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放苹果
万航渡路小学 钱文斌
【教学目标】
1、经历“抽屉原 理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”（鸽巢原
理）的基本形式，并能运用“抽屉原理”解决相关实际 问题或解释相
关现象。
2、通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经历抽屉原理< br>的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，提高学习数学的
兴趣。
3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重点】
1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
2、“至少”的具体含义，以及为什么商+1而不是加余数。
【教学难点】
1、理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
2、判断谁是物体，谁是抽屉。
【突破方法】
在建立“抽屉原理”模型的过程中， 对模型中的各个要素进行深入分

析，从而学会将生活中的简单问题和“抽屉原理”的各个 要素进行一
一对应。



教学过程：
一、数学家介绍引入。
钱老师学了个新本领，展示一下哦。请一些同学配合起立。在你们中< br>至少有2人或2人以上肯定是同一个月出生的。（验证：1月举手，
2月举手......）厉害 吧？告诉你们我从哪里学到的。
从一位德国数学家（PPT）——狄利克雷的书中学到的。狄利克雷从
一些寻常的生活现象（鸽笼，苹果）中发现了数学原理，从而解决了
很多数学问题。今天我们就 跟着数学家经历一次发现数学原理的过
程。
二、自主操作，探究新知。PPT放数学家头像
（一）实物操作，初步感知。听数学家说什么？
数学家声音：先来研究放苹果（出课题）怎么 放？——把3只苹果放
入2个抽屉有哪些情况？（板书3只苹果放入2个抽屉）
1. 数学家 提的要求是？用桌上的学具来一一摆出所有情况。用数板来

代替苹果，用白板代替2个抽 屉。怎么摆能让别人看清是两个抽屉的
所有？组内商量一下，商量好开始动手。
（巡视）板书，摆学具
2.（汇报，展示）（指导摆法）摆的时候你们用到什
么知识 ？（3的分与合）分别是？（板书3，0和1,2）
3
然后每组2个数交换位置就是3个苹果 放2个抽屉的
所有情况。这就是有序。（随着汇报板书表格）
2. 观察结果，你能用一句话 来归纳所有情况吗？想好
放在心里。这里有一些同学归纳的话，判断一下对吗？
判断最后一句齐 读，出示板书：至少有一个抽屉不止
1只苹果。
原来3只苹果放入2个抽屉可以这样归纳，听数学家对我们说：
（二）操作摆放2录音： < br>1.任务发生什么变化？考虑几的组成？有几大类？有序的说出（板书
4种）而每组还有具体变化 。每组选一类摆出所有情况并且记录在表
格里。完成后举手示意，没有问题了可以挑选其它情况继续摆。 （板
书4放3）
2.学生摆学具，巡视，收集摆法，换白板。
3.（展示白板）第一组1,1,2 有吗？几种情况？（PPT表格出现）
0
1
2
3
2
1
0
A B

第二组022有吗？几种情况？（PPT表格出现）
第三组004
第四组013，这组有几种情况？怎么做到不遗漏不重复？（可以确定
第一个数）
试 结论：观察结果，能说至少有一个抽屉里苹果数量比其它的多吗？
分别有...2只，3只或4只苹果。 （指板书）
简洁的表达可以说：至少有一个抽屉里有2只或2只以上苹果。
再简洁一些可以说：至少有一个抽屉里不止1只苹果。
（2）齐读：4只苹果放入3个抽屉，至少有1个抽屉里不止1只苹
果。（下移）
（三）观察表格第一类。
现在请仔细观察，这组的摆法和其它情况都不同？你发现吗？每个抽
屉都有苹果。这里有4个苹果，谁来摆第一个情况1 1 2？
观察摆的过程：
A：每个抽屉摆一个，最后这个多出来的就是什么
数？（余数）
1
1
2
2
1
1
1
2
1
这种每个抽屉摆一个的分法就是“平均分”。
B：所以算式：4 ÷ 3 =1个……1个 各个数表示？商表示？

余数表示？
平均分使 每个抽屉里都有一个苹果，多余的一个不管放哪个抽屉都是
至少一个抽屉不止1只苹果。（指板书读）
那么3只苹果放2个抽屉就能列什么算式来解释？
真厉害，能够列算式解释了。数学家又对我们提出新要求了。
三、抽象概括，小结现象。 < br>录音：通过观察操作，得到结论并且用除法算式验证了。那么5只苹
果放入4个抽屉会是什么结论 ？用算式来验证。
5÷4=1只.......1只（说各个数表示什么？）
用摆学具解释5÷4先拿什么？然后......
齐读：5只苹果放入4个抽屉里，至少有一个抽屉不止1只苹果。（板
书下移）
四、回归生活，灵活应用。
这些就是我学到的新本领，也就是狄利克雷发现的抽屉原理。（看
PPT）
现在用新本领来解决生活中这些问题：
1.6只鸽子飞到5个笼子，至少有（举手势）只鸽子 会进同一个笼子？
（鸽子数就是？笼子数就是？）

2.一周六节语文课，至少有（ ）节会在同一天？（语文课数量是？
抽屉数是什么？）
3.除大小怪以外，至少抽（ ）张牌，一定有2张牌的花色相同。
4.最开始我猜出生月份时，至少要请几位同学？为什么？
刚刚研究解决的所有情况中，两个数量都有同一个特征——要分的数
量比份数多1.
五、再思考
跟着数学家的脚步，我们一起发现了放苹果就是抽屉原理，但是只研
究了 苹果数比抽屉数多1，如果你是数学家，你会继续想到什么？大
胆假设一下。“如果苹果数比抽屉数多2 呢？”5只苹果放入3个抽
屉里，结论会是什么？我们下节课继续用摆学具填表格列算式的方法
验证。
六、归纳小结，形成规律。
今天钱老师把我学到的数学知识和大家分享，希望同学们 也能多看这
类书，今后把学到的数学知识和大家分享。
板书：
放苹果 抽屉原理
3只苹果放入2个抽屉里 算式
4只苹果放入3个抽屉里 至少有1个抽屉里不止1只苹果。

5只苹果放入4个抽屉里
4 ÷ 3 =1只……1只


摆学具 填表格
有序思考



















简洁归纳

课后反思
《放苹果》是三年级下数学 广场中的一个内容。教材专门安排
数学广场这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。在这节课< br>中，我希望让孩子们经历一次发现数学原理的过程，经历一次“动手，
观察，归纳，运用”的研究 过程，经历一个抽象、推理和建模的过程。
体会有序思考，简洁归纳的学习方法。参考了其它版本教学， 人教版
上是“鸽巢问题”就是我们的放苹果”。原来觉得借助“鸽巢问题”
的情景更合理，但是 后来觉得沪教版的设置可能是因为放苹果这个例
子更直观，更容易实际操作，从而向学生介绍“抽屉原理 ”，所以还
是基于沪教版的题材来教学。
这节课的重点和难点就是让学生体会“至少有一个抽 屉里的苹果
不止一只”，整节课以学生摆学具为主，在情境中跟着数学家提出的

问题，动手操作、合作交流。因为这个内容对于三年级的孩子来说归
纳总结有些难，“至少有一个抽屉里 的苹果不止一只”比较拗口。所
以通过一个一个环节的操作，从猜月份开始铺垫，然后3只苹果放入2个抽屉，4只苹果放入3个抽屉到5只苹果放入4个抽屉，层层递
进。学生摆学具随意摆，有序摆 ，思考后摆，一次一次感受“至少有
一个抽屉里的苹果不止一只。”
这节课的内容对于班级中 等以及中等偏下的学生其实难度不小，
让学生用学具摆首先就激发了几乎所有学生的参与积极性，这个比 以
往画图，看PPT演示等更吸引学生，小组中每个人都想动手摆，其它
班级试教在商量谁把数 据记录下来时有的组还争起来。其次在反馈摆
法结果时更清晰，数板的形状，颜色都能帮助学生，更体现 学生的主
体作用。最后对于比较难的，引出平均分的方法直接考虑“至少”的
情况时，学具的作 用就更加明显。学生观察摆学具的过程就能有更直
观的认识和感受，也能真正把生活场景“数学化”。
在经过几次摆学具得出结论证明结论后，学生其实已经在脑中留
下了操作研究的过程，初步建模 。随着从特殊到一般的归纳，“至少
有一个抽屉里不止一只苹果”也在随后的解决生活中的场景中被运用
起来，学生也能对应找到哪些是“苹果数”哪些是“抽屉数”从而运
用掌握的结论得出答案。
今天这节课抛砖引玉，对这套学具的运用还在刚刚起步，慢慢摸
索中，期待大家给予更好的意见 以便改进。谢谢。

【学情分析】
“放苹果”就是老教材 的“抽屉原理”。“抽屉原理”本身或许

并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变，因此， 用“抽屉原理”来解
决问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与“抽
屉问题 ”之间联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽
屉”，要用几个“抽屉”，要用几个抽屉 。因此，教学时，不必过于
追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来
就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
三年级学生的年龄特点是既好动又 内敛，要适当引导，创造条件和机
会，引发学生的学习兴趣与学习主体性，让学生发表见解，使他们的< br>注意力始终集中在课堂上；知识掌握上，三年级的学生对于总结规律
的方法接触比较少，尤其对于 “数学证明”。
【教材分析】
“数学广场”——《放苹果》是沪教三年级下册第七单元的内 容。
教材中的教学内容非常简单，只有一幅图。介绍了较简单的“抽屉问
题”：只要物体数比抽 屉数多，总有一个抽屉里至少放进2个物体。
它意图让学生发现这样的一种存在现象：不管怎样放，总有 一个抽屉
里至少放进2只苹果。例1呈现的是1种思维方法：枚举法，罗列了
摆放的所有情况。
抽屉原理是组合数学的重要原理。主要研究离散对象的存在、计
数以及构造等方面的问题。随着 计算机科学的飞速发展，组合数学的
重要性也日益凸显，因为计算机只能处理离散的或者离散化的数量关
系组合数学在社会、经济的总舵领域有重要应用。而本节课内容就是

变“通俗” 为“抽象”，所谓的“抽屉”就是“集合”，“苹果”就
是放入集合的“元素”。
教学时除了 教师揭示这类现象中的“总有”和“至少”这样的结
论外，也增加了一种方法：假设法，用平均分的方法 直接考虑“至少”
的情况，也就是最不利情况。操作和研究特例，让学生理解“平均分”
的方法 能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解
释证明。
在数学问题中，有一类 与“存在性”有关的问题，本节课教材借
助把4只苹果放进3个抽屉里的操作情境，介绍了一类较简单的 “抽
屉原理”，即把m个物体任意分放进n个空抽屉里（m>n，n是非0
自然数），那么一定 有一个抽屉中放进了至少2个物体。让学生通过
本内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“抽屉问题 ”解决简单
的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。

录音1：先研究放苹果（轻松口吻）
录音2：把3只苹果放入2个抽屉里有哪些情况？
录音3：孩子们，摆学具能帮助你们有序思 考，填表格能帮助你们简练得归纳总
结。这些都是研究数学的好方法。现在用这些方法试试把4只苹果放 入3个抽屉
里，并且归纳出结论。
录音4：你们已经通过观察有序摆放得出结论列出算式了。 现在能不能用算式来
说明5只苹果放入4个抽屉里的情况呢？

教法：采用“枚举法”、“类推法”、“假设法”等方法 。注重为学生提供自主探索的空
间， 引导学生在观察、猜测、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“抽屉原理”，学会
用“抽屉原理”解 决简单的实际问题，经历“数学化”的过程。
学法：采用“讨论法” “观察法” “操作法”等方法 ，发挥学生的主体作用，采用从简单
情况入手，即从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有 利于调动所有的学生积
极参与进来。再引导学生用平均分的方法解决问题。发展了学生的类推能力，形成 比较抽象
的数学思维。









放苹果



一、教学指导思想与理论依据：
数学课程标准指出，数学课堂教学是师生互动与发展的过程， 学生是数学学习的主人，教师
是课堂的组织者，引导者和合作者。因此对于抽象的抽屉原理借助于游戏教 学可以寓教于学，
使学生在轻松的游戏活动中完成学习任务。
抽屉原理这节课不同于六年级其 他课型，与前后知识点没有联系，比较孤立。其实，“抽屉
原理”在生活中的应用很广泛且灵活多变，可 以解决一些看上去很复杂、觉得无从下手，却

又是相当有趣的数学问题。所以首先要激发 学生的学习兴趣，引发学生的求知欲。这样从教
师站在教室不同的位置，引出“存在”这种现象，然后从 学生熟悉的“抢椅子”游戏开始，
让学生初步体验不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学，这里蕴 含着一个有趣的数学
原理，使学生明确这是现实生活中存在着的一种现象。课将要终结时，再次与学生一 起玩扑
克牌游戏，进一步体会抽屉原理，从而让学生体会抽屉的形式是多种多样的。
教材专门 安排数学广场这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。本单元教材通过放
苹果这个直观例子，借 助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”，参考了其它版本教学，人教
版上是“鸽巢问题”就是我们的放苹 果”。但是思考之后觉得借助“鸽巢问题”的情景更合
理学生更容易理解，在理解“鸽巢问题”这一数学 方法的基础上，对一些简单的实际问题加
以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。这节课安排了两个 例题。例1教材借助把4
枝铅笔放进3个笔筒中的操作情景，介绍了一类简单的“鸽巢问题”，即把m个 物体放进
n(m＞n，n是非0自然数)个空抽屉里，那么一定有一个抽屉里至少2个物体。数据较小，
为学生自主探索提供了很大的空间，教学时，可以放手让学生自主思考，先采用不同的方法
进行 “证明”，然后再进行交流。例2介绍的是把a（a＞n）个物体放进n(非0的自然数)
个空抽屉里， 那么一定有一个抽屉中至少放进（商+1）个物体。
【学情分析】
“鸽巢问题”就是老教材 的“抽屉原理”。“抽屉原理”本身或许并不复杂，但它的应用广
泛且灵活多变，因此，用“抽屉原理” 来解决问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要
找到实际问题与“抽屉问题”之间联系并不容易，即 使找到了，也很难确定用什么作为“抽
屉”，要用几个“抽屉”，要用几个抽屉。因此，教学时，不必过 于追求学生“说理”的严
密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物 操作等直观
方式进行猜测、验证。
（一）学习内容分析：
“数学广角”是人教版六 年级下册第五单元的内容。本课时的教学内容为例1和例2。例1
介绍了较简单的“抽屉问题”：只要物 体数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进2个物体。
它意图让学生发现这样的一种存在现象：不管怎样 放，总有一个文具盒里至少放进2支铅笔。
例1呈现的是2种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有 情况。二是假设法，用平均分
的方法直接考虑“至少”的情况。通过例1两个层次的探究，让学生理解“ 平均分”的方法
能保证“至少”的情况，能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。
在数学 问题中，有一类与“存在性”有关的问题，本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具
盒中的操作情境，介 绍了一类较简单的“抽屉原理”，即把m个物体任意分放进n个空抽屉
里（m>n，n是非0自然数）， 那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。让学生通过本
内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“ 抽屉问题”解决简单的实际问题。在此过程中，
让学生初步经历“数学证明”的过程。
（二）学生情况分析：
六年级学生的年龄特点是既好动又内敛，要适当引导，创造条件和机会 ，引发学生的学习兴
趣与学习主体性，让学生发表见解，使他们的注意力始终集中在课堂上；知识掌握上 ，六年
级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。

抽 屉原理在生活中运用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但并不能有意识地从数学的角
度来理解和运用 “抽屉原理”。有时要找到实际问题与“抽屉原理”之间的联系并不容易，
即使找到了，也很难确定用什 么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”。教学中应有意识地让学
生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六 年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手
操作能力都有了较大的提高，加上已有的生活经验，很容 易感受到用“抽屉原理”解决问题
带来的乐趣。
（三）教学方式与教学手段说明：
以学生为课堂的主体，采用创设情境，提出问题，让学生大胆猜测、动手操作、自主探究、
合作交流。
教法：采用“枚举法”、“类推法”、“假设法”等方法 。注重为学生提供自主探索的空
间， 引导学生在观察、猜测、操作、推理和交流等数学活动中初步了解“抽屉原理”，学会
用“抽屉原理”解 决简单的实际问题，经历“数学化”的过程。
学法：采用“讨论法” “观察法” “操作法”等方法 ，发挥学生的主体作用，采用从简单
情况入手，即从最简单的数据开始摆放，有利于学生观察、理解，有 利于调动所有的学生积
极参与进来。再引导学生用平均分的方法解决问题。发展了学生的类推能力，形成 比较抽象
的数学思维。
教学手段：应用课件，将抽象、生涩、陌生的抽屉原理直观化、形象化 ，活跃课堂气氛，加
深巩固教学内容，使学生感受到学习的喜悦，寓学于乐。激发学生学习兴趣，调动其 主动学
习的积极性。

4只苹果放入3个抽屉，表格整理数据： 4只苹果放入3个抽屉，表格整理数据：
A











B











C

A B C

评价：摆放有序☆☆☆

归纳简洁☆☆☆ 评价：摆放有序☆☆☆ 归纳简洁☆☆☆

放苹果

抽屉原理

摆学具
填表格

有序摆放

简洁归纳

个苹果放

入 个抽屉

至少有一个抽屉

里不止1只苹

果。