球个数，我们是怎么得到的？
< br>生：用小球的个数除以抽屉数，如果有余数，用商加
1
，如果没有余数，总有一个抽屉至少放的小球个数等于商。

出示课件：把小球放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么 总有一个抽屉里至少放
“
商
+1”
个；如果正好分完，总有一个抽屉里至少放 的小球个数等于商。

师：其实，抽屉里不仅可以放小球，还可以放其他的物体呢？这句话就变 成了：把物
体放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总有一个抽屉里至少放
“
商+1”
个；如果正好分
完，总有一个抽屉里至少放的小球个数等于商。我们一起自豪地读一 读。

师：其实，我们发现的这个规律，就是这节课所要研究的
“
抽屉原理< br>”
。它最早是由
19
世纪德国数学家狄里克雷提出来的，所以这个原理又叫“
狄里克雷原理
”
。

三、运用模型，解释应用

1.
鸽巢问题，沟通联系。

师：刚才我们是借助抽屉和小球来研究的，在有 的国家是借助用鸽子和鸽巢问题来研
究的。

课件出示：
5
只鸽子飞进
3
个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进几只鸽子？

生：总有一个鸽巢至少飞进
2
只鸽子。

师：同学们在解决这个问题的时候，自觉不自觉地就把
5
只鸽子看成了什么？（
5
个
小球）
5
个小球也可以叫做
5
个待分的物体，把3
个鸽巢看成了什么？（
3
个抽屉）。瞧，
鸽巢原理诞生了。

2.
拓展应用，提升方法。

师：抽屉原理在生活中有着广泛的应用，这两个问题，你会解决吗？

课件出示：

（
1
）把
7
支铅笔放进
2< br>个文具盒里，总有一个文具盒至少放几支铅笔？

（
2
）把
1 1
枚硬币放进
4
个口袋里，总有一个口袋至少放几枚硬币？

学生解决后，汇报交流。

师：刚才我们用抽屉原理解决了一些问题，这些问题统称为 抽屉原理问题，解决该类
问题的关键是找出什么是待分的物体，什么是抽屉。抽屉原理就是解决该类问题 的一种方
法或者叫做模型。

3.
揭秘魔术，首尾照应。

师：还记得课前表演的魔术吗？你能利用抽屉原理揭秘课前的魔术吗？

4
＝
1……1
，
1+1
＝
2
，生：把
5
张牌看 作
5
个待分的物体，把
4
种花色看作
4
个抽屉，
5 ÷
所以，至少有
2
张牌是同一花色的。

师：你真会学习，利用抽屉 原理帮助大家把课前的魔术揭秘了，其实，老师并不懂得
什么魔术，只是应用了抽屉原理。

课堂小结
1
、回顾小结


鸽巢问题就是运用了 抽屉原理来解决问题的，是与生活息息相关的一类有趣的数学问
题。实际上都是同学们运用以前的知识就 可以解决的问题，遇到此类题目时我们可以从多
个角度、

多个方面去思考。

2
、畅谈收获

师：不知不觉，一节课即将结束，你有哪些收获呢？

学生从知识、方法、情感等方面畅谈收获，教师给予积极评价。

师：最后，老师给大家提个建议，回家以后，把今天学的抽屉原理讲给爸爸妈妈听！

板书
鸽巢问题（
1
）

（
4,0,0
）
,(0,1,3),(2,2,0),(2,1,1) 只要放进的小球数比抽屉的数量多
1
，总有一个抽屉至少放进
2
个小球< br>
7÷3=2……1 2
＋
1=3
要把
a
个物体 放进
n
个抽屉，如果
a÷n=b……c(c≠0,
且
c
＜< br>n),
那么一定有一个抽屉至少可以放（
b
＋
1
）个物体。

When you are old and grey and full of sleep,
And nodding by the fire, take down this book,
And slowly read, and dream of the soft look
Your eyes had once, and of their shadows deep;
How many loved your moments of glad grace,
And loved your beauty with love false or true,
But one man loved the pilgrim soul in you,
And loved the sorrows of your changing face;
And bending down beside the glowing bars,
Murmur, a little sadly, how love fled

And paced upon the mountains overhead
And hid his face amid a crowd of stars.

The furthest distance in the world
Is not between life and death
But when I stand in front of you
Yet you don't know that
I love you.
The furthest distance in the world
Is not when I stand in front of you
Yet you can't see my love
But when undoubtedly knowing the love from both
Yet cannot be together.
The furthest distance in the world
Is not being apart while being in love
But when I plainly cannot resist the yearning
Yet pretending you have never been in my heart.
The furthest distance in the world
Is not struggling against the tides
But using one's indifferent heart

To dig an uncrossable river
For the one who loves you.