个性文章-小幸运歌词

第一讲 植树问题
（2课时）
【学习导航】

在实际植树中，我们研究总距离、间隔距离和棵数之间的数量关系，称为植树问题。植
树问题我们一般 分为不封闭路线植树和封闭路线植树。
1．不封闭路线的植树问题又可以分为以下三种情况：
（1）如果在植树的线路两端都要植树：
棵数=段数＋1
（2）如果植树线路的一端植树，另一端不植树；
棵数=段数
（3）如果植树线路两端都不植树：
棵数=段数-1
2．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：
棵数=段数
注意：这类问题，题中会明确告诉我们每段间隔长是相等的。
段数=总距离÷间隔长
总距离=间隔长×段数
间隔长=总距离÷段数

例1
城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？
【思路导航 】题中已知栽树28棵，且线路两端都栽了树，故28棵树之间有28－1=27段，
每隔6米为一段， 所以这条大路长6×27=162米。

试一试
在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这长马路有多长？







例2
在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。240÷5=48（棵）

1

试一试
一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种多少棵杨树？




例3
在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂 ，一共挂了202盏，相邻两盏之间
的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
【思路导航 】大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800
米长的大桥 分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。

试一试
在一条长100米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽52棵，相邻的两 棵树
之间的距离相等。求相邻两棵树之间的距离。





例4
一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5 次，锯成同
样长的短木条。每根短木条长多少米？
【思路导航】根据题意，把长19－1=1 8米的木条锯了5次，可以锯成5＋1=6段，所以
每根短木条长18÷6=3米。

试一试
一个木工锯一根长17米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次， 锯
成同样长的短木条，每根短木条长几米？





例5
有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算 ，
他从3层走到10需要多少秒？
【思路导航】把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层 至3层有两个时间间隔，所
以每个间隔用去的时间是30÷（3－1）=15秒，3层到10层经过了1 0－3=7个时间间隔，所
以，他从3层到10层需要15×7=105秒。
2

试一试
把6米长的木料平均锯成3段要6分钟，照这样计算，如果锯成6段，需要多少分钟？






例6
有一个池塘，它的周长是450 米，在池塘四周每隔15米种一棵柳树，再在两棵柳树之间，
间隔相等距离种2棵桃树，求共种了几棵桃 树？相邻的两棵桃树相隔多少米？
【思路导航】池塘是封闭线路，所以柳树的棵树和段数相等，是45 0÷15=30（段），在
两棵柳树之间，间隔相等距离的种2棵桃树，那么桃树一共种了2×30=6 0（棵）。在两棵柳
树之间种了2棵桃树，一共有4棵，4棵树之间有3个间隔，3个间隔是15米，那 么每个间
隔是15÷3=5米，也就是相邻的两棵桃树间的距离是5米。
2×（450÷15）=60（棵）
15÷（2+2-1）=5（米）
答：一共种了60棵桃树，相邻的两棵桃树相隔5米。

试一试
有一个圆 形草地，它的周长是480米，沿着它的四周，每隔6米种一棵树，再在两棵树
之间，间隔相等距离放5 盆茶花，求一共放了多少盆茶花？







练 习 题
1、同学们做早操，21个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一 个人到最后
一个人的距离是40米，相邻两个人隔多少米？





2、一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？




3

3、在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？





4、在一块长80米，宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种多少棵？





5、一座长400米的大桥两旁挂彩灯，每两个相隔4米，从桥头到桥尾一共装了多少盏灯？





6、六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长2 0米，相邻的前后两排距离均为1
米。六年级有学生多少人？






7、有一根圆钢长22米，先锯下2米，剩下的锯成每根都是4米的小段，又锯了几次？






8、有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多少分钟？




9、一游人以等速在一条小路上散步，路边相邻两棵树的距 离都相等，他从第一棵树走到第
10棵树用了11分钟，如果这个游人走22分钟，应走到第几棵树？






4

10、时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？




11、有一块三角形草地，三条边的长度分别为42米、54米、63米，现在在 每边上植树，棵
距是3米，三个角上都要植一棵，一共需要多少棵树？





12、某小学五、六年级有学生400人，进行队列训练。现在排成四路纵队，也 就是四个人一
排。已知相邻两排之间都相距1米，这支队伍长多少米？





13、木匠师傅锯一根长17米的木条，他先锯下一段坏的部分1米长，然后锯了 7次，锯成一
样长的木条。求每段木条长多少米？




14、两棵树相隔160米，在其间再等距离的栽上19棵树后，求第一棵与第十五棵相离是多少
米？




15、有一排电线杆共61根，每相邻的两根电线杆之间的 距离是20米，现在计划除两端2根
电线杆外，其余的全部拆除，重新在中间等距离的竖49根。求相邻 的两根电线杆之间的距离
是多少米？




16、一条 公路长2450米，中间有一条公路横穿，计划在这条公路的两旁各种一行树，棵距是
3米，两端都要植 1棵树，中间十字路口的两棵树相距50米，一共要植树多少棵？






5

第二讲 周期问题
（2课时）
【学习导航】

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断 重复出现，例如，人的生肖、每周的七
天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有
整数个周期，结果 为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第
n个；如果不是从第一个开始循 环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算。

例1
你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什
么。
（1）□△□△□△□△……
（2）□△△□△△□△△……
【思路导航】第（1 ）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2=10，即“□△”
重复出现10次，所以第20 个图形是△。第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出
现，20÷3=6…2，即“□△△” 重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图
形是△。


试一试
□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？



例2
有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4…排列。（1）第129个数 是多少？（2）这129
个数相加的和是多少？
【思路导航】（1）从排列可以看出，这组数 是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现
进行排列，那么一个循环就是4个数，则129÷4=3 2…1，可知有32个“5、6、4、2”还剩
一个。所以第129个数是5。（2）每组四个数之和是 5+6+4+2=17，所以，这129个数相加的
和是17×32＋5=549。

试一试
有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7…
（1）第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？

6

例3
假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母 下面？88应该排在哪个字
母下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9…
【思路导航】 从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们可
以根据这些数除以4所得的余数 来分析。
39÷4=9…3 88÷4=22
所以，39应排在第10个循环的第三 个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字
母D下面。

试一试
有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），22、59、
2001 各在哪一条线上？
a
7
4
1
9
6
3
2< br>5
8
b


c

例4
1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994
年 1月1日是星期几？
【思路导航】（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数 时，可
以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7=3，没有余数，该月22日仍是星期二；（2 8－1）
÷7=3…6，从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。
（2） 1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1日
共1 096天，1096÷7=156…4，从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。

试一试
1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？
7

例5
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、 猪12种动物按顺序轮流代
表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年…。如 果公元1年属
鸡年，那么公元2001年属什么年？
【思路导航】一共有12种动物，因此1 2为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、
鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个 循环，从公元2年到公元2001年共经
历了2000年（算头不算尾），2000÷12=166…8 ，从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇
年。

试一试
我国农历用 鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代
表年号。
1，如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？
2，如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
3，公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？








练 习 题
1、盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？





2、公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列 ，第63只灯泡是什么颜色？第112
只呢？



3、小青把积 存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。
（1）他排到第111 个是几分硬币？（2）这111个硬币加起来是多少元钱？






8

4、河岸上种了100棵桃树，第一棵是 蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下
去一直这样排列。问：第100棵是什么桃树？三 种树各有多少棵？



5、假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
8 7 6 5
9 10 11 12
…
6、2001个学生按下列方法编号排成五列：
一 二 三 四 五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
18 19 20 21
…
问：最后一个学生应该排在第几列？

7、1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？





8、1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？




9、某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到 星期五以及星期天每天都要播出1
集，星期六停播。问：最后一集在星期几播出？




10、某个月的星期二的天数比星期一的天数多，星期三的天数比星期四的天数多 ，那么这个
月的第一个星期天是几号？






9

第三讲 用假设法解题
（2课时）
【学习导航】
假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作 出某种
假设，然后按已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾作适当调整，从而找到正确答案。 运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要
求的两个未知 量相等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适
当的调整。

例1
今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多
少只？
【思路导航】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必
然与条件 矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。
假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2 ×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。
减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减 少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35
－12=23只。

试一试
鸡与兔共有30只，共有脚70只。鸡与兔各有多少只？






例2
面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？
【思路导航】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张
人民币是2×2 7=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的
人民币当作一张 面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15
张，面值2元的人 民币有27－15=12张。

试一试
孙佳有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？





10

例3
一批水泥， 用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4
吨，这批水泥有多少吨？
【思路导航】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×
36= 144吨，需45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所
以 ，这批水泥共有16×45=720吨。

试一试
一批货物用大卡车装要16辆， 如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装
4吨，问这批货物有多少吨？






例4
某玻璃杯厂要为商场运送100 0个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这
个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到 目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。
求打碎了几个玻璃杯？
【思路导航】假设10 00个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1×1000=1000元，实
际上少得1000－920 =80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还
要赔偿3元，这样玻璃杯厂就 少收入1＋3=4元。又已求出共少收入80元，所以打碎的玻璃
杯数为80÷4=20个。

试一试
搬运1000玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角。但打碎一只，不仅不给搬运 费还
要赔5角。如果运完后共得运费260元，那么，搬运中打碎了多少只？






例5
某场乒乓球比赛售出30元、40元、50 元的门票共200张，收入7800元。其中40元和
50元的张数相等，每种票各售出多少张？ 【思路导航】因为“40元和50元的张数相等”，所以可以把40元和50元的门票都看作
45元 的门票，假设这200张门票都是45元的，应收入45×200=9000元，比实际多收入9000
－7800=1200元，这是因为把30元的门票都当作45元来计算了。因此30元的门票有1200
÷（45－30）=80张，40元和50元的门票各有（200－80）÷2=60张。
11

试一试
某场球赛售出40元、30元、50元的门票共400张， 收入15600元。其中40元和50元
的张数相等，每种门票各售出多少张？







练 习 题
1、鸡与兔共有20只，共有脚50只。鸡与兔各有多少只？





2、鸡与兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只。鸡与兔各有多少只？







3、50名同学去划船，一共乘坐1 1只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。问大船和
小船各几只？








4、小明参加猜谜比赛，共20道题 ，规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）。
小明共得60分，他猜对了几道？




12

5、有一堆黄沙 ，用大汽车运需运50次，如果用小汽车运，要运80次。每辆大汽车比小汽车
多运3吨，这堆黄沙有多 少吨？





6、一批钢材，用小车装，要用35辆 ，用大车装只用30辆，每辆小车比大车少装3吨，这批
钢材有多少吨？






7、某次数学竞赛共20道题，评分标准是每做对一题得5 分，每做错一题倒扣1分。刘亮参
加了这次竞赛，得了64分。刘亮做对了多少道题？






8、某校举行化学竞赛共有15道题，规定每做 对一题得10分，每做错一道或不做倒扣4分。
小华在这次竞赛中共得66分，他做对了几道题？





9、数学测试卷有20道题，做对一题得7分， 做错一题倒扣4分，不做得0分。红红得了100
分，她几道题没做？






10、有甲、乙、丙三种练习簿，价钱分别为7角、3角和2角，三种 练习簿一共买了47本，
付了21元2角。买乙种练习簿的本数是丙种练习簿的2倍，三种练习簿各买了 多少本？






13

第四讲 还原问题
（2课时）
【学习导航】

已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，
还原问 题又叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。
遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表从后面往前推来解决这些问题。

例1
小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁 。
小刚的奶奶今年多少岁？
【思路导航】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10 倍后是100岁，没有扩大
10倍之前应是100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前 应是10－2=8岁；没有缩
小9倍之前应是8×9=72岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是 72＋7=79岁。所以，
小刚的奶奶今年是79岁。

试一试
在□里填上适当的数。
20×□÷8＋16=26

例2
某商 场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩
95台。这个商场原 来有洗衣机多少台？
【思路导航】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推， 从图中
可以看出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩 下的
一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即23 0＋
10=240台又正好是总数的一半。那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。

总数的一半
剩下的一半


10 20
95



下午售出 最后剩下
上午售出
试一试
粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还
剩下4吨。粮库原有大米多少吨？





14

例3
小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。 如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，
结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有 故事书多少本？
【思路导航】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人 故
事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。

试一试
甲、乙、丙三个小朋友共有 贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三
个人的贺年卡张数刚好相同。问三人原来各 有贺年卡多少张？



例4
甲乙两桶油各有若干千克，如果要 从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶
倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都 是36千克。问两桶油原来各有多少千
克？
【思路导航】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的 油放入甲桶，甲桶内应有油36÷2=18
千克，乙桶应有油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶 倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙
桶原有油应为54÷2=27千克，甲桶原有油18＋27=45千 克。你会用列表格法来做吗？

试一试
王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出 和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出
和王亮同样多的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮 和李强原来各有画片多少张？



例5
两只猴子拿26个桃， 甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴
不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不 服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个。
问甲猴最初准备拿几个？
【思路导航】先求出两只猴现在各拿多少，然后采用倒退法，结合表格，将会更加清晰。
甲猴的桃子数 乙猴的桃子数
甲猴还给乙猴5个后，乙猴比甲猴多2个 12 14
若甲不还给乙5个呢？ 17 9
甲猴从乙猴那儿抢走一半 17 9
若甲猴不从乙猴那儿抢走一半呢？ 8 18
乙看甲猴拿得太多，就抢去一半 8 18
若乙猴不抢去甲猴的一半 16 10
15

试一试 < br>学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强
拿太多了 就抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。
问最初小强准备拿 多少棵？








练 习 题
1、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘上2，结果得60。这个数是多少？






2、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“ 把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，
恰好是30岁。”王老师今年多少岁？






3、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些 橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多
1个，第三天又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸 爸买了多少个橘子？






4、某水果店 卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三
次卖掉第二次卖后剩下的 一半多1个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，求每个菠萝
多少元？





16

5、小红、小丽、小敏三个 人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，
小敏给小红3张，那么他们每人各有 40张。原来三个人各有年历片多少张？





< br>6、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁
1 6颗，四人的个数相等。他们原来各有弹子多少颗？




< br>7、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现
有的 个数给丙之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、
乙，这时，他们 三个人都有32个玻璃球。原来每人各有多少个？




8、书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层，再从
中层 取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，
这时三书架所放的 书本数相等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？





9、李辉和张新各搬60本图书，李辉抢先拿了若干本，张新看李辉拿了太多，就抢了一半；
李 辉不肯，张新就给了他10本。这时李辉比张新多4本。问最初李辉拿了多少本？





10、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中 拿出18加到丙数，最后
从丙数拿出12加到甲数，这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各 是多少？



17

第五讲 逻辑推理
（2课时）
【学习导航】

解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑：
1，选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；
2，根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；
3，对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，
说明假设是正确的；
4，遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。
5. 列表格解题时，应先将基本条件填写在表格中，然后再进行假设推理。

例1
有三 个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做
的比静静多。”静 静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好
事最少？
【思路导航】我们用“＞”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。
兰兰＞静静 冬冬＞静静 冬冬＞兰兰
所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。

试一试
卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道 ：卢刚和医
生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞< br>行员？






例2
有一 个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如
下图所示。这个正方体 的每个汉字的对面各是什么字？
林
匹
奥
学
奥
（2）
数
克
数
（3）
林

【思路导航 】如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，
想想某个汉字的对面不是什么 字。
从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数” 、
“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。
（1）
18

从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数 ”的对面不是“克”、
“林”，所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。

试一试
下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红、黄、蓝、白、绿、黑六 种颜色。请
判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？
白
黑
黄
绿
白
红
黄
蓝
红

（A）

（B）

（C）

例3
甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃 。”
丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？
【思路导航 】由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，
看结论和条件是否矛盾。 < br>如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，
与他们中 只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说 的是真话，与他们中只有一
人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。
如果是丙打碎的，那么甲说的 是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说
的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话， 所以玻璃是丙打碎的。
你有没有更好的方法？


试一试 已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开。”
丙说： “甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？








例4
甲、乙、丙、丁四个人同时参加 数学竞赛。赛后：甲说：“丙是第一名，我是第三名。”
乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“ 丁是第二名，我是第三名。”丁没有说话。成绩
19

揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？
【思路导航】推 理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们先
将基本条件填写在表格中，然后利 用假设法进行分析。
从甲的观点开始分析：假设丙是第一名是正确的，则甲是第三名就是错误的，由此 我们
可以得出如下图表：

第一名 第二名 第三名 第四名

甲的观点 丙√ 甲×

乙的观点 乙× 丁√

丙的观点 丁× 丙√

但我们从表格中发现：丙即是第一名，又是第三名，因 此我们的假设错误，因此丙不是
第一名，甲是第三名，由此我们可以得出如下图表：

第一名 第二名 第三名 第四名

甲的观点 丙× 甲√

乙的观点 乙√ 丁×

丙的观点 丁√ 丙×

经验证完全符合题意。故乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。

试一试
甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，丁 是
第三名。”有的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？







例5
A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每 两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：
A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了一盘。问小强已经 赛了几盘？
【思路导航】用五个点表示这5个人，如果某两个人之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线。B赛了3盘，
由于D只 赛了1盘，是和A赛的，所以B应该与C连。（B、A已连线）C已连了2条线，小强
也连了2条线，所 以小强已赛了2盘。

小强 A
D
C B
20

试一试
上海、辽宁、北京、山东四个足球队进行循环赛，到现在为止，上海队赛了3场，辽宁
队赛了2场，山东队赛了1场。问北京队赛了几场？







练 习 题
1、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师。小张年龄比工程
师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师？







2、江波、刘晓、吴萌三个老师，其 中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：江波和
语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴 萌和数学老师是同学。请问：三个老师分别
教什么科目？








3、一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F ，你能根据这个正方体不同的摆法，求
出相对的两个面的字母是什么吗？
F
A

B
D

E
C
A

21
D
C

4、五个相同的正方体木块，按相同的顺序在上面写上数字1～6，把木块叠 成下图，那么，2
的对面是几？4的对面是几？5的对面是几？
5

2
4

6
5


3
6

6
4

3
5



5、某学校为 表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生。A说：“是B做的。”B
说：“不是我做的。 ”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁
做的？









6、A、B、C、D四个 孩子踢球打碎了玻璃。A说：“是C或D打碎的。”B说：“是D打碎的。”
C说：“我没有打碎玻璃。 ”D说：“不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎
了玻璃？








7、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的 珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排。甲、乙、丙、丁、
戌五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜：“第 二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，
第四包红色。”丙猜：“第一包红色，第五包白色。” 丁猜：“第三包蓝色，第四包白色。”戌猜：
“第二包黄色，第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半， 他们各猜对了哪种颜色的珠子？








22

8、张老师要五个同学给鄱阳湖、洞庭湖、太湖、 巢湖和洪泽湖每个湖泊写上号码，这五个同
学只认对了一半。他们是这样回答的：
甲：2是巢湖，3是洞庭湖；
乙：4是鄱阳湖，2是洪泽湖；
丙：1是鄱阳湖，5是太湖；
丁：4是太湖，3是洪泽湖；
戌：2是洞庭湖，5是巢湖。请写出各个号码所代表的湖泊。











9、明明、冬 冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。
明明已握了5次手，冬 冬握了4次手，兰兰握了3次手，静静握了2次，思思握了1次手。
问毛毛握了几次手？











10、甲、乙、丙、丁比赛乒乓球，每两人都要赛一场。结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人
胜 的场数相同。问丁胜了几场












23

第六讲 行程问题（一）
（2课时）
【学习导航】

我们把研 究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括
相遇问题、相背问题和追及 问题。这一周我们来学习一些常用的、基本的行程问题。
解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之 间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度
×时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时 间和运动结果。

例1
甲乙两人分别从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲 每小时走6千米，乙每小时走
4千米。两人几小时后相遇？
【思路导航】这是一道相遇问题。 所谓相遇问题就是指两个运动物体以不同的地点作为
出发地作相向运动的问题。根据题意，出发时甲乙两 人相距20千米，以后两人的距离每小时
缩短6＋4=10千米，这也是两人的速度和。所以，求两人几 小时相遇，就是求20千米里面有
几个10千米。因此，两人20÷（6＋4）=2小时后相遇。

试一试
甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千 米，乙船每小
时行驶15千米，经过6小时两船在途中相遇。两地间的水路长多少千米？







例2

王欣和陆亮 两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟
行90米。如果一只狗 与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣
跑去；遇到王欣后再回头向陆亮 跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了
多少米？
【思路导航】要求狗共行 了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可
知，狗的速度是每分钟行500米，关键是 要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是
同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同 时出发到两人相遇的时间，即2000÷
（110＋90）=10分钟。所以狗共行了500×10=5 000米。

试一试
甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发相向而行。一个 同学骑自行车以每小时15
千米的速度在两队之间不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时行 4千米。两队
相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
24

例3
甲每小时 行7千米，乙每小时行5千米，两人于相隔18千米的两地同时相背而行，几小
时后两人相隔54千米？
【思路导航】这是一道相背问题。所谓相背问题是指两个运动的物体作背向运动的问题。
在相背 问题中，相遇问题的基本数量关系仍然成立，根据题意，甲乙两人共行的路程应该是
54－18=36千 米，而两人每小时共行7＋5=12千米。要求几小时能行完36千米，就是求36
千米里面有几个12 千米。所以，36÷12=3小时。

试一试
甲车每小时行6千米，乙车每小时行 5千米，两车于相隔10千米的两地同时相背而行，
几小时后两人相隔65千米？







例4
甲乙两人分别从相距24千米的 两地同时向东而行，甲骑自行车每小时行13千米，乙步
行每小时走5千米。几小时后甲可以追上乙？
【思路导航】这是一道追及问题。根据题意，甲追上乙时，比乙多行了24千米（路程差）。
甲 骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米，甲每小时比乙多行13－5=8千米（速
度差）， 即甲每小时可以追上乙8千米，所以要求追上乙所用的时间，就是求24千米里面有
几个8千米。因此， 24÷8=3小时甲可以追上乙。

试一试
甲乙两人同时从相距36千米的A、B 两城同向而行，乙在前甲在后，甲每小时行15千米，
乙每小时行6千米。几小时后甲可追上乙？






25

例5
甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长 400
米。如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？
【思 路导航】这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑，方向一致。因此，
当甲第一次追上乙时 ，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差÷
速度差=追及时间”即可求出甲 追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟。

试一试
一条环形 跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑250米，两人同时同地同
向出发，经过多长时 间小强第一次追上小星？







练 习 题
1、一辆汽车和一辆摩托车同时分别从相距900千米的甲、乙两地出发，汽车每 小时行40千
米，摩托车每小时行50千米。8小时后两车相距多少千米？




2、甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车 从A城到B城
需6小时，乙车从B城到A城需12小时。两车出发后多少小时相遇？






3、A、B两地相距400千米，甲、乙两车同 时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车
每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度 和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车
又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才 能相遇？






26

4、甲、乙两个车队同时从相隔330千米的两地相向而行，甲队每小时行6 0千米，乙队每小
时行50千米。一个人骑摩托车以每小时行80千米的速度在两车队中间往返联络，问 两车队
相遇时，摩托车行驶了多少千米？




5、甲每小时行9千米，乙每小时行7千米，甲从南庄向南行，同时乙从北庄向北行。经过3
小时后 ，两人相隔60千米。南北两庄相距多少千米？





6、东西两镇相距20千米，甲、乙两人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时的路程是乙
的2倍， 3小时后两人相距56千米。两人的速度各是多少？




< br>7、解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事，派
通讯 员骑摩托车以每小时54千米的速度前去联络。多长时间后，通讯员能赶上队伍？





8、小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔 直的路上行走，小华每分
钟走65米，小亮每分钟走55米。3分钟后两人相距多少米？




9、光明小学有一条长200米的环形跑道，亮亮和晶晶同时从起跑线 起跑。亮亮每秒跑6米，
晶晶每秒跑4米，问：亮亮第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？




10、甲、乙两人绕周长1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走 125米，乙的速度是甲的2
倍。现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟？



27

第七讲 行程问题（二）
（2课时）
【学习导航】

行船问题是指在流水中的一种特殊的行程问题， 它也有路程、速度与时间之间的数量关
系。因此，它比一般行程问题多了一个水速。在静水中行船，单位 时间内所行的路程叫船速，
逆水的速度叫逆水速度，顺水下行的速度叫顺水速度。船在水中漂流，不借助 其他外力只顺
水而行，单位时间内所走的路程叫水流速度，简称水速。
行船问题与一般行程问 题相比，除了用速度、时间和路程之间的关系外，还有如下的特
殊数量关系：
顺水速度=船速＋水速
逆水速度=船速－水速
船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2
水速=（顺水速度－逆水速度）÷2

例1
货车和客车同时从东西两地相 向而行，货车每小时行48千米，客车每小时行42千米，
两车在距中点18千米处相遇。东西两地相距 多少千米？
【思路导航】由条件“货车每小时行48千米，客车每小时行42千米”可知货、客车的< br>速度和是48＋42=90千米。由于货车比客车速度快，当货车过中点18千米时，客车距中点还
有18千米，因此货车比客车多行18×2=36千米。因为货车每小时比客车多行48－42=6千米，这样货车多行36千米需要36÷6=6小时，即两车相遇的时间。所以，两地相距90×6=540千米。

客车 货车
中点
西


18千米
客车所行路程
东
试一试
货车所行路程
甲 、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米。
两人相遇时距全程 中点3千米，求全程长多少千米。




例2
甲、乙 、丙三人步行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，而丙在
B地同时出发相向而 行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。A、B两地间的路长多少米？
【思路导航】从图中可以看出，丙和乙 相遇后又经过10分钟和甲相遇，10分钟内甲丙
两人共行（30＋50）×10=800米。这800 米就是乙、丙相遇时，乙比甲多行的路程，乙每分
钟比甲多行40－30=10米，现在乙比甲多行80 0米，也就是行了80÷10=80分钟。因此，AB
两地间的路程为（50＋40）×80=7200 米。
28

A
甲：30米分钟
乙：40米分钟
甲、丙
相遇地

乙、丙
相遇地
丙：50米分钟



乙、丙相遇时
甲所行路程
B
甲、丙10分钟
所行路程
试一试
甲每分钟走75米，乙每 分钟走80米，丙每分钟走100米，甲、乙从东镇，丙人西镇，
同时相向出发，丙遇到乙后3分钟再遇 到甲。求两镇之间相距多少米？



例3
甲、乙两港间的水路 长286千米，一只船从甲港开往乙港顺水11小时到达；从乙港返回
甲港，逆水13小时到达。求船在 静水中的速度（即船速）和水流速度（即水速）。
分析与解答：要求船速和水速，要先求出顺水速度和 逆水速度，而顺水速度可按行程问
题的一般数量关系求，即：路程÷顺水时间=顺水速度，路程÷逆水时 间=逆水速度。因此，
顺水速度是286÷11=26千米，逆水速度是286÷13=22千米。所以 ，船在静水中每小时行（26
＋22）÷2=24千米，水流速度是每小时（26－22）÷2=2千米 。

试一试
A、B两港间的水路长208千米。一只船从A港开往B港，顺水8小 时到达；从B港返回
A港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。



例4
一艘轮船从上海港开往武汉港，顺流而下每小时行25千米，返回时逆流而上 用了75小
时。已知这段航道的水流是每小时5千米，求上海港与武汉港相距多少千米？
【思 路导航】先根据顺水速度和水速，可求船速为每小时25－5=20千米；再根据船速和
水速，可求出逆 水速度为每小时行20－5=15千米。又已知“逆流而上用了75小时”，所以，
上海港与武汉港相距 15×75=1125千米。

试一试
一艘轮船从A港开往Ｂ港，顺流而下每小时 行20千米，返回时逆流而上用了60小时。
已知这段航道的水流是每小时4千米，求A港到B港相距多 少千米？


29

例5
A、B两个 码头之间的水路长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时。
如果乙船顺流而行需要 5小时，那么乙船在静水中的速度是多少？
【思路导航】虽然甲、乙两船的船速不同，但都在同一条水 路上行驶，所以水速相同。
根据题意，甲船顺水每小时行80÷4=20千米，逆水每小时行80÷10 =8千米，因此，水速为
每小时（20－8）÷2=6千米。又由“乙船顺流而行80千米需要5小时” ，可求乙船在顺水中
每小时行80÷5=16千米。所以，乙船在静水中每小时行16－6=10千米。

试一试
甲乙两个码头间的水路长288千米，货船顺流而下需要8小时，逆流而上 需要16小时。
如果客船顺流而下需要12小时，那么客船在静水中的速度是多少？







练 习 题
1、甲、乙两 辆汽车同时从东西两城相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米，
两车在距中点16千 米处相遇。东西两城相距多少千米？






2、快车和慢车同时从南北两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时后，快车
已驶过中 点25千米，这时慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米？






3、有三辆客车，甲、乙两车从东站，丙车从西站同时相向而行，甲车每分钟行1 000米，乙
车每分钟行800米，丙车每分钟行700米。丙车遇到甲车后20分钟又遇到乙车。求东 西两站
的距离。





30

4、甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走67米，丙每分钟走7 3米。甲、乙从南
镇，丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后10分钟遇到甲。求两镇相距多少千米。





5、甲、乙两港间水路长432千米，一只船从 上游甲港航行到下游乙港需要18小时，从乙港
返回甲港，需要24小时到达。求船在静水中的速度和水 流速度。





6、甲、乙两城相距6000千米， 一架飞机从甲城飞往乙城，顺风4小时到达；从乙城返回甲
城，逆风5小时到达。求这架飞机的速度和风 速。





7、一只轮船从甲码头开往乙码头，逆流 每小时行15千米，返回时顺流而下用了18小时。已
知这段航道的水流是每小时3千米，求甲、乙两个 码头间水路长多少千米？





8、某轮船在相距2 16千米的两个港口间往返运送货物，已知轮船在静水中每小时行21千米，
两个港口间的水流速度是每 小时3千米，那么，这只轮船往返一次需要多少时间？




9 、A、B两个码头间的水路全长80千米，甲船顺流而下需要4小时，逆流而上需要10小时。
如果乙船 逆流而上需要20小时，那么乙船在静水中的速度是多少？





10、一条长160千米的水路，甲船顺流而下需要8小时，逆流而上需要20小时。如果乙 船顺
流而下要10小时，那么乙船逆流而上需要多少小时？



31

第八讲 盈亏问题
（2课时）
【学习导航】

在日常生活中常有这样的问题：一定数量的物品平均分给一定数量的人 ，每人多一些，
物品就不够；每人少一些，物品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏的情况下来确定物品总 数
和参加分配的人数。
解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两次分得差的关系。
盈亏问题的数量关系是：
（1）（盈＋亏）÷两次分配差=份数
（大盈－小盈）÷两次分配差=份数
（大亏－小亏）÷两次分配差=份数
（2）每次分得的数量×份数＋盈=总数量
每次分得的数量×份数－亏=总数量

例1
一个植树小组植树。如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4 棵。这个植
树小组有多少人？一共有多少棵树？
【思路导航】由题意可知，植树的人数和树的 棵数是不变的。比较两种分配方案，结果
相差14＋4=18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵 。这是因为两种分配方案每人植树
的棵数相差7－5=2棵。所以植树小组有18÷2=9人，一共有5 ×9＋14=59棵树。

试一试
幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个 ，则剩下20个；如果每人分3个，则差
40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？






例2
学校将一批铅笔奖给 三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7
支。三好学生有多少人？铅笔有多少 支？
【思路导航】这是两亏的问题。由题意可知：三好学生人数和铅笔支数是不变的。比较
两 种分配方案，结果相差45－7=38支。这是因为两种分配方案每人得到的铅笔相差9－7=2
支。所 以，三好学生有38÷2=19人，铅笔有9×19－45=126支。

试一试
将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺
少1朵。求花瓶 的只数和月季花的朵数。
32

例3
有一些少先队员到山上去种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种1 9
棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？
【思路导航】这是两盈的问题。 由题意可知：少先队员的人数和树的棵数是不变的。比
较两种分配方案，结果相差24－6=18棵，这 是因为两种分配方案每人种的树相差19－16=3
棵。所以，少先队员有18÷3=6名，树有16× 6＋24=120棵。

试一试
小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背4 5发还多260发；另一人说每人背50
发还多200发。有多少敌人？多少发子弹？






例4
学校给一批新入学的学生分配宿 舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每
个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍 有多少间？住宿学生有多少人？
【思路导航】把“每间住14人，则空出4个房间”转化为“每间住1 4人，则少14×4=56
人”。比较两种分配方案，结果相差34＋56=90人，而每个房间相差1 4－12=2人。所以房间
数为90÷2=45间，学生人数为12×45＋34=574人。

试一试
某校有若干个学生寄宿宿舍，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间 宿舍住7人，
则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？寄宿学生有多少人？






例5
少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还有3个坑没 人挖；如果其中2人各挖4个，
其余的人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。少先队员一共挖多少树坑 ？
【思路导航】如果每人都挖6个树坑，那么少（6－4）×2=4个树坑，两次相差4＋3=7个树坑。这是因为两种分配方案每人挖的相差6－5=1个树坑。所以，少先队员一共有7÷1=7
人，一共挖5×7＋3=38个树坑。
33

试一试
老 师给幼儿园的小朋友分苹果。如果每个小朋友分2个，还多30个；如果其中的12个
小朋友每人分3个 ，剩下的每人分4个，则正好分完。一共有多少个苹果？







练 习 题
1、某校安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如 果每间8人，则多出10个床位。问
宿舍多少间？学生多少人？





2、有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人 ；如果减少
一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少学生？






3、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少 32张；如果每人发3
张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张图画纸？





4、老师将一些练习本发给班上的学生。如果每 人发10本，则有两个学生没分到；如果每人
发8本，则正好发完。有多少个学生？多少本练习本？






34

< br>5、杨老师将一叠练习本分给第一小组的同学。如果每人分7本，还多7本；如果每人分8本
则正 好分完。请算一算，第一小组有几个学生？这叠练习本一共有多少本？





6、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支； 如果每人分
8支还多3支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？






7、育才小学学生乘汽车去春游。如果每车坐65人，则有15人不能 乘车；如果每车多坐5人，
恰好多余了一辆车。问一共有几辆汽车？有多少学生？





8、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每 个房间住9人，则空出
2个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？






9、在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2 人各擦4块，其余每人擦5块，则
余22块；如果每人擦7块，则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块 数。






10、小红家买来一篮橘子分 给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，则多出
4只；如果其中一人分6只，其余每人分 4只，则又缺12只。小红家买来多少只橘子？小红
家一共有多少人？





35

第九讲 容斥原理
（2课时）
【学习导航】

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原 理，也叫容斥原理。即当两个计数部分
有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），
那么 具有性质a或性质b的事物的个数=N
a
＋N
b
－N
ab
。





N
b
N
a
N
ab



例1
一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又 问：
“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】完成语文作业的有37人，完成 数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，
多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人 数在统计做完语文作业的人数时算过一
次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次 。所以，这个班语文、数
作业都完成的有：79－48=31人。


做完数学
做完语文

？
作业的有
作业的有
人
42人

37人




48人

试一试
五年 级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语
文成绩优秀的有65 人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？






36

例2
某班有36个同学在一 项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都
答对的有15人。问多少个同学两题 都答错了？
【思路导航】已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一< br>题的有25－15=10人。又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二
题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋23=33人。所以，两题都答错的有36－33=3人。






试一试
五（1）班有40 个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小
组都参加了。那么，有多少人 两个小组都没有参加？







答对第一题
的有25人
两题都
答对
的有
15人
答对第二题< br>
的有23人
36人
例3
某班有56人，参加语文竞赛的有28人， 参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加
的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少 人？
【思路导航】要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－
25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28＋27－31=24人。

试一试 一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会 的有多少人？






37

例4
在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
【思路导航】从1 到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数。从1到100的自然数
中，5的倍数有100÷5=2 0个，6的倍数有16个（100÷6=16……4），其中既是5的倍数又是
6的倍数（即5和6的公 倍数）的数有3个（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍数的
个数是16＋20－3=3 3个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：100－33=67个。









试一试
在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？






例5
光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里 展出了每个年级学生的书法作品，其中有24
幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展 的书法作品共有10幅，其他年级
参展的书法作品共有多少幅？
【思路导航】由题意知，24 幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22幅是
一、二、三、四、五年级参展作品的总数。 24＋22=46幅，这是一个五、六年级和两个一、
二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六 两个年级共参展的10幅作品，即得到两个
一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以2，即可求出其 他年级参展作品的总数。（24＋
22－10）÷2=18幅。

试一试
科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年
级的，有100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。其他年级参展的作品共有
多少件？




38

练 习 题
1、 四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订
《小学生优秀 作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？







2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴 的有24人，会弹电子琴的有17人，
其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？







3、一个班有55名学生 ，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，
两种报纸都订阅的有25人。两 种报纸都没有订阅的有多少人？







4、某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两
项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人？







5、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋 的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋
都不会下的有12人。问这两种棋都会下的有多少人？






39

< br>6、三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的
有 14人。这两队都没有参加的有10人。请算一算，这个班共有多少人？







7、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？








8、五（1）班做广播操 ，全班排成4行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第5
个，从后面数第8个。这个班共有多 少个学生？






9、六（1）儿童节那 天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是
三年级的，有19幅画不是四年 级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画
共有多少幅？







10、实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里 展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不
是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的 书法作品共有20幅。一、二年级参
展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展 的书法作品共有多少幅？







40

第十讲 小数加减巧算
（2课时）
【学习导航】

自然数的所有性质同样适用于小数。
1、运算定律
（1）加法交换律：A+B=B+A
（2）加法结合律：(A+B)+C =A+(B+C)=(A+C)+B
2、运算性质和规律：
（1）和不变的规律
如果一个加数增加一个数，另一个加数减少相同的数，那么它们的和不变。
（2）差不变的规律
如果被减数和减数同时增加（减少）相同的数，那么它们的差不变。
3、有关添、去括号的性质：
A+(B-C)=A+B-C
A+(B+C)=A+B+C
A-(B-C)=A-B+C
A-(B+C)=A-B-C
小数的加减运算，有时可以利用运算定律和运 算性质，把复杂的计算转化为简便的、迅速的
计算，有时也可用数本身的特点，采用一些技巧，使计算简 便化。

例1
计算：5.32+2.07+19.6+1.93+4.68 【思路导航】这是一道小数连加计算题，如果从左往右依次相加，就比较麻烦，注意到
5.32和4 .68刚好能凑成整数，2.07和1.93也能凑成整数，因此可用加法交换律和结合律进
行计算。
解：5.32+2.07+19.6+1.93+4.68
=（5.32+4.68）+（2.07+1.93）+19.6
=10+4+19.6
=33.6

试一试
3.24+5.85+4.63+6.76+3.37





41

例2
计算：1-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001
【思路导航】这 是一道小数连减计算题，如果从左往右依次相减显然繁琐，根据减法运
算性质，用被减数1减去所有减数 的和，那么计算起来就非常方便。
解：1-1-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001
=1-（0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001）
=1-0.11111
=0.88889

试一试
9.42-3.68-4.32






例3
0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999
【思路导航】观察发现这些数与1相接近，利用分解的方法进行计算。
解：0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999
=1-0.1+1-0.01+1-0.001+1-0.0001+1-0.00001
=1+1+1+1+1-0.1-0.01-0.001-0.0001-0.00001
=5-0.11111
=4.88889

试一试
2+2.1+2.11+2.111+2.1111







例4
3.54+14.79+15.32-2.54-6.32
【思路导航】根据加法交换律和结 合律，可以把加数任意交换位置，而运算结果不变，
这种运算方法在减法或加减混合运算中同样适用，但 交换位置时必须连同符号一起移动，连
同符号一起移动不改变运算结果。

42

解：3.54+14.79+15.32-2.54-6.32
=（3.54-2.54）+（15.32-6.32）+14.79
=1+9+14.79
24.79

试一试
13.5+4.42-10.5-3.42+6.72







例5
35.14+6.48+24.86-11.38-5.48-0.62
【思路导航】注意到 35.14和24.86可以凑成整数，11.38和0.62也可以凑成整数，所
以应用交换律和结合 律及减法运算性质可以得到：
解：35.14+6.48+24.86-11.38-5.48-0.62
=(35.14+24.86)-(11.38+0.62)+（6.48-5.48）
=60-12+1
=49

试一试
14.72+13.54+4.28-7.32-3.54-2.68








例6
1.2+1.1-1.0+0. 9+0.8-0.7+0.6+0.5-0.4+0.3+0.2-0.1
【思路导航】根据这12个 小数的特点，从左往右看，每3个数为一组，可分为4组，用
分组的方法进行计算。
解：1. 2+1.1-1.0+0.9+0.8-0.7+0.6+0.5-0.4+0.3+0.2-0.1
=（1.2+1.1-1.0）+（0.9+0.8-0.7）+（0.6+0.5-0.4+0.3）+（0. 3+0.2-0.1）
=1.3+1+0.7+0.4
=3.4
43

试一试
1.1+2.2-3.3+4.4+5.5-6.6+7.7+8.8-9.9







1、3.54+34.62+4.46+35.38





2、13.72-4.57-5.43





3、24.39-（4.39-10）





4、0.8+9.8+99.8





5、10-0.1-0.2-0.3-0.4-…-0.9





6、13.74-（5.74+2.99）



习
44
题练

7、23.57-4.71-3.82-3.29-4.18






8、72.18+6.48-1.38+27.82-5.48-1.62






9、3.17-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3






10、20.36-7.98-4.02-5.36






11、14.73-（6.73-5.47）-7.47






12、10.9+4.28-1.56+17.1-0.44

45