周末日记-东北师范大学录取分数线

专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。和 以往的旧教
材相比,这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介
绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问题
加 以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中,有一类与“存在性”有关的问
题。在这类问 题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物
体(或人)。这类问题 依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是由19世界的
德国数学家狄利克雷运用于解 决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,也称为“鸽巢问题”。
“鸽巢问题”的理论本身并不复杂, 甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是
千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且 常常能得到一些令人惊异的结论。因此,“鸽
巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

“抽屉原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时,< br>要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“抽
屉原 理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中,应有意识地让学生理解“抽
屉原理”的“ 一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握
本章内容的程度。教材选取 的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结
合起来,有助于提高学生的逻辑思维能 力和解决实际问题的能力。


1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活 动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步了
解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2.提高学生解决简单的实际问题的能力。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用,感受数学的魅力。

1.让学生初步经历“数学 证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画
草图的方式进行“说理”。通过“说理”的 方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学证明的
雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力 ,为以后学习较严密的数学证明做准
备。
2.有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面 对一个具体问题时,能否将这个具体问
题和“抽屉问题”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与“抽 屉问题”的“一般化模型”
之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,是 解决该问题的关
键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范畴;再思 考如
何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”
的过程,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思维和能力的重要体
现。 < br>3.要适当把握教学要求。“抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。
因此, 用“抽屉原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如,有时要找到实际问题与
“抽屉原理”之间 的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个
“抽屉”。因此,教学时,不 必过于要求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,把大致
意思说出来就可以了,鼓励学生借助实 物操作等直观方式进行猜测、验证。

1 鸽巢问题 1课时
2 “鸽巢问题”的具体应用 1课时




鸽巢问题
教材第68、第69页。

1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的
魅力。

重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

铅笔、笔筒、书等。



师:同学们,老师给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大小王,还 剩52张牌,请5个同
学上来,每人随意抽一张,我知道至少有2人抽到的是同花色的,相信吗?试一试 。
师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。
师:想知道这是为什么吗?通过今天的学习 ,你就能解释这个现象了。下面我们就来研究
这类问题,我们先从简单的情况入手研究。
【设 计意图:紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始,激活认知热情。
使学生积极投入 到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】

1. 讲授例1。
(1)认识“抽屉原理”。(课件出示例题)
把4支铅笔放进3个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。
学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。
教师指出:上面这个 问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给
出证明。
(2)学生分小组活动进行证明。

活动要求:
①学生先独立思考。
②把自己的想法和小组内的同学交流。
③如果需要动手操作,要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记录
等)
④在全班交流汇报。
(3)汇报。
师:哪个小组愿意说说你们是怎样证明的?
①列举法证明。
学生证明后,教师提问:把4支铅笔放进3个笔筒里,共有几种不同的放法?
(共有4种不同的放法。在这里只考虑存在性问题,即把4支铅笔不管放进哪个笔筒,都视
为同 一种情况)
根据以上4种不同的放法,你能得出什么结论?(总有一个至少放进2支铅笔)
②数的分解法证明。
可以把4分解成三个数,共有四种情况:(4,0,0),(3,1,0 ),(2,2,0),(2,1,1),每一种结
果的三个数中,至少有一个数是不小于2的。
③反证法(或假设法)证明。
让学生试着说一说,教师适时指点:
假设先在每个笔 筒里放1支铅笔。那么,3个笔筒里就放了3支铅笔。还剩下1支铅笔,
放进任意一个笔筒里,那么这个 笔筒里就有2支铅笔。
(4)揭示规律。
请同学们继续思考:
①把5支铅笔放进4个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么?
②如果把6 支铅笔放进5个笔筒中,结果是否一样呢?把7支铅笔放进6个笔筒中呢?
把10支铅笔放进9个笔筒中 呢?把100支铅笔放进99个笔筒中呢?
学生回答的同时教师板书:
数量(支) 笔筒数(个) 结果
5 总有一个笔筒里
提问:观察板书,你有什么发现?
③小组讨论,引导学生得出一般性结论。
(只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2支铅笔)
追问:如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多3,多4呢?
学生根据具体情况思考并解决此类问题。
④教师小结。
上面我们所证明的数学原理 就是最简单的“抽屉原理”,可以概括为:把m个物体任意
放到m-1个抽屉里,那么总有一个抽屉中至 少放进了2个物体。
2.教学例2。
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽 屉里至少放进3本书。为什么?自己
想一想,再跟小组的同学交流。
学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况。
组织全班交流,学生可能会说:
•我们可以动手操作,选用列举的方法:
第一个抽屉

7

6

5

4

3

3

第二个抽屉

0

1

1

1

1

2

第三个抽屉

0

0

1

2

3

2

通过操作,我们把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书。
•我们可以用数的分解法:把7分解成三个数,有
(7,0,0),(6,1,0),(5,1 ,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2)这样六种情况。在任何一种情况中,
总有一 个数不小于3。
师:同学们,通过上面两种方法,我们知道了把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总 有1

个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本书增多,数据变大,如果有8本书会怎样呢 ?10本呢?
甚至更多呢?用列举法、数的分解法会怎样?(繁琐)我们能不能找到一种适用各种数据的 一般
方法呢?请同学们自己想一想。
学生进行独立思考。
师:假设把书尽量的“平 均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么
算式表示这一平均分的过程呢?
生:7÷3=2……1
师:有余数的除法算式说明了什么问题?
生:把7本书平均 放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩1本;把剩下的1本不管放到哪
个抽屉,总有一个抽屉至少放3 本书。
师:如果有8本书会怎样呢?
生:8÷3=2……2,可以知道把8本书平均放进3 个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩2本;把
剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放 3本书。
师:10本书呢?
生:10÷3=3……1,可知把10本书平均放进3个抽屉, 每个抽屉放3本书,还剩1本;把剩
下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放4本书。
师:你发现了什么?
师生共同小结:要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c(c ≠0),那么一定有一个抽
屉至少放(b+1)个物体。
【设计意图:在渗透研究问题、探索 规律时,先从简单的情况开始研究。证明过程中,展示
了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相 学习、触类旁通,又建立“建模”思想,突出了
学习方法】

师:通过今天的学习,你有什么收获?
生:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。
师:你能在生活中找出这样的例子吗?
学生举例说明。
师:之所以把这个规律称之 为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理
解决的问题,研究出这个规律是非常有价值 的。同学们继续努力吧!
【设计意图:研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后, 请学生总结这
节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目 的】



鸽巢问题




1.学生对“至少”理解不够,给“建模”带来了一定的难度。
2.培养学生的问题意识,借 助直观操作和假设法,将问题转化成“有余数的除法”形式,
可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般 思路。
3.经历将具体问题“数学化”的过程,有利于提高学生的数学思维能力,让学生在运用新学知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中,进一步体验数学的价值,感受数学的魅力,培养学
习数学 的兴趣

A类

1.1001只鸽子飞进50个鸽舍,无论 怎么飞,我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里
面至少有( )只鸽子。
2.从8个抽 屉中拿出17个苹果,无论怎么拿,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉,
从它里面至少拿出了( )个苹果。
3.从( )(填最大数)个抽屉中拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当
中至少拿了7个苹果。
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决简单的具体问题)
B类

你能证明在任意的37人中,至少有4人的属相相同吗?说明理由。
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决生活中的实际问题)

课堂作业新设计
A类:
1. 21 2. 3 3. 4
B类:
把12个属相看作12个抽屉。
37÷12=3……1 3+1=4 即在任意的37人中,至少有4人属相相同。
教材习题
第68页“做一做”
1. 我们可以假设3只鸽子分别飞进了三个鸽笼,那么剩余的2只鸽子无论飞进哪个鸽笼,
都会出现“总有一 个鸽笼至少飞进了2只鸽子”这个结果。
2. 因为5人抽4种花色的扑克牌,假设其中的4人每人分 别抽到其中一种花色,那么剩
下的1个人无论抽到什么花色,就出现“至少有2张牌是同花色”这个结果 。
第69页“做一做”
1. 11÷4=2(只)……3(只),可知如果每个鸽笼飞进2 只鸽子,剩下的3只鸽子飞进其中任
意3个鸽笼,那么至少有3只鸽子飞进了一个鸽笼。
2. 5÷4=1(人)……1(人),可知如果每把椅子上坐1人,剩下的1人再生其中任意的1把椅
子上, 那么至少有1把椅子上坐了2人。

“鸽巢问题”的具体应用
教材第70、第71页。

1.在了解简单的“抽屉原理”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2.提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3.通过用“抽屉原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅
力。

引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”,找出这里的“抽屉”是什么,“抽屉”有几个,< br>再利用“抽屉原理”进行反向推理。

课件、纸盒1个,红球、蓝球各4个。



1.讲《月黑风高穿袜子》的故事。

一天晚上, 毛毛房间的电灯忽然坏了,伸手不见五指。这时他又要出去,于是他就摸床底
下的袜子。他有蓝、白、灰 色的袜子各一双,由于他平时做事随便,袜子乱丢,在黑暗中,无法
知道哪两只是颜色相同的。毛毛想拿 最少数目的袜子出去,在外面借街灯配成相同颜色的一
双。你们知道最少应该拿几只袜子出去吗?
2.在学生猜测的基础上揭示课题。
教师:这节课我们利用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。
(板书:“抽屉原理”的具体应用)

1.课件出示例3。
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出几
个球?
2.学生自由猜测。
可能出现:摸2个、3个、4个、5个等。说说你的理由。
3.学生摸球验证。
按猜测的不同情况逐一验证,说明理由。
摸2个球可能出现的情况:1红1蓝;2个红球;2个蓝球。

摸3个球可能出现的情况:2红1蓝;2蓝1红;3红;3蓝。
摸4个球可能出现的情况:2红2蓝;3蓝1红;3红1蓝;4红;4蓝。
摸5个球可能出现的情况:4红1蓝;3蓝2红;3红2蓝;4蓝1红。
教师:通过验证,说说你们得出了什么结论。
小结:盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。 要想摸出的球一定有2个同色的,至少要
摸3个球。
4.引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。
教师:生活中像这样的例子很多,我们不能 总是猜测或动手试验吧,能不能把这道题与
前面所讲的“抽屉原理”联系起来进行思考呢?
(1)思考。
①“摸球问题”与“抽屉原理”有怎样的联系?
②应该把什么看成“抽屉”?有几个“抽屉”?要分放的东西是什么?
③得出什么结论?
(2)小组讨论。
(3)学生汇报,引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。
教 师讲解:因为一共有红、蓝两种颜色的球,可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”,“同
色”就意味着“ 同一抽屉”。这样,把“摸球问题”转化成“抽屉问题”,即“只要分的物体
个数比抽屉个数多,就能保 证有一个抽屉至少有2个球”。
从最特殊的情况想起,假设两种颜色的球各拿了1个,也就是在两个“ 抽屉”里各拿了1
个球,不管从哪个“抽屉”里再拿1个球,都有2个球是同色的,假设最少要摸a个球 ,即
(a)÷2=1……(b),当b=1时,a就最小。所以一次至少应拿出1×2+1=3(个)球 ,就能保证有2
个球同色。
结论:要保证摸出2个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
【设计意图:在实 际问题和“鸽巢问题”之间架起一座桥梁并不是一件容易的事。因此,教
师应有意识地引导学生朝这个方 向思考,慢慢去感悟。逐步引导学生把具体问题转化为“鸽巢
问题”,并找出这里的“鸽巢”是什么,“ 鸽巢”有几个】

师:在本节课的学习中,你有哪些收获?
学生自由交流各自的收获、体会。



“抽屉原理”的具体应用


1.在思考应该把什么看成抽屉,要分放的东西是什么时,学生一开始可能会缺乏 思考的
方向,很难找到切入点。
2.不同颜色的球的个数,很容易给学生造成干扰。因此教学 时,教师要允许学生借助实物
操作等直观方式进行猜测、验证。

A类

1.某班有个小书架,40个同学可以任意借阅,小书架上至少要有多少本书, 才能保证至少
有一个同学能借到两本或两本以上的书?
2.有4双不同颜色的手套,至少拿几只手套才能保证有两只手套是成对的?
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:运用“鸽巢问题”的原理解决实际问题)
B类

有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起,如果让你闭上眼睛去摸,你至少要摸出
几根才 能保证有2根筷子是同色的?为什么?至少摸出几根,才能保证有4根同色的筷子?为什
么?
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:运用“鸽巢问题”的原理解决问题)

课堂作业新设计
A类:
1.将40个同学看作40个“抽屉”,书看作被分的物体 ,由“抽屉原理”知:要保证有一
个抽屉中至少有两个物体,物体数至少为40+1=41(个)。即小 书架上至少要有41本书。
2. 5只
B类:
把三种颜色的筷子当作三个“抽屉”, 根据“抽屉原理”可知:
至少拿4根筷子,才能保证有2根同色筷子。
从最特殊的情况想起,假设三种颜色的筷子各拿 了3根,也就是在三个“抽屉”里各拿了
3根筷子,不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子,就有4根筷子 是同色的,所以一次至少应拿
出3×3+1=10(根)筷子,才能保证有4根筷子同色。
教材习题
第70页“做一做”
1. “六年级里至少有两人的生日是同一天”,这 种说法是正确的。因为如果一年当中每
天都有一名学生过生日(闰年366天),则最多有366名学生 的生日都不是在同一天,还剩下1
名学生;剩下的这一名学生生日无论在哪一天,都一定会有两人的生日 是相同的,即他们的生
日在同一天。
“六(2)班中至少有5人在同一个月出生的”这种说法 是正确的。因为49÷12=4(人)……1(人),
可知如果每4人是同一个月出生的,还剩下1人。 把剩下的1人再定为其中任意一个月出生
的,则六(2)班中至少有5人是同一个月出生的。
2. 至少取5个球,可以保证取到两个颜色相同的球。
第71页“练习十三”
1. 若每个属相都有一位老师,这样只有12位老师,所以第13位老师的属相无论是什么,
他们中至少有2个人的属相是相同的。
2. 若每一镖都低于9环,5镖的成绩最高是40环,因此至少有一镖不低于9环。
3. 若每一种颜色涂 得都少于3个面,两种颜色涂得面的总数就少于6个面,因此至少有3

个面涂着的颜色相 同。
4. 每次至少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子;如果要保证有2双筷子至少要拿
出6根。
5. 任意给出的3个不同的自然数,有4种可能:奇数、奇数和偶数;奇数、偶数和偶数;
奇 数、奇数和奇数;偶数、偶数和偶数。而“奇数+奇数=偶数”,“偶数+偶数=偶数”,所以
无论是哪 种可能的情况下,都会出现这两种结果当中的一种,即任意给出3个不同的自然数,
其中一定有2个数的 和是偶数。
6. 如果只涂两行的话,至少有三列的涂法是相同的。