乔迁之喜祝福语四个字-吉林建筑大学城建学院

专门安排“数学广角”这一单元,向学生渗透一些 重要的数学思想方法。和以往的旧
教材相比,这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子, 借助实际操作,向学
生介绍“鸽巢问题”,使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简 单的实
际问题加以“模型化”,会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中,有一类与“存在性”
有关的问题。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指
出是哪个 物体(或人)。这类问题依据的理论,我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先
是由19世界的德国 数学家狄利克雷运用于解决数学问题的,所以又称“狄利克雷原理”,
也称为“鸽巢问题”。“鸽巢问题 ”的理论本身并不复杂,甚至可以说是显而易见的。但“鸽
巢问题”的应用却是千变万化的,用它可以解 决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人
惊异的结论。因此,“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论 中都得到了广泛的应用。

“抽屉原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常 遇到此类问题。教学
时,要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理”可以解决的范畴。能不能将这 个问
题同“抽屉原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中,应有意识地让
学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验
已达到能够掌握 本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体
实际与数学原理结合起来,有 助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

1.引导学生通过观察、猜测、 实验、推理等活动,经历探究“抽屉原理”的过程,初步

了解“抽屉原理”,会用“抽屉 原理”解决简单的实际问题。
2.提高学生解决简单的实际问题的能力。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用,感受数学的魅力。

1.让学生初步经历“数学 证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作
或画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的 方式理解“抽屉原理”的过程是一种数学
证明的雏形。通过这样的方式,有助于提高学生的逻辑思维能力 ,为以后学习较严密的数学
证明做准备。
2.有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面 对一个具体问题时,能否将这个具体
问题和“抽屉问题”联系起来,能否找到该问题中的具体情境与“抽 屉问题”的“一般化
模型”之间的内在关系,找出该问题中什么是“待分的东西”,什么是“抽屉”,是 解决该
问题的关键。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于用“抽屉原理”可以解决的范
畴;再思考如何寻找隐藏在其背后的“抽屉问题”的一般模型。这个过程是学生经历将具
体问题“数学化 ”的过程,从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型,是学生数学思
维和能力的重要体现。 < br>3.要适当把握教学要求。“抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变。
因此, 用“抽屉原理”解决实际问题时,经常会遇到一些困难。例如,有时要找到实际问题
与“抽屉原理”之间 的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用
几个“抽屉”。因此,教学时,不 必过于要求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题,
把大致意思说出来就可以了,鼓励学生借助实 物操作等直观方式进行猜测、验证。

1 鸽巢问题 1课时
1课时 2 “鸽巢问题”的具体应用

鸽巢问题
教材第68、第69页。

1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。
2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学
的魅力。

重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

铅笔、笔筒、书等。



师:同学们,老师给大家表演一个“魔术”。一副牌,取出大小王,还 剩52张牌,请5个同
学上来,每人随意抽一张,我知道至少有2人抽到的是同花色的,相信吗?试一试 。
师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。
师:想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现象了。下面我们就来研

究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。
【设计意图:紧紧扣 住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始,激活认知
热情。使学生积极投入到对问题的研究 中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】

1. 讲授例1。
(1)认识“抽屉原理”。(课件出示例题)
把4支铅笔放进3个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进2支铅笔。
学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。
教师指出:上面这个 问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给
出证明。
(2)学生分小组活动进行证明。
活动要求:
①学生先独立思考。
②把自己的想法和小组内的同学交流。
③如果需要动手操作,要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁
记录等)
④在全班交流汇报。
(3)汇报。
师:哪个小组愿意说说你们是怎样证明的?
①列举法证明。
学生证明后,教师提问:把4支铅笔放进3个笔筒里,共有几种不同的放法?
(共有4种不同的放法。在这里只考虑存在性问题,即把4支铅笔不管放进哪个笔筒,
都视为同 一种情况)
根据以上4种不同的放法,你能得出什么结论?(总有一个至少放进2支铅笔)

②数的分解法证明。
可以把4分解成三个数,共有四种情况:(4,0,0) ,(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一种结果的三个
数中,至少有一个数是不小于 2的。
③反证法(或假设法)证明。
让学生试着说一说,教师适时指点:
假设先 在每个笔筒里放1支铅笔。那么,3个笔筒里就放了3支铅笔。还剩下1支铅
笔,放进任意一个笔筒里, 那么这个笔筒里就有2支铅笔。
(4)揭示规律。
请同学们继续思考:
①把5支铅笔放进4个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么?
②如果把6 支铅笔放进5个笔筒中,结果是否一样呢?把7支铅笔放进6个笔筒中呢?
把10支铅笔放进9个笔筒中 呢?把100支铅笔放进99个笔筒中呢?
学生回答的同时教师板书:
数量(支) 笔筒数(个) 结果
5 总有一个笔筒里
提问:观察板书,你有什么发现?
③小组讨论,引导学生得出一般性结论。
(只要放的铅笔数比笔筒的数量多1,总有一个笔筒里至少放进2支铅笔)
追问:如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2,多3,多4呢?
学生根据具体情况思考并解决此类问题。
④教师小结。
上面我们所证明的数学原理 就是最简单的“抽屉原理”,可以概括为:把m个物体任
意放到m-1个抽屉里,那么总有一个抽屉中至 少放进了2个物体。

2.教学例2。
师:把7本书放进3个抽屉,不管怎么 放,总有一个抽屉里至少放进3本书。为什么?自
己想一想,再跟小组的同学交流。
学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况。
组织全班交流,学生可能会说:
•我们可以动手操作,选用列举的方法:
第一个抽屉
第二个抽屉
第三个抽屉
7 6 5 4 3 3
0 1 1 1 1 2
0 0 1 2 3 2
通过操作,我们把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书。
• 我们可以用数的分解法:把7分解成三个数,有
(7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),( 4,1,2),(3,1,3),(3,2,2)这样六种情况。在任何一种情况中,总有一个数不
小于 3。
师:同学们,通过上面两种方法,我们知道了把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有1
个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本书增多,数据变大,如果有8本书会怎样呢?10本
呢?甚至 更多呢?用列举法、数的分解法会怎样?(繁琐)我们能不能找到一种适用各种数据
的一般方法呢?请同 学们自己想一想。
学生进行独立思考。
师:假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉,看每个 抽屉能分到多少本书,你们能用什
么算式表示这一平均分的过程呢?
生:7÷3=2……1
师:有余数的除法算式说明了什么问题?
生:把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉放2本书 ,还剩1本;把剩下的1本不管放到
哪个抽屉,总有一个抽屉至少放3本书。

师:如果有8本书会怎样呢?
生:8÷3=2……2,可以知道把8本书平均 放进3个抽屉,每个抽屉放2本书,还剩2本;
把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉 至少放3本书。
师:10本书呢?
生:10÷3=3……1,可知把10本书平均放进3个 抽屉,每个抽屉放3本书,还剩1本;把剩
下的1本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放4本书。
师:你发现了什么?
师生共同小结:要把a个物体放进n个抽屉,如果a÷n=b……c(c ≠0),那么一定有一个抽
屉至少放(b+1)个物体。
【设计意图:在渗透研究问题、探索 规律时,先从简单的情况开始研究。证明过程中,
展示了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相 学习、触类旁通,又建立“建模”思
想,突出了学习方法】

师:通过今天的学习,你有什么收获?
生:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多1的物体个数。
师:你能在生活中找出这样的例子吗?
学生举例说明。
师:之所以把这个规律称之 为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原
理解决的问题,研究出这个规律是非常有价值 的。同学们继续努力吧!
【设计意图:研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后, 请学生总
结这节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】

鸽巢问题


1.学生对“至少”理解不够,给“建模”带来了一定的难度。
2.培养学生的问题意识,借 助直观操作和假设法,将问题转化成“有余数的除法”形式,
可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般 思路。
3.经历将具体问题“数学化”的过程,有利于提高学生的数学思维能力,让学生在运用
新学知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中,进一步体验数学的价值,感受数学的魅力,培
养学习数学 的兴趣

A类
1.1001只鸽子飞进50个鸽舍,无论怎么飞,我们一定能找到 一个鸽子最多的鸽舍,它里
面至少有( )只鸽子。
2.从8个抽屉中拿出17个苹果,无 论怎么拿,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽
屉,从它里面至少拿出了( )个苹果。
3.从( )(填最大数)个抽屉中拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当
中至少拿了7个苹果。
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决简单的具体问题)
B类
你能证明在任意的37人中,至少有4人的属相相同吗?说明理由。
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决生活中的实际问题)

课堂作业新设计

A类:
1. 21 2. 3 3. 4
B类:
把12个属相看作12个抽屉。
37÷12=3……1 3+1=4 即在任意的37人中,至少有4人属相相同。
教材习题
第68页“做一做”
1. 我们可以假设3只鸽子分别飞进了三个鸽笼,那么剩余的2只鸽子无论飞进哪个鸽
笼,都会出现“总有一 个鸽笼至少飞进了2只鸽子”这个结果。
2. 因为5人抽4种花色的扑克牌,假设其中的4人每人分 别抽到其中一种花色,那么
剩下的1个人无论抽到什么花色,就出现“至少有2张牌是同花色”这个结果 。
第69页“做一做”
1. 11÷4=2(只)……3(只),可知如果每个鸽笼飞进2 只鸽子,剩下的3只鸽子飞进其中任
意3个鸽笼,那么至少有3只鸽子飞进了一个鸽笼。
2. 5÷4=1(人)……1(人),可知如果每把椅子上坐1人,剩下的1人再生其中任意的1把
椅子上, 那么至少有1把椅子上坐了2人。




“鸽巢问题”的具体应用
教材第70、第71页。

1.在了解简单的“抽屉原理”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。

2.提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3.通过用“抽屉原理”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的
魅力。

引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”,找出这里的“抽屉”是什么,“抽屉”有几
个,再利用“抽屉原理”进行反向推理。

课件、纸盒1个,红球、蓝球各4个。



1.讲《月黑风高穿袜子》的故事。

一天晚上, 毛毛房间的电灯忽然坏了,伸手不见五指。这时他又要出去,于是他就摸床
底下的袜子。他有蓝、白、灰 色的袜子各一双,由于他平时做事随便,袜子乱丢,在黑暗中,
无法知道哪两只是颜色相同的。毛毛想拿 最少数目的袜子出去,在外面借街灯配成相同颜
色的一双。你们知道最少应该拿几只袜子出去吗?
2.在学生猜测的基础上揭示课题。
教师:这节课我们利用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。
(板书:“抽屉原理”的具体应用)

1.课件出示例3。
盒子里有同样 大小的红球和蓝球各4个,要想摸出的球一定有2个同色的,至少要摸出

几个球?
2.学生自由猜测。
可能出现:摸2个、3个、4个、5个等。说说你的理由。
3.学生摸球验证。
按猜测的不同情况逐一验证,说明理由。
摸2个球可能出现的情况:1红1蓝;2个红球;2个蓝球。
摸3个球可能出现的情况:2红1蓝;2蓝1红;3红;3蓝。
摸4个球可能出现的情况:2红2蓝;3蓝1红;3红1蓝;4红;4蓝。
摸5个球可能出现的情况:4红1蓝;3蓝2红;3红2蓝;4蓝1红。
教师:通过验证,说说你们得出了什么结论。
小结:盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。 要想摸出的球一定有2个同色的,至少
要摸3个球。
4.引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。
教师:生活中像这样的例子很多,我们不能 总是猜测或动手试验吧,能不能把这道题
与前面所讲的“抽屉原理”联系起来进行思考呢?
(1)思考。
①“摸球问题”与“抽屉原理”有怎样的联系?
②应该把什么看成“抽屉”?有几个“抽屉”?要分放的东西是什么?
③得出什么结论?
(2)小组讨论。
(3)学生汇报,引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”。
教 师讲解:因为一共有红、蓝两种颜色的球,可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”,
“同色”就意味着“ 同一抽屉”。这样,把“摸球问题”转化成“抽屉问题”,即“只要分

的物体个数比抽屉 个数多,就能保证有一个抽屉至少有2个球”。
从最特殊的情况想起,假设两种颜色的球各拿了1个, 也就是在两个“抽屉”里各拿了
1个球,不管从哪个“抽屉”里再拿1个球,都有2个球是同色的,假设 最少要摸a个球,即
(a)÷2=1……(b),当b=1时,a就最小。所以一次至少应拿出1×2+ 1=3(个)球,就能保证有2个
球同色。
结论:要保证摸出2个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
【设计意图:在实 际问题和“鸽巢问题”之间架起一座桥梁并不是一件容易的事。因
此,教师应有意识地引导学生朝这个方 向思考,慢慢去感悟。逐步引导学生把具体问题转化
为“鸽巢问题”,并找出这里的“鸽巢”是什么,“ 鸽巢”有几个】

师:在本节课的学习中,你有哪些收获?
学生自由交流各自的收获、体会。

“抽屉原理”的具体应用


1.在思考应该把什么看成抽屉,要分放的东西是什么时,学生一开始可能会缺乏思考
的方向, 很难找到切入点。
2.不同颜色的球的个数,很容易给学生造成干扰。因此教学时,教师要允许学生借 助实
物操作等直观方式进行猜测、验证。

A类
1.某班有个小书架,4 0个同学可以任意借阅,小书架上至少要有多少本书,才能保证至
少有一个同学能借到两本或两本以上的 书?

2.有4双不同颜色的手套,至少拿几只手套才能保证有两只手套是成对的?
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:运用“鸽巢问题”的原理解决实际问题)
B类
有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起,如果让你闭上眼睛去摸,你至少要摸
出几根才能保证 有2根筷子是同色的?为什么?至少摸出几根,才能保证有4根同色的筷子?
为什么?
(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:运用“鸽巢问题”的原理解决问题)

课堂作业新设计
A类:
1.将40个同学看作40个“抽屉”,书看作被分的物体 ,由“抽屉原理”知:要保证有一
个抽屉中至少有两个物体,物体数至少为40+1=41(个)。即小 书架上至少要有41本书。
2. 5只
B类:
把三种颜色的筷子当作三个“抽屉”, 根据“抽屉原理”可知:
至少拿4根筷子,才能保证有2根同色筷子。
从最特殊的情况想起,假设三种颜色的筷子各拿 了3根,也就是在三个“抽屉”里各拿
了3根筷子,不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子,就有4根筷子 是同色的,所以一次至少
应拿出3×3+1=10(根)筷子,才能保证有4根筷子同色。
教材习题
第70页“做一做”
1. “六年级里至少有两人的生日是同一天”,这 种说法是正确的。因为如果一年当中
每天都有一名学生过生日(闰年366天),则最多有366名学生 的生日都不是在同一天,还剩

下1名学生;剩下的这一名学生生日无论在哪一天,都一定 会有两人的生日是相同的,即他
们的生日在同一天。
“六(2)班中至少有5人在同一个月出 生的”这种说法是正确的。因为
49÷12=4(人)……1(人),可知如果每4人是同一个月出生的 ,还剩下1人。把剩下的1人再
定为其中任意一个月出生的,则六(2)班中至少有5人是同一个月出生 的。
2. 至少取5个球,可以保证取到两个颜色相同的球。
第71页“练习十三”
1. 若每个属相都有一位老师,这样只有12位老师,所以第13位老师的属相无论是什
么, 他们中至少有2个人的属相是相同的。
2. 若每一镖都低于9环,5镖的成绩最高是40环,因此至少有一镖不低于9环。
3. 若每一种颜色涂 得都少于3个面,两种颜色涂得面的总数就少于6个面,因此至少
有3个面涂着的颜色相同。
4. 每次至少拿出4根才能保证一定有2根同色的筷子;如果要保证有2双筷子至少要
拿出6根。
5. 任意给出的3个不同的自然数,有4种可能:奇数、奇数和偶数;奇数、偶数和偶数;
奇 数、奇数和奇数;偶数、偶数和偶数。而“奇数+奇数=偶数”,“偶数+偶数=偶数”,所
以无论是哪 种可能的情况下,都会出现这两种结果当中的一种,即任意给出3个不同的自
然数,其中一定有2个数的 和是偶数。
6. 如果只涂两行的话,至少有三列的涂法是相同的。