沉香的功效-石家庄考试院

小学数学排列组合计算公式
如何把小学各门基础学科学好大概是很多学生都发愁< br>的问题，查字典数学网为大家提供了排列组合计算公式，希
望同学们多多积累，不断进步!
排列 P------和顺序有关
组合 C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如 把5本不同的书分给3个人,有几种分法. 排列
把5本书分给3个人,有几种分法 组合
1.排列及计算公式
从n个不同元素中， 任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成
一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n
个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的 排列数，用符号 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!(n-m)!(规定0!=1).
2.组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中
取出 m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素
中取出m个元素的组合数.用符号
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)m!=n!((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
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3.其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)r=n!r(n-r)!.
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个
元素的全排列数为
n!(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为
c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n为下标，m为上标))
Pnm=n(n-1)....(n-m+1);P nm=n!(n-m)!(注：!是阶乘符
号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1
为上标)=n
组合(Cnm(n为下标，m为上标))
Cnm=PnmPmm ;Cnm=n!m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和
下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m
2019-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是
指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数
R参与选择的元素个数 !-阶乘 ，如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r
举例：
Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三
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位数?
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求
的，既属于排列P计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997
之类的组合， 我们可以这 么看，百位数有9种可能，十位
数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，
最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3，9)=9*8*7,(从9
倒数3个的乘积)
Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代
表三国联盟，可以组合成多少个三国联盟?
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号
码球在一起即可。即不要求 顺序的，属于组合C计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个
数 即为最终组合数C(3,9)=9*8*73*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1 设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一
个课外小组;(2)每名学生 都只参加一个课外小组，而且每个小
组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?
解(1) 由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，
而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法.
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多
有一名学生参加，因此共有 种不同方法.
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点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘
法原理进行计算.
例2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不
排第四的不同排法共有多少种?
解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某
一个，共3类，每一类中不同排法可采用画树图的方式逐一
排出：
符合题意的不同排法共有9种.
点评 按照分类的思路，本题应用了加法原理.为把握不同排
法的规律，树图是一种具有直观形象的有效做法，也是解决
计数问题的一种数学模型.
例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.
(1)高三年级学生会有11 人：①每两人互通一封信，共通了
多少封信?②每两人互握了一次手，共握了多少次手?
(2 )高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和
一名副组长，共有多少种不同的选法?②从中 选2名参加省数
学竞赛，有多少种不同的选法?
(3)有2，3，5，7，11，13，17 ，19八个质数：①从中任取
两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个
求它的 积，可以得到多少个不同的积?
(4)有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有
多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同
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的选法?
分析 (1)①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握
一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同 一次握手，与顺序无
关，所以是组合问题.其他类似分析.
(1)①是排列问题，共用了 封信;②是组合问题，共需握手
(次).
(2)①是排列问题，共有 (种)不同的选法;②是组合问题，共
有 种不同的选法.
(3)①是排列问题，共有 种不同的商;②是组合问题，共有 种
不同的积.
(4)①是排列问题，共有 种不同的选法;②是组合问题，共有
种不同的选法.
例4 证明 .
证明 左式
右式.
等式成立.
点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形
式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化.
例5 化简 .
解法一 原式
解法二 原式
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点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的
性质;解法二选用了 组合数的两个性质，都使变形过程得以简
化.
例6 解方程：(1) (2) .
解 (1)原方程
解得 .
(2)原方程可变为
原方程可化为 .
即 ，解得
第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一
些简单的问题.
2.理 解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式
和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技
巧,“死记”之后会“活用”。不 记住那些基础知识,怎么会向高层
次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的
写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基
础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记 ”名篇佳句、名言警
句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时
间、空间里给 学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少
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成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
观察内容的选择，我本着先静后 动，由近及远的原则，有目
的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观 察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛
毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提 供的观
察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多
角度多层面地进行观察，保证 每个幼儿看得到，看得清。看
得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学
习正确 的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重
点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理 解词汇，
如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变
化，乌云密布，我问幼儿乌 云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯
定 说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电
光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我 抓住时机说：“这
就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”
幼儿说大极了 ，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼
儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的 天
空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿
摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓 住特征见景生情，幼儿不仅印
象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且
会应用 。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以
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往学的词语 、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。
如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的 手术
刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地
描述观察对象。3.掌握二项式 定理和二项式系数的性质，并
能用它们计算和论证一些简单问题.
死记硬背是一种传统的教学 方式,在我国有悠久的历史。但随
着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能
力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又
为提高学生的语文素养煞费苦心。其实, 只要应用得当,“死记
硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文
水平的重要 前提和基础。
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