一张旧照片作文-辩论赛新闻稿

1 分数乘法

一、分数乘法的意义
1.分数乘整数:分数乘整 数的意义与整数乘法的意义相
同,都是求几个相同加数和的简便运算。
例如,

×3,表示3个

相加是多少,还表示

的3倍是多少。
2.一个数(小数、分数、整数)乘分数:一个数乘分数的意
“一个数乘分数”指的是
义与整数 乘法的意义不相同,是表示这个数的几分之几是多
其中一个因数必须是分数,不
少。
例如,6×

,表示6的

是多少。

×,表示的是多少。





“分数乘整数”指的是其
中一个因数必须是整数,不能
两个因数都是分数。
能两个因数都是整数。
易错点:误用整数与分母
相乘。
举例:计算3×


错解:3×

=

=


正确解答:3×=

=



二、分数乘法的计算法则
1.分数乘整数的运算法则:用分子乘整数的积作分子,分
母不变。
(1)为了计算简便,能约分的可先约分,再计算。(分母和整
．．．．
数约分) < br>．．．
(2)约分是把整数和分数的分母约掉最大公因数。(计算
．．
结果必须 是最简分数)
．．．．．．．．．
2.分数乘分数的计算法则:用分子相乘的积作分子,分母
相乘的积作分母。(分子乘分子,分母乘分母)
．．．．．．．．．．．
(1)如果 分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成
假分数,再计算。
(2)分数化简的方法:分子、分母同时除以它们的最大公
因数。


分的数画去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约
．

分后分子和 分母必须不再含有公因数,这样计算出的结果才
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．
(3)在乘的过程中约分,是先把分子、分母中两个可以约
易错点:忘记将结果化成
最简分数。
举例:计算×
错解:

×

=

=


正确解答: ×

=










=

是最简分数)
．．．．．
3.分数乘小数
(1)分数能够化成有限小数的,可以先把这个分数化成 有
限小数,然后根据小数乘法的计算法则进行计算。
(2)分数不能化成有限小数的:
a.先把小数化成分数,再根据分数乘分数的计算法则进
行计算。
b.如果小数能与 分数的分母进行约分,可以把这个小数
看作整数与分数的分母进行约分,这样计算起来比较简便。
三、积与因数的关系
1.一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
a×b= c
,
a
≠0,当
b>
1时,
c>a
。
2
.
一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。
a×b=c
,
a
≠0,当
b<
1时(
b
≠0),
c。
3
.
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
a×b=c
(
a≠0),当
b=
1
时,
c=a
。
四、分数乘法混合运算
1.分数乘法混合运算的顺序与整数相同,先算乘、除后算
加 、减,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
2.整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可
以使计算简便一些。
乘法交换律:
a×b=b×a

1.在进行因数与积的大
小比较 时,要注意因数为
．．．
0
．
时
．
的特殊情况。
．．．．．．
2.如果几个不为0的数
与不同分数相乘的积相等,那
么与大分数相乘的 因数反而
．．．．．．．．．．．
小,与小分数相乘的因数反而
．．．．．．．．．． ．．．
大。
．．







1.分数连乘的简便运算:
先约分,再计算。
．．．
2.在运用运算定律进 行
简便运算时,要根据算式的特
点选择合适的运算定律,不符
合运算定律的,不能用运 算定
律进行简便运算,避免出现错
误。









当关键句中的单位“1”不
明显时,要把关键句补 充完整,

乘法结合律:(
a×b
)
×c=a×
(b×c
)
乘法分配律:
a×
(
b±c
)
=a×b±a×c

五、解决实际问题
1.分数应用题的一般解题步骤:
(1)找出含有分率的关键句。
(2)找出单位“1”的量。
(3)根据线段图写出等量关系式:
单位“1”的量×对应分率=对应量
(4)根据已知条件和问题列式解答。
2.连续求一个数的几分之几是多少的问题,要一步一 步
地认真分析,在分析每一步时,关键是找准单位“1。”
3.找单位“1”的方法:从含有分数的关键句中找,注意“的”
前“比”后的规则。
补充成“谁是谁的几分之几”,
或“甲比乙多几分之几”或“甲
比乙少几分之几”的形式。



先找出单位“1”,表示单位
“1”的几分之几的分数为对应
的“分率”,分率都不带单位名
．．．．．．．．
称哟!
．．．






巧记
．．
分数实际应用题,
．．．．．．．．
关键找准单位“1。”
．

．．．．．．．．
正确计算是关键,
．．．．．．．．
一次约分更简便。
．．．．．．．．

4.已知一个数量比另一个数量多或少几分之几,求这个
数量的解题方法。
把“比” 后面的量看作单位“1”的量,单位“1”的量±单位“1”
的量×另一个数量比单位“1”多或少的几 分之几=另一个数量。

2 位置与方向(二)


一、确定物体位置的方法
1.找观测点。
2.定方向(看方向夹角的度数)。
．．．．．．．．
3.确定距离(看比例尺)。
．．．．
二、在平面图上绘出物体的具体位置
1.绘出方向。
2.以选定的单位长度为标准绘出距离。
3.标出物体的名称。
三、描述路线
1.描述路线时要按照行驶的路线适当分为不
同的路段描述。
2.每段都要有明确的观测点。
3.描述行走的方向和距离。
四、描绘路线图
描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,
确定方向和距离。
五、位置关系的相对性
1.在叙述具有相对性两地的位置关系时,观测
点不同,叙述的方向正好相反,而距离相等。
2.相对位置
例如,东—西;南—北;南偏东—北偏西……

错解:
20°方向200米处。
(2)幼儿园在活动中心的南偏东
方向100米处。
(1)活动中心在广场的西偏北30°
园的位置。
方向、距离。
易错点:弄错观测点。
．．．．．．
举例:在图上画出活动中心和幼儿

确定物体位置的三要素:观测点、
正确答案:
在描述路线时,参照点是不断变动
的。

3 分数除法

一、倒数的意义
1.倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
2.求倒数的方法:
(1)求分数的倒数:交换分子、分母的位置。
．．．．．．．．．．．

特别提醒:互为倒数,即倒
数是两个数的关系,它们互相
(2)求整数的倒数:把整数看作分母 是1的分数,再交换分
．．．
依存,倒数不能单独存在。(要
．
子、分母的位 置。
说清谁是谁的倒数)
．．．．．．．．
．．．．．．．．
(3)求带 分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
1,因为
．．．．．．．．
．
的
．
倒
．
数
．
是
．
1
．
(4)求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
1×1=1;
．．．．．．
整数

小数
化成分数
分子
分母
倒数
3.真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分
数的倒数小于1。
二、分数除法的意义
1.乘法:因数×因数=积
除法:积÷一个因数=另一个因数
2.分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数
的积和其中一个因数,求另一个因数的 运算。
0,因为0乘任
．
没有倒数
．．．．
何数都得0。(分母不能为)
．．．．．
0
．
特别提示:
0(0)都
．
除以任 何数
．．．．．．．
除外
．．．．
得。
．
0
．．
分数除法比较大小时的
规律:
(1)当除数大于1时,商小
于被除数;
(2)当除数小于1(不等于

例如,

÷

的意义是已知两个因数的积是

与其中一个因
0)时,商大于被除数;
(3)当除数等于1时,商等

数,求另一个因数的运算。
于被除数。

注意:
3.分数除法的计算法则:
把除法转化成乘法时,被
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
除数一定不能 变,“÷”变成“×”,
4.分数除法算式中出现小数、带分数时,要分别化成分
．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．．．．
除数变成它的倒数。
数、假分数,再计算。
．．．．．．．．．．
温馨提示:
三、分数除法混合运算
(
a±b
)
÷c=a÷c±b÷c
。
1.混合运算用递等式计算,等号写在第一个数字的左下
“[ ]”叫做中括号。一个
角。
算式里,如果既有小括号,又有
2.运算顺序:
中括号,要先算小括号里面的,
①连除:属同级运算,可以按照从左往右的顺序进行计算;
再 算中括号里面的。
也可以依据“除以几个数,等于乘这几个数的倒数”的简便方
易错点:误把 方程的解带
法计算。加、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。
上单位名称。
②混合运算:没有括号的,先算乘、除后算加、减,有括号
特别提示:
的,先算括号里面的,再算括号外面的。
解决分数乘除问题时,判
四、用分数除法解决问题
断用乘法计算还是用除法计
1.解法。
算,关键是看单位“1”,单位“1”
(1)列方程:根据数量关系式设未知量为
x
,用方程解答。
是已知的,用乘法; 求单位“1”,
．．
解:设未知量为
x
(一定要解、设),再列方程,即用< br>x
×分率=
用除法或列方程。
．．．．．．．．
具体量。
已知单位“1”的量用乘

例如:公鸡有20只,是母鸡只数的

,母鸡有多少只?(单位
法。
举例:甲是乙的

,乙是25,

“1”是母鸡的只数,单位“1”未知)
解:设母鸡有
x
只。
求甲是多少。
25×=15
求单位“1”的量用除法。
举例:甲是乙的

,甲是15,
求乙是多少。
15÷=25





x×

=
20

x
=60
(2)算术法(用除法):单位“1”的量未知,用除法,即已知单
位“1”的几分之几是多少 ,求单位“1”的量。
分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
例如:公鸡有20只,是母鸡只数的

,母鸡有多少只?(单位
“1”是母鸡的只数,单位“1”未知,用除法)


(建议列方程解答)
．．．．．．．
特别提示:甲数比乙数多

几分之几不等于乙数比甲数
列式为:20÷

少几分之几,因为单位“1” 不
2.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的问题的解
同。
法。
注意:可以画线段图帮助分
单位“1”的量=已知量÷对应分率(已知量占单位“1”的几
表示 两个量的关系画
．．．．．．．．．．．
析题意。
两条线段图,表示部分和整体
分之几)
．．．
3.“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个
的关 系画一条线段图。
数”的问题的解法。
解决含有两个未知量的
(1)根据“单位“ 1”的量×(1±分率)=已知量”,设单位“1”的量
分数问题时,先选择一个未知
为
x
,列方程解答。
量设为
x
,再把另一个未知量
(2)确定单位 “1”的量,先计算出已知量占单位“1”的几分
用含有
x
的式子表示出来,最
之几,再根据分数除法的意义列式解答。
后根据等量关系列出方程。
已知量÷(1±分率)=单位“1”的量
温馨提示:同一个题中,有
错解:
时单位“1”不止一个。一个数
解:设母鸡有
x
只。
量在某一个条件中是单位“1”,

在另一个条件中可能就不是
x×

=
20
单位“1”。解题时要认真比较,
找准与单位“1”的对应关系。

x=
60(只)
工程问题中的数量关系:
正确解答:
工作总量÷工作时间=工
解:设母鸡有
x
只。
作效率

x×

=
20
工作总量÷工作效率=工
作时间

x=
60
工作效率×工作时间=工

例如:桃树有50棵,比苹果树少

,苹果树有多少棵?
作总量


列式为:50÷(1-

)
一种商品现在是80元,比原价增加了,原价是多少元?
列式为:80÷(1+

)
4.已知两个量的和(差),其中一个量是另一个量的几分之
几,求这两个量的解法。
(1)用方程解:找到题中数量间的等量关系,设单位“1”的

量为
x
,列出方程。
(2)用算术法解:找到题中的单位“ 1”,计算出已知量占单
位“1”的几分之几。利用“已知量÷已知量占单位‘1’的几分之几
=单位‘1’的量”列式解答。
5.工程问题。
把工作总量看作单位“1”,合做多长时间完成一项工程,用
1÷效率和,即1÷
=


甲完成的时间


乙完成的时间
。(工作效率
完成工作的时间
)
例如:一项工程甲单独做要5天完成,乙单独做要1 0天完
成,丙单独做要3天完成,三人合做几天可以完成?
列式为:1÷












4 比


一、比的意义
1.比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2.在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号
后面的数叫做比的后项。
3.比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
15∶10=15÷10=

=






特别提醒:
比值通常用分数表示,也可
．．．．．．．．．．．．
以用小数或整数表示。
．．．．．．．．．．
比和比值的区别:
比:表示两个数的关系,可
．以写成比的形式,也可以用分数
．．．．．．．．．．．．．．
表示。
．．．< br>比值:相当于商,是一个数,
可以是整数、分数,也可以是小
．．．．．．．．．．．． ．．
数。
．．
连比:
例如:3∶4∶5
．．．．．．．．
后项

比值



< br>前
比
后
比值
项号项
4.比可以表示两个相同量之间的关系,即 倍数关系。
如:长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。
如:路程÷速度=时间。
5.比和除法、分数的联系:
比

前项

被除
数

比号
“∶”

读作:3比比。
．．．．．
4
．．
5
．．
特别提示:
根据分数与除法的关系,两
个数的比也可以写成分数形
式。
比和除法、分数的区别:
除法是一种运算,分数是一
除法

除号“÷”

除数

商

分数线
分数
分数

分子

分母


“”

值

个数,比表示两个数的关系。
6.求比值:用前项除以后项,结果最好写成分数。(能约分的
．．．．
举例:
要约成最简分数)
．．．．．．．
体育比赛中出现两队的比
．．．．．．．．．．．

如:15∶10=15÷10==

分是∶0,这只是一种记分
．．< br>2
．．．
等
．．．．．．．．．
二、比的基本性质
的形式, 不表示两个数相除的关
．．．．．．．．．．．．．．
1.根据比、除法、分数的关系,可以得 出比的基本性质。
系。
．．
(1)商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的
温馨提示:
数(0除外),商不变。
(2)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以
相同的数(0除外),分数值不变。
(3)比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同
的数(0除外),比值不变。
2.最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质
数,这样的比就是最简整数比。
3.根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4.化简比。
根据比与除法、分 数的关
．．．．．．．．．．．
系,可以理解比的后项不能为
．．．．．．．．．．． ．．
0。
．．
易错易混:
比中有单位的,化简和求比
值时,先要统一单位,再化简和
求比值,结果没有单位。
举例:
15∶10=15÷10=

=

=3∶2
或15∶10=15÷10=


最简整数比是3∶2。
特别提醒:

(2)利用求比值的方法。
．．．．．．．．．
三、按比例分配问题
1.按比例分配,就是把一个数量按照一定的比进行分
配。这种方法通常叫做按比例分配。
2.按比例分配问题的解法。
按比例分配问题一般有两种解题方法:
(1)分数法 (用分率解)。按比例分配通常把总量看作单
位“1”,即转化成分率。要先求出总份数,再求出几份占 总
份数的几分之几,最后用总量分别乘几分之几。
例如:有糖水25克,糖和水的比为1∶4,糖和水分别有
几克?
1+4=5,糖占,用25×得到糖的质量;水占,用25×得到
水的质量。
(2)归一法(用份数解)。先求出总份数,再求出每份是多
少,最后分别求出几份是多少。
例如:有糖水25克,糖和水的比为1∶4,糖和水分别有










用求比值的方法。注意最
．．．．．．．．．．．
后结果要写成比的形式。
．．．．．．．．．．．
易错易混:
搞错对应关系。
举例:用80cm长 的铁丝围
成一个长方形框架,长与宽的比
是3∶1,这个框架的长和宽各
是多少?
错解:
长:80×

=60(cm)
宽:80×

=20(cm)


正确解答:
80÷2=40(cm)
长:40×

=30(cm)
宽:40×

=10(cm)

几克?
糖和水的份数一共有 1+4=5(份),一份就是25÷5=5(克)。
糖有1份,是5×1=5(克);水有4份,是5× 4=20(克)。








5 圆

一、圆的认识
1.圆心:用圆规画圆时,针尖所在的点叫做圆 心,圆心一般用
字母O表示。圆多次对折之后,折痕相交于圆的中心,即圆心。
它到圆上任意一 点的距离都相等。
2.半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
4.圆的画法。
(1)借助实物画圆。
把圆形物体平放在纸面上,用铅笔尖绕着圆形物体轮廓画
一圈,便可以得到一个圆。
(2)用圆规画圆。
把圆规的两脚叉开,把有针尖的一只脚固定在一个点上,把
另一 只脚绕这个点旋转一周,就画出了一个圆。
5.等圆:半径相等的圆叫做等圆,等圆通过平移可以完全重
合。
同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
半圆、扇形、等腰梯形、等
数条半径,有无数条直径。
注意:
用圆规画圆时,带针尖
的一端不能乱动,两脚之间
的距离不能改变。
圆规两脚间的距离是
圆的半径。
画圆步骤:
定半径、定圆心、旋转
．．．．．．．．．．
一周。
．．．
在同圆 或等圆中,所有
．．．．．．．．．．
的直径长度都相等,所有的
．．．．．．．．． ．．．
半径长度都相等。
．．．．．．．．
有一条对称轴的图形:
圆心确定 圆的位置,半
．．．．．．．．．．
径确定圆的大小。
．．．．．．．．
在同圆或等圆中,有无

6.在同圆或等圆 中,直径的长度是半径的2倍,半径的长度
是直径的。用字母表示为d=2r或r=d。
7. 圆是轴对称图形。如果一个图形沿着一条直线对折,两侧
的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形 。折痕所在的
这条直线叫做对称轴。
8.画对称轴要用铅笔画,同时要用直尺(三角尺)画出虚线,
这条虚线两端要超出图形一点。
9.用圆设计美丽的图案
设计图案时,经常利用圆形组合成美丽的图案。
二、圆的周长




腰三角形、角。有两条对称
轴的图形:长方形。有三条对
称轴的图形:等边三角形。有
四条对称轴的图形:正方形。有无数条对称轴的图形:圆、
圆环。


易错举例:
错解:圆的直径是圆的
1.圆的周长:围成圆的曲线的长是圆的周长。用字母C表
示。
2.圆周率实验:(滚动法)在圆形纸片上做个记号,与直尺的0
刻度线对齐,在直尺上滚动一 周,得到圆的周长;(测绳法)用线围
绕圆形纸片一周,量出线的长度,就是圆的周长。
发现 :圆的周长与它直径的比值(圆的周长除以直径)是一
直径的3倍多一点,这个比
个固定值,即 3倍多一点,我们把它叫做圆周率,用字母π表示。
3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的 比值是一个固
个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．
4.圆的周长公式:圆的周长等于圆周率乘直径,用字母表示
为C=πd,或圆 的周长等于2乘圆周率乘半径,用字母表示为
．．．．
C=2πr。
．．．．．(1)已知圆的周长求直径,用圆的周长除以圆周率,用字母
表示为d=C÷π。
．．． ．．
(2)已知圆的周长求半径,用圆的周长除以圆周率的2倍,用
字母表示为
．r=C÷2π(或r=)。
．．．．．．．．．

．
5.区分圆周长的一半和半圆的周长。

对称轴。
正确解答:圆的直径所在的
直线是圆的对称轴。

一个圆的周长总是它值是一个固定的数。圆周率
定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π(pài)表示。世界上第一< br>．．．．．
π是一个无限不循环小数。
在计算时,一般取π≈3.14。
温馨提示:
在判断时,圆周长是它
．．．．．．．．．．
直径的倍,而不是倍。
．．．
π
．．．．．．
3.14
．．．．．．
计算圆周长的关键是
确定半径。

(1)圆周长的一半=圆的周长÷2
计算方法:2πr÷2,即C
半
=πr。
(2)半圆的周长=圆的周长的一半+直径。
计算方法:半圆的周长=(2+π)r。
推导过程:C=2πr÷2+d=πr+d=πr+2r=(2+π)
．
r
半
．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
三、圆的面积
规律速记:
一个圆的半径增加a厘
米,周长就增加2πa厘米。
一个圆的直径增加b厘
米,周长就增加bπ厘米。
理解半圆的周长时,可
1 .圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表
示。
2.圆面积公式的推导:
(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图形
越接近长方形。
以结合半圆的图形来理解。
转化思想:
把圆的面积转化为长
方形的面积, 体现了转化的
长方形的长相当于圆的周长的一半,长方形的宽相当于圆
．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．．
数学思想。
的半径。
．．．．




温馨提示:
要牢记圆的面积计算
公式:S=πr
2
。
圆面积的变化规律:


圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
3.圆面积的计算方法:因为长方形的面积=长×宽,所以圆的
面积=圆周长的一半×圆的半径,即S
圆
=C÷2×r=πr×r=πr
2
。
圆的面积公式:S
圆
=πr
2
(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
半径扩大多少倍,直径、
． ．．．．．．．．．．
周长也同时扩大多少倍,圆
．．．．．．．．．．．．
面积扩大 的倍数是半径、直
．．．．．．．．．．．．
径扩大倍数的平方倍。
．．．．．．．．．．



如果:
r
1
∶
r
2
∶
r
3

=d
1
∶
d
2
∶
d
3