季羡林语录-小学五年级日记

1单元：升和毫升
升和毫升是容量单位，经常用来计量容器里容纳的液体或 粉末状、颗粒状物体的体
积。小学数学以往总是把升和毫升与其他常用体积单位一起，编排在高年级教学 。本单
元教材在教学体积之前先教学升和毫升，是因为这两个计量单位在日常生活中的应用极
为 广泛，几乎随时随地都可能接触到。尽量早一些教学升和毫升，既方便学生生活，又
为以后教学体积积累 感性认识。由于升和毫升在体积之前教学，因此采取直观认识、直
观感受为主的教学方法。教学目的是让 学生初步了解容量的含义以及计量单位，感受1
升和1毫升的实际意义，会进行升和毫升的简单换算。感 受1升和1毫升的实际意义，
形成有关1升和1毫升的表象是教学重点。全单元编排四道例题，内容的具 体安排如下
表：例题教学内容练习编排例1容量的含义，计量容器的容量需要统一的单位例2容量
单位“升”，1升的实际意义例3容量单位“毫升”，1毫升液体大约有多少例4升和毫
升的进率，简 单的换算
练习一
（一） 以已有的生活经验为基础，形成初步的“容量”概念
“ 容量”指的是容器里最多能容纳的物体的体积。为了在尚未认识体积之前先形成
初步的容量概念，例1作 了很细致的安排。创设了大小不同的茶杯、大小不同的冷水壶
等容器盛水的直观情境，提出三个很现实的 问题，引导学生联系容器里存水的事实，感
受容量的含义、比较容量的大小，产生统一容量单位的需要。
1. 联系茶杯里盛水的事实，教学容量的含义。
学生都知道玻璃杯里能盛水，玻璃杯有大 有小，盛的水就有多有少。例题提出的第
（1）个问题“看看两个玻璃杯，说说哪一个能盛的水多”，引 导学生观察情境图里的两
个玻璃杯，把注意力集中到玻璃杯盛水的事实上。由大卡通“玉米”告诉学生： 图中比
较高的那个玻璃杯能盛的水多，这个玻璃杯的容量比较大。这里第一次出现“容量”这
个 词，把新的数学概念和已有的生活经验密切联系起来，有利于学生初步感受“容量”
的含义。教学要注意 两点：一是情境中的两个玻璃杯都是空的，里面没有盛水，“哪一
个玻璃杯能盛比较多的水”是直觉条件 下的想象与判断。通过这样的想象，容易体会“杯
子容量”的含义。二是要用较多的时间去领悟“玉米” 卡通说的哪句话，抓住“盛的水
多”和“容量比较大”的内在联系，意义接受“容量”这个概念。
2. 直观判断和倒水实验相结合，教学“容量有大小”。
例1的第（2）个问题是“哪一个 冷水壶的容量大一些”，进一步体会“容量”的含
义。画面里有两个冷水壶，一个大些、一个小些，学生 凭直观能够指出哪一个冷水壶的
容量大些。教材要求验证作出的判断，在一个壶里盛满水，往另一个壶里 倒，通过这样
的实验来感受“冷水壶的容量”指的是什么，体会冷水壶“容量有大有小”，并证实自己的判断。为了深入体验“容量”的含义，教学这个问题可以按四步进行：第一步让学
生说说“冷水 壶的容量”是什么意思，引导他们把“容量”这个比较抽象的概念回归到
“能盛多少水”的现实层面上， 通过概念的具体化再次体会容量的含义。第二步让学生
猜一猜哪个冷水壶的容量大些，调动他们的积极性 。为了便于学生区分和表述，情境图
里的一个冷水壶是红把手，壶体上刻了花；另一个冷水壶是黑把手， 壶体上没有花。第

三步通过倒水实验验证猜想，先在一个壶里盛满水，再把这 壶水往另一个壶里倒：或是
红把手壶里的水倒满黑把手壶后还剩下一些，或是黑把手壶里的水全部倒入红 把手壶后
尚没有满。这些倒水实验应让学生自己想出来并亲自实施，一边操作一边把“壶里盛的
水”和“壶的容量”联系起来，反复感受“容量”的含义。第四步确认问题的答案，并
作出解释：因为红 把手壶里能盛的水多，所以它的容量大。
配合例1和例2的“练一练”第1题，在一个杯子里装满水， 把这杯水分别往另两
个杯子里倒，分别出现倒不满、倒不下的情况，根据这些现象判断三个杯子的容量谁 最
大、谁最小，让学生继续体会“容量”的含义。
3. 准确测量或计算容器的容量，需要使用统一的容量单位。
例题的第（3）个问题“（红把手水壶）的容 量是多少？”让学生体验测量容器的容
量需要统一的容量单位。教学可以分三步进行：首先让学生说说“ 水壶的容量是多少”
这句话的意思，用“水壶能容纳多少液体”来解释，再次在抽象概念具体化的过程中 体
会“容量”的含义，并思考测量水壶容量的方法。其次观察教材插图，如果把一壶水倒
入较小 的杯子，刚好5杯；倒入较大的杯子，刚好4杯。最后体会用不同的单位测量冷
水壶的容量，其结果的表 达不同，为了便于测量和交流，应该使用统一的计量单位。
通过上面的分析可以看到，这道例题的教学 重点是“容量”的概念。学生初步认识
容量的线索是“感性材料——数学含义——概念的具体化”，教材 设计的一系列活动都
承载在这条认知线索上，都是为概念教学服务的。
（二） 教学升和毫升，让学生体会它们的实际意义
教学升和毫升各编排一道例题，都设计了从实际生活引出单 位名称、体验1个单位
有多少、自制简易量器、测量常见容器的容积等教学活动。
1. 现实背景中出现升和毫升，引出容量单位。
例2呈现了瓶装酱油、食用油、果汁和桶装纯净水等图片， 在每一幅图的旁边都标
注了“×升”或“×L”，表示有关容器里装了多少液体。例3呈现了瓶装的饮料 、药水
等图片，在图片旁边标注了“×毫升”或“×mL”。这两道例题让学生在现实的情境中，
体会升和毫升都是常用的表示液体有多少的计量单位，在日常生活中经常应用。同时体
会这两个单位有 各自的使用场合，升是比毫升大的容量单位，较大的容器、较多的液体
常用“升”作计量单位，较小的容 器、较少的液体常用“毫升”作单位。
教学这两道例题，要让学生看图说说瓶里各装了些什么，装了多 少，分别使用了什
么计量单位；想想生活中这些瓶实际有多大、这些液体实际有多少；议议这两道例题为
什么使用不同的计量单位。从而对升和毫升分别产生鲜明的第一印象。
2. 设计多种活动，让学生感受1个单位的液体有多少。
学生知道升和毫升是计量液体有多少的单位以后， 会希望知道1升、1毫升液体各
有多少，教材及时满足他们的需要。例2用量杯量出1升水，把这些水倒 入棱长1分米
的正方体容器里，正好装满，没有剩余。这个现象让学生知道，这样的正方体容器盛的水是1升。设计这个实验有两点原因：一是学生对正方体比较熟悉，又知道1分米是多
长，所以对棱 长1分米正方体容器的大小有感性经验，正是这点经验能帮助他们感受1
升的实际意义。二是在实验中带 出了计量液体有多少的常用工具——“量杯”，它能方

便且准确地测量液体有 多少，在后面的教学中还会使用量杯。在这个实验中，1升水是
从量杯里看出来的，棱长1分米的容器是 制作的或选择的，由于还没有教学体积的知识，
所以还不能揭示1升就是1立方分米。例3使用的滴管， 也是计量液体有多少的工具。
先用滴管吸入1毫升水，看看有多少，感受1毫升水很少。再把滴管里的水 滴在手心上，
数数大约是几滴，进一步体会1毫升水有多少。
教材设计的实验与操作，能帮助 学生体会1升和1毫升的实际意义，能使获得的知
识印象深刻、记忆牢固。实验与操作必须在教学中得到 落实，有条件的学校可以安排学
生分小组进行，不具备条件的学校也应该由教师演示给学生看。在实验与 操作中，要引
导学生关注其中的数学内容，仔细体会通过实验能够知道什么、得出什么。
3. “动手做”指导学生制作并使用简单的量器。
量杯、滴管等计量液体有多少的工具，使用方便、测量准 确。但是，一般家庭里不
会有这些工具。本单元的“动手做”指导学生制作并使用1升的量器。
教材图文结合，示范做量器的方法：选择一个上下一样粗细的瓶，往瓶里倒入1升
水；在瓶上贴一张纸 条，在1升处做上记号；把1升处以下的部分平均分成4份，分别
做上14升、24升、34升等记号。 用这个量器能够比较准确地量出1升、14升、24升、
34升水。
使用自己制作的量器，体 验1升水有多少：用1升的量器量出1升水，分别倒入大
小不同的盆里、锅里，看看水面在哪里，体会1 升水有多少，并估计各个容器的容量大
约各是多少。
除了上述的制作量器，教材里还有许多感 受1升或若干毫升的活动。如，量出1升
水，倒入同样大的纸杯中，看看能倒满几杯，既体验1升水有多 少，又体验1个纸杯能
盛多少水。又如，把50毫升水分别倒入一个碗里、一个茶杯里、一个圆柱形容器 里，
看看水面各在哪里，体验50毫升水是多少。再如，倒100毫升饮料，数一数多少口能
够 喝完，算一算喝一口大约多少毫升，体验100毫升是多少。
4. 设计一些活动和练习题，帮助学生积累生活常识，在应用知识的过程中形成
初步的升与毫升的观念。 < br>组织学生应用学到的知识，既体现了数学有广泛的应用价值，又能在应用中进一步
加强对知识的理 解。教材多角度、多渠道地引导学生应用升和毫升解决实际问题。
（1） 留心观察，采集数据。 < br>配合例2的“练一练”第2题，说说图画里标注的热水器、电饭煲、热水瓶的容量
各是多少升；配 合例3的“练一练”第1题，说说图画里标注的针筒、输液袋、口服液
瓶里各装了多少毫升液体；练习一 第11题，阅读儿童止咳糖浆的使用说明书；第12题，
到商店去看一看，哪些商品用升作计量单位，哪 些商品用毫升作计量单位。学生通过上
面的活动，能够了解常见容器的容量，丰富生活常识，积累生活经 验。
（2） 合理选择，正确使用。
练习一第3题，说出压力锅、洗脸盆、洗菜池、浴缸的 容量各是多少升；第6题，
说出1小瓶药水、1盒牛奶、1瓶墨水、1瓶果汁各是多少毫升。这些都是生 活中经常使
用的容器和经常接触的商品，应该让学生知道它们的容量大约是多少。考虑到学生直接

说出各个容器、各个商品的容量会有困难，教材采用“选择题”的形式呈现，在三个 备
选答案中选择一个比较恰当的数据，作为相关的容量。选择数据不能是随意的，应该有
思考地 进行。如洗脸盆的容量，可以这样想：1升水放在盆里，水面大约在哪里？10升
水放在盆里会怎样？这 个盆能盛100升水吗？经过这些思辨，选择的答案才会合理，学
生头脑里的“升”与“毫升”的概念才 会越来越清楚。
练习一第7题，计量热水瓶、奶瓶、水杯、水桶的容量，用升作单位还是用毫升作单位？第8题计量一鱼缸水、一瓶酱油、一锅水、一汤勺水各有多少，采用升作单位还
是采用毫升作 单位？回答这些问题，要利用自己头脑里的1升、1毫升的概念，还要联
系对这些容器的了解，才能作出 恰当的判断。如，热水瓶的容量比1升大，计量热水瓶
容量用升作单位比较恰当；汤勺很小，一汤勺水远 没有1升，用毫升为单位比较适当。
为此，教材在练习一第2题就安排学生判断陶瓷汤罐、易拉罐、烧水 壶、牛奶瓶等容器
的容量，哪些比1升大、哪些比1升小的练习。
5. 教学升与毫升间的进率，进行简单的换算。
例4教学升与毫升的进率，并在“练一练”和练习一里安排 部分练习题，巩固和应
用进率的知识。
例题呈现两个同样的较小量杯，每个量杯里都盛了50 0毫升水。先算出2杯水一共
1000毫升，再把这2杯水倒入一个较大的量杯里，看出一共有1升水。 这些水是1000
毫升，也是1升，由此得出“1升=1000毫升”。可见，升与毫升的进率是通过实 验得出
的，教学要组织学生开展上述实验，并进行有关的推理，体验升与毫升之间的进率关系。
应用进率进行的换算比较简单。配合例4的“练一练”第3题，把4升和9升分别
换算成毫升为单位的 数量，把2000毫升和5000毫升分别换算成升为单位的数量。这些
换算都很容易，与第一学段把5 千米换算成5000米，把3000克换算成3千克很相似，
学生有能力独立进行升与毫升的换算。教学 时，应该要求学生利用1升=1000毫升或1000
毫升=1升推理出结果，并说出自己的思考过程。
2单元：两三位数除以两位数
本单元在两、三位数除以一位数的基础上编排，重点教学两、三 位数除以两位数的
笔算（一些比较容易的两、三位数除以两位数，可以口算）。从除数是一位数的除法到
除数是两位数的除法，其间有相当大的跨越。为了便于学生掌握两、三位数除以两位数
的笔算， 教材穿插安排了相应的口算、估算以及解决实际问题的教学。全单元编排八道
例题、四个练习，还有全单 元内容的整理与练习，具体安排见下表：
例1几十（含几百几十）除以几十的口算与竖式的写法
两、三位数除以几十商是一位数的除法笔算
例2三位数除以几十商是两位数的笔算
除数是整十数的除法法则
例3除数是两位数的除法的试商
例4用连除解决的两步计算实际问题
例5、例6除数是两位数的除法的调商
例7商不变规律

例8应用商不变规律进行除法计算
全单元内容的整理与练习
两、三位数除以两位数的除法是有计算法则的，主要讲述除的顺序（ 先除什么、再
除什么），以及商的位置（商的十位在哪里、个位在哪里）。除数是整十数的除法法则适< br>用于所有除数是两位数的除法，在例2里形成的除数是整十数的除法计算法则，在例3、
例4里可 以直接应用于除数是一般两位数的除法。
除数是两位数的除法要转化成除数是整十数的除法进行试商， 学生需要先掌握除数
是整十数的除法，以此为基础才能学会除数是两位数的除法试商。
笔算两 、三位数除以两位数，试商和调商是教学重点，也是教学难点。人们已有的
试商方法很多，把除数看成最 接近的整十数，是最常用、最基本的试商方法。学生有找
到某个两位数最接近几十的能力，只需要一道例 题就能完成试商方法的教学。初商有时
会过大或过小，这就要调商。初商过大与过小的表现不同，调商的 方向与方法也不同。
因此，需要两道例题来教学调商的两种情况。
小学阶段整数除法的教学到 本单元就要结束了，应用除法解决稍复杂的实际问题，
有利于学生掌握两、三位数除以两位数的除法。探 索、发现并简单应用除法的“商不变
规律”，能进一步提高学生的除法计算能力，也为以后教学小数除法 储备基础知识。
（一） 教学两、三位数除以几十商是一位数的除法，先口算出商，再写出竖式，
作了细致的安排
例1 的被除数是两位数，除数是整十数，商是一位数。以最容易的几十除以几十（60
÷20）为起点，逐步 发展到几十几除以几十（96÷20）、几百几十除以几十（150÷30）、
非整十的三位数除以几十 （114÷30）的竖式计算，帮助学生逐步学会求商的思考方法，
初步学会用竖式计算除法。
1. 几十除以几十是两位数除以两位数里最容易的计算，也是最基本的计算。掌握
这些计算， 将为全单元的教学打下坚实的基础。
例1教学60÷20，“试一试”带出96÷20和150÷30 ，这些除法既要口算出商，还
要写出竖式。必须看到，“口算”是这些除法求商的主要方法，“竖式”是 在口算出商以
后才写出的。学生掌握这些口算，学会写出竖式，才能理解商在竖式上的位置，才能学习后面的两、三位数除以两位数的试商与调商。
学生看到除法60÷20，一般都能够说出商“3 ”。如果整理得出商的思路，一些人会
像“萝卜”卡通那样“算除法、想乘法”：因为20×3=60， 所以60÷20=3；一些人会像
“辣椒”卡通那样“从表内除法类推”：因为6÷2=3，所以60÷ 20=3。这些思路都正确
可行，前一种思路利用乘、除法的关系，比较严密；后一种思路由于还没有学 习除法的
商不变规律，暂时只能类比推理。配合例1的“练一练”编排四个计算题组，引导学生
从表内除法类推出相应的几十（几百几十或几百）除以几十的商，掌握口算求商的方法。
不要把“萝卜” 与“辣椒”的算法对立起来、隔裂开来，因为利用乘法口诀计算表内除
法就在“算除法、想乘法”。 < br>计算60÷20还要写出竖式。学生已经会笔算两、三位数除以一位数，联系已有的
经验，能够把 被除数和除数写成20）60。教学这个竖式要把力量放在“3为什么写在个

位上”。教材通过“茄子”卡通提出这个问题，让学生注意“3”是一位数，应该写在商
的个位上。如果 “3”不写在个位上，就不表示3，而是30或其他数了。
2. 两位数除以几十、几百几十除以几十（商是一位数）的计算，仍然要先口算出
商，再写出竖式。
“试一试”计算96÷20，得出它的商，可以想“20×（4）的积既小于96，又最接
近96”； 也可以想“9÷2商（4）”。这些都是已有的经验，学生应该能这样思考和求商。
教材让学生完成竖式 ，利用“□”规定商的书写位置，以及把商与除数相乘，并算出余
数，引导学生把除数是一位数的除法计 算经验迁移到两位数除以几十的上面。
“试一试”还要计算150÷30，学生得出商“5”不会有困 难。教材突出竖式中商的
位置，利用“□”指出“5”应写在个位上，接下来的商乘除数就让学生自主完 成了。
还要注意的是，教材要求验算96÷20和150÷30的计算。在两、三位数除以一位
数里，通常用“商×除数”或“商×除数+余数”来检验除法计算。现在仍然用这些方
法进行验算。验 算不仅是一种良好的习惯与态度，还是一种重要的学习策略。对于已经
知道算法的计算，验算能保证计算 正确；在探索新的算法时，验算能检验新算法是否正
确。
3. 加强最基本的求商练习。 < br>口算出两位数除以几十以及三位数除以几十（商一位数）的商，是两、三位数除以
两位数除法的基 本功。学生必须正确地、比较熟练地口算出两、三位数除以几十的商。
练习二的第1、2、3题为此而编 排，这三道题的共同点在于口算出商。第2、3两题在
得出商以后还写出竖式，有助于学生熟悉两、三位 数除以两位数的竖式的写法，体验商
的位置。
（二） 商是两位数的除法一般采用笔算，着重 教学除的顺序以及商的位置，并且
结合商是一位数的除法，初步形成两、三位数除以两位数的计算法则
例2计算380÷30，它的商是两位数，应分两步分别得出商的十位上和个位上的数。
“试一 试”计算425÷30和425÷50，它们的商分别是两位数和一位数，从这两题得出
两、三位数除以 几十的计算法则。
1. 教学商是两位数的除法，先估计商大约是多少，再进行笔算。
例1 及其“试一试”的商都是一位数，可以直接在个位上写商。例2和例1不同，
380÷30的商是两位数 ，为了克服思维定势的负面影响，教材先安排估计380÷30的商
大约是多少，通过估计知道商是十几 ，激活两、三位数除以一位数商是两位数的计算经
验，理解380÷30应该分两步除。
估计 380÷30的商大约是多少，要找到商所在的范围，其思考和表述应该是多样的
和富有个性的。如，因 为30×10＜380，所以380÷30的商可能比10大；因为30×20>380，
所以380÷ 30的商比20小；因为380÷30的商比10大，比20小，所以商是十几。无
论哪一种估计，其结 果都应聚焦于“380÷30的商是两位数”。于是联系两位数除以一位
数，商是两位数的计算经验，明 白380÷30应该分两步除，先得出商十位上的数，再得
出商个位上的数。
例题笔算380 ÷30，已经写出的竖式上，商的十位上是1，要求学生思考并解释“（这

里 的）1为什么写在十位上”。既可以从“38个十除以30得1个十”来说明，也可以从
“380÷30 的商是十几（即一个十和几个一）”来说明。被除数十位上余下来的数要和个
位上的数合起来继续除，是 已有的经验。因此，让学生思考“接下去怎样算”并继续完
成竖式计算。
2. 计算教学应该尽量形成计算法则，在“得出法则、理解法则、应用法则”的
过程中发展智力，培养能力。
四则计算是有法则的，法则高度概括了计算的步骤、方法与要领，是后面进行同类
计算的操作依 据。新课程主张让学生在探索算法的实践中形成法则，不仅知道法则所说
的计算行为，而且懂得为什么这 样计算的道理。所以，教材没有把除法法则直接呈现出
来，而是把总结法则的机会留给学生，通过“和同 学说一说，除数是整十数的除法可以
怎样计算”，引导学生初步得出法则。一方面可以应用法则计算同类 型的除法，另一方
面作为两、三位数除以两位数计算法则的孕伏。
“试一试”给出的425÷ 30和425÷50，分别是例2和例1教学的除法。让学生计
算这两道题，既消化商是两位数的除法计 算方法，又重温商是一位数的除法计算。比一
比这两道题的计算，从商的位数不同，追溯到除的步骤不同 ，根据被除数425的前两位
“42”比除数30大、比除数50小，判断每一道除法题的第一步应该怎 样做，由此得出
除数是两位数的除法法则。教学可以抓住三位数除以整十数的计算要点，突出“怎样除”
和“商写在哪里”，概括出计算法则。三位数除以整十数的算法一般表述成两句话：先
用被除数 前两位上的数除以除数，商写在十位上面；如果被除数前两位上的数比除数小，
就用三位数除以除数，商 写在个位上面。
3. 设计多种形式的练习题，帮助学生逐步掌握计算法则。
（1） “练 一练”口答350里面最多有（）个40，542里面最多有（）个80，进一
步提高求商的能力。这是 本单元最基本的能力，教学应该经常安排训练。让学生先说出
“最多有几个几十”，再写竖式计算，体会 像这样的口答是求商的思考方法。
（2） 练习二第6题“填□完成竖式计算”，“扶”着学生按计算 法则完成商是两位
数的笔算。初步进行商是两位数的除法计算，给学生适当的“扶”，能避免不必要的错
误与麻烦。
（3） 练习二第7题给出三个计算题组，如324÷20和324÷60等。每 组中一道除
法的商是两位数，另一道除法的商是一位数。让学生“算一算、比一比”每组的两道题，体会三位数除以整十数，什么情况下商是两位数，什么情况下商是一位数，什么情况下
要先除被除数 的前两位，什么情况下要除被除数的前三位，从而较好地理解和掌握法则。
（4） 练习二第10题编 排乘、除法口算题组，如400÷50和50×8；280÷70和70
×4等。通过口算能再一次体验 乘、除法之间的联系，提高口算能力，尤其是几百除以
几十、几百几十除以几十的求商能力。
（5） 练习二第11题，先说出两、三位数除以整十数的商是几位数，再计算。如
820÷4 0、624÷80等。根据被除数前两位上的数比除数大还是比除数小，按计算法则确
定商是两位数还是 一位数，一方面能熟练掌握法则，另一方面培养了估计的习惯。
（三） 优化试商和调商的教学方法，引导学生主动开展试商和调商的活动，培养

解决问题的能力
除法的试商和调商，既是计算知识，更是计算技能。计算知识转化成计算技能 ，首
先要使新的计算与已有认知结构发生有意义的联系，与相关的知识经验相融合，其次要
经过 必要的训练，使计算知识逐渐内化成个体自主计算的程序。这两点是例3、例5、
例6三道例题以及练习 配制的编写思想。
1. 优化试商的教材结构，引导学生主动试商。
例3教学两、三位数 除以两位数竖式计算的试商。这个内容历来是除法教学的一个
难点。过去，往往采用学生被动接受的教学 方式，教师把试商的方法讲给他们听，示范
给他们看，让学生在模仿中学习试商。结果是，一些数感较强 、能够直接看出商的学生
“被迫”按照规定的程序去试商，一些求商能力差的学生仍然没有学会试商。本 单元教
材优化试商的教学方法与过程，分以下四步进行。
第一步，按教材提示尝试计算96÷ 32，初步体会试商方法。例3在列出除法算式以
后，由“白菜”卡通告诉学生“32接近30，把32 看作30来试商。”并在竖式中除数的
上面写出“30”，要求学生完成相应的计算。这一步教学要注意 两点：（1） 把除数32
看作30试商的意思是，把96÷30的商作为96÷32的商，看行不行。 所以，96÷30商
是3，96÷32的商也看作3。（2） 商“3”必须与除数32相乘，不能和3 0相乘，因为
现在算的是96÷32。有些学生可能会直接看出96÷32商3，教学应该帮助他们获得 这
样的体验：看出96÷30的商更加容易，从96÷30的商是3，判断96÷32的商可能也是3，是一种试商方法，像这样的试商方法可以应用于其他两、三位数除以两位数的除法
计算。 第二步，“试一试”独立计算192÷39。被除数从两位数变成三位数，除数从32变
成39。教 材通过“茄子”卡通提示学生“39接近几十？可以把39看作几十来试商？”
引导学生从192÷40 商4，得出192÷39也可能商4。再次经历把除数看成最接近的整
十数试商的过程，体验试商的方法 。
第三步，回顾例3和“试一试”的求商过程，总结两、三位数除以两位数的计算方
法。这里 的总结，一方面是如何试商，另一方面是计算两、三位数除以两位数的除法法
则。试商方法是新知识，应 该认真总结。除数是两位数的除法，可以利用除数是整十数
的除法求商，正像“萝卜”卡通所说的“把除 数看作和它接近的整十数试商”。两、三
位数除以两位数的计算法则，与两、三位数除以整十数的法则完 全相同，要把以前形成
的两、三位数除以整十数的计算法则扩展到两、三位数除以两位数的上面。正像“ 番茄”
卡通说的“先用被除数的前两位除以除数”，以及“蘑菇”卡通说的“如果被除数的前
两 位比除数小，就用前三位除以除数。”
第四步，在“练一练”里进行试商练习。教材安排97÷23、 240÷57等四道两位数
除以两位数或三位数除以两位数的除法。在每一道题的除数上面写出了与它最 接近的整
十数，让学生看着97÷20、240÷60等式子进行试商，内化试商的方法。练习三第1题
配合例3编排，给出四道两、三位数除以两位数的计算题，要求“先说说把除数分别看
作几十来 试商，再完成竖式计算”，让学生进一步体会试商是计算除法的重要步骤。第4
题编排了像99÷33、 99÷38，510÷87、510÷82这些题组，同组两题的被除数相同，

除数不同。一题用“四舍”把除数看作整十数，另一题用“五入”把除数看作整十数，
是除法试商的综 合练习。
2. 优化调商的问题情境，引导学生主动调商。
如果试商试出的初商过大或过 小，都需要调商。调商作为试商的延续与发展，能保
证除法计算的正确进行，也能有效提高学生的计算能 力。
当被除数小于除数与初商的乘积时，则初商过大，应该调小一些；当余数大于或等
于除数 时，则初商过小，需要调大一些。教材没有把这些知识机械地灌输给学生，而是
通过具体情境和现实问题 ，让学生在识别除法计算中的一些不妥当现象以及解决这些问
题的过程中，主动进行调商活动。
在除数是一位数的除法中，学生已经知道余数必须比除数小；如果遇到商乘除数的
积比被除数大，知道 “不够减”。这些都是教学调商可以利用的资源。
教材注意到调商是教学难点，把需要调商的两种情况 分开编排，以分散难点。先安
排一道例题把过大的初商适当调小，再安排一道例题把过小的初商适当调大 。两道例题
各编排“练一练”，并且在练习四里安排调商的综合练习。
例5在“34人一共借 书272本，求平均每人借多少本”的问题情境中，尝试计算
272÷34。让学生自己发现问题、自己 解决问题，经历如下的过程：把除数34看作30
试商，得到初商9；把初商和除数相乘，得到的积30 6比被除数272大。这表明初商过
大，于是把商改成8，完成这道除法计算。
可以从两个方 面理解“初商过大”。一是联系实际问题来理解：272本书平均分给
34人，如果每人分得9本，需要 306本，超过一共借的272本，所以商不是9，而是8。
二是联系除法计算经验来理解：如果商乘除 数的积大于被除数，表明商大了，应该调小
一些。
例6在“36人一共借书252本，求平均 每人借多少本”的问题情境中，尝试计算
252÷36。发现并解决发生的问题，经历如下的过程：把3 6看作40试商，得到初商6；
初商与除数相乘，用被除数减这个乘积，得到余数36；观察余数与除数 ，发现余数等于
除数。这表明初商过小，于是把商改成7，完成这道除法计算。
学生也可以从 两个方面来理解“初商过小”。一是联系实际问题的理解：252本书平
均分给36人，每人分得6本， 分掉216本，剩下36本，每人还可以再分得1本，即每
人分得7本。二是根据除法计算经验理解：如 果余数等于或大于除数，表明商小了，应
该调大一些。
还应该联系试商，帮助学生理解初商过 大或过小的原因。试商时，如果把除数看作
比它小的整十数（如32看作30、64看作60），由于除 数看小了，商可能会变大了；如
果把除数看作比它大的整十数（如37看作40、88看作90），由于 除数看大了，商可能
会变小了。这些理解，有利于学生更好地试商与调商，还发展了他们的数感。
练习四里的几个题组需要注意。
第1题、第5题、第9题都设计了题组，每组两道除法题。同 组两题的试商方法相
同（或相近），初商相同，其中一道题不需要调商，另一道题需要调商。这些题组让 学
生明白：计算每一道除法都应该试商，有些题的初商就是所求的商，有些题的初商需要

适当调整。
第11题编排三个题组，同组两道除法题的被除数相同，除数不同。其 中一道题的
除数要“四舍”看作整十数进行试商，初商要调小；另一道题的除数要“五入”看作整
十数进行试商，初商要调大。这些题组有助于学生全面掌握试商方法和调商方法。
第16题编排三个 题组，要求学生“说说商的最高位可能是几”，即某题的商如果是
两位数，则说出商的十位上可能是几； 某题的商如果是一位数，则说出商可能是几。有
时，试商得到的初商不需要调整，则商的最高位上就是这 个商。如612÷18的商的最高
位上是3（61÷20商3，不需要调商）；186÷56的商是3（ 186÷60商3，不需要调商）。
有时，得到的初商需要调整，回答商的最高位上的数，可以是初商， 也可以是调整以后
的商。如，552÷18的商的十位上可能是2（55÷20商2），也可以回答是3 （调商以后
是3）；604÷23的商的十位上可能是3（60÷20商3），也可以回答是2（调商以 后是2）。
（四） 提供研究的内容和任务，提示研究的方法和步骤，引导学生在计算实例中
感悟商不变规律
例7 教学商不变规律，其现实意义有以下几点：第一，沟通表内除法与几十除以几
十、几百几十除以几十等除 法的内在联系，更好地利用表内除法口算稍难些的除法，提
高试商的能力；第二，把类似4000÷60 0、5400÷800等较大数的除法转化成除数是一
位数的除法进行计算；第三，为五年级计算除数是 小数的除法储备基础知识。当然，在
发现和得出商不变规律的过程中，还能培养观察、比较、分析能力， 抽象、概括能力，
判断、推理能力，就不具体展开说明了。
1. 利用共同的例子和个体的例子得出商不变规律。
一道除法题的被除数和除数如果同时乘一个不是0的数 ，商不变；如果同时除以一
个不是0的数，商也不变。例7把被除数和除数同时乘一个数与同时除以一个 数安排在
一道例题里教学，可以提高效率，直接得出比较完整的规律。例题的教学过程大致安排
成四步。
第一步，集体研究100÷20这道除法题。100乘或除以一个数、20乘或除以一个数< br>都很容易口算，而且100与20的公因数比较多，所以100÷20的被除数和除数乘或除
以一 个不是0的数，能够演变出许多道除法算式，这对发现商不变规律是十分有利的。
教材在表格里列出了被 除数和除数同时乘2、乘4、除以2、除以4等变化，已经写出或
者让学生写出相应的除法算式，通过求 出各道除法算式的商，清楚地显示出100÷20的
被除数、除数同时乘或同时除以一个数，商保持不变 。学生通过计算与填表，首次感知
商不变规律。
第二步，自己找一些例子算一算、比一比，看 商有没有变化，继续感知商不变规律。
商不变规律是众多除法的共同规律，让学生进行广泛的实例研究， 在相互交流中共享学
习资源，从而体验商不变规律是除法中的普遍现象。教材的这个安排，也在培养科学 的
研究态度与严谨的学习习惯。应指导学生选择没有余数的除法，先求出商，再把被除数
和除数 同时乘或除以一个数，得到新的除法算式并求出商，然后比较算式变化前后的商，
看有没有变化。 第三步，在100÷20以及自己列举的除法算式等具体素材中，提炼出商不变规律。

可以先归纳出被除数和除数同时乘一个数，商不变；再归纳出被除数和除数同时除以一
个数 ，商不变；然后合并成被除数和除数同时乘或除以一个数，商不变。像这样由部分
到整体的认知线索，是 人们发现和总结规律的一般步骤，也符合儿童的年龄特征和智力
发展水平。
第四步，再认同时 乘或除以的那个数不能是0。我们已经知道，除数不能是0，因
此被除数和除数不能同时除以0。如果被 除数和除数同时乘0，除法算式则变成0÷0，
这也是不可以的。所以，讲述商不变规律应该明确指出“ 0除外”。
“练一练”利用30÷6=5，让学生经历被除数和除数同时乘3、乘10、除以2、除< br>以3，而商不变的过程，再一次体验商不变规律。练习五第5题在购买计算器的问题情
境里，联系 计算器的总价与数量发生相同的变化（乘或除以同一个数），单价保持不变
的事实，又一次说明商不变规 律的合理性和客观性。
2. 应用商不变规律，使一些除法计算简便。
有些除法，被除数 和除数都是整十数、整百数或整千数，应用商不变规律能够转化
成除数是一位数或两位数的除法。这种转 化，能使口算与笔算简便些。正如例8第（1）
小题里的900÷50可以转化成90÷5，第（2）小 题900÷40可以转化成90÷4。
教学900÷50的计算，教材示范了竖式上应用商不变规律简 化计算的方法与书写格
式：根据除数末尾有一个“0”，在除数和被除数末尾各划去一个“0”。还通过 “番茄”
卡通的质疑“被除数的末尾为什么只划去一个0”，帮助学生理解这里是如何应用商不变
规律的。体会如果被除数末尾划去两个0，除数末尾只划去一个0，那么被除数和除数
就不是同时除以 一个相同的数，商将发生变化。
教学900÷40的计算，重点放在被除数和除数同时除以一个相同的 数，虽然商不变，
余数却变了。这也是教学的难点。教材把这个知识点置于900元钱买单价40元的队 号
的实际问题里，通过可以买22把，还剩20元这个现实的答案，体会余数应该是20，不
是 2（40×22+20等于900，40×22+2不等于900）。另外，如果不应用商不变规律，直
接计算900÷40得到的余数是20，也能说明被除数和除数同时除以10，商虽然不变，
但余数变了 。
（五） 结合除法计算的教学，解决实际问题
本单元练习里编排了许多实际问题，有些是 一步计算的问题，有些是两步计算的问
题，但都与除法有关。有些题学生能够独立解答，有些题编排例题 教学解法。
1. 解答一步计算的问题，要有意识积累数量关系的知识。
解答一步计算的问 题，学生会很快列出算式并进行计算。编排这些一步计算的问题，
其目的不仅在于练习除法计算，还可以 体会相应的数量关系。比如，练习二第8题，玫
瑰花的总枝数÷每束的枝数=束数……剩下的枝数；第1 4题，水果的总箱数÷每次运的
箱数=运的次数。理解和掌握常见数量关系，需要平时经常关注和积累。 对数量关系有
了丰富的体验，解决实际问题的能力自然就强。因此，教学一步计算的实际问题，一方面要注意学生的计算是不是正确，另一方面要让他们说说具体的数量关系。
值得注意的是练习二第 15题，第一次解答已知长方形的面积和长的数量，求宽是
多少的实际问题，教材希望学生按自己的想法 求出长方形的宽，并联系乘、除法的关系，

逐步形成有结构的数量关系式：长 ×宽=长方形面积，长方形面积÷长=宽，长方形面积
÷宽=长。
2. 解答两步计算的实际问题，要加强解题思路的练习。
第一学段已经教学了许多两步计算的实际问题，并 且以培养解决问题的策略和发展
数学思考为目的，教学了从条件向问题的推理和从问题向条件的推理。本 单元的练习里，
编排了一些学生比较熟悉的两步计算实际问题，经常温习分析数量关系的方法，强化解< br>题思路。学生解答这些实际问题，一般不会有困难。应该尽量让他们独立解题，并组织
他们交流解 题的思考。比如，练习二第14题，根据已知的300箱苹果和260箱梨，可
以算出一共有多少箱水果 ；要求一辆汽车几次运完这些水果，需要知道一共有多少箱水
果和每次能运走几箱水果。又如，练习三第 6题，已知水泥厂14天生产水泥154吨，
可以算出平均每天生产水泥多少吨；求生产198吨、26 4吨、396吨水泥各需要多少天，
应该知道每天能生产水泥多少吨。
3. 教学连除计算的实际问题，进一步加强从条件向问题推理的思路。
连除问题里一般有三个已知条件，它 们两两相关。比如例4，“一共224本书”“放
在2个书架上”“每个书架有4层”。根据“一共22 4本书”和“放在2个书架上”，可
以算出平均每个书架放112本；根据“2个书架”和“每个书架有 4层”，可以算出一共
有8层；根据“一共224本书”和“每个书架有4层”，可以算出2个上层（或 2个中
层、2个下层）放56本。正是这些交叉联系使连除计算的问题有多种解法，也正是这些
交叉联系的相互干扰，使解题思路变得复杂、困难。
人们解决连除实际问题，一般采用从条件向问题的 推理。比如，先根据“一共224
本书”和“放在2个书架上”，算出平均每个书架放112本书；再联 系“每个书架有4
层”，算出平均每个书架每层放28本书。或者，先根据“2个书架”和“每个书架有 4
层”，算出一共有8层；再联系“一共224本书”，算出平均每个书架每层放28本书。
当 然还可以根据“一共224本书”和“每个书架有4层”，先算出2个上层（或2个中
层、2个下层）放 56本书；再联系“2个书架”，算出平均每个书架每层放28本书。
例4设计了“寻找条件与问题， 分析数量关系”“用一种方法列式解答”“检验结果
并回答问题”“回顾解决问题的过程，积累经验体会 ”四个教学板块。其中，分析数量
关系要求“找出有联系的两个条件，说说可以先算什么”，这就是从条 件向问题推理的
策略。每个学生只要用一种思路列式计算，求出结果。鼓励不同学生采用不同思路、不< br>同算法解题，相互交流解题的思考与方法。解决问题应该自觉检验结果，每个学生只要
选择一种方 法进行检验，不同学生可以采用不同方法检验；回顾解决问题过程包括：采
用了什么方法？为什么采用这 种方法？是怎样想到这种方法的？还有别的思考吗？还
有更好的解法吗？怎样检验结果？这些反思所积累 的就是解决问题的经验和能力。
教学例4还要注意以下几点。
第一，引导学生广泛收集可以 用于解题的信息。这道例题图文结合创设问题情境，
数据信息以几种不同方式呈现。图画里给出“每个书 架有4层”一个条件，对话里给出
“2个书架上一共放224本书”两个条件。教学应该引导学生在问题 情境里找出这些已
知条件，并且用自己的语言口述一道有三个条件和一个问题的实际问题。他们对题意的

理解越清楚，解题就会越顺利。
第二，找准一个切入口，有序地推 理，组织起完整的解题思路。条件之间的多重联
系，既是形成解法的资源，也是分析数量关系的障碍，因 为这些多重联系有可能互相干
扰。所以，分析连除问题的数量关系，应抓住某两个条件之间的一种联系往 下推理，先
找到并解决一个中间问题，再联系另一个条件解决所求问题。如，根据“2个书架一共
放224本书”，先算出平均每个书架放112本书，再联系“每个书架有4层”，算出平均
每层放2 8本书。或者根据“每个书架有4层”和“2个书架”，先算出一共有8层，再
联系“一共224本书” ，算出平均每个书架每层放28本书。教材中，“番茄”和“萝卜”
卡通各抓住了条件之间的一种联系， 形成了自己的思路，都解决了问题。
第三，组织学生交流不同的思考和解法，体会连除问题的条件之间 的联系是多向的，
思路是开放的，解法是多样的，但不要求学生“一题多解”。即不进行采用不同解法解
答同一道实际问题的练习。另外，关于先算两个“第一层”一共放56本书，再算“一
个书架一 层放28本书”的解法，如果没有学生想到，就不要出现在教学中。即使有少
数学生想到，也不一定要求 所有学生都接受和采纳。
第四，检验解题的结果十分重要，它不仅能保证答案正确，而且是一种负责任 的态
度，应该大力培养。检验连除问题答案的方法主要有两类：一类是利用“不同解法的结
果相 同”，相互印证“解答正确”；另一类是把求出的“每个书架每层放28本书”当作
条件，看2个这样的 书架是不是放224本书。也就是说，在求出“每个书架每层放28
本书”以后，把实际问题改编成“每 个书架有4层，平均每层放28本书，2个这样的书
架一共放多少本书”这样一道连乘问题，可以检验连 除问题。像这样“把得数代入原题”
的检验方法，在以后的解题中会经常使用，应该帮助学生逐步学会并 主动应用。
第五，回顾解决问题的过程，是为了积累数学活动经验。解题是一种数学活动，解
题经验是数学活动经验的一部分。组织学生回顾解题过程，主要是说说自己的体会。教
学不可以忽视这个 环节，应该组织学生就“怎样思考和形成思路”“怎样分析数量关系
和形成解题方法”“怎样检验结果” 等几个方面，进行交流和总结。
（六） 设计第二学段单元的《整理与练习》，调动学生自主学习的积极性
苏教版小学数学教科书为一些大单元 编排单元复习。第一学段单元复习的标题是
《复习》，编排若干道练习题，通过解题回忆全单元教学的主 要知识内容，体验应用知
识解决问题的基本思想与方法。第二学段单元复习的标题是《整理与练习》，不 仅要回
忆所教学的知识，而且要整理知识内容，形成良好的认知结构；不仅要应用知识解题，
而 且要开展小型的实践活动，积累应用知识解决实际问题的经验；不仅要评价自己掌握
知识的水平与能力， 而且要全面反思自己的学习状况，形成积极向上的学习情感。《整
理与练习》分“回顾与整理”“练习与 应用”“探索与实践”“评价与反思”四个栏目编
写，每个栏目都安排了具体的内容。
1. “回顾与整理”栏目里，着重回忆全单元的主要内容与重要知识，并且沟通知
识之间的内在联系，组织起 新的认知结构。
本单元主要教学三个数学内容：一是两、三位数除以两位数的除法，二是两步连除计算的实际问题，三是商不变规律。通过本单元的教学，学生应该知道哪些除法可以口

算，哪些除法需要笔算；应该掌握两、三位数除以两位数的计算法则，试商和调商的方
法； 理解商不变规律并应用于某些除法计算；会分析两步连除计算实际问题的数量关系
并正确解答。
教材根据本单元的内容与要求，提出问题“这一单元，你学会了哪些计算？发现了
什么规律？”引导学 生回忆和整理全单元的主要知识。学生的回忆很可能点点滴滴、零
零星星，要帮助他们归纳出三个主要内 容，并整理成合理的结构。有关除法计算的知识
内容可以整理成这样几点：
（1） 比较容易 的几十除以几十、几百几十除以几十的除法一般口算，如90÷30、
240÷30等；两、三位数除以 两位数一般笔算，如84÷17、468÷37等。
（2） 口算几十除以几十、几百几十除以几十， 可以应用商不变规律，化简成一位
数除以一位数、几十几除以一位数进行口算。如240÷30可以看成 24÷3来计算。
（3） 笔算两、三位数除以两位数，可以看成两、三位数除以整十数来试商。得到
的初商有可能过大或过小，需要适当调商。
对于除法计算还可以深入回忆与整理。两、三位数 除以两位数一般怎样试商？把除
数看成整十数试商有什么好处？为什么会出现初商过小或初商过大的情况 ？如何发现
初商过小或过大？如何调商？
复习连除计算的实际问题，应该整理分析数量关系的 思路。联系具体的问题，说说
一般采用什么策略，怎样从条件向问题推理。
复习商不变规律， 应指向具体的除法算式，说说规律的内容，说说应用规律进行计
算时应注意些什么。
2. “ 练习与应用”栏目里，编排了11道练习题，应用本单元教学的知识，进行
有关除法计算和解决实际问题 。
可以利用第1题加强口算训练，利用第2题反思除法的试商和调商方法，利用第3
题进行除 法计算的练习，利用第6题解释商不变规律及其应用，利用第7题加强对商不
变规律的体验，利用第8题 渗透除法性质，利用第4、5、9、10、11等题体会分析数量
关系、确定解题思路的方法。
第2题是除法题组，同组的三道题中，一道的除数是几十，另两道的除数是一般两
位数。而且一题“四 舍”试商，一题“五入”试商；有一题或两题需要调商。教学这道
题，应组织“算一算”“比一比”“说 一说”等学习活动，分别算出各题的商，比较同组
三题的相同点和不同点，使学生有结构、有深度地理解 除法法则。
第7题根据888÷24=37直接得出六道除法题的商，灵活应用商不变规律。从888
÷24=37到444÷12、222÷6、111÷3，连续使用被除数和除数同时除以同一个不是0
的数，商不变。再到333÷9、555÷15、999÷27，连续使用被除数和除数同时乘同一个< br>不是0的数，商不变。看出从一道算式到另一道算式的变化，理解被除数与除数同时、
同样进行变 化，商不变，就加强了关于商不变规律的体验。
第8题通过题组渗透除法性质。比较360÷12与3 60÷3÷4等三组题，体会360除
以12相当于360除以3再除以4，就渗透了除法运算的性质。
3. “探索与实践”栏目里，编排2道练习题，这些题不同于以前解答过的问题，

含有新的内容，需要通过探索、实践来解决问题。
第12题，通过“每次运苹果的箱数”不变 ，“总箱数”越多，“运的次数”越多这
个事实，加强对数量关系“总箱数÷每次运的箱数=运的次数” 的体验；渗透“被除数
乘2、4、5，除数不变，商也乘2、4、5”的规律，蕴含着简单的函数思想。
第13题，调查家乡到北京的路程以及主要交通工具的行驶速度，计算从家乡到北
京所需要的时 间，培养利用和收集数据的意识与能力。这是一次小型的实践活动。
4. “评价与反思”栏目里，回 顾主要知识的学习过程以及自己的表现，通过“给
自己画几颗星”的方式，评价自己的学习态度、学习方 法和学习效果，培养积极的数学
学习情感。
如关于除法计算的学习，态度上是不是“积极探索 ”“积极总结”，效果上是不是“会
正确计算”。又如关于两步连除计算实际问题的学习，态度上能不能 自觉运用已经学习
的解决问题的策略，能不能经常反思解决问题的过程，解题水平上是不是能正确解决实
际问题，是不是积累了解决问题的经验。
2简单的周期规律探索
日常生活中经常会遇到周期现象。
《辞海》对“周期”的解释是：（1） 物体（或物体的一 部分）、物理量完成一次振
动（或振荡）所需要的时间。振动物体或振荡量在经过一个周期以后，回复到 初始状态。
（2） 天体（或其他物体）再度回到某一相对位置或恢复同一状态所需要的时间。小学数学所说的“周期”比较宽泛，主要指物体或其他对象，重复回到开始状态的现象。比
如，一年12 个月，周而复始地一月、二月、三月……十二月；一星期工作5天、休息2
天，工作5天、休息2天…… 依次不断重复；春、夏、秋、冬……四季轮回等。这些现
象都有一种“循环出现”的结构，这种具有确定 结构的现象我们称之为“周期现象”。
本次探索规律，把贴近学生的生活和认知水平的简单周期现象作 为研究对象，着重
观察若干个物体有规律的排列，发现并描述排列规律，还要根据周期规律对后续排列作
出判断。这些内容与任务，能激发探索规律的热情，提高发现规律的能力，培养遵循和
利用规律 的态度。教材按“初步观察周期排列现象——深入研究周期规律——根据周期
规律作出简单判断——回顾 探索规律过程”的线索编写。
（一） 在“初步观察周期排列现象”环节，教材呈现一幅情境图，由近 到远依次
是盆花、彩灯、彩旗，它们都有规律地摆放着
摆放的顺序（即周期规律）都表现在颜 色上，比较醒目，容易看出来。“白菜”卡
通问学生“盆花、彩灯、彩旗的排列有什么共同特点？”引导 学生关注这些物体的“排
列”，寻找它们排列的共同点。通过仔细观察与比较，体会“盆花、彩灯、彩旗 的排列
都是有规律的”，“三种物体都是一组一组地排列的”，“同一种物体中，每组的排列完全
相同”。学生获得的这些体会，就是对简单周期现象的初步感受，表明他们已经进入研
究周期规律的学 习状态。
（二） “深入研究周期规律”环节是探索活动的重点所在
先研究盆花的排列规律 ，再研究彩灯、彩旗的排列规律。盆花的排列规律是重中之
重，对它的研究会影响对彩灯、彩旗的研究。 情境图中，盆花的摆放是蓝花、黄花、红

花、蓝花、黄花、红花、蓝花、黄花 、红花。很清楚盆花的摆放是“3盆为一组”，各组
都按“蓝花、黄花、红花”的顺序排列。学生看到并 说出这两点，就了解了盆花的排列
规律。交流发现的排列规律，可以用语言描述，说出上述的两点。也可 以用其他方式与
方法。如，写出“蓝、黄、红、蓝、黄、红、蓝、黄、红”，或者选三种不同形状（不< br>同颜色）的图形（符号）分别表示蓝花、黄花和红花，用三种图形的有序排列来表示盆
花的排列。 总之，研究盆花排列中的周期规律，应该明白把几盆看作一个周期，同一周
期内是怎样排列的，应该培养 表达规律的习惯或能力。
彩灯的排列规律、彩旗的排列规律，虽然比盆花稍复杂一点，但有探索盆花排 列规
律的经验为基础，困难不会很大。教材通过提出问题“彩灯是按什么规律排列的？”“彩
旗 是按什么规律排列的”，放手学生独立探索、自主交流。关于彩灯的排列规律，应该
找到“4盏为一组” “每组都是红灯、紫灯、绿灯、紫灯的顺序”。至于彩旗的排列规律，
应该找到“4面旗为一组”“每组 都是先两面红旗、再两面黄旗”。彩灯与彩旗的排列规
律都可以选择适当的办法表达出来。
（三） “根据周期规律作出简单判断”环节，要体会情境图里的三种物体都可以
“照样子”继 续摆下去，即周期现象是“周而复始”“无限循环重复”的
根据发现的周期规律，能够对接着的排列作 出判断。教材提出问题“按盆花的排列
规律，第19盆花是什么颜色？”情境图里只画出9盆花，第19 盆花没有画出来，利用
盆花的周期规律，能够得出第19盆花的颜色，而且方法多样。“画一画”“算一 算”“想
一想”等都是解决问题的办法。按盆花的排列规律“蓝、黄、红花3盆一组”，依次画
出第1盆到第19盆花，能够得到第19盆花的颜色。按“3盆一组”计算除法19÷3=6
（组）…… 1（盆），根据余数“1”可以判断第19盆是蓝花。如果想“18盆花是6组，
第19盆花是第7组的 第1盆，由于各组的第1盆都是蓝花，所以第19盆应该是蓝花。
这些方法虽然不尽相同，但“3盆为一 组”“各组花的颜色顺序相同”是每一种办法的出
发点。上述的后两种方法是一致的，都是思考第19盆 花在第几组、第几盆，根据“每
组第1盆是蓝花、第2盆是黄花、第3盆是红花”得到问题的结论。教学 一方面要肯定
学生的每一种方法，另一方面要引导学生关注后面的两种方法。理解除法算式的具体含义，体验“余数”是解决问题的关键，学会从余数出发进行判断与推理。
第20盏彩灯是第5组的 第4盏（20÷4=5），根据“红、紫、绿、紫”的排列规律，
可以确定第20盏是紫灯。第23盏是 第6组的第3盏（23÷4=5……3），应该是绿灯。
教材选择第20盏与第23盏是有意图的，第2 0盏在一个周期的结束位置上，第23盏在
一个周期的中间，学会判断一个周期的第一盏、最后一盏、中 间某一盏的颜色，有关问
题就都能解决了。
第26面彩旗、第28面彩旗的颜色不难判断，思 考方法与前面判断盆花的颜色、彩
灯的颜色相同。通过这两面彩旗颜色的判断，能进一步体验周期规律， 牢固把握周期规
律的两个基本点：多少为一组，一组内部的排列顺序怎样。
教材在学生充分感 受盆花、彩灯、彩旗等周期排列的基础上，指出“像上面这样同
一事物依次重复出现叫作周期现象”，概 括讲述了周期现象的本质特征——依次重复出
现。学生凭对周期现象的初步认识，联系自己身边的一些事 物、事件，列举生活中的周

期现象，能获得关于周期现象的更多体验。 用△、□、○这三种图形设计一个按周期规律排列的图形序列，是一次很开放的操
作活动。可以设计 出较简单的周期排列序列，也可以设计出稍复杂的周期排列序列。应
该让学生独立设计，并说清楚其中的 周期规律。如果能选择适当形式正确表达周期规律，
就实现了教材编排这项活动的目的。
（四） “回顾探索周期规律的过程”应组织学生说说对周期现象的认识
体会发现周期规律至 少要观察两组物体的排列，如果在更多组物体中寻找排列规律
就更加好了；说说表达周期规律可以采用的 方法，体会用符号画一画既清楚又方便，增
强符号意识；说说解决周期现象中的问题的方法和要领，把周 期现象里的数学内容转化
成除法，体会数学的抽象性和严密性。
3单元：观察物体
“观察”是人们认识客观世界和身边事物最基本的方法之一，大量的信息通过人
的视觉窗口进入大脑。观 察能力是人的基本能力，观察能力强的人善于找到并表达物体
的特征，而观察能力弱的人往往抓不住物体 的主要特点。苏教版小学数学教科书以培养
学生的观察能力为目的，编排了一些《观察物体》的单元。第 一学段的主要内容是：根
据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体；第二学段的主要 内容是：
能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。四年级学生的年龄虽小，已在日常生
活中积累了一些观察物体的方法与经验。本单元教学观察物体，既要利用已有的相关经
验，更要教会学生 “数学地”看物体，包括通常在哪里看、怎样规范地看、看到的形状
如何表达……全单元编排三道例题， 具体安排见下表：
例1物体的前面、右面和上面，从前面、右面、上面观察常见物体
例2从前面、右面、上面观察简单的几何体，用图形表示看到的形状
例3观察稍复杂的几何体，并表示看到的形状
小学数学里的“几何体”，主要是指长方体、正 方体、圆柱、圆锥以及由若干个大
小相同的小正方体拼成的物体。从不同角度观察长方体、正方体、圆柱 、圆锥分别安排
在认识这些几何体的单元里，而《观察物体》单元着重于若干个相同小正方体拼成的几< br>何体。
（一） 联系生活经验，辨认长方体、正方体形状的物体的前面、右面和上面，初
步体会观察物体的方法与要领
例1教学长方体形状的物体的前面、右面和上面，以及从这些位置观察物体。这是
因为长方体有 前与后、左与右、上与下三组相对的面，相对的面形状、大小完全相同，
在三组面里各观察一个面，就能 了解物体的主要特点。而观察前面、右面、上面比较方
便，因此人们往往观察物体的前、右、上三个面。
1. 辨认投票箱的前面、右面和上面。
日常生活中许多物体的形状是长方体或接近长方体 的，正如例1里的投票箱，还有
文具盒、洗衣机、电冰箱等。由于使用的习惯，人们已经约定了这些物体 的“前面”。
如，有“投票箱”三个字的那个面是投票箱的前面，有“门”的那个面是电冰箱的前面。< br>物体的前面确定以后，它的右面和上面就容易辨认了。

例1把投票箱 放在讲台上，让有“投票箱”三个字的面对着学生，要求指出投票箱
的前面、上面和右面。引导学生联系 生活经验开展数学活动，把正对着自己有“投票箱”
三个字的面称为前面，把自己右手边的那个面称为右 面，物体上边的那个面称为上面，
初步体会物体的前面、右面、上面的含义。
“练一练”把文 具盒放在课桌上，它的前面、右面和上面，也要联系学生的生活经
验以及习惯来辨认和确定。一般来说， 哪个面是文具盒的上面不会有争议，哪个面是文
具盒的前面或右面，多数人的意见会一致。但如果个别学 生有不同的想法，只要有道理，
也是允许的。
2. 从前面、右面、上面观察投票箱。 < br>识别投票箱的各个面，是为了从这些面去仔细观察投票箱，这是例1的教学重点。
教材提出问题“ 从前面、右面和上面观察投票箱，看到的形状分别是怎样的？”鼓励学
生积极开展观察投票箱的活动。
这段教学，首先要组织学生讨论：从前面、右面、上面观察投票箱，应该分别站在
什么位置上？ 体会“从前面看”要站在投票箱的前面观察；“从右面看”应该站在投票
箱的右边观察；“从上面看”应 该紧靠着投票箱的前面，低头往下观察。然后要组织学
生讨论：怎样表示和交流看到的形状？体会把看到 的形状“画出来”，图形能比较方便
地表达与交流。教材里的“辣椒”“番茄”“蘑菇”三个小卡通就是 利用“画图形”的方
式表示物体形状的，它们观察投票箱的位置不同，看到的形状就不同，画出来的图形 也
不同。
例题希望学生通过看投票箱，初步学会观察物体的方法与要领。“玉米”卡通的问< br>题“观察物体时，要注意些什么？”引导学生反思观察投票箱的活动，提炼其中的观察
方法、经验 和体会。可以总结出三点：一是观察物体一般从前面、右面和上面看。二是
“从前面看”要专注地只观察 物体的前面，视线不宜过高或过低，不宜偏左或偏右，一
边看要一边思考观察到的形状以及表达的方法。 “从右面看”和“从上面看”也有相应
的观察要领。三是看到的形状一般用图形表示，如果把画图和适当 讲述相结合，交流的
效果会比较好些。
“练一练”分别从前面、右面和上面观察文具盒。教材 安排这项活动是让学生经历
观察文具盒的过程，巩固观察的方法。至于看到怎样的形状，可以试着画一画 ，或者说
一说，甚至用手势比画一下。这些表示可以是比较“粗糙”的，但应该让学生进行。文
具盒比较“扁”（高比长、宽小许多），观察它的上面较容易，观察其前面和右面稍难一
些，需要适当蹲 下一点，使视线水平地集中于前面和右面的中间。
（二） 认识几何体的前面、右面和上面，观察较简单的几何体
本单元涉及的几何体，主要是长方体、正方体以 及由相同小正方体拼成的物体。观
察几何体从例1的“练一练”第2题开始，在不同位置上看一个正方体 或一个长方体。
接着的例2观察4个相同的正方体拼成的长方体。
1. 认识几何体的前面、右面和上面。
界定几何体的前面、右面和上面，要把辨认常见物品面的经验迁移过 来。通常，正
对着观察者（学生）的那个面是前面，观察者右手边的面是右面。

例1的“练一练”第2题给出一个正方体和一个长方体，每个几何体的各个面 上涂
了不同的颜色，要求说出每个几何体的前面、右面和上面各是什么颜色。其实，这些都
是辨 认几何体的前面、右面和上面的活动。大多数学生会联系观察投票箱的经验，作出
恰当的判断。
2. 观察较简单的几何体。
例2用4个同样的小正方体拼出一个长方体形状的几何体。从 前面看，能看到4个
小正方形拼成的大正方形；从右面看，能看到2个小正方形，一个在上，一个在下； 从
上面看，能看到2个小正方形，一个在左，一个在右。教材给出了这样的三个图形，让
学生指 出哪一个图形是前面看到的，哪一个图形是右面看到的，哪一个图形是上面看到
的。教学这道例题要注意 以下两点：
第一，先用4个同样的正方体照样子摆出一个长方体，再从不同位置仔细观察。顾
名思义，“观察物体”是用眼睛去看物体。如果不摆出物体，只是看教科书画的立体图
形，就不是真实地 观察物体。学生不可能真实经历从前面看、从右面看、从上面看的活
动，也不可能真实体验几何体各个面 的形状，更不可能获得观察物体的知识技能。另外，
学生动手摆出几何体，能通过触觉感知其形状特点， 这是对观察物体的视觉信息的有力
支持和必要补充，能降低空间想象的难度。为此，应对教学提出使用学 具的要求，应该
提前作好准备。
第二，要边看边说，分别说出从前面看到什么形状，从右面看 到什么形状，从上面
看到什么形状。这是三维立体向两维平面转化的思维活动，是发展空间观念的重要活 动。
教学要注意的是，学生把几何体的前面、右面、上面的形状表达出来，有一个语言转换
的过 程。他们动手摆、用眼看，信息都汇集到大脑里，形成关于几何体各个面形状的内
部语言。把几何体各个 面的形状说出来或者画出来，与同伴交流使用的是外部语言。每
一名学生都要进行内部语言到外部语言的 转换，有些学生说出各个面的形状有困难，往
往是语言转换不充分所造成的。教材充分考虑到学生语言转 换的困难，在例题和练习里
设计了表达几何体各个面形状的两级台阶。例题在已经给出的三个图形里，指 出哪个图
形是前面看到的、哪个图形是右面看到的、哪个图形是上面看到的。只要把头脑里的几
何体的三个面的图形表象与教材给出的三个图形比照，用连线的方式把自己头脑里的表
象外显。这一级台 阶比较容易。练习里要求在教材提供的方格纸上画出从前面、右面、
上面看到的图形，把头脑里的表象通 过画图表现出来。要从每个面看到的是什么图形，
各个图形由几个小正方形拼成，这些小正方形怎样排列 ……一边思考一边画图。显然，
这一级台阶相对难些。
“试一试”给出几何体上面的图形，要 求学生根据图形摆出几何体，他们不会有困
难。根据视图摆出物体，是两维图形向三维立体转化的思维活 动，对发展空间观念有很
大的作用。“试一试”还要观察摆出的几何体，并且画出从这个几何体的前面、 右面看
到的图形，进一步开展三维立体与两维图形之间的转化活动。为了方便画图，教材给出
了 方格纸，降低了画图的难度。因为每个方格能表示一个正方形，几何体某个面的图形
由几个小正方形拼成 ，可以直接利用几个小方格表示，既快又好地画出图形。如果比较
例2与“试一试”的几何体，能够发现 它们虽然都是4个相同的小正方体摆成，由于摆

法不同，从前面看到的图形不 同，从右面或上面看到的图形也不同。让学生获得这些体
验，是十分有益的。
（三） 观察结构稍复杂的几何体，进一步积累观察物体的经验
例3仍然是由4个同样的小正方体拼成的几何体 ，但不是长方体或正方体，而是一
个稍复杂的几何体，体会它右面和上面的视图比较困难。例题把4个小 正方体摆成两列，
从前面看这个几何体，能看到4个小正方形排成两列，左边3个、右边1个。从右面看 ，
能看到3个小正方形由上到下排成一列。从上面看，能看到2个小正方形，一左一右排
成一行 。学生的难点在于从右面看，要把几何体中不在同一平面上的三个小正方形，表
示在同一个平面图形里。 从上面看，要把几何体中不在同一平面上的两个小正方形，表
示在同一个平面图形里。这是因为前视图只 表示几何体的长和高，不表示其宽；右视图
只表示几何体的宽和高，不表示其长；上视图只表示几何体的 长和宽，不表示其高。如
何突破教学难点？这里提两点建议。
第一，加强观察。一定要为学生 创造观察几何体的条件，绝不能以观察例题里的立
体图形来代替观察物体。必须让学生仔细地、充分地观 察，一边看一边体会：从几何体
的右面，看到3个小正方形，它们竖着排成一列；从几何体的上面，看到 2个小正方形，
它们横着排成一行。逐步接受这两个位置上的视图。
第二，把观察一个物体的 三幅视图适当联系起来，共同反映几何体的结构与形状特
点。从前面看到的图形，主要表示几何体前面的 信息，也蕴含从右面看、从上面看的部
分信息。在前面的图形里，能够看出右面的3个小正方形“有前有 后”，也能够看出上
面的2个小正方形“有高有低”。有时，从右面看到的图形，也会反映几何体的前面 或
上面的某些信息；从上面看到的图形，也会反映几何体的前面或右面的某些信息。
例3“移 动一个正方体”，把几何体的形状变为左边1个、右边3个小方块。要求通
过观察，画出变化后的几何体 的前面、右面、上面的视图。例题还要求比较变化前后的
两个几何体以及它们的视图，体会两个几何体结 构上的不同，主要表现在它们的前面视
图上。而两个几何体的右面虽然不同，视图却相同；上面虽然不同 ，视图也相同。
（四） 根据视图摆出几何体，发展空间想象能力
几何体和它的视图之间的 相互转换是指：几何体的形状特征通过前面、右面、上面
等视图表示出来；根据一幅（或两幅、三幅）视 图想到和摆出相应的几何体。
根据视图摆出几何体是空间想象十分丰富的操作活动，在发展空间观念的 同时，也
培养了创新精神和实践能力，还增添了本单元的学习趣味。
在练习六里，有根据一个 视图摆出几何体的题目，如第6题“用4个同样大的正方
体摆一个长方体，从上面看到的是一个正方形” ；第7题“用8个同样大的正方体摆一
摆，从前面看到的是两个正方形左右拼成的长方形”。有根据两个 视图摆出几何体的题
目，如第11题“用4个同样大的正方体摆一摆，从前面看到的是两个正方形左右拼 成
的长方形，从右面看到的是三个正方形左右拼成的长方形”。有些题目只能摆出一种几
何体， 如第16题“用5个同样大的正方体摆一摆，从上面看到的是一行4个正方形，
从右面看到的是一行3个 正方形，从上面看到的是两行正方形，一行4个，另一行1个”。
有些题目能够摆出两种甚至几种不同的 几何体，如第9题“用3个同样大的正方体摆一

个物体，从前面看到的是2个 上下排列的正方形”。大多数学生会喜欢这些摆几何体的
活动，而且能够摆出符合要求的几何体。 教学这些练习题，要引领学生经历“研究视图——摆出物体——验证摆法”的过程，
大力发展空间想 象能力，培养良好的学习习惯。“研究视图”就是仔细分析视图的结构，
思考几何体的形状。如“用4个 同样大的正方体摆一个长方体，从上面看到的是一个正
方形”，为了从上面看到一个正方形，应该把4个 正方体竖着排成一列。又如“用4个
同样大的正方体摆一摆，从前面看到的是两个正方形左右拼成的长方 形，从右面看到的
是三个正方形左右拼成的长方形”，可以先摆出2个正方体，使前面视图是两个正方形
左右拼成的长方形，再把另2个正方体摆上去，使右面视图是三个正方形左右拼成的长
方形。“ 摆出物体”就是在分析视图的基础上，把头脑里的形象思维通过摆几何体外显
出来。应该指导学生预先准 备学具，让人人都有摆出几何体的条件。“验证摆法”就是
检验摆出的几何体是否符合要求。如从上面看 一看，是不是看到一个正方形。又如从前
面看一看，是不是两个正方形左右拼成的长方形；从右面看一看 ，是不是三个正方形左
右拼成的长方形。如果看到的形状和规定的图形一致，表明摆出的几何体符合要求 ；如
果看到的形状和规定的图形不一致，表明摆出的几何体不符合要求，应该重摆。
（五） 在《动手做》的操作中开展形象思维
本单元的《动手做》里，设计了两项内容。
第一项内容 ，用5个同样的小正方体摆一摆，使摆出的几何体的前面、右面、上面
的视图都符合规定的图形。同时根 据三幅视图摆出几何体，其思维要求与操作要求都比
练习里的其他活动高一些。安排在《动手做》里面， 学生有比较多的时间做做、想想，
尝试着摆出几何体。
第二项内容，给出了三个几何体，先数 出每个几何体各有多少个小正方体，再为各
个几何体添若干个同样的小正方体，使几何体成为长方体。
第一项活动数几何体里的小正方体个数，有些几何体的各个小正方体都能很清楚地
看到，数出小 正方体的个数很容易；有些几何体的个别小正方体不容易看到，甚至看不
到，数小正方体的个数，不能遗 漏这些看不到或不容易看到的小正方体，要清楚地意识
到这些小正方体的存在。教材主张学生一边摆、一 边数，体会那些看不到、看不清的小
正方体的客观存在，这是培养空间想象能力的极好机会。
第二项活动，分别为三个几何体添若干个小正方体，使这些几何体都成为长方体。
如果不规则几何体里的 小正方体只有一层，把几何体补充成长方体并不难，只要“哪里
有缺，就在那里补”；如果不规则几何体 里的小正方体有两层，把几何体补充成长方体
比较难，可以“分层补充”。一般先补下层，再补上层。学 生一边补放小正方体，一边
想象长方体，空间观念就得到了实实在在的培养。
4单元：统计表和条形统计图（一）
经过第一学段的教学，学生已经能够在小组内、班级内、 学校内进行简单的调查，
收集信息并整理数据；能够用自己的方式表示数据信息，并提出一些简单的问题 ，初步
利用获得的数据开展分析、判断活动。本单元继续教学统计，主要内容有：简单的统计
表 和条形统计图；分段整理数据；平均数及其应用。这些内容编排三道例题教学，具体

安排如下表。
例1简单的统计表和条形统计图
例2分段整理数据
例3平均数的意义、计算方法及其实际应用
从表格里可以看到，本单元的统计仍然围绕数据活 动而进行，进一步体现了统计是
收集、整理、呈现和分析数据的活动。从表面上看，统计图表、分段整理 数据、平均数
等都是传统的小学数学内容，但现在教学这些知识，要体现统计是人们解决问题的一种有效手段，要突出统计教学是组织学生开展数据活动的过程。
（一） 引导学生看看、填填、画画，逐步认识统计表和条形统计图，学会用简单
的统计图表呈现数据
统计表和统计图都是数据的载体，能够简便、清晰地呈现数据，方便人们的交流。
第一学段鼓励学生用自 己的方式表示数据（画图、做记号、写数字等），是因为那时的
数据比较简单，容易表示。用自己的方式 表达，有利于学生体会数据里蕴含的信息，体
会数据信息可以表达、可以交流。但是，统计图表毕竟是人 们呈现数据的重要方式，在
日常生活、生产劳动、科学研究中的应用很多、很广，应该让学生掌握统计图 表的基础
知识，学会应用统计图表。这就是本单元例1的编排意图。
统计表把经过整理的数据 填写在表格的有关栏目里，人们根据数据所在的栏目，理
解数据的实际意思。条形图利用有长有短的直条 表示有大有小的数据，人们根据直条的
长短体会数据的大小。例1设计了“调查记录——简单统计表—— 条形统计图”的教学
线索，鼓励学生“数数、写写、画画”，引导他们“看看、想想、试试”，主动认识 简单
的统计表和条形统计图，体会统计图表在呈现数据时的作用和价值。
例题首先给出的是一 张调查记录，里面有某个班级学生最喜欢的电视节目及其相应
的人数，其中的人数蕴含在“正”字里。这 是第一学段曾经使用的调查表，学生看到每
类电视节目下面的“正”字，会主动算出实际人数。
例题接着给出一张统计表，已经写出喜欢科普类电视节目的有6人，喜欢综艺类电
视节目的有15人。 要求学生仿照已经写出的两个人数，继续填写喜欢动画类电视节目、
喜欢体育类电视节目的人数以及“合 计”人数。大多数学生不会有困难。教学这张统计
表应注意五点：一是说一说统计表里已经有了哪些数据 ，是从哪里来的，还有哪几个空
格要填写，这些数据到哪里寻找；二是说一说“合计”的意思以及求合计 人数的方法；
三是学生独立填写空格里的人数；四是完整观看统计表，读其标题，明白统计表的内容，< br>写出年月，表明统计的时间，说说人数，表述统计表里的数据；五是交流对统计表的初
步认识，体 会它在表示数据方面有什么优点。
例题还给出一幅条形统计图，已经画出喜欢科普类电视节目人数的直 条并标出“6
人”，画出喜欢综艺类电视节目人数的直条并标出“15人”。要求学生接着画出喜欢动画
类节目人数的直条和喜欢体育类电视节目人数的直条。在学生画图之前，最好能先做下
面几件事 情：一是读读标题，明白现在学习的是“统计图”；二是看看横轴，明白横轴
上表示四类电视节目；三是 看看纵轴，明白纵轴上表示喜欢各类电视节目的人数，1格
表示2人。所以，表示“6人”的直条应该画 3格，表示15人的直条应该画7格半，由

此推算出表示13人、12人的直 条各应该是几格；四是让学生独立画图，检查他们画的
直条长度是否正确，提醒他们在直条的上面写出相 应的人数。
教材把统计表和统计图编排在同一道例题里教学，体现了数据有多种呈现方式，每
种方式各有其特点。教学时，可以组织学生讨论：从统计表里能知道些什么？从统计图
里能知道些什么？ 统计表和统计图各有什么特点？一张完整的统计表由哪几部分组
成？一幅完整的统计图由哪几部分组成？ 从而获得有关统计表和统计图的基础知识以
及初步的体验。
“练一练”根据自己班级同学最喜 欢的电视节目及其人数，完成统计表和统计图。
统计内容和例题相同，但需要先调查，整理出数据以后， 再填统计表和画统计图。为了
方便调查，及时记录信息，教材提供了调查表。学生可以先在小组里调查， 再把各个小
组的人数汇总，从而得到全班的人数。
看懂条形统计图以及画直条表示数量的大小 ，是学习条形图的基本要求。练习七帮
助学生达到这些要求。第1题的主要任务是看懂条形图里各个直条 表达的数量，体会条
形图能直观表示数量的大小以及数量之间的大小关系。第3题尝试画直条表示数量的 多
少，条形图里的直条不仅可以竖立，也可以横放。如，在表示山的高度时，直条竖立比
较形象 ；在表达河流长度时，直条横放比较形象。第4题先调查我国体育代表团在第24～
30届奥林匹克运动 会上获得的金牌数，再制作条形图。通过调查获得数据，再选择适当
形式表示数据，能使学生具有相应的 统计意识和能力，这是统计教学的目的。
（二） 在解决实际问题时教学分段整理数据，引导学生利用已有的整理数据的经
验开展分段整理的活动
“分类”是一种常用的整理方法。学生在第一学段，已经能按统计对象的某些特点，
如，品种、颜色、 形状、用途……进行分类，获得各类的有关数据。本单元继续教学把
一组数量按大小分成若干段，分段进 行统计，获得各段的数据，并反映到统计表里或统
计图上。
1. 在现实的问题情境中，体会分段整理是处理数据的一种方法。
例2教学分段统计，提供了梅峰小学鼓号 队32名队员每个人的身高厘米数，以及
适宜穿小号、中号、大号服装的身高数。要解决的问题是：为鼓 号队队员每人购买1套
服装，需要购买每种服装各多少套。这样的问题情境容易引发按穿小号服装的身高
“130～139cm”、穿中号服装的身高“140～149cm”、穿大号服装的身高“150～1 59cm”
去分段统计，从各身高段的人数确定各号服装应购买的套数。像这样从实际问题引出分
段整理数据，既体现了整理数据是解决实际问题的需要，又有利于学生联系生活经验进
行数据的分段整 理活动。
对32个数据进行分段整理，可采用的具体方法比较多。教材要求用画“正”字的
方 法整理，并提供了用于整理的记录表。这是因为在数据较多的情况下，用画“正”字
的方法依次对每一个 数据归类记录，能避免遗漏和重复。在分类整理前，应提醒学生看
清每一个数据，确定各个数据属于哪一 段，及时在有关段里作出记录。分类整理以后，
应把各段的人数相加，看看是不是32个数据，及时检验 分段整理的结果。
例题要求学生把每一段身高的人数填入一张统计表里，并算出三段身高的合计人

数。这张统计表里的数据，既是32名队员身高情况的分段统计结果，又是购买小、中、
大三种 服装的套数。学生通过填写统计表，能进一步体会分段整理数据的实际意义及其
作用，这就为回顾解决实 际问题的方法与过程，反思分段整理数据的技巧和要领作了准
备。
选择有意义的素材开展统计 活动，才能激发学生的兴趣和热情，才能体现统计的作
用与价值。对小学生而言，“有意义的素材”应该 是他们现实生活里的、能够接受和理
解的、需要解决的具体问题。儿童乘火车，可能免票、可能买半票、 可能买全票，决定
于他们的身高，铁道部门对此有明确的身高规定。“练一练”在小组里调查每个人的身
高，并按免票身高（120厘米以下）、买半票身高（120～150厘米）和买全票（150厘米以上）三段，分段统计出人数，了解小组同学中多少人乘火车可以免票、多少人可以买
半票、多少人 需要买全票。练习七第5题，先测量自己以及同学“单脚站立”能坚持多
长时间，然后把获得的数据分段 整理，填写统计表。既整体了解同学们单脚站立能力情
况，也了解某一个学生的能力水平。第6题先在小 组里调查各个同学阅读课外书籍的情
况，再按读书的本数分段整理数据，反映出有多少同学的课外阅读比 较多，有多少同学
的课外阅读比较少。第7题先调查自己双眼的视力情况以及班上其他同学的视力，然后
对同学们的视力进行分段整理，用获得的数据分析同学们的视力情况。可以说，上述的
问题都是 有意义的素材，都是有价值的统计活动。值得重视的是，教材没有直接给出数
据，而是安排学生通过调查 收集数据，这对培养统计观念和统计活动能力，有很大的作
用。
（三） 在解决实际问题的活动中体会平均数的意义和算法，学会利用平均数进行
比较和分析
平均数是 一种常用的统计量，它能集中反映一组数据的整体情况。例3教学平均数
的知识，包括平均数的意义、算 法和实际应用。教学平均数的重点不仅在于怎样求平均
数，更在于用平均数描述、分析一组数据的状况和 特点，或者对两组数据进行比较。例
题的编写不是给出计算平均数的方法，而是让学生在解决实际问题的 活动中，感受平均
数的意义，理解平均数的特点，探索求平均数的方法，体验平均数的统计意义在现实问
题情境中的具体应用。
1. 创设需要平均数的问题情境，探索求一组数据平均数的方法，感受这组数据
的平均数的含义。
人们为什么求平均数？平均数表示什么意思？怎样求出一组数据的平均数？求出
的平均数有什么用途？这 些都是例3要教学的内容，也是例题的编写线索。
例3首先创设一个现实的、有意义的、具有挑战性的 问题情境：四年级第一小组的
4名男生和5名女生进行套圈比赛，每人套15个，各人套中的个数表示在 条形统计图上，
要解决的问题是“男生套得准一些还是女生套得准一些”。由于男生人数和女生人数不< br>相等，所以比较男生套中的总数和女生套中的总数是不合理的方法，不能采用。由于一
个人套中的 个数不能代表男生或女生的整体水平，所以比较男生中最多的个数和女生中
最多的个数也不是合理的方法 ，也不能采用。这时，学生有可能提出“分别求出男生和
女生平均每人套中的个数，再比较。”这是一种 新的办法，是不是有用？男生（女生）

平均每人套中的个数是什么含义？怎样 求？都是需要教学的内容。不过，学生以“平均
分”的经验为基础，大多数人能够接受这种方法，并逐步 理解有关平均数的知识。可见，
比“男生平均每人套中多少个”和“女生平均每人套中多少个”这种办法 ，既不是教师
带进来的，也不是学生一下子就想到的。是部分学生在多种其他办法不能解决问题的尝试中，逐渐想到的。教学这个片段，问题情境要尽量浓些，认知冲突要尽量强烈。应充
分利用“套圈 ”这个学生喜欢的游戏，以及“比较男、女生谁套得准”这个学生愿意解
决的问题，形成欲求不能、欲罢 不甘的矛盾状态，在原有知识经验不能解决问题的心理
氛围中，进入“分别求出男、女生平均每人套中的 个数”这个新课题的学习中去。
男生平均每人套中的个数和女生平均每人套中的个数需要分别求出，例 题安排先求
男生平均每人套中的个数，这是教学重点所在。学生会从“平均”想到“使所有男生套
中的个数同样多”，于是在条形图上“移一移”，得到男生平均每人套中7个。或者把男
生套中的总个 数平均分，即从4名男生一共套中28个，得到男生平均每人套中7个。
教学这一段内容，要鼓励学生独 立探索求男生平均每人套中个数的方法，深刻体会“男
生平均每人套中7个”是4名男生套中的总个数不 变的前提下，通过“移多补少”得到
的。要帮助学生明白，这里的“7”是6、9、7、6四个数的平均 数，“7个”是4名男生
套圈的整体水平。要把平均数的意义、求法融为一体，让学生在思辨平均数含义 的同时
想到求平均数的方法，联系求平均数的方法感受平均数的含义。
接着求女生平均每人套 中的个数，学生联系具体的问题又一次体验平均数的含义，
并选择“先算总数，再平均分”的办法求出平 均数，理解“6个”是女生套圈的整体水
平，这就丰富了对平均数的认识。
求出男生平均每人 套中7个，女生平均每人套中6个，男生套得准些还是女生套得
准些就很清楚了。教材及时指出：平均数 能较好地反映一组数据的总体情况。学生在上
述的“7个”“6个”的具体含义的基础上，能够接受和理 解教材关于平均数的描述。
实际问题解决了，平均数知识的教学还不能结束，还要回顾解决实际问题的 过程与
方法，说说学到了什么知识，学到的知识有什么用，使平均数的知识进入学生的认知结
构 ，使解决问题的思想方法和活动体验进入学生的经验系统之中。
2. 紧紧抓住平均数的基础知识设计练习，在应用平均数解决实际问题的活动中
进一步认识平均数。
“练一练”的图画里呈现三个笔筒，每个筒里分别有6支、7支、5支铅笔，要求
先看出、再算出平均 每个笔筒里有多少支铅笔。让学生再一次经历“移多补少”的思考
过程，体会各个笔筒里铅笔的支数虽然 不同，但“平均每个笔筒有6支”是这些笔筒里
铅笔的整体状况。
练习八第1题用图画呈现三 条彩带，分别长14cm、24cm、16cm，通过计算求出它们
的平均长度是18cm。如果把这个 平均长度表示到图画里去，能看到比两条短彩带的长度
长一些，比长彩带的长度短一些，这就直观感受了 平均数的含义。
第2题算出4次飞行时间的平均数61秒以后，如果把它与4次飞行时间分别比一比，就能感受平均数是“移多补少”的结果
第3题，学校篮球队队员的平均身高是160厘米，李 强是篮球队队员，他的身高可

能是155厘米，学校篮球队里还会有身高超过 160厘米的队员。这是因为“平均身高160
厘米”是学校篮球队队员身高的整体情况，而不是每一个 队员的实际身高。通常，篮球
队里会有身高低于平均数的队员，也会有身高超过平均数的队员。
第4题，两幅条形图分别表示华江果品店某星期的星期一到星期五每天卖出苹果的
箱数和橘子的箱数， 算出平均每天卖出苹果多少箱以后，就能看出哪几天卖出的苹果多
于平均数，哪几天卖出的苹果少于平均 数。同样，算出平均每天卖出橘子多少箱以后，
就能看出哪几天卖出的橘子多于平均数，哪几天卖出的橘 子少于平均数。这就是说，平
均数代表一组数据的整体情况，可以用来评价这一组数据里的每一个数据。
第6题，用条形图给出四年级二班4个小组的植树棵数，很直观地表示出第二小组
植树棵数最多 ，有10棵；第一小组植树棵数最少，只有6棵。这4个小组平均每组的
植树棵数应该比10棵少，比6 棵多。题目要求“估计平均每个小组植树多少棵数”，就
是体会一组数据的平均数，一定小于这组数据里 的最大数，大于这组数据里的最小数。
第7题，一箱橘子共50个，任意取出5个，分别测量每个橘子 的质量，算出平均
每个橘子重多少克，由此推算这箱橘子大约重多少克。这道题渗透了“随机抽样”以及
“从部分推出整体”的思想方法。
（四） 通过《动手做》收集数据，体验“不确定”里有“确定”
练习七的后面有一次《动手做》，安排一项实 验：用滴管往一枚1元硬币上滴水。
探索的问题是：在水不外溢的情况下，最多能滴多少滴水？要求先估 计滴数，再做四次
这样的实验。
教材希望学生获得两点体会：第一，估计是否正确，应该用其 他办法来检验；估计
会有些误差，但不能太大。第二，四次滴水实验的结果（1元硬币上存水的滴数）不 完
全相同，但差不多。这就是“不确定”事件里的“确定性”现象。即：如果不确定事件
发生的 次数充分地多，会表现出相同或相近的结果，这是重要的统计思想。
4运动与身体变化实践活动 这是一次任务十分明确的实践活动，着重研究体育运动对脉搏跳动的影响，围绕这
个问题，设计活动 方案、开展实验活动，根据事实得出结论。这是一次利用统计知识和
方法来解决问题的实践活动，需要收 集和整理数据、分析和利用数据，通过数据来说明
问题的结果，给出确定的回答。这是一次必须小组合作 进行的实践活动，要在组内各同
学身上采集数据，要相互配合尽量获得准确的数据，才能得到客观的、可 靠的结论。教
材设计的“提出问题”“实验讨论”“引申反思”三个栏目，是开展这次实践活动的基本< br>线索，各个栏目都有很具体的安排。
“提出问题”栏目，把这次实践活动的主题具体化。“运动 与身体变化”这个标题，
既有其清楚的一面——专题研究运动与身体变化的直接联系，也有其面广量大的 一面—
—运动会引起身体多个方面、多个部分的变化。实践活动的研究不可能面面俱到，主题
还 需要进一步明确。教材通过“豆荚”卡通的提问“你知道在运动后身体会发生哪些变
化吗？”引导学生回 忆有关常识。他们知道运动会使身体出汗，会使脉搏加快，会使呼
吸急促……通过交流，在运动引起的多 种身体变化中，确定脉搏的变化作为本次实践活
动的主要课题。这个栏目的教学时间不宜过多，要做到“ 用时少、见效快”，尽量激发

学生的兴趣，形成一致认同的研究主题，凝聚活动的心向。
“实验讨论”栏目，先帮助学生形 成实践活动的主体方案，包括以下四块：第一块
——安排小组人员。教材要求每4人为一组，每个人都有 参与活动的机会，每个人都要
提供自己脉搏的次数。4人之间刚好能互相分工、相互配合，当一名学生测 量自己脉搏
的次数时，其他同学看钟表，帮助掌握时间。第二块——安排实验步骤。先“原地高抬
腿跑30秒”运动，分别测量运动前、运动结束时、休息2分钟后这三个时段的一分钟
脉搏次数，研究 这项体育运动对脉搏的影响；再任意选择另一项体育运动，也分别测量
运动前、运动结束时、休息2分钟 后这三个时段的一分钟脉搏次数，研究这项运动对脉
搏的影响。第三块——开展小组活动。按照实验设计 与要求，学生测量自己脉搏的次数，
把数据记录在教材的表格里，并且算出小组内4人脉搏次数的平均数 。这里算出的平均
数，既代表小组内4人脉搏的总体状况，也是比照每人脉搏次数的参照数据（比平均跳
动的次数多还是少，是比较接近还是相差较大）。第四块——得出结论和回答问题。联
系两组测 量数据，分别围绕“原地高抬腿跑30秒前后脉搏的变化”和“另一种体育运
动对脉搏的影响”进行讨论 ，发现其中的规律，并且给出课题的研究结论。
“实验讨论”要注意四点：第一，仔细交代实验方案。 让学生清楚地知道两次实验
的具体内容和研究的问题，知道每一步研究应该采集的数据和采集的方法。在 运动前、
运动结束时、休息2分钟后这三个规定的时段测量脉搏的次数。不按规定时间获得的脉
搏次数，不能真实反映情况和说明问题。第二，准确测量脉搏的次数。这是十分重要的
数据，直接反映体 育运动对脉搏的影响及其程度。要做到数据准确无误，学生必须会测
量自己的脉搏，这就应提前进行这方 面的指导。第三，两次实验选择的体育运动项目的
强度要有明显的差别。第一次实验全体学生都进行“原 地高抬腿30秒”运动，活动的
强度比较大，脉搏的变化幅度会比较大，变化的持续时间会比较长。第二 次实验自主选
择体育运动项目，强度可以适当小一些。如原地慢跑1分钟、踢毽子1分钟、拍球1分钟等。两次实验的运动强度差异大一些，有利于学生全面观察与分析，形成更加客观的
结论。第四， 鼓励学生讨论问题，发现规律，拿出结论。开展实验的主体是学生，进行
讨论和得出结论的主体仍然是学 生。他们联系脉搏的数据，完全能够相互讨论，不仅形
成结论，而且体会数据的作用，培养凭数据说话的 态度。教材提出一些问题，如“运动
后，你的脉搏是怎样变化的？”“从算出的平均数来看，小组同学的 脉搏情况又是怎样
变化的？”“运动前后，你的脉搏次数与小组平均数相比，差别大吗？”这些问题能启
发学生去分析数据，发现特点，寻找规律，形成交流的话题。教材还通过“玉米”卡通
的提问“ 从上面的实验（原地高抬腿跑前后的脉搏情况）中，你还能知道些什么？”引
导学生及时利用第一次实验 的数据，初步看出一些规律。还通过“白菜”卡通的提问“这
次运动（第二次实验）引起的脉搏变化是怎 样的？”引导学生分析第二次实验的数据特
点，发现与前面相一致的规律。“比较两次运动脉搏发生的变 化，你想到了什么？”引
导学生回顾两次实验，总结共性内容，得出有关的规律。所以说，两个大卡通的 提问，
起引导学生紧扣议题进行讨论的作用。
“引申反思”栏目里列出了两个内容：前一个内 容是了解体育课上四年级学生脉搏
应该达到的次数，这是衡量体育课体能训练强度的一项指标，体育教学 对此有明确的规

定。如果学生脉搏次数的变化低于规定的要求，表明学生的运 动量和活动强度不足。反
之，如果学生脉搏次数的变化超过规定很多，表明运动量和活动强度过度。两种 情况都
不利于身体健康。让学生走访体育老师，了解这个规定，有利于科学训练。后一个内容
是 研究体育运动对呼吸次数的影响，这项实验可以仿照运动与脉搏次数关系的研究进
行。教材要求学生自己 设计实验方案，独立完成实验，用统计表记录数据，相互交流研
究成果。这项研究可以向课外延伸，在课 后完成。
5单元：解决问题的策略
数学教学中，解决实际问题的价值不局限于获得具体问题 的结论或答案，它的意义
更在于学会解决问题，并且体会每个人都有自己对问题的理解，并由此形成自己 解决问
题的方法；体会解决问题可以有不同的方法，应当选择适宜自己的方法来解决问题。数
学 教学在鼓励学生个性发展的理念下进行，创新精神和实践能力才可能真正得到培养。
“策略”的原意是 计策与谋略。解决问题的策略是解决问题的计策与谋略，具体表
现为对问题的理解，对解决问题方法、手 段的思考和选择运用。解决问题，特别是解决
新颖的问题需要策略，而解决问题的策略又是在解决问题的 活动中逐步形成和发展的。
本单元主要教学两个策略：一是整理数学信息的策略，二是解决问题的主要步 骤。整理
数学信息的策略，在能够寻找已知条件和所求问题的基础上，通过有条理地摘录数学信
息，找到数量之间的联系，形成解题思路，解答常见的三步计算问题，以及归一、归总
问题等实际问题。 进一步提高利用已知数量或所求数量进行推理的能力，不仅使解题思
路的展开更加稳定，而且使“从条件 向问题”与“从问题向条件”的推理有机融合，分
析数量关系的过程更加灵活、更加流畅。解决问题的主 要步骤是一种比较稳定、比较基
本的策略，包括理解问题、设计并实施解决方案、检验结果、反思经验与 体会等步骤，
对人们解决问题有很大的影响。每一个步骤都有相关的、具体的技巧与方法，具有可操作性。学生已经解答过许许多多实际问题，积累了一些解决问题的经验，让他们理解并
掌握解决问题 的主要步骤十分重要，能够避免解题思考与活动发生混乱。全单元编排两
道例题，具体安排见下表：
例1列表整理已知条件，按解决问题的主要步骤，解答比较容易的三步计算实际问
题
例2应用本单元教学的策略，解答归一问题
（一） 按解决问题的主要步骤设计例题的教学线 索，引导学生经历解决问题的全
过程，积累解题方法与经验，丰富解决问题的策略
人们解决数 学问题的主要步骤是：了解题意，寻找并整理条件与问题；利用数量之
间的联系进行推理，形成解决问题 的思路和方案；根据解题计划，采用适当的方法（经
常是列式计算，也有其他办法），得到问题的结果； 检验答案是否正确，确定或修改已
有结果；回顾解决问题的过程，积累经验。遵循这些步骤，解题过程就 能有条不紊，解
题结果就能得到保障，解题能力就能逐渐提高。著名数学教育家波利亚的“解题表”提< br>出了包括“弄清问题”“拟订计划”“实现计划”“回顾反思”四大步骤的解题全过程，
与人们解 决问题的主要步骤是完全吻合的。
本单元的两道例题，都按解决问题的主要步骤安排教学线索，每一道 例题的教学都

设计成四大块：整理题目里的条件和问题；根据数量关系确定先 算什么，并列出算式，
算出得数；选择一种方法检验答案，给出问题的正确答案；回顾解决问题的过程， 交流
体会、积累经验。
学生在第一学段解决过许多实际物体，都是按“理解题意——分析数量 关系——列
式计算——给出答案”的程序进行解题活动的。由于所解决的问题比较简单，执行这些
程序比较容易。学生一方面已经初步适应这样的程序，另一方面如果遇到比较复杂的问
题，已有的解题 方法和经验远远不够使用。所以本单元在突出解决问题的主要步骤的同
时，加强理解题意的方法指导，加 强分析数量关系的推理力度，加强解决问题方案的构
思和实施，加强检验方法的教学和检验习惯的培养。
（二） 利用数量之间的直接联系，整理实际问题的已知条件和所求问题，体会“整
理”对解决 问题的积极作用，充实“整理”策略
例1给出“3行桃树”“8行杏树”“4行梨树”以及“桃树每行 7棵”“杏树每行6
棵”“梨树每行5棵”六个已知条件，要解决的问题是“桃树和梨树一共多少棵”。 这个
实际问题有三个特点：一是已知条件比较多，二是条件之间的直接联系比较清楚，三是
要选 择有关条件来解决所求问题。学生在初步读题时能够感受到这些特点，因此教材要
他们“想办法整理题中 的条件”。一般会把六个条件整理成“三组、两类”，即桃树的行
数与每行棵数是一组，杏树的行数与每 行棵数是一组，梨树的行数与每行棵数是一组；
三种树的行数是一类，三种树每行的棵数是另一类。
“辣椒”卡通按果树的种类整理条件，得到：
桃树3行，每行7棵；
杏树8行，每行6棵；
梨树4行，每行5棵。
“萝卜”卡通根据问题选择有关的条件并且利用表格整理，得到：
桃树
3行
每行7棵
梨树
4行
每行5棵
大多数学生会像这两个卡通那样 进行整理，教学应该让学生明白，利用条件之间的
直接联系（这里是每一种果树的行数与每行棵数的对应 关系）可以整理条件；如果某些
条件与所求问题没有关系，这些条件可能是“多余”的（杏树的行数和每 行棵数在解决
桃树和梨树一共多少棵时，是多余条件）。
例2的一座水库某天从7:00开始 放水，用表格给出：到9:00，水位下降12厘米；
到11:00，水位下降24厘米；到13:00 ，水位下降36厘米；到15:00，水位下降48厘
米。要解决的问题是“照这样的速度，水位下降1 20厘米，需要放水多少小时”。这个
实际问题的条件已经在表格里整理好了，要求学生看着表格里的数 据，说说“怎样理解
表格中的信息”，发现“每2小时，水位下降12厘米”，即“每小时下降6厘米” 是一
个稳定不变的数量。“照这样计算”就是照“每小时下降6厘米”计算。
整理数学信息的 目的是理解题意，按条件之间的直接联系整理，有助于全面、系统
地理解题意。所以，一方面要采用适当 的形式（表格或非表格都可以）进行整理，感受

条件及其相互联系，另一方面 要体会整理的作用与好处，逐渐形成自觉整理的习惯。可
以要求学生看着整理的条件和问题，用自己的话 复述题意，感受整理信息能够更好地理
解题意。
（三） 利用条件与条件、条件与问题之间的联系进行推理，形成解题思路
三年级《解决问题的策略》单元，已 经教学了从实际问题的“已知条件向所求问题
推理”和“从所求问题向已知条件的推理”，这是分析实际 问题里数量关系的基本策略。
整理例1的条件与所求问题，深入了解条件之间的联系，以及问题与条件 之间的联
系，就能利用条件与条件之间、问题与条件之间的联系进行推理，从而形成解题思路。
学生通过整理，感受到桃树的行数与每行棵数是相关的两个条件，利用这两个条件能够
算出桃树的棵数； 梨树的行数与每行棵数是相关的两个条件，利用这两个条件能够算出
梨树的棵数；有了桃树棵数和梨树棵 数，就能算出桃树和梨树一共的棵数。还感受到桃
树棵数与梨树棵数是求桃树和梨树一共多少棵所需要的 两个条件，这两种树的棵数可以
分别利用相应的行数与每行棵数算出来。这些感受是从条件向问题的推理 和从问题向条
件的推理，是分析数量关系的策略，是产生解决问题的计划与步骤的过程。教材鼓励学生“根据数量之间的关系，确定先算什么”，让他们在理解题意之后，利用已有的分析
数量关系的策 略与经验，主动寻找解决实际问题的具体方法，体验“整理策略”对解决
问题的积极作用。
整 理例2的条件与问题，发现水库的水位“每2小时下降12厘米”，即每小时水位
下降6厘米。有了这个 数据，就能算出水位下降120厘米所需要的时间，也能算出经过
12小时水位一共下降的厘米数。 < br>分析例题的数量关系，要引导学生把“条件向问题推理”和“问题向条件推理”结
合起来。一方面 找到相关的两个条件，想想能够算出什么；另一方面抓住所求问题，想
想需要什么条件。像这样既从条件 想起，也从问题想起，往往是比较轻松、有效的方法。
具体地说，分析例1的数量关系，要从“桃树3行 ，每行7棵”想到桃树一共21棵，
从“梨树4行，每行5棵”想到梨树一共20棵；还要从“桃树和梨 树一共多少棵”想
到“桃树棵数+梨树棵数=两种树一共的棵数”。分析例2以及“想一想”的数量关系 ，
要从“每2小时水位下降12厘米”想到每小时水位下降6厘米；还要从所求问题想到
“水位 下降120厘米÷每小时下降6厘米=水位下降需要的小时数”“每小时下降6厘米
×水位下降的小时数 =水位下降的厘米数”。
（四） 及时检验答案是否正确，更加全面地把握实际问题里的数量关系 < br>及时检验答案是一种良好的习惯，能保障解决问题的结果正确。检验还能促进学生
更好地把握实际 问题里的数量关系，发展推理能力。
检验答案通常有三种方法：一是用原来的方法再解一次，看两次解 题的答案是不是
相同。这种检验只能看出计算错误，至于解题思路的错误以及列式的错误，较难发现。< br>因此，一般不大采用。二是用另一种方法解题，看两次解题的结果是不是相同。由于两
次解题的思 路、步骤、算式和计算都不一样，所以两次解题的结果如果相同，可以认为
解题正确。这种检验，要求实 际问题有两种或多种解法，否则无法采用。三是把求得的
结果作为一个已知条件，把原来的某个条件改成 问题，编出一道新的实际问题，解答编

出的问题。如果结果和原来的条件相同 ，表明解题正确；如果结果和原来的条件不相同，
则解题可能错误。这种检验解答了与原来问题不同的另 一个问题，不仅检验了原题答案，
而且发展了逆向思考，提高了推理能力。
本单元的例1只有 一种解法，所以要采用上述的第三种检验方法。在求出桃树和梨
树一共41棵以后，可以改编成求桃树每 行多少棵的问题。即：3行桃树和4行梨树一共
41棵，梨树每行5棵，桃树每行多少棵？当然，改编成 求梨树每行多少棵的问题，或者
求桃树有几行、梨树有几行的问题也是可以的。教材要求学生“选择一种 方法进行检验”，
他们无论改编成哪一道实际问题都可以。
例2有多种解法，它可以用一种解 法来检验另一种解法。如果从“每2小时水位下
降12厘米”算出每1小时水位下降6厘米，就能通过“ 120÷6”算出水位下降120厘
米需要20小时。如果从“120厘米是12厘米的10倍”，就能 得到“水位下降120厘米
需要的时间是下降12厘米时间的10倍”，即2×10=20（小时）。两 种解法的得数相同，
表明解法和结果是正确的。这道例题也可以这样检验：求出水位下降120厘米需要 20
小时以后，改编成求20小时水位下降多少厘米的问题。即：水库的水位每2小时下降
12 厘米，照这样计算，放水20小时，水位下降多少厘米？
（五） 回顾解决问题的方法与过程，积累经验、发展策略
人们解决实际问题，运用了自己已有的知识、技巧、 经验。如果以解决问题为目的，
得出问题的正确结果，解题活动就可以结束了。然而，数学教学中的解决 实际问题，其
目的不只是得到问题的答案，而是提高学生解决问题的能力，培养解决问题的策略。这就是说，得到问题的结论不应是教学的结束，还要进一步积累解决问题的经验，形成学
生自己解决问 题的有效策略。回顾解决问题的过程，反思解决问题所使用的方法，是人
们积累经验、发展策略的重要渠 道。所以，本单元的两道例题都安排了“回顾反思”的
教学活动。
让学生畅谈解决问题的体会 ，他们会各抒己见，话题很宽。为此，教学应根据例题
的教学内容与目的，适当调控学生的回顾与反思。 例1的回顾可以集中讨论两点：一是
解决问题主要经历哪些步骤，二是分析数量关系可以采用哪些方式与 方法。关于解决问
题的主要步骤，可以回顾解答例题的全过程。首先要弄清题意，找到已知条件和所求问
题；接着分析数量关系，设计解题计划；然后按解决问题的步骤，列出算式，算出得数
并检验结 果；最后是反思解题，交流体会。关于分析数量关系，可以回顾所进行的推理
和使用的方法。既能从条件 出发向问题推理，也能从问题出发向条件推理，如果两种推
理相结合，效果会更好。除了这些推理，还可 以联系问题情境的特点，选择画图、列表
等方式整理条件和问题，以方便思考。
例2的特点是 用表格呈现放水小时数和相应的水位下降厘米数，数量之间的对应联
系十分清楚，而且解决问题的方法不 止一种。所以，回顾反思要围绕分析数量关系的思
考以及解题方法的得出来进行。一是放水时间与水位下 降高度是有规律地同时变化的，
水位每小时下降6厘米是不变的数量，它可以从“每2小时下降12厘米 ”得出；二是
通过分析数量关系，可以发现这个问题有几种不同的解法。利用“每小时水位下降6厘米”能够找到一种解法，利用“放水时间与水位下降高度按相同倍数变化”，也能够想

到一种解法。各种解法的结果应该相同，不同的解法可以相互检验。
（六） 编排练习题，让学生在解题实践中提高解决问题的能力
教材为两道例题各配备了“练一练”，及时应用 例题所教学的方法来解决实际问题，
巩固知识、形成技能。还编排练习九，引导学生灵活应用两道例题所 教学的方法解决实
际问题，体验方法、形成策略。
1. 从“有形”整理到“无形”整理，逐步养成整理数学信息的习惯。
画图或列表都是整理条件与问题的常 用方法，在图画上和表格里能够比较直观地表
示出数量之间的联系。为了让学生学会画图、列表整理数量 的方法，教材应该呈现图画
和表格，指导他们如何画图、如何列表，并要求他们采用画图与列表的方法整 理条件和
问题，逐渐学会这些方法。这就是所谓的“有形”整理。
当人们掌握画图、列表整理 的方法以后，图画与表格不一定在纸上表现出来，完全
可以想在头脑里。在头脑里整理，就是所谓的“无 形”整理，是较高水平的整理，是整
理习惯和能力的综合表现。
教材十分注意从“有形”整理 到“无形”整理的引导。配合两道例题各安排一次“练
一练”，每次“练一练”都是两个实际问题。其中 第1题都要求学生“先整理题中的条
件和问题，再解答。”尤其是例2“练一练”的第1题还给出了表格 ，让学生“利用表格
整理条件和问题”。教材希望学生在第1题里开展“有形”的整理活动，学会整理的 方
法，体验整理对理解题意以及解决问题的积极作用。其中第2题没有明确提出整理条件
与问题 的要求，这并不是不要整理，而是希望学生自觉进行整理活动。他们可以从自己
的需要出发，或是仍然采 用“有形”整理的方式，画出图画、表格进行整理，或是把图
画、表格想在头脑里，进行“无形”整理。
解决实际问题需要认真整理条件与问题，这是解决问题的重要一步。使用哪一种方
式、方法进行 整理，都要从自己的实际能力出发进行选择。教学应尊重学生的选择，保
障所有学生都有完成信息整理的 时间；应组织各种整理形式的交流，逐渐提升整理信息
的水平。教学应适当要求学生进行一些“有形”整 理，使所有学生都学会基本的整理方
法；还应及时鼓励学生进行“无形”整理，灵活运用整理的方法，充 分体验整理的意义，
形成整理信息的习惯。
2. 解决新颖的问题，体验整理信息的重要性。
教学实践告诉我们，问题的新颖性与策略的形成正相关。这 就是说，策略的形成应
体现在解决新颖的问题上面，并在创造性地解决新颖问题的活动中得到锻炼和发展 。反
之，如果策略只应用于比较熟悉的、已经知道解法的问题之中，其意义和价值就很有限
了。 所以，“整理”策略不能总是局限于已经教过的、已经认识的那些问题上，以免挫
伤学生整理信息的积极 性，影响策略的形成。为此，例1在解答“求两积之和”问题以
后，由“想一想”带出“求两积之差”的 问题，由“练一练”带出“求两商之差”的问
题。例2教学“归一”问题之后，练习九第8、9、10题 带出“归总”问题。
过去教学归总问题，往往是单独编排一道或两道例题，突出归总问题的结构特点、
数量关系以及解答方法。本单元教学的整理策略，完全适用于归总问题。教材把归总问
题编排在 练习里面，希望学生通过整理条件与问题，感受数量之间的对应联系，自己分

析数量关系，独立找到解决问题的步骤与方法。练习九第8、9、10三道题循序渐进、
由易到难地编排 。第8题在教科书上填写表格，体会猕猴桃的总个数是确定的，如果每
箱装的个数越多（少），那么装的 箱数就越少（多）；如果装的箱数越多（少），那么每
箱装的个数就越少（多）。数量关系是：猕猴桃总 个数÷每箱装的个数=装的箱数，猕猴
桃总个数÷装的箱数=每箱装的个数。第9题在教室里放花的问题 ，比较容易理解和解
答，学生可以自主选择“有形”整理或者“无形”整理，体会在这个问题里，花的总 盆
数是一定的，花的总盆数÷每个教室放的盆数=可以放的教室个数。第10题买体育用品
的问 题，比较复杂。其中，涉及的数量较多，有三种球的个数与单价；数量呈现的形式
较多样，有些在图画里 、有些在题目的正文里、有些在人物的对话里。十分需要整理所
有的数量，理清每一种球的数量与单价， 理清已知条件和所求问题，明白这三种球的总
价相同，通过总价÷单价=数量、总价÷数量=单价来解决 问题。
发展解决问题的策略是新课程对数学教学提出的新课题，让学生主动解决一些新颖
的问 题是数学教学的一项突破。为此，教学应做到两点：第一，改变例题的教学观念。
例题应该教给学生基本 的数学思想方法，这种思想方法不但解决了例题，还能解决与例
题相似、甚至不同的问题。画图整理、列 表整理是解决问题的基本策略，所解决的问题
不仅是比较容易的三步计算问题，而且还有稍难的三步计算 问题；不仅是归一问题，而
且还有归总问题，甚至包括其他的实际问题。只有在例题的教学中突出整理条 件与问题
的思想和方法，让学生体验这个思想方法，内化成自己解决问题的策略，才可能举一反
三应用这种策略。第二，教学新颖的问题，既要放手学生独立解答，也要给以必要的帮
助。如果过多地补 充例题，对有些变化的和新颖的习题都通过例题示范解法，让学生模
仿着解题，创造精神和实践能力的培 养会受到很大的制约。如果片面理解放手让学生自
主学习，在他们遇到困难时也不给予必要的指导，许多 学生将一知半解或知之甚少，也
会严重影响教学目标的实现。教材首次出现归总问题，应该提醒学生整理 条件与问题，
充分利用已经学到的思想方法去理解题意，探索解决问题的方向与线索。在学生整理信息时，应当适当地“放”和“扶”。在第8题里，应鼓励学生在教材的表格里整理信息，
并看着整理 好的表格说说自己的理解与想法。在第9题里，应提倡学生自己设计整理信
息的方式，允许一部分学生开 展“有形”整理活动，另一部分学生选择“无形”整理方
式。在第10题里，应抓住学生读题有困难这个 机会，引导他们设计整理条件与问题的
表格，并开展整理信息的活动，通过整理来复述题意，分析数量关 系，规划解题的思路
与步骤，形成解决问题的计划，从而体验“整理”是解决问题的一种有效策略。
6单元：可能性
人们在日常生活中会遇到各种各样的现象，众多现象按其发生的结果，大致可 以分
成“确定性现象”和“随机现象”两类。这两类现象的主要区别在于：确定性现象在一
定的 条件下，肯定出现或者肯定不出现，不存在其他的可能性。如，在只装几个红球的
口袋里任意摸出一个球 ，其结果是确定的，一定是红球，不可能是其他颜色的球。随机
现象则是条件不能完全决定结果，在相同 的条件下发生的结果可能不同。如，在既装有
红球又装有黄球的口袋里任意摸出一个球，其结果是不确定 的，可能是红球，也可能是
黄球。

在我国，随着社会的进步、生活 的改善，随着社会主义市场经济体制的不断发展与
完善，人们越来越多地接触到随机现象。几乎所有人都 需要面对就学、就业、出行、住
房、医疗、退休、养老等模式的选择，有许多人会涉及投资、贷款、股票 、证券、市场
预测、风险评估等经济行为。总之，人们活动的空间越来越宽，可以选择的机会越来越多，风险也越来越大。人们越来越需要随机思想，以便运用自己的头脑来分析判断、作
出决策。所以 ，基础教育阶段应该尽早地让学生接触简单的随机现象，尽可能地帮助学
生建立起初步的随机思想，这就 是小学数学设置可能性教学内容的原因。
所谓随机现象，是指在一定的条件下，重复同样的实验或观察 ，所得的结果是不确
定的，以至于在实验前无法预测实验的结果。但是，随机现象并不是毫无规律的现象 ，
如果实验重复进行的次数充分地多，在实验结果（得出的大量数据）中是能够看出规律
的。数 学课程标准把《随机现象发生的可能性》安排在第二学段教学，提出了两点内容
和要求：（1） 在具体情境中，通过实例感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象
中所有可能发生的结果。（2） 通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能
性是有大有小的，能对一些随机现象发生的可能性 大小作出定性描述，并能进行交流。
根据课程标准的这些内容要求，本单元第一次教学“可能性”，编排 两道例题，具体安
排如下表：
排例1简单的随机现象
例2列出简单随机现象可能发生的所有结果
体会随机现象结果发生的可能性有大有小，并作出 定性描述练习十在学生的游戏和
生活中，有许多随机现象的实例。教学随机现象不应只是教材或教师的讲 解，更应是学
生联系实际事例的亲身感受。
（一） 在简单的摸球游戏中感受随机现象 例1设计了简单的摸球游戏：口袋里有1个红球和1个黄球，小组合作，从口袋里
任意摸出1个球， 记录球的颜色，然后放回。像这样摸10次，并记录10次。教学应该
注意的是，这次游戏的目的不在于 红球摸到几次、黄球摸到几次，不在于哪一种球摸到
的次数多些、比另一种球多几次，而是在于体会摸球 的结果是随机的，在摸球之前无法
确定球的颜色。所以，教材在学生摸了10次以后，立即让他们交流“ 在摸球活动中有
什么体会”。两个小卡通的发言是所有学生应该有的感受，“每次摸出的可能是红球，也
可能是黄球”具体地描述了这项游戏结果的随机性，“每个球都有可能摸出”概括表达
了这项游 戏结果的随机特点，这些都是对随机现象应有的初步体验，是学生在摸球活动
中的亲身感受。
“试一试”的口袋里有2个同样的红球，任意摸出1个，摸出的不是这个球，就是
那个球，但一定是红球 。从颜色角度讲，摸球的结果是确定的，不是随机的。口袋里有
2个同样的黄球，任意摸出1个，一定是 黄球，不可能是红球，结果也是确定的。如果
把例题与“试一试”比较一下，会进一步感受例题里的摸球 （结果可能……也可能……）
是随机现象，“试一试”里的摸球（结果一定……或者不可能……）是确定 性现象。我
们知道，随机现象和确定性现象是两类不同的现象，是两个成“矛盾关系（对立关系）”的概念，利用这种矛盾关系，能够凸显随机现象的本质特点，有助于学生理解随机现象。

这就是教材编排“试一试”的目的。
（二） 在摸牌游戏中体验随机现象，列出随机现象可能发生的所有结果，体会可
能性有大有小
例2设 计的摸牌游戏分两步进行：第一步将红桃A、红桃2、红桃3、红桃4四张牌
打乱后反扣在桌上，从中任 意摸出一张，说说可能摸到哪张牌。第二步将红桃4换成黑
桃4（另外三张牌不变），从中任意摸出一张 ，说说摸到红桃牌的可能性大还是摸到黑桃
牌的可能性大。显然，第一步游戏不仅衔接着例1对随机现象 的初步认识，进一步丰富
对随机现象的体验，而且要列出随机现象可能发生的所有结果。第二步则是体验 随机现
象结果发生的可能性有大有小，并作出简单的定性描述。
四张牌的花色都是红桃，从中 任意摸出一张，一定是红桃牌。四张牌的点数不同，
每一张牌都有被摸到的可能，从中任意摸出一张，可 能是红桃A，也可能是红桃2、红
桃3或红桃4。如果学生说出“每张牌都有可能被摸到，摸之前不能确 定是哪一张牌”，
则表明他们已经体验到这项游戏结果的随机性。如果学生说出“摸出的牌可能是红桃A ，
也可能是红桃2、红桃3或红桃4”，则列出了这个随机现象可能发生的各种结果。
人们面 对随机现象，要对随机现象的结果作出自己的判断与选择，这就需要知道随
机现象发生的结果有哪些可能 ，并不重复、不遗漏地排出随机现象可能发生的各种结果。
如果四张牌都是红桃牌，从中任意摸出一张， 其结果有四种可能，分别是摸出了红桃A、
红桃2、红桃3或红桃4；如果把红桃4换成黑桃4，从中任 意摸出一张，其结果也有四
种可能，分别是摸出了红桃A、红桃2、红桃3或黑桃4。
四张牌 里有三张是红桃牌，只有一张是黑桃牌，从这些牌中任意摸出一张，显然摸
到红桃牌的可能性比较大，摸 到黑桃牌的可能性比较小。学生已有的经验会帮助他们形
成这样的认识，正像“番茄”卡通的解释“红桃 有3张，黑桃有1张，摸出红桃的可能
性大”，说出了全体学生的想法。人们对随机现象可能发生的各种 结果及其可能性大小
的体会，有助于他们作出适合自己的判断与选择。教学需要注意的是：在三张红桃牌 和
一张黑桃牌里任意摸出一张，摸到哪一种花色的可能性大些，应该让学生作出判断与回
答。至 于为什么摸到红桃的可能性大些、摸到黑桃的可能性小些，只要求联系生活经验
或常识进行简单解释，作 出定性描述就够了，暂时不要进行定量分析如，摸到每一张牌
的可能性都是14，摸到红桃的可能性是3 4，摸到黑桃的可能性是14。例题要求在三
张红桃牌和一张黑桃牌里任意摸出一张，摸后记录牌的花色 并放回，像这样摸40次。
从记录表里能很清楚地看到，摸出红桃的次数比摸出黑桃的次数多（绝大多数 学生会是
这样的结果），这个结果与“摸出红桃的可能性大，摸出黑桃的可能性小”完全一致。
还要指出的是，有经验的成年人看例1和例2，都是十分简单的事件，其结果理所
当然。四年级学生在 数学课程中初步接触随机现象，体会两道例题里的数学内容和思想
方法未必很容易。所以，应该为学生创 造操作活动的条件，让他们在装了1个红球和1
个黄球的口袋里任意摸1个球，体会摸球结果是不确定的 ；在装了2个红球或2个黄球
的口袋里任意摸1个球，体会摸球结果是确定的；在4张红桃里任意摸1张 ，体会摸牌
结果的多样性；在3张红桃和1张黑桃里任意摸1张，体会摸到红桃的可能性比摸到黑
桃的可能性大。教学必须明白，学生对可能性的初步认识，一般不是听明白的，而是在

实践中感悟到的。
配合例2的“练一练”给出三个口袋：第一个口袋里装了1个红球和2个黄 球，第
二个口袋里装了2个红球和1个绿球，第三个口袋里装了3个黄球。从每个口袋里任意
摸 出一个球，要求先说出“可能是红球吗”，再说出“从哪个口袋里摸出红球的可能性
大”。这道数学习题 ，包含了随机现象与确定性现象；包含了摸到红球的可能性比摸到
黄球的可能性小，摸到红球的可能性比 摸到绿球的可能性大等不同的情况，有利于学生
深入、全面地体验随机现象，并对随机现象可能发生的结 果作出简单的分析、判断与选
择。
（三） 在各种各样的游戏里体验随机现象
练习 十里的内容有三块：第一块是第1、2两题，主要配合例1的教学；第二块是
第3～6题，主要配合例2 的教学；第三块是第7～9题，综合应用所教学的可能性知识
解决实际问题。教学这个练习，需要注意以 下几点设计。
1. 根据预期的结果设计游戏。
第2题设计的活动是往口袋里放球：如果任 意摸1个球，不可能是绿球，口袋里应
该怎样装球？如果任意摸1个球，可能是绿球，口袋里应该怎样装 球？如果任意摸1个
球，一定是绿球，口袋里应该怎样装球？学生通过这些装球活动，亲自设计确定性事 件
与随机性事件，加强了对随机现象的体验。
第6题设计的活动是往口袋里放红铅笔和蓝铅笔 一共6支。从中任意摸1支，摸到
红铅笔的可能性大，应该怎样装两种颜色的铅笔？从中任意摸1支，摸 到红铅笔和蓝铅
笔的可能性相等，应该怎样装两种颜色的铅笔？教材希望学生在装铅笔的活动中，体会< br>铅笔总数一定的前提下，红铅笔的支数直接影响摸到红铅笔的可能性的大小。如果红铅
笔的支数比 蓝铅笔多，摸到红铅笔的可能性就大；如果红铅笔的支数和蓝铅笔同样多，
摸到两种铅笔的可能性相等； 如果红铅笔的支数比蓝铅笔少，摸到红铅笔的可能性就小。
教学上述两道习题，应该让学生“想想、放 放、说说、试试”，即：想一想题目对
放球或放铅笔的要求是什么，怎样放才可能实现题目的要求；按自 己的想法放一放，看
看口袋里放了哪些球、哪些铅笔；说一说自己的想法，和同伴交流这样放球或放铅笔 的
理由；从口袋里摸球或摸铅笔，试一试结果如何，是否符合题目的要求。
2. 可能性大的结果会“经常”发生，可能性小的结果“偶尔”发生。
第5题的三个转盘上都有红颜色、黄 颜色两个区域。第一个转盘的红颜色区域很大、
黄颜色区域很小，转动这个转盘，指针经常落在红颜色区 域内，即指针落在红颜色区域
的可能性很大。第二个转盘的红颜色区域和黄颜色区域的面积相等，转动这 个转盘，指
针落在红颜色区域的可能性与落在黄颜色区域的可能性相等。第三个转盘的红颜色区域
很小、黄颜色区域很大，转动这个转盘，指针偶尔落在红颜色区域内，即指针落在红颜
色区域的可能性 很小。教材希望学生在转动转盘的游戏中，联系“偶尔落在某处”“经
常落在某处”等现象，体验“可能 性小”“可能性大”的含义。

3. 整理游戏规则，作出可能性大小的判断。
第7题把1～9九张数字卡片打乱后反扣在桌上，从中任意摸出1张。学生会立即

想到：摸牌结果有9种可能，摸到每一张牌的可能性都相等。然而题目不问这些，要回
答的问题是“ 摸到单数的可能性大还是摸到双数的可能性大”。
由于摸到各个数的可能性是相等的，回答上面的问题 ，需要整理1～9中有几个单
数、几个双数。根据单数的个数（5个）比双数的个数（4个）多，判断摸 到单数的可
能性比摸到双数的可能性大。
4. 估计随机现象可能发生几次，并实验验证。
第8题在正方体的一个面上写“1”，两个面上写“2”，三个面上写“3”。显然，抛
起这个 正方体，落下后“1”朝上的可能性最小，“3”朝上的可能性最大。
把这个正方体抛24次，分别记 录“1”“2”“3”朝上的次数。一般情况下，“1”朝
上的次数最少，印证了“1”朝上的可能性最 小；“2”朝上的次数稍多，印证了“2”朝
上的可能性稍大些；“3”朝上的次数最多，印证了“3” 朝上的可能性最大。个别情况，
也会出现与上述不同的结果，即“1”朝上的次数不是最少，“3”朝上 的次数不是最多。
这正是“随机”的特征，是结果“不确定”的表现。但是，大多数情况应该与前面的结
果相一致。
从理论上说，“1”朝上的次数应该占24次的六分之一，是4次；“2”朝上的 次数
应该占24次的三分之一，是8次；“3”朝上的次数应该占24次的二分之一，是12次。
而实验的结果很少是这样，其原因也是“随机”。人们能够估计随机现象的结果可能怎
样，但不能事先 确定随机事件的发生一定会怎样。
第9题的口袋里有1个红色正方体和2个黄色正方体，从中任意摸1 个，摸到红色
正方体的可能性比摸到黄色正方体的可能性小。题目要求估计一下，如果摸30次，摸到红色正方体可能多少次，摸到黄色正方体可能多少次，并通过摸正方体游戏来验证自
己的估计。学 生根据口袋里两种颜色正方体的个数，一般会估计摸到红色正方体10次，
摸到黄色正方体20次。而摸 正方体的实验结果不一定正好是这些次数，但一般会比较
接近这些次数。如果实际摸的结果与预先的估计 差不多，则表明估计得很好。如果摸的
结果与估计相差很大，不能否定原来的估计，可以重新做30次摸 正方体游戏，看看结
果如何。
（四） 体会随机现象的数据里蕴含着规律
数据的随 机性主要有两层含义：一方面对于同样的事情，每次收集到的数据会是不
同的。如，若干个小组的学生从 口袋里摸球，口袋里都是1个红球和1个黄球，每次任
意摸出1个球，摸后放回。每组都摸30次，各组 摸到红球的次数不会都相同。另一方
面只要有足够的数据，就可能从中发现规律。本单元的“动手做”， 就是依据另一方面
的含义而设计的学生操作活动。
“动手做”安排的活动是：两人一组做摸球 游戏，一人先在一个不透明的口袋里放
入红、黄两种颜色的球共6个；另一人摸球，每次任意摸出1个， 摸后放回，共摸30
次，记录摸出每种球的次数，并根据记录的结果，判断口袋里的红球多还是黄球多。
从装有红、黄两种颜色球的口袋里任意摸出一个球，摸后放回，像这样摸30次。
如果红球的个 数比黄球多，摸到红球的可能性就大，摸到红球的次数一般比摸到黄球的
次数多；如果红球的个数比黄球 少，摸到红球的可能性就小，摸到红球的次数一般比摸

到黄球的次数少；如果 红球的个数和黄球同样多，摸到红球的可能性和摸到黄球的可能
性相等，摸到红球的次数和摸到黄球的次 数会差不多。学生从两道例题中获得的这些经
验和认识，是他们进行“动手做”的思想基础。所以，一个 学生在不透明口袋里放两种
颜色的球，另一个学生虽然不知道口袋里两种颜色球各有几个，却能通过摸球 实验，判
断哪种颜色球的个数多一些。
如果口袋里两种颜色球分别是2个与4个，或者分别是 1个与5个，按规则摸球30
次，摸到两种球的次数一般会有明显的少与多之分，就能根据记录的次数， 判断哪种颜
色球的个数多一些、哪种球的个数少一些。如果从记录的30个数据里还看不出哪种球
的个数多，则可以继续摸、继续记录，只要有足够的数据，总是能作出适当判断的。
这次“动手做” 让学生在游戏中收集信息、整理数据，并根据数据作出判断，其教
育意义在于体会数据里蕴含着规律。尽 管随机现象的结果在发生之前不能确定，但随机
现象结果的发生仍然是有规律的，只要有充分的数据，就 能看出（表现出）随机现象结
果发生的规律。
7单元：整数四则混合运算
三年级教 科书里已经初步教学了整数四则混合运算的运算顺序以及两步计算的混
合运算式题。学生已经初步知道： 算式里有乘法和加、减法，应该先算乘法；算式里有
除法和加、减法，应该先算除法；算式里有括号，应 该先算括号里面的运算。在此基础
上，本单元继续教学整数四则混合运算，算式里一般都有三个运算符号 。要形成“算式
里有乘、除法和加、减法，应该先算乘、除法”的认识；还要了解中括号，以及“先算< br>小括号里面的运算，后算中括号里面的运算”的顺序。结合四则混合运算的教学，还编
排许多需要 两、三步计算的实际问题，进一步体验运算顺序，培养解决实际问题的能力。
全单元编排三道例题，具体 安排如下表：
例1没有括号的四则混合运算（概括出“先算乘除法，后算加减法”的运算顺序）
例2小括号里有两级运算的四则混合运算（应用“先乘除、后加减”的顺序）
例3中括号以及含有中括号的四则混合运算
从表格里可以看到，三道例题教学的都是四则混合 运算顺序及其应用，没有编排解
答三步计算实际问题的例题。这是因为学生已经具有解答三步计算实际问 题的知识与经
验，本册教科书第五单元教学的“解决问题的策略”完全可以应用于本单元，是学生解决实际问题的主要方法。
（一） 选择适当的呈现方式，体验运算顺序
运算顺序是人们 共同遵循的计算规则，是一套完整而合理的规定。教学运算顺序和
四则混合运算，既要让学生知道并遵守 人们的共同规定，还要让他们体会这些规定的合
理性。本单元教学的四则混合运算内容比较多，教材对不 同内容采用不同的呈现方式，
帮助学生在具体的计算情境里体验和理解运算顺序。
1. 联系现实的素材，在解决实际问题的过程中体会运算顺序。
例1计算12×3+15×4，这是把两个 乘积相加的三步计算，算式里的两个乘法可以
同时计算是这道例题的教学重点。教材设计了一个购物情境 ：每副中国象棋卖12元，
每副围棋卖15元，买3副中国象棋和4副围棋一共要付多少元。解决这个问 题只要把3

副中国象棋的总价和4副围棋的总价相加，需要先分别算出3副中 国象棋的钱和4副围
棋的钱，这两个总价没有规定谁先算、谁后算的必要。所以，在列出的综合算式里， 应
该先算乘法，而且两个乘法可以同步完成。学生在这样的现实情境里，体验了运算顺序。
2. 以已有的运算顺序为依据，通过推理解决稍复杂的混合运算。
例1后面的“试一试” 计算150+120÷6×5，算式里有乘、除法，还有加法。与例
1不同之处是这里的乘法和除法不能 同步计算，应该从左往右依次计算。例2计算300-
（120+25×4），是有小括号的算式，小括 号里面既有乘法，又有加法，需要分两步计算。
计算这两道混合运算题，需要准确而灵活地运用已有的运 算顺序知识，合理规划先算什
么、再算什么。教学策略是引导学生面对现实的计算任务进行演绎推理，经 历“观察算
式——回忆有关运算顺序——规划计算步骤——按次序进行计算——反思并积累计算
经验”的过程，既发展数学思维，又提升掌握运算顺序的水平。
观察算式里的运算符号，获得的视觉信 息作用于大脑，能激活储存在头脑里的运算
顺序。就计算150+120÷6×5来说，算式里有乘、除 法，还有加法，应该先算乘、除法
（这是已有的运算顺序知识）；120÷6×5这部分里只有乘、除法 ，应该从左往右依次计
算（这也是已有的运算顺序知识）。综合有关的两条运算顺序，决定分三步计算： 先算
120除以6的商，再把商乘5，最后把乘积与150相加。再说300-（120+25×4）， 算式
里有小括号，应该先算小括号里面的运算（这是已有的运算顺序知识）；小括号里有乘
法和 加法，应该先算乘法（这也是已有的运算顺序知识）。综合有关的两条运算顺序，
决定先算25乘4的积 ，再算乘积和120相加的和，最后用300减前面算出的和。
计算150+120÷6×5和300 -（120+25×4），第一步先算什么，都不是凭一条运算顺
序的规定就能确定的，而是综合应用两 条运算顺序作出的判断。进行三步混合运算经常
会遇到这些情况，开展这些数学思考，能提高应用运算顺 序知识的水平，能发展初步的
逻辑思维能力。
一道算式计算出结果以后，回顾一下所用的运算 顺序以及计算步骤，从中获得体会
就是在积累计算经验、总结计算策略。例1的“试一试”的后面，问学 生：“在没有括
号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算什么？”引导他们把原来的“先算乘法，< br>再算加、减法”和“先算除法，再算加、减法”合并成“先算乘、除法，再算加、减法”。
这既是 计算知识，也是计算经验。
3. 在新的计算情境里教学中括号的知识。
数学教学创设的 问题情境，可以是日常生活中实际问题的情境，也可以是抽象的数
学问题情境。后者也能形成认识冲突， 激发学习兴趣，凝聚学习的心向。例3直接出现
算式525÷［（81-56）×3］，创设的就是数学 问题情境，里面有尚未学习的中括号。教
材指出：“［ ］是中括号”，“在一个算式里，既有小括号， 又有中括号，要先算小括号
里面的，再算中括号里面的”。教材还通过填写第一步计算的过程“525÷ ［ ×3］”
和第二步计算的过程“525÷ ”，引导学生先算小括号里面的运算，再算中括 号里面
的运算，体会运算顺序，初步学会按照运算顺序进行计算。
配合例3的“练一练”计算 42×［169-（78+35）］，没有提供计算步骤的提示，要
求学生根据有关小括号、中括号的运 算顺序，自己确定计算过程，写出必要的计算步骤，

进一步掌握有关括号的运算顺序知识。
（二） 精心编排计算题组，加强对运算顺序的体验，提高练习效率
掌握运算顺序、形成混合运算能力，需要练 习。练习题不是越多越好，应该精心设
计安排，以较少的题量获取最大的效益。值得注意的是，在练习十 一和练习十二里，编
排了四个计算题组，每组2道或3道混合运算题。学生一边计算、一边比较同组的题 ，
能够获得关于运算顺序的体验。
练习十一第2题里有两个计算题组：25×30+25×2 0和25×（30+20）；840÷40-400
÷40和（840-400）÷40。同组两道题中 ，一道没有括号，另一道有括号，使用的运算
顺序不同，但最后的得数相同。在练习运算顺序的同时，渗 透了乘法分配律和除法运算
性质。
第5题里有两个计算题组：60÷10+120÷60、6 00÷（10+120÷6）和（600÷10+120）
÷6；26+14×70-30、26+14 ×（70-30）和（26+14）×（70-30）。同组三道题中，有的
没有括号，有的有括号，而 且括号的位置不同；有的没有括号，有的有一个括号，有的
有两个括号。因此同组三题的运算顺序不同， 最后结果也就不同。
第10题里有四个计算题组：45+25×12和（45+25）×12；20+ 12+60÷3和20+（12+60）
÷3；68+185÷5+32和68+185÷（5+32） ；800-432÷6×9和800-432÷（6×9）。同组
两道题中，一道没有括号，另一道有括 号，要求“（不算出得数）直接在每组中得数大
的算式后面的□里画‘
考没有括号应该怎样计算 ，有括号应该怎样计算，体会其计算过程，判断最后得数哪个
大、哪个小，有利于数感的发展。
练习十二第2题里有两个计算题组：540÷3+6×2、540÷（3+6×2）和540÷［（3+6）< br>×2］；180÷（36÷12）+6、180÷（36÷12+6）和180÷［36÷（12+6）］ 。同组三道题
中，有的没有括号，有的有小括号，有的有中括号；有的括号里只有一个运算，有的括号里有两个运算。由于括号不同，使用的运算顺序就不同，计算的结果也就不同。
充分利用教材精 心编排的上述题组，要安排较多的时间，仔细比较同组的两（三）
道题，比出它们的不同，反复体验使用 的运算顺序。这些题组对练习十二后面的思考题，
也有重要的作用。
（三） 编排三步计算的实际问题，进一步培养解决问题的能力
本单元结合计算教学，编排了许多实际问题。有 两步计算的问题，也有三步计算的
问题；有以前曾经解答过的问题，也有首次解答的新问题。这些实际问 题都编排在练习
十一和练习十二里面，要求学生独立解决。这些实际问题的题材宽广，涉及的类型相当< br>多，无固定的解题模式可以套用。尤其是一些稍复杂的三步计算问题，很具有挑战性，
对培养解决 问题的能力会起十分积极的作用。
学生已经能够解答许多两步计算的实际问题。有些两步计算问题如果 再添一个条
件，就可以成为三步计算的问题。如，练习十一第4题是在“美术组有18人，书法组
的人数是美术组的2倍，两组一共多少人？”的基础上，增加条件“合唱组比美术组和
书法组的总人数 多6人”，并且改变问题，求“合唱组有多少人”，形成一道三步计算的
问题。有些两步计算的问题，即 使不添条件，也能延伸为三步计算的问题。如，水果店

上午运进菠萝140千 克，下午运进的菠萝比上午的2倍还多50千克。以前解答的两步
计算问题是“下午运进菠萝多少千克” ，现在解答的三步计算问题是“这一天一共运进
菠萝多少千克”或者“下午比上午多运进菠萝多少千克” （练习十一第7题）。有些两步
计算的问题，如果改变它的某一个条件，由直接已知变成间接已知，也能 成为三步计算
的问题。如，“3辆卡车共运480箱苹果，照这样计算，5辆卡车可以运多少箱？”是两
步计算的问题，如果把“5辆”改成“增加2辆”，题目的其他条件都不变，解答时需要
增加一 步，先求“现在有几辆卡车”，原来的两步计算问题就变成三步计算的问题了（练
习十一第12题）。可 见，三步计算问题与两步计算问题有着密切的联系，本单元只编排
三步计算的习题，不安排相应的例题， 是考虑到学生有解答两步计算实际问题的能力，
希望他们利用已有的解决问题策略和解答两步问题的经验 ，经过独立思考，自主解决新
颖的、较为复杂的问题，从而培养实践能力和创新精神。
学生已 经具有的解决问题策略，主要是推理和整理。即从条件向问题的“综合法推
理”，从问题向条件的“分析 法推理”；利用表格或别的形式，整理实际问题里的条件与
问题，帮助理解题意，促进解题思路的形成。
教学三步计算的实际问题，首先要整理已知条件和所求问题。可以把题意通过列表、
画图或其他 形式表示出来。如果一边整理、一边思考，应用已经掌握的推理形式和方法，
就能找到三步问题和两步问 题的连接点。如，练习十一第4题可以采用摘录条件与问题
的方式进行整理与推理：
美术组18人
书法组人数是美术组的2倍
合唱组比美术组和书法组的总人数多6人
再如练习十一第7题可以采用画线段图的方式进行整理和推理：
又如练习十二第8题可以利用所求问题“合唱组人数是美术组的几倍”的数量关系
式进行整理：
合唱组人数是美术组的倍数=合唱组人数84人÷美术组人数
↓
航模组人数的2倍

男生8人女生6人
整理信息是所有学生都应该进行的解题活动，整理的形式因题、 因人而异，不必强
求统一。教学应该放手学生开展整理活动，可以组织他们交流整理的方式方法，感受整
理形式的丰富性与多样性，逐渐优化整理的方法，积累整理的经验。
8单元：垂线与平行线
“垂直”或“平行”是同一平面内两条直线的特殊位置关系，是认识常见平面图
形不可缺少的 基础知识。认识平行四边形和梯形的特征，建立平行四边形、三角形、梯
形的高的概念，都离不开垂直和 平行的知识。从这一点来说，本单元是直观认识几何形
体向形成线、角、形、体等几何概念的重要转折点 。全单元编排10道例题，内容的具
体安排如下表：
两组一共多少人 合唱组有多少人？

例1射线、直线的概念，两点之间的距离
例2角的概念，表示角的方法
例3用量角器测量角的大小
例4锐角、直角、钝角、平角、周角的概念
例5用量角器或三角尺画角
例6两条直线相互垂直
例7点到直线的距离
例8用三角尺画垂线
例9两条直线相互平行
例10画已知直线的平行线
单元整理与练习
从表 格里可以看到，全单元内容分成两大部分。第一部分是线与角的知识，编排五
道例题和两个练习教学，这 些知识为认识垂直和平行作准备。如，认识两条直线的相互
位置关系，需要先建立直线的概念；认识两条 直线相互垂直，需要先认识直角和会画直
角……学生在第一学段仅直观认识了线段和角，经过本单元前五 道例题的学习，将获得
比较系统的“线”与“角”的知识，形成相应的数学概念。第二部分是垂直和平行 的知
识，编排五道例题和一个练习教学。不仅教学两条直线相互垂直、相互平行的概念，还
教学 使用工具画已知直线的垂线和平行线的方法。
垂线和平行线这两个知识的教学安排，有些教科书里先讲 平行线、再讲垂线，有些
教科书里先讲垂线、再讲平行线。本单元把垂线放在平行线的前面先教，是因为 学生在
生活中接触垂直现象的机会稍多些，积累的关于垂直的感性认识比平行线多。而且，学
生 认识了垂直关系，学会了画垂线，有助于他们体会两条直线的“不相交”，会适当降
低建立平行线概念的 难度。
（一） 从生活中的直观现象引出射线和直线，以线段为生长点揭示射线和直线的
概念
学生在第一学段已经认识了线段，知道线段是有两个端点的直线，其长度是有限的，
可以用尺度 量。本单元教材以线段概念为生长点，继续教学射线和直线。射线和直线可
以看成是线段“无限延长”得 到的几何图形，小学生理解“无限延长”往往会有些困难。
但是，如果不能理解“把线段无限延长”，就 难以形成射线和直线的表象。为此，教材
在教学射线和直线时，作了如下的安排。
1. 从生活中的直观现象引出射线，体会“无限延长”。
例1呈现一幅美丽的城市夜景图，其中有许多灯光 。这些灯光各自从一点出发，向
天空射去，射得很远很远。“茄子”卡通告诉学生“这些灯射出的光线可 以看作射线”。
图画显示和语言描述相结合，引出了“射线”，让学生形象地感受射线的特点——向一< br>端无限延长的直线。
2. 凸显射线和直线的几何图形，初步建立射线和直线的概念。
在学生形象感知射线以后，教材继续引导他们观察数学现象，从数学的角度认识射
线：把线段的一端无 限延长，就得到一条射线。配合这句话，画出一条线段，把线段的

两个端点涂 上红色；其中一个端点保持不动，另一个端点随着线段无限延长。学生就这
样形成了射线的表象。 在学生初步认识射线以后，采用类似的方法，把线段的两个端点都无限延长，引出
了直线，指出了直 线的本质特征。
以线段概念为生长点教学射线和直线，从有限到无限，符合学生的认识规律。苏教版小学数学教科书的这种安排，得到了教材审查专家的充分肯定。
3. 及时组织射线、直线和线段的相互比较，进一步认识这些线。
射线、直线、线段是三个不同的概念，它 们是三种不同的几何图形。以线段为基础
教学射线和直线以后，及时比较三者之间有什么相同、有什么不 同，能促进学生更好地
理解这三个概念的本质特征。
“辣椒”和“蘑菇”卡通的交流，说出了 线段与射线、直线之间的不同，这些应该
是所有学生的共同体验。学生能够看到：线段有两个端点，射线 只有一个端点，直线没
有端点。这是他们识别线段、射线和直线的主要着眼点。学生能够想到：线段的长 度是
有限的，射线和直线是无限长的。这是他们对线段、射线和直线的本质认识。
“练一练” 第1题给出了七条线，其中有直的线、有曲的线；有线段、有射线和直
线。要求学生指出哪些是线段、哪 些是射线、哪些是直线。让他们在具体对象面前，重
温线段、射线和直线的特征，再次体会线段、射线、 直线虽然都是直的线，却是三种不
同的几何图形。练习十三第1题，在一条给定的直线上画出4厘米长的 线段。不仅用要
直尺在直线上量出4厘米长的一段，还要表示出线段的两个端点，这就感受了线段的特< br>点——有确定的长度，应该画出两个端点，也体验了线段与直线的联系与区别。
4. 教学两点之间的距离，进一步体验线段的特征。
例1的最后是A、B两点之间有一条线段、一条折线和 一条曲线，比较这三条线的
长度。学生联系生活经验，会知道线段的长度最短，从而感受了“两点之间所 有连线中
线段最短”。教材及时指出“连接两点的线段的长度叫作这两点之间的距离”，突出两点
之间的距离指的是一条线段的长度。这些认识在以后的学习中将多次用到，如，量三角
形的高就是量三 角形的顶点到它对边的垂直线段的长度，即测量顶点到垂足之间的距
离。
这段内容还可以从两 点来体验线段的特征：一是连接A、B两点的线段是以A、B两
点为端点的直线。二是A、B两点之间可 以画出许许多多线，包括许多折线、许多曲线，
但只能画出一条线段。
（二） 通过画角，初步建立角的概念，教学相应的符号标记
学生在二年级下册教科书里直观认识了角，初步知 道了角的顶点和两条边。本单元
在教学射线以后，继续建立有关角的概念。
角作为一种平面图 形，是两条有公共端点的射线所组成的图形。例2以一点为端点
画两条射线，示范了像这样画角的方法， 指出“从一点引出两条射线所组成的图形叫作
角”。学生可以画一画、看一看，理解对角的这种描述。指 出角的顶点和两条边，在回
忆旧知识的同时，体会画的这个角的两条边是两条射线，顶点是两条边的公共 端点。
在角的图形里有一段红颜色的弧线，清楚地指出角是由两条射线组成的图形，是两

条射线所夹的平面部分，从而使角的概念更加明确。例题还教学表示角的符号“∠”以及使用符号表示的方法。如∠1，方便了表达和交流。
“练一练”第3题给出三条射线，要求以每 一条射线为一边，分别画出一个角。学
生画角，要找到已知射线的端点，从这出发点再画出一条射线，与 原来的射线组成一个
角。这就加强了角的表象，体会了角是由一个顶点引出的两条射线所组成的图形。第 4
题数数一块三角尺上有几个角，指指每个角的顶点和边，能体会到三角尺的每一条边既
是某个 角的一条边，也是另一个角的一条边。指出每个角的顶点和边，角的初步概念就
形成了。
练习 十三第2题，三条射线有同一个端点。在这样的图形里识别角，看出每两条射
线都组成一个角，能加强对 角的体验。有些学生只看到2个角，有些学生会看出3个角。
要组织他们交流每个角的顶点和两条边，用 手指示意弧线表示两边所夹的部分，还可以
用符号∠1、∠2、∠3来表示各个角，感受图中两个较小的 角合成一个较大的角。
（三） 简要介绍量角器的构造和量角原理，示范用量角器量角的方法，帮助学生
克服使用工具的困难
例3给出一个角，要求学生用三角尺上的角去度量这个角的大小。用三角尺上的哪
一个角去量，可以自由 选择。由于三角尺上角的大小不同，所以测量的结果与表达各不
相同。如果用三角尺上较大的锐角去量， 那个角正好等于较大锐角；如果用三角尺上较
小的锐角去量，那个角正好等于较小锐角的2倍；如果用三 角尺的直角去量，那个角比
直角小。教材安排这些测量活动的目的有两点：一是让学生明白，测量角的大 小就是寻
找一个大小已知的，并且与被测量角大小相等的角；二是让学生体会，准确测量角的大
小，要有统一的度量工具和计量单位，这与测量长度需要统一的长度单位，测量面积需
要统一的面积单位 ，测量容量需要统一的容量单位是一致的。
量角器是常用的度量角的大小的工具，例3着力教学量角器 的构造和计量角的单位。
先观察量角器的图画，说说量角器上有些什么，了解量角器的结构。然后指出计 量角的
单位是“度”，并在量角器上表示出1度角有多大。
量角器的构造比较复杂，学生观察 量角器会看到它是半圆形，上面有许多刻度线，
所有刻度线都相交于量角器的中心点；以中心点为顶点， 任意两条刻度线为边，都能组
成一个角；量角器上像这样的角有许许多多，而且形成的角的大小不同。还 会看到量角
器上的两圈数，都是0、10、20……90、100……180；两圈数的排列分别从左到 右、从
右到左，方向刚好相反。就大多数学生而言，都能看到量角器的形状以及它上面的刻度
线 、数字，但想不到中心点与两条刻度线组成一个角。想到这一点十分重要，关系到量
角器量角方法的原理 ，应该引起教学的注意。
1度的角比较小，教材在量角器上表示出1度的角。让学生清楚地看到，量角 器上
每相邻的两条刻度线都组成一个1度的角。2个1度的角连起来就是2度的角，几个1
度的 角连起来就是几度的角。
量角器上，把半圆平均分成180份，有内外两圈刻度。内圈刻度从右往左依 次是
10°、20°、30°……180°，外圈刻度从左往右依次是10°、20°、30°……18 0°。
教材要求学生“从右边起，依次找出0°、20°、90°、135°、180°的刻度线”“从 左

边起，依次找出这些度数的刻度线”。教学不仅要完成这些活动，还要体会 0°刻度线和
20°刻度线组成20°角，0°刻度线和90°刻度线组成90°角，0°刻度线和13 5°刻
度线组成135°角，0°刻度线和180°刻度线组成180°角，从而进一步体会量角器上< br>有许许多多个大大小小的角，而且每个角的度数都能看出来或算出来。
认识量角器以后，就能使 用量角器测量角的大小。设计的教学活动线索是“图示方
法——模仿操作——交流体会”。先图画演示怎 样把量角器正确地放到要量的那个角上，
看出这个角是多少度；再照样子用量角器在教材上量一量，经历 量角器量角的操作过程，
初步学会使用量角器；然后交流用量角器量角的体会。一要体会量角器的中心点 和角的
顶点重合，0°刻度线和角的一条边重合，就能在量角器上找到一个与要度量的角大小
相 等的角。量角器上的角有多少度，被测量的那个角就是多少度，从而明白量角器量角
的原理。二要联系上 面的操作，说说使用量角器的方法与要领，掌握正确使用量角器的
技能。三要体会有了量角器以及统一的 计量单位“度”，就能准确测量角的大小。
用量角器量角的练习由易到难地编排。“练一练”里的量角 ，都使用量角器的外圈
刻度线。第1题已经把量角器放在角的上面，只要看量角器上的刻度，就能说出各 个角
的度数。第2题要把量角器放到角的上面，量出各个角的度数。由于只使用量角器的外
圈刻 度线，把量角器放到角上不是很难。练习十三第9、10两题里的量角稍难些，一是
把量角器正确放到角 上比较难，二是选择量角器的内圈刻度还是外圈刻度比较难。为此，
第9题的图画里已经把量角器放到角 上，只要根据与角的一条边重合的0°刻度线，选
择量角器的外圈或内圈刻度，就能得出被测量的角的大 小。第10题的图画里，也示范
了量角器放到角上的方法，减少学生测量中的困难。
需要注意 的是，教材没有用文字语言讲述使用量角器量角的操作步骤，希望学生通
过观察教材里的测量，联系自己 进行的量角活动，交流体会并总结使用量角器的方法。
练习十三第8题，给出四幅用量角器量角的图画， 其中三幅使用量角器的方法都不对，
或是量角器的中心点没有和角的顶点重合，或是没有把量角器的0° 刻度线与角的一条
边重合，或是没有把量角器放在角的上面。教材问“（这些）用量角器量角的方法是否
正确”，引导学生在辨析正误和改正错误的过程中，学会正确使用量角器量角的方法。
估计角 的大小是比较难的。“练一练”第3题给出了两个角，要求学生判断“两个
角的大小一样吗？先估计，再 用量角器量”。题目不要求说出每个角的大小，它们的度
数仍然可以用量角器量得。这道题要让学生明白 ：角的大小与画出的边的长短无关，与
其两条边叉开的程度有关。因为角是同一顶点的两条射线组成的图 形，射线只有一个端
点，是无限长的。尽管画出的两个角的边长短不同，以射线的观点看待角的边，就能 理
解这两个角同样大。练习十三第13题估计少先队队旗中三个角的度数，可以利用第6
题量得 的三角尺的各个角的度数进行估计。如队旗上的∠1和三角尺上最大的角差不多，
应该是90°；∠2比 三角尺上的45°角大些，∠3比三角尺上最大的角大些，这两个角
的度数也能有所估计。培养估计角的 大小的能力，可以让学生反复观察三角尺上的各个
角，记住每个角的度数，作为估计角的大小的参照。
（四） 在角的运动变化中教学锐角、直角、钝角、平角和周角，充实角的知识，
加强角的概念

二年级下册教科书里，学生直观认识了锐角、直角和钝角，并知道锐角比直角 小、
钝角比直角大。那时的认识，处在直观、初步的层面上。本单元继续认识锐角、直角、
钝角 ，但概念要建立在这些角的度数（即量化刻画）的层面上。而平角与周角，则是本
单元教学的新知识。
教材选择的教具是活动角。“一条射线绕着它的端点在平面内旋转，所形成的图形
叫作角”是对 角的动态描述。活动角不仅能够引出各种角，还能帮助学生发展对角的认
识，加深对角的理解。
例4的教学分五步进行，依次是：认识直角；认识平角；整理锐角、钝角与直角、
平角的关系；认识周 角；整理直角、平角与周角的关系。
认识直角主要教学“直角是90°的角”。学生在第一学段已经直 观认识了直角，也
认识了表示直角的常用符号。现在继续教学直角，应该知道直角是多大的角，并进一步
熟悉和应用表示直角的符号。例4给出一个直角，问学生“你知道直角是多少度吗？”
要求他们 量一量。学生通过测量，能够得出“直角等于90°”，这就是他们对直角的新
认识。
认识平 角主要教学怎样的角是平角，以及平角有多少度。先用两根硬纸条做出一个
直角；再旋转直角的一条边， 使角的两条边在一条直线上，指出这也是一个角，并通过
推理和测量，得出这个角的度数；最后指出，这 样的角是平角，平角等于180°。学生
初步接触平角不容易接受它，把有公共顶点，且两条射线在一条 直线上的图形看成一个
角，会不习惯。教学要引导他们按角的概念来认识这样的图形，理解这也是一个角 。至
于平角有多少度，一方面可以从“平角里包含两个直角”推理出来，另一方面还可以通
过量 角器的测量得出。
锐角与钝角已经在第一学段初步教学，学生已能直观辨认锐角与钝角。所以，例4< br>整理锐角、钝角与直角、平角的关系，进一步明晰锐角与钝角的概念。要求学生做出几
个大小不同 的锐角和几个大小不同的钝角，深刻体会锐角是小于90°的角，钝角是大于
90°、小于180°的角 。
认识周角主要教学什么样的角是周角，周角有多少度。教材旋转平角的一条边，直
到与另一 条边重合，指出这样的图形也是一个角，是周角。让学生体会，这个角包含了
2个平角，是360°的角 。
整理直角、平角与周角的关系，应该得出如下的内容：一个平角相当于2个直角；
一个周角 相当于2个平角、4个直角。这些内容有助于学生更好地体验平角和周角。
“练一练”联系折扇的打开 感受平角与周角：当折扇的两条边在一条直线上时，折
扇形成一个平角；当折扇的两条边重合时，折扇形 成一个周角。练习十四第5题，把一
张正方形纸对折再对折，折成一个小正方形，打开这张纸，在中心部 分找到一个直角、
一个平角（2个直角）、一个周角（4个直角或2个平角）。在同一个情境里体验直角 、
平角、周角及其相互关系，能够加强有关的概念。第8题，钟面的分针，从指向12起，
旋转 到指向1，形成的角是锐角；从指向12起，旋转到指向3，形成的角是直角；从指
向12起，旋转到指 向4或5，形成的角是钝角；从指向12起，旋转到指向6，形成的
角是平角；从指向12起，旋转一周 （仍然指向12）形成的角是周角。这些有趣的现象

能够帮助学生体验直角、平角和周角，再次整理各种角之间的关系。
（五） 根据角的度数，选用适当的工具画角
小学生画指定度数的角，一般有两种工具可以使用，一是量角器， 二是三角尺。用
量角器能够画出任何度数的角，而三角尺只能画出某些度数的角。
例5要求画 一个50°的角，通常使用量角器来画。学生有用量角器量角的经验，学
习用量角器画角不会有很大困难 。教材通过一组连续的图画，表示画50°角的主要步骤：
先画一条射线，作为角的一条边；再把量角器 放到射线上面，使中心点和射线端点重合，
0°刻度线和射线重合；然后找到量角器的50°刻度线，做 出记号，并画出角的另一条
边。教材要求学生看懂图画表示的画角方法，照样子画一画，并说说画角时要 注意些什
么，总结使用量角器画角的方法。
“练一练”要求画30°、45°、90°的角。 由于三角尺上有这些度数的角，所以这
些角可以用三角尺为工具，直接画出来。
一般说，度数是15或15的倍数的锐角和钝角，都可以用三角尺画出来。
练习十四后面的“ 动手做”，把一副（两块）三角尺的两个角拼起来，说出拼成的
角的度数。一方面使学生更加熟悉三角尺 的各个角的度数，另一方面也给学生利用三角
尺画某些度数角的方法启示。
一副三角尺上有3 0°、45°、60°、90°的角，把两块三角尺上的角拼起来有75°
（45°+30°）、105 °（45°+60°）、120°（30°+90°）、135°（45°+90°）、150°
（60 °+90°）等角。这些角可以利用一副三角尺画出来。
一个较大的角减去一个角，能够得到一个较小 的角。像这样，利用两块三角尺的角
还能够画出15°（45°-30°或60°-45°）的角。 < br>如果把一副三角尺能画出来的角排一排，依次应是15°、30°、45°、60°、75°、
9 0°、105°、120°、135°、150°。不难看出，这些角的度数都是15的倍数。这就
是说 ，度数是15的倍数的角，都能用一副三角尺画出来。
（六） 联系生活情境，教学两条直线互相垂直、互相平行
在认识直线以后，本单元例6～例10教学直线与直 线的位置关系。在同一平面内，
两条直线可能相交，也可能不相交。相交成直角的两条直线互相垂直，垂 直是特殊位置
的相交。不相交的两条直线互相平行，也是直线之间的特殊位置关系。教材先教学两条直线互相垂直，再教学两条直线互相平行，以理解这两种位置关系，建立垂直与平行的
概念为教学重 点（如下图）。在理解的基础上，用多种办法画出互相垂直、互相平行的
直线。



同一平面内的两条直线
相交
不相交
1. 在现实的生活情境中凸显数学内容。
相交成直角 …………互相垂直
相交不成直角
…………互相平行

日常生活中有许多垂直或平行的现象，这些都是教学例6和例9的现实背景和有意
义的素材。
例6首先呈现篱笆、窗户和地砖铺的地面等照片。如果把篱笆上的竹片、窗户上的
棂、地砖的缝 都看成直线，就能抽象出三组相交的直线。发现每组的两条直线都相交于
一点，两条直线相交成4个角， 有时4个角都不是直角，有时4个角都是直角。这就为
教学两条直线互相垂直找到了原型。
例 9首先呈现双杠的两根杠、一段铁轨、一座铁塔等照片，在照片中抽象出三组直
线。让学生辨别哪组的两 条直线不相交，哪组的两条直线相交，为教学两条直线互相平
行找到了原型。
结合生活情境教 学两条直线的相互位置关系，有利于学生凭借生活常识和经验形成
数学概念，有助于学生体会数学与生活 的密切联系，有益于学生从数学的视角观察客观
世界。在例题的影响下，学生能从自己身边看到和想到更 多的垂直和平行现象，为认识
两条直线的互相垂直和互相平行积累丰富的感性认识。
2. 在已有知识经验的基础上形成数学概念。
学生有两条直线相交和不相交的经验，还有角的知识，这就具 备了学习垂直和平行
的条件。教学只要激活潜在的知识经验，加强对概念内涵的体验，就能形成数学概念 。
例6教学“垂直”概念，建立在两条直线相交成直角的体验上。比较三组相交的直
线，逐渐 挖掘“垂直”的数学特征。“辣椒”“蘑菇”“番茄”三个卡通的交流，表示学
生对两条直线相交现象有 逐渐深刻、逐步涉及本质的认识过程。他们先看到每组的两条
直线都有一个交点，每组的两条直线都相交 成4个角，这是三组相交直线的共同特点。
然后看到中间和右边两组直线相交成直角，左边一组直线的相 交不成直角，“相交成直
角”是垂直概念的本质特征。
例9教学“平行”概念，体会同组的两 条直线不会相交是难点。把双杠的两条杠看
成两条直线，它们永远不会相交；把一段直的铁轨的两根钢轨 看成两条直线，它们永远
不会相交；把铁塔的两根铁柱看成两条直线，它们是会相交的。教材让学生辨别 同组两
条直线的位置关系，体会两条直线可能相交，也可能不相交，“不相交”是平行的本质
特 征。
教材对两条直线互相垂直和两条直线互相平行都有语言描述，这些描述应该是学生
的体验 ，是对具体情境的数学化思考，也是对数学概念内涵的重要点拨。学生可以从教
材的描述中更好地理解垂 直与平行的数学含义，但不是机械接受的数学定义。关于垂直
与平行的教学，还有两点需要注意：一是学 生往往把生活中的竖直概念误认为数学的垂
直概念，正如配合例6和例7的“练一练”第1题里，学生能 理解左边图中的两条直线
互相垂直，不理解右边图中的两条直线也互相垂直。教材编排这道题，就是要帮 助学生
克服认识的局限性和概念的片面性，进一步突出“垂直”是两条直线的互相位置关系，
只 要两条直线相交成直角，它们就互相垂直。二是同一平面内两条不相交的直线才互相
平行，两条异面直线 虽然不相交，却也不平行。从这点上说，“同一平面内”是两条直
线互相平行的必要前提。但是，小学生 受年龄与知识的限制，目前还不能理解异面直线，
在讲述平行的概念时，过多强调“同一平面内”并没有 多少实际意义。为此，教材完全

避免了异面直线的现象，给学生观察的都是同 一平面内的两条直线，也没有在关于互相
平行的介绍中写出“同一平面内”这个前提，而是采用“像这样 ”的表达，隐含了“同
一平面内”的限定。
3. 列举生活中的垂直现象和平行现象。 < br>例6在揭示“垂直”概念以后，要求学生说出一些互相垂直的例子。例9在讲述“平
行”概念以后 ，要求学生说出一些互相平行的例子。这时，学生要凭自己头脑里的垂直
概念和平行概念，来观察身边的 事物与现象。通过列举实际事例，可以进一步体验两条
直线互相垂直、互相平行的含义。在列举互相垂直 的事例时，不仅要举出竖直线和水平
线互相垂直，还要举一些其他走向的直线互相垂直的例子。同样，列 举互相平行的事例
时，不仅要举出两条水平线互相平行、两条竖直线互相平行，也要寻找其他走向的直线
互相平行的例子。
练习十五第1题在长方形、正方形、直角三角形和直角梯形里找出互相垂直 的线段；
第6题在长方形、等腰梯形、平行四边形和正六边形里找出互相平行的线段；第10题
在长方形、平行四边形、等边三角形和直角梯形里找出互相垂直的线段和互相平行的线
段。这些寻找活动 能促进对垂线、平行线的深入理解与把握。教学要注意的是，两条线
段平行不是指这两条线段不相交，而 是这两条线段所在的直线不相交。同样，两条线段
互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直。
（七） 指导学生使用适当的工具与方法画垂线和平行线
例8和例10分别教学画垂线和画平 行线，都按两个层次组织。第一个层次是学生
想办法，自己画出互相垂直的两条直线和互相平行的两条直 线。这个层次把学生头脑里
关于垂线和平行线的认识，通过画图反馈出来。教学要启发学生寻找并利用身 边的垂直
现象与平行现象，选择适当的工具和画法。在画垂线时，联系“两条直线相交成直角”
的认识，想到方格纸上的横线与竖线互相垂直，可以用来画垂线；想到利用量角器画出
直角，就能得到互 相垂直的两条直线……于是产生在方格纸上画、用量角器画等办法。
在画平行线时，从“两条直线不相交 ”的认识出发，想到方格纸上的横线不会相交、竖
线也不会相交，想到直尺的两条对边不会相交……于是 想到在方格纸上画、沿着直尺的
对边画等方法。第二个层次是使用三角尺与直尺画垂线和平行线，这些画 法以后还能用
来画平面图形的高，以及画长方形、正方形、平行四边形或梯形等图形。用三角尺与直尺画垂线和平行线，学生一般不会独立想到，需要教会他们画法。教材通过连续的图画
示范画垂线的 步骤与要领，学生可以通过看图和模仿操作来学会画法。要注意的是，不
能机械地教学画法，应该抓住画 图的主要步骤让学生理解为什么这样画，体会使用工具
的必要性和合理性。画互相垂直的两条直线不是很 难，通常先用直尺或三角尺画出一条
直线，然后用三角尺上的直角画出另一条直线。像这样画成的两条直 线相交成直角，是
互相垂直的。
画已知直线的垂线，通常有两种要求。一种在任意位置上画， 只要画出的直线与已
知直线垂直就行，另一种在规定位置上画，包括过已知直线上的一点或过已知直线外 的
一点画已知直线的垂线。例8图示的画垂线，是过已知直线上的A点画已知直线的垂线，
紧接 着安排过已知直线外的A点画已知直线的垂线，画垂线的两种情况都出现了。

应明白的是，数学课程标准把使用三角尺和直尺画已知直线的垂线与平行线安排在
第三学段里。本单元 例8教学用三角尺和直尺画已知直线的垂线，是因为以后画三角形、
平行四边形、梯形的高，需要这样的 画垂线技能，小学生应该会画已知直线的垂线。后
面认识平行四边形和梯形，不一定需要三角尺和直尺画 已知直线的平行线，所以例10
不教学这个画法，学生能够用自己的办法画出已知直线的平行线就可以了 。例10的“练
一练”第3题就是这样编排的。
练习十五第7题，在给出的两条平行线之间画 几条与平行线垂直的线段，并且量一
量这些线段的长度。这道题一方面练习画垂线的方法，培养有关技能 ，另一方面通过画
出的垂直线段长度相等，从不同角度体验平行线“不相交”的特点。
第9题 在给出的四组直线中，识别哪些互相平行，哪些相交？相交的直线中哪组互
相垂直？前一个问题对同一平 面内的两条直线的位置关系进行分类，即相交与不相交
（平行）；后一个问题凸显两条直线的特殊相交（ 垂直）。
第10题在长方形、平行四边形、三角形、梯形里寻找互相垂直的线段和互相平行
的 线段。找到长方形里的对边互相平行、邻边互相垂直，加强了对长方形特征的体验。
找到平行四边形里的 对边互相平行，梯形里的一组对边互相平行，也渗透了这些图形的
特点，能为五年级认识这些图形积累感 性认识。
第11题两条互相平行的直线与另一条直线相交，能够形成许多个角。选择其中两
个 角，猜一猜“相等吗”，量一量是不是相等。主要练习量角的技能，也渗透“同位角”
相等。《整理与练 习》第4题，画出正方形里的一条对角线和长方形里的一条对角线，
每个图形里都形成四个锐角。测量并 比较这些锐角的度数，能够发现有些角大小相等。
也渗透了中学数学里的知识。
第6题经过直 线外的A点，画已知直线的垂线，不画已知直线的平行线。和前面例
题的教学相一致，也符合课程标准的 要求。
（八） 关注平行、垂直在日常生活中的应用
人们身边有许多垂直或平行的现象，日 常生活中经常应用垂直或平行的知识。教材
不仅联系现实引出垂直和平行，找到认识垂直和平行的具体素 材，而且多次呈现应用垂
直和平行的实例，让学生利用垂直和平行解决实际问题，体验垂直和平行有广泛 的应用
空间。
教学例6，在初步形成垂直概念以后，要求“说出一些互相垂直的例子”。如， 长方
形画框的长边与短边互相垂直、砖墙上的横线和竖线互相垂直、三角尺的两条直角边互
相垂 直……教学例9，在初步建立平行概念以后，要求“说出一些互相平行的例子”。如，
黑板的上下（或左 右）两条边互相平行、秋千架的两根立柱互相平行、五线谱横线互相
平行……上述的举例，一方面丰富了 对垂直、平行现象的体验，另一方面也培养了以数
学眼光看现象的习惯与能力。
例7的“练一 练”第3题，用照片呈现测量跳远成绩的情境，要求回答“为什么这
样测量”。照片里，拉直的卷尺与踏 板互相垂直，把点（沙坑里的脚印后跟）到直线（踏
板）的垂直距离作为跳远成绩比较合理。
练习十五第5题，在人行横道线上穿过马路，走怎样的路线最短，画出最短的路线，

并作出为什么最短的解释。实际应用了直线外的一点到直线的垂直线段的知识。
单元《整理与 练习》第8题，在城市平面图上寻找互相平行的道路、互相垂直的道
路，体会城市建设也要用到平行、垂 直的知识。为污水处理厂设计一条排水管道，确定
排水口的位置，应用了过直线外一点，画直线的垂线的 知识。
8怎样滚的远实践活动
这是一次操作型的活动，通过实验，探索“怎样滚得远”的问 题。教材设计了三个
栏目，组织学生有兴趣地开展实验活动，指导他们测量和计算，利用获得的数据分析 “怎
样滚得远”的问题。
第一个栏目是“提出问题”。通过图画呈现了圆柱形油桶顺着斜搁的 木板从汽车车
厢滚到地面上，圆柱形树干顺着斜坡从高处往低处滚的现象。学生看了这两幅图画，会联系生活经验，想到这些圆柱形物体不仅会在斜坡上滚动，而且到达平地以后还会顺势
在地面上继续 滚动一段路程。这次实践活动所研究的问题是斜坡与地面成什么角度时，
物体到达地面以后能够滚得远些 。
这是一个相当复杂的问题。物体在地面上滚得远些或近些，与斜坡的坡度（斜坡与
地面的夹 角）有关，与斜坡的长度有关，与物体在斜坡上以及地面上滚动受到的阻力有
关……这次实践活动限定相 同的物体在相同长度、不同坡度的斜坡上滚下来，研究物体
在平地上滚动的路程与斜坡的坡度是否有关？ 如果有关，是怎样的关系？即斜坡与地面
成什么夹角时，物体能滚得远些？
为了较快地形成研 究课题，通过“玉米”卡通的提问“斜坡与地面成什么角度时，
物体滚得远一些？”集中学生的注意力和 研究心向。教学这个栏目，要使学生对物体滚
动的现象产生兴趣，把注意力集中于“物体到达地面以后还 能继续滚动多远”的上面，
感受斜面与地面之间的夹角的大小会影响物体在地面上滚得远些或近些，从而 理解“玉
米”卡通提出的问题，清楚地知道这次实践活动所要解决的问题。甚至可以组织学生猜
一猜，斜面与地面之间的夹角是多少度时，物体会滚得最远，由此产生实验的愿望。
第二个栏目是“实 验讨论”。教材先示范实验的方法，然后让学生按要求开展实验
活动，最后交流、讨论实验的结果。四幅 连续的图画讲述做实验的方法与要领：第一幅
图示范如何用木板搭成一个斜坡，如何测量斜面与地面的夹 角。为了方便操作，可以利
用三角尺上的角。图中一个学生正在用三角尺上30°角测量，另一个学生正 在调整木板
的坡度，使木板与地面正好成30°角。第二、三两幅图示范如何把圆柱形物体从木板上滚下来。要将圆柱形物体放在斜坡的顶部，轻轻松开手，让物体自动往下滚，到达地面
以后还要让它 继续往前滚，直至物体自己停下。第四幅图示范了如何测量物体在地面上
滚动的长度。等物体停止滚动以 后，用卷尺量出物体在地面上滚动的距离。选择圆柱形
物体做实验，是因为这样的物体容易找到，而且滚 动时不大会侧翻。让物体从斜坡顶部
自由往下滚十分重要，不能用手推送物体，不要帮它加速，否则会影 响实验的结果。测
量物体在地面上滚动的距离要尽量准确，比较物体滚得远和近，就是比这个距离的长与
短。要量斜坡底端到物体停止滚动地点之间的长度，并及时记录在教科书的表格里。
教材安排 学生进行四组实验，每组实验斜坡与地面的夹角分别是30°、45°、60°
以及学生自定的度数。选 择前三个度数有两点原因：首先，这三个度数都是三角尺上锐

角的度数，利用 三角尺的锐角能够比较方便地搭出斜坡。其次，30°、45°和60°依次
从小到大，斜坡从比较平坦 到比较陡峭，圆柱形物体在地面上滚动的距离会有明显的变
化，有助于看到规律。自主选择一个角度进行 实验也有两个原因：一是给学生主动开展
实验活动的空间，感受自己不只是实验方案的实施者、操作者， 还是实验方案的设计者、
完善者。二是学生可以根据实验的需要，选择比30°小的角，或者比60°大 的角，也
可以选择30°和60°之间除45°以外的角，获得有说服力的数据。
每组实验都 进行三次，三次测量圆柱形物体在地面上滚动的距离，并算出三次距离
的平均数，这是比较科学的安排。 表面上看，同组的三次实验是在相同条件下进行的，
三次的结果应该相同，测得的滚动距离应该相等。事 实上并不这样，三次测得的距离总
会有些相差，甚至相差较大。这表明实验过程中，还有一些其他因素会 影响结果。尽管
努力按照教材图示的要求进行实验，仍然会有意料不到的甚至感觉不到的因素在影响实< br>验的结果。每组实验进行三次，三次滚动距离的平均数比较接近事实，能淡化意外情况
对实验的影 响，使数据更客观一些。
斜坡与地面成多少度夹角，物体滚得最远？这次实践活动只能给出大致的描述 。这
是因为斜坡与地面的夹角对物体滚动的距离确实有很大的影响，但是，除此以外还有许
多因 素也在起作用。学生经过四组实验，得到四个平均距离，能够看到斜坡与地面的夹
角太小，物体滚不远； 斜坡与地面的夹角太大，物体也滚不远。只要说出斜坡与地面的
夹角大约多少度时物体滚得比较远，就可 以了。
第三个栏目是“回顾反思”，引导学生相互交流这次活动的收获。从研究的课题与
初步 结论来说，斜坡与地面所夹的角会影响物体在地面上滚动的距离，实验的数据表明，
夹角大致是多少度时 ，物体滚得比较远。从研究的方法来说，选择了一些度数特殊的角，
也选择了度数非特殊的角；每组实验 都做3次，3次滚动距离的平均数比较可信，根据
平均数得出的结论比较可靠。从数学与生活的角度来说 ，物体滚动这种生活中常见的现
象，可以用数学方法来研究，用数学知识来解释。
9单元：整理复习
本单元是全册教材的期末复习。第二学段各册教材的期末复习都以《整理与 复习》
为标题，按“数的世界”“图形王国”“统计天地”“应用广角”四个栏目编排复习内容。
这四个栏目分别对应数学课程标准的“数与代数”“几何与图形”“统计与概率”“综合
与应用”四个 领域的知识，一个栏目着重复习一个领域的教学内容。每个栏目的复习都
分两部分进行：先提出若干问题 ，引导学生回忆和整理有关知识；再编排一些练习题，
让学生在解题中应用知识并加深理解。
（一） “数的世界”主要复习两、三位数除以两位数，整数四则混合运算和解决
问题的策略等内容
1. 提出问题，回忆知识。
教材首先提问：本学期学习了哪些数的运算？除法运算中有什么 规律？整数四则混
合运算的运算顺序是什么？解决问题的一般步骤是什么？分析数量关系时可以怎样想？这些问题由总体到部分、由上位到下位，涵盖了本学期教学的关于数和运算的所有
知识，是回忆 整理这些知识的基本线索。

本学期学习的数的运算知识主要是两、三位数除 以两位数的除法和整数四则混合运
算。前者包括除法法则、试商与调商的方法、除法的商不变规律及其应 用。后者包括运
算顺序以及用递等式表示三步混合运算的计算过程。
本学期教学的解决问题策 略主要是整理实际问题里的信息，通过列表或画图，摘录
并整理已知条件和所求问题，全面且完整地理解 题意，为条件向问题的推理或问题向条
件的推理搭建平台。
2. 编排十一道练习题，把整理、应用知识落到实处。
第1题是口算题。不仅要正确说出得数，还要把握住 哪些计算应该口算。到目前为
止，两位数乘一位数、两位数除以一位数、几十除以几十、几百几十除以几 十等计算，
一般采用口算。
第2题是笔算题。其中192÷30、192÷34、192÷3 8这三题复习三位数除以两位数
（商是一位数）的试商与调商。192÷34可以看作192÷30来试 商，得到的初商过大，
需要调小；192÷38应该看作192÷40来试商，得到的初商过小，需要调 大。990÷60、
990÷62、990÷66这三题复习三位数除以两位数（商是两位数）的计算法 则，继续练习
试商与调商。
第3题列竖式计算四道三位数除以两位数的除法题，并且验算。在 练习除法计算的
同时，应用“商×除数=被除数”或者“商×除数+余数=被除数”验算除法，体验除法
和乘法的内在联系。这些除法中，有些没有余数，有些有余数；有些商里没有0，有些
商里有0 。
第4题应用除法的商不变规律计算770÷30、5600÷400、9800÷320等题，一方 面
回忆基础知识，另一方面应用商不变规律使除法计算简便些。
第6题是四则混合运算，给出 的四道题都是三步计算的题，各有特点。计算各题所
应用的运算顺序不完全相同，要在全面理解各条运算 顺序的基础上，针对计算题的具体
情况，灵活、合理地运用有关运算顺序完成各题的计算。
第 5题以及第7～11题都是实际问题，题材宽、题型多、解法不同是这些题的特点。
可以利用的策略，一 是解决问题的一般步骤，包括理解题意、分析数量关系、规划解决
问题的步骤、实施解决问题的计划、检 验结果和反思过程等。二是整理数学信息，挖掘
并利用数量之间的联系，通过推理确定解题方法。如第7 题：
6行苹果树
每行12棵
共收648筐苹果
又如第9题：
72颗——1条
432颗——?条
12只——432颗：可以算出“1只多少颗”
26只——?颗：需要知道“1只多少颗”
一只的颗数×只数=一共的颗数
再如第10题：
一共多少棵苹果树
平均每棵树收苹果多少筐

24行——每行20人：每行人数×行数=总人数
30行——每行有？人：总人数÷行数=每行人数
（二） “图形王国”主要复习观察物体、垂线与平行线、升与毫升等内容
1. 提出问题，回忆知识。 < br>有关观察物体、升与毫升的知识比较简单，而有关垂线与平行线的知识比较多，有
“线”的知识（ 线段、直线和射线）、“角”的知识（锐角、直角、钝角、平角、周角）、
两条直线相互位置关系的知识 （互相垂直和互相平行）等。所以，教材只提出问题“本
学期认识了哪些角？怎样的两条直线互相垂直？ 平行线有什么特点？”这些是需要回忆
和整理的主要内容。
在回忆已经认识的线时，应该整理 线段与射线、线段与直线的关系，区分线段、射
线、直线之间的不同点。
在回忆已经认识的角 时，应该把这些角按大小顺序整理一下。如，怎样的角是锐角？
怎样的角是钝角？怎样的角是平角？一个 周角相当于几个平角、几个直角？
在回忆两条直线的位置关系时，应该突出画在一张纸上的两条直线可 能相交，也可
能不相交。如果两条直线相交成直角，则它们互相垂直；如果两条直线不相交，则互相平行。
2. 编排六道练习题，应用所复习的知识，加强理解。
第12、13两题复 习升和毫升的知识，再次体验1升、1毫升液体有多少，进一步掌
握在现实情境里恰当使用升或毫升的能 力；再次体验升和毫升之间的进率，并进行简单
的换算。
第14题复习观察物体，从不同位置 观察由5个相同正方体拼成的几何体，分别指
出从前面、右面和上面所看到的形状。这个几何体的结构比 较复杂，从右面和上面观察
的难度比较大。能够正确指出从右面看到的图形和从上面看到的图形，观察几 何体的能
力就基本到位了。
第15题复习“线”的知识，通过把一条线段延长成射线，把一条 线段延长成直线
的操作，感受射线和直线的含义，体会线段、射线、直线各有什么特点。
第1 6题复习“角”的知识，通过说出或量出给定的五个角的度数，整理认识的各
种角。体会直角、平角和周 角的度数都是确定的，要记住这些角各有多少度。体会小于
90°的角都是锐角，大于90°而小于18 0°的角都是钝角。
第17题复习画角以及画垂线或平行线的方法。通过画角体会角是从同一个点引出
的两条射线所组成的图形，每个角都有确定的度数。通过画已知直线的垂线和平行线，
体会两条 直线互相垂直、互相平行的位置关系。
（三） “统计天地”主要复习可能性的知识，以及收集、整理数据的常用方法
1. 提出问题，回忆知识。
复习“统计与概率”领域的知识，教材提出问题“本学期学习的统计表和统计图有
什么特点？你 对平均数有什么认识？了解了哪些关于可能性的知识？”覆盖了第四和第
六单元教学的主要知识，回忆与 整理知识可以围绕这些问题进行。
统计图表是数据信息的载体。数据在统计表里分类呈现，便于人们了 解数据所蕴含

的信息。数据在条形图里借助直条呈现，能直观表达数据的大小 ，便于人们对数据进行
比较和深度加工。
平均数是一组数据“移多补少”的结果，能反映这一 组数据的整体状况，经常应用
于对两组或几组数据的整体比较，也应用于一组数据的内部分析。一组数据 的平均数一
定比最小的数据大，比最大的数据小，介于最小数据与最大数据之间。
客观世界里 ，有些事件发生的结果是确定的（一定会怎样或者不会怎样），有些事
件发生的结果是不确定的（可能这 样，也可能那样），后者是随机事件。统计与概率主
要研究随机现象。某个随机事件，发生的结果也许有 两种或几种可能，这两种或几种结
果发生的可能性也许相等，也许不相等。这些都是本学期所教学的知识 ，教材提出“哪
些关于可能性的知识”，就是要引起学生的这些回忆。
2. 编排五道练习题，让学生体验随机现象，开展获得数据的活动。
第18题看着教材里的两个转盘，想象 转动转盘的情境，重温确定性事件、随机事
件，体验可能性相等与不相等。
第19题，三个小 朋友在同一个口袋里摸球，每次任意摸出一个球，摸后放回，每
人摸60次。题目分别给出每个小朋友摸 到红球的次数和黄球的次数（小洪摸到红球45
次、黄球15次，小军摸到红球42次、黄球18次，小 芳摸到红球44次、黄球16次），
要求根据这些数据，估计口袋里有几个红球、几个黄球？（2个红球 与2个黄球？3个
红球与1个黄球？1个红球与3个黄球？）解决这个问题可以这样想：三个小孩都是摸
到红球的次数多，摸到黄球的次数少，口袋里可能红球个数多、黄球个数少；三个小孩
摸到红球 的次数是或者大约是黄球次数的3倍，口袋里红球的个数可能是黄球的3倍。
所以，口袋里可能有3个红 球和1个黄球。
小学数学里的整理数据，一般分类进行或者分段进行，本学期教学的是分段整理。第20题给出四年级一班24名男同学一星期做家务劳动的时间，都是原始数据，要求分
段整理，分 别得出做家务劳动75～99分钟、100～124分钟、125～149分钟、150～174
分钟的 人数，并利用这些数据，分析男同学参加家务劳动的情况。
第21题给出四年级二班第一小组6名男生 、7名女生立定跳远的成绩，要求分别算
出男生和女生的平均成绩。这道题不仅复习计算平均数的方法， 而且联系具体情境体验
平均数的意义。可以利用平均数对男、女生的成绩作出客观比较，可以应用男生的 平均
数分析每个男生的成绩，也可以应用女生的平均数分析每个女生的成绩。
第22题统计自 己班级同学的体重情况，要求制订调查计划、设计调查表，通过调
查收集信息，整理班级内同学的体重情 况，把结果制成条形图。经历收集、整理、表达、
分析、利用数据的全过程是统计活动的核心成分，在活 动中学生能够充分感受数据里蕴
含着丰富的信息。
（四） “应用广角”解决实际问题，体验数学知识的实际应用，培养创新精神和
实践能力
第23、2 4两题都是文字叙述的实际问题，学生对这些事情及其数量关系比较熟悉，
只要应用已有的解决问题策略 和有关数学知识，就能独立解决。教学这两道题，要广泛
交流怎样理解题意、怎样分析数量关系、怎样确 定解题步骤、怎样检验结果的，从而进

一步提高解决问题的能力。
第25题用统计图表示灯塔上的一盏照明灯的发光规律，题目比较新颖，也比较有
趣。第（1）个问题“ 第4、5秒照明灯是亮的还是暗的”，引导学生看懂统计图所表示
的基本信息，识别条形图上哪些时间灯 亮、哪些时间灯暗。第（2）个问题“几秒后亮
灯的情况和前面开始重复？照明灯发光的规律是什么？” 引导学生在统计图上探索并发
现周期规律。第（3）个问题“第39、40秒照明灯是亮的还是暗的？” 应用周期规律对
后续的现象作出判断。这道题的难点在于发现周期现象，得出周期规律，找到一个周期< br>的时间以及灯亮与灯暗的次序。所以，教学重点要放在第（2）个问题上面。照明灯亮
和暗的一个 周期是“亮2秒——暗1秒——亮1秒——暗2秒”共6秒时间。根据这样
的周期规律，判断后续时间是 灯亮还是灯暗就不难了。
第26题调查小组同学每家的图书本数，并制成统计表。这次统计活动难度不 大，
学生应该能够独立设计调查方案，独立进行调查活动，用获得的数据来回答问题。
（五） 自我评价一学期的学习表现，积累数学学习的正能量
教材安排学生回顾自己本学期的学习表现，用画“★”的方式评价自己的数学学习。
从学习结 果看，学生应该知道这学期学习的主要内容，自己学会了什么，还有哪些
疑问。当然，学会的知识多、存 在的疑问少，应该是很好的表现。但是，能够知道自己
的不足，了解自己还有哪些内容没有学会，也是不 错的表现。教学的知识都学会了，固
然可以得5颗星，清楚地知道自己存在的问题，也可以得5颗或4颗 星。
从学习过程看，要评价自己的数学思考，是否能有条理地表达思考过程，是否乐于
与同学 交流；要评价自己提出问题和解决问题的意识与能力，特别是能否提出问题，能
否主动探索问题的解法。
从学习情感看，要评价自己对数学内容、数学学习的态度。主要在兴趣和意志上面。
即对数学内 容有没有兴趣，对数学学习中的困难是不是轻易放弃。
总之，教材安排的“自我评价”立足于本学期的 具体表现，放眼于以后的数学学习。
要通过对一学期的学习评价，为以后的数学学习积聚能量。