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数学广角——鸽巢问题教案
朱小 姜松
一、教学目标：
1、 经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”，会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。
2、 通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3、 培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
4、 通过“鸽巢问题”的灵活应用感受数学的魅力；提高学生解决问题的能力和兴趣。
二、教学重点：
经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢问题”。
三、教学难点：
理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
四、教材说明：
这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理
解“鸽 巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以
解决。
在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题。例如，任意13人中，至少有两人的出生月份相同。任意367名学生中，至少存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或< br>某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明是通过什么方式把这个< br>存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复
杂，甚至可以说是显而易见的。例如，要把三个苹果放进两个抽屉，至少有一个抽屉里有两个苹果。这样
的道理对于学生来说，也是很容易理解的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有
趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到
了广泛的应用。
五、教学设计
课前谈话：
1、 同学们，今年是201 6年，很多预言家都曾预言2012年是世界末日，可是没能成真，他们的预言准确
吗？知道吗？姜老师 也是一位预言家，你不信?请你在纸上写三位你的好朋友的名字，我预言你的三位
好朋友中至少有两位是 同性，对不对？我还能预言我们全班34位同学，总有一个月份至少有3位同学
出生（学生起立验证）。
2、 你想不想当一名预言家？谁来试试?从一副扑克牌中抽出大小王，还剩下52张，任意抽取5张牌，谁

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预言一下总有一种花色至少有几张牌？（学生预测，贴黑板上展示）前四张 牌没有花色相同的，大家
觉得这位预言家的运气怎么样？你现在的心情怎么样？为什么？（预测成功，我 们给他5秒钟的掌声）
（起立，上课）
一、由难到易，认识原理。
1、出示难题：
师：在最不利的情况下，他的预言都能实现，那么其他的情况呢?(生：一定能够实现)（板书：一定）
师：其实在我们的数学世界里有些情况也是一定会发生的，我们一起来研究好不好？（点击课件）
“集会问题”
1947年的匈牙利全国数学竞赛上有这样一道题目，后来刊登在1958年6 月号的《美国数学月刊》上，曾
经难倒了很多的数学家：在任意6个人的集会上，一定可以找到3个互相 认识的人，或者3个互相不认识
的人。
师：这道题有人能够解决吗？挺难的是吧，还记得吗， 姜老师教过大家，当我们面对一个很困难的问题时
要把它搞懂，可以采用一种有效地策略，退一步，从简 单情况入手（板书：化难为易）
2、化难为易，理解原理
（1）4进3
A、总有一个笔筒里至少放两支笔。
（点击课件）把4支笔任意放进3个笔筒里，有哪些摆法？
出示合作要求：同桌左右两个同学 一组，可以写一写，画一画，摆一摆，用你喜欢的方法演示一下，并用
你喜欢的方式在纸上记录下结果。 （可以有空笔筒）用一个圆圈表示笔筒，用一竖线表示笔。
学生思考，摆放、画图。全班交流，（板书：枚举、画图、分解、假设）
讲评学生画图;
师：（4，0，0）这4支笔只能放在第一个笔筒里吗？（一定有一个笔筒里放进4支笔。）
（3，1，0）这3支笔只能放在第一个盒子里吗？（一定有一个笔筒里放进3支笔。）
（2，2，0）（2，1，1）这两种情况一定有一个笔筒里放进2支笔。
学生枚举，分解
师：谁能摆出3个笔筒里每个笔筒里的笔都比2支少？（生：不能。）
师：所以，这几种方法都有一个共同的特点，谁看到了？谁能看得更深入一点？
生：把4支笔放进3个笔筒里，不管怎么放，一定有一个笔筒里至少放进2支笔。（重复2遍）
师：至少2支什么意思？


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B、一定——最不利——平均分
师：我发现有的笔筒放了3支笔有的放了4支笔，为什么不说一定有一个笔筒至少放了3支笔、4支笔？
生：因为不是一定能够实现？而且要保证至少（板书：至少）
师：如果不把所有的可能都枚举 出来，只判断一种情况，能不能判断所有可能中，放的最多的笔筒里一定
至少放进了几支笔？是选择最有 利的还是最不利的一种情况？（板书：最不利）
师： 为什么要选择最不利的一种情况？
生：如果最不利的情况都能保证总有一个笔筒至少有2只笔，那其他情况一定能成立。
师：怎样放才是最不利呢？
生1：使这个放得最多的笔筒里尽可能的少放
生2：先把笔平均着放，然后剩下的再放进其中一个笔筒里。（板书：平均分）
生3：先在每 个笔筒里放一支笔，（师根据学生回答演示摆放的过程）还剩一支笔，再随便放进一个笔筒里。
（点击课 件）
师：这样，余下1支，不管放在哪个笔筒里，一定会出现总有一个笔筒里至少有——2支笔。 < br>师：这种思考方法其实是从最不利的情况来考虑，先平均分，每个笔筒里都放一枝，就可以使放得较多的< br>这个笔筒里的笔尽可能的少。这样，就能很快得出不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔。我们可< br>以用算式把这种想法表示出来。（板书：4÷3=1（支）……1（支） 1+1=2（支））
（2）5进4……n+1进n
师：如果把5支笔放进4个笔筒里会出现什么样的结果？可以画可以不画。
师：把6支笔放进5个笔筒里呢？
师：把7支笔放进6个笔筒里呢？
把8支笔放进7个笔筒里呢？……
把100支笔放进99个笔筒里呢？
你发现了什么？
生：我发现铅笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师：谁能用一句话概括这一发现？
生：将n+1支笔任意放进n个笔筒里，一定有一个笔筒至少有2支笔。（点击课件）
师：这 就是我们今天要学习的抽屉原理（板书课题），我们可以把笔看做某种物体，笔筒看做抽屉，就可
以说： 将n+1个物体任意放进n个抽屉里，一定有一个抽屉至少有2个物体。
（3）数学史（点击课件）
我国宋代学者费衮在《梁溪漫志》一书中就运用抽屉原理来批驳“算命”。书中写到：民间用一个人
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的出生年、月、日、时辰作算命根据，你的命将由你的出生时辰决定 ，这可真是荒谬绝伦！费衮认为，把
人出生的时辰看作“抽屉”，把世上的所有的人看作物体，物体数远 远大于抽屉数。根据抽屉原理，一定
有很多人会进入同一个“抽屉”。如果“算命”是可信的，那么这些 进入同一个抽屉的人应该具有完全相
同的“命”，但事实并非如此。看来“算命”完全是无稽之谈。在我 国其他的古代文献中也有很多利用”
抽屉原理”来分析问题的例子,令人遗憾的是,在文献中并没有概括 性文字,没有把这个原理抽象成普遍原
理。直到19世纪,德国数学家狄里克雷明确提出这一原理，因此 “抽屉原理”又被称之为“狄里克雷原
理”。
3、引深原理
（1）外国的数学家是 研究鸽子归巢的问题来引出抽屉原理的，所以又叫做鸽巢原理。我们就来研究一道
鸽巢问题。
6只鸽子飞回5个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？
谁是抽屉？谁是物体？（板书列式说明）
7只鸽子飞回5个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？（板书列式说明）
谁是抽屉？谁是物体？（板书列式说明）
师：为什么余下2支，不用1+2=3？
生：从最不利的角度考虑，余下的两只也要平均分。
师：如果是9只鸽子飞回5个鸽笼呢？
师：所以我们可以由刚才的原理进一步得到将n+1个或多于n+1个物体任意放进n个抽屉里，一定有 一个
抽屉至少有2个物体。
4、巩固练习（板书列式说明）
把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？5÷2=2(本)…1(本) 2+1=3(本)
把7本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？7÷2=3(本)…1(本) 3+1=4(本)
把9本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？9÷2=4(本)…1(本) 4+1=5(本)
把6本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？6÷2=3(本)
把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？8÷3=2(本)…2(本) 2+1=3(本)
二、深入生活，应用原理。
1、师：学习了“抽屉原理”，你现在能解释 “为什么咱们班的34位同学中至少有3位同学是在同一个月
份出生的”吗？
生：一年有12个月，相当于一共有12个抽屉，40÷12=3……4 3+1=4，总有一个抽屉里至少有4
个人，所以至少有4位同学是在同一个月份出生的。
师：说得真好！看来你们已经掌握了这个秘诀了。

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2、从任意6双手套中任取7只，其中至少有2只恰为一双手套吗？
谁是抽屉？谁是物体？7÷6=1（只）…1 （只）1+1=2（只）

3、我们模范小学所有的同学中，一定有生日相同的同学吗？
谁是抽屉？谁是物体？1048÷366=2（人）…316 （人）2+1=3（人）

4、用三种颜色给正方体的各面涂色（每面只涂一种颜色），那么至少有几个面涂色相同？
谁是抽屉？谁是物体？6÷3=2（个）
三、学中有玩，发散原理
52张扑克牌
1、 一定有两张同样颜色，至少要摸几张？（几个抽屉？需要几个物体？）
2、 一定有两张同样花色，至少要摸几张？（几个抽屉？需要几个物体？）
3、 一定有两张数字相同，至少要摸几张？（几个抽屉？需要几个物体？）
4、 摸3张，谁能用抽屉原理说一句话？
5、 摸5张，谁能用抽屉原理说一句话？
6、 摸7张，谁能用抽屉原理说一句话？
四、由易到难，提升原理
现在我们能解决这道世界性的难题了吗? 在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会 的
任意6个人。先任意找一个人比如A，把其余5个人看做5个物体，他们与A要么认识要么不认识，所 以
是几个抽屉？（2个），如果认识，那么就连成一条红线；不认识连一条蓝线，那么在5条线中至少有 几条
线同色？（3条）对，要么同为红色，要么同为蓝色。假设AB，AC，AD同为红色。如果在BC ，BD，CD之
间也连线，要连几条线？（3条）相当于3个物体，把这3个物体 几个抽屉？（2个， 因为2种颜色）至
少几条线同色？（2条）3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形A BC即一个红色三角形，
A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD3条连线全为蓝 色，那么三角形BCD即一个蓝色三
角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生 ，都符合问题的结论。






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课后反思：
鸽巢问题指的是在某些数学问题中，有一类与“存在性”有关的问 题，如任意367名学生中，一定存
在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个 物体（或某个人）的存在就可以了，
并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式 把这个存在的物体（或人）找出来。
这类问题依据的理论，我们称之为“鸽巢问题”也叫“抽屉原理”。 本节课把4个苹果放进3个盘子中的
操作情境，介绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把m个物体任意分 放进n个空抽屉里（m>n，n是非0自
然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。关于这类 问题的 “证明”主要涉及的方法是 “枚
举法”、“反证法”、“假设法”等方法，使学生逐步学会运 用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽
象思维能力。
教材不仅是涉及到最简单的“抽屉原理”：把 m个物体任意分放进n 个空抽屉里（m＞ n， n是非0自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。还涉及了了“抽屉原理”更为一般的形式：教材的例2涉及的就是，把多于 kn个物体任意分放进 n个空抽屉里（k是正整数），那么一定有一个抽屉中 放
进了至少（k+1）个物体。如果问题所讨论的对象有无限多个，“抽屉原理”还有另一种表述：把无 限多个
物体任意分放进 n个空抽屉，那么一定有一个抽屉中放进了无限多个物体。抽屉原理是很难的， 其中原理
也是难理解，本节课所要解决的问题是：
1． 使学生初步了解抽屉原理
2． 通过动手操作、画图、推理等活动初步让学生经历“数学证明”的过程。
3． 在学习中能发现一定的规律，培养学生的“模型”思想。
先让学生猜测再进行验证、观察分析 等一系列的数学活动，让学生化难为易再由易到难，从具体到抽
象的探究过程中已建立了数学模型从而不 难发现规律，发现规律后及时让学生进行练习找准谁是物体、谁
是抽屉。大部分学生已真正理解并掌握了 这节所学的内容。
教学时应有意识地让学生理解“抽屉问题”的“一般化模型”。教学时，在学生 自主探索的基础
上，可以引导他们对教材上提供的两种方法进行比较，思考一下枚举的方法有什么优越性 和局限性，假设
的方法有什么优点，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。不过在教学的整 个过程中，也难
免会出现一些不当的小细节，如学生作业时发现少部分学生没有很好理解“至少有几个会 放进同一个盒子
里”的意思。没能正在理解“抽屉原理”。只能进行简单的求值计算，不能解释生活中的 实际问题。由于
此内容属于奥数内容，理解起来较难，在今后的教学中要想法将这一难点突破，既让学生 感受到数学的奥
妙，又让学生感受到学习数学的乐趣。

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