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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴
第一讲 数与式的运算课前案
【知识目标】
复习强化并加以补充相关公式，加强数与式的运算能力训练。

【问题探究】
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们
把 实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实
数的属性， 可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平
方公式），并且知道 乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多
项式乘法运算，因此本节中将 拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立
方差公式．在根式的运算中，我们已学 过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经
常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却 没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，
还要补充“繁分式”等有关内容。请研究以下问题：
1、 你在初中学习过哪些乘法公式？尽量列举出来。再计算下列各式：
(abc)2
.......................................... .


(ab)(a
2
abb
2
). ......................

(ab)(a
2
 abb
2
)......................

(ab )
3
__________________
(ab)
3
__ _______________

2、什么叫做二次根式？它有什么性质？二次根式化简的结果满足什么要求？

3、什么叫做分式？分式四则运算的法则是什么？运算结果应满足什么条件？

【小试身手】
1．二次根式
a
2
a
成立的条件是(
A．
a0
B．
a0

)
C．
a0

)
C．－９ D．９
D．
a
是任意实数
2．若
x3
，则
96xx
2
|x6|
的值是(
A．－３
3．选择题：
（1）若
x
2
B．３
1
mxk
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

416
3
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
ab2a4b8的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
4．
计算：
(x1)(x1)(xx1)(xx1)
．



5．化简(下列
a
、b字母的取值范围均使根式有意义)：


(1)

22
8a
3
(2)
a
1

a
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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴
第一讲 数与式的运算课堂案
【归纳总结】






【典型例题】
222
【例1 】
已知
abc4
，
abbcac4
，求
ab c
的值．


【例2】计算：
（1）
(4m)(164mm
2
)



（3）
(a2)(a2)(a
4
4a
2
16) （4）
(x
2
2xyy
2
)(x
2
x yy
2
)
2

（2）
(m
1
5
1111
n)(m
2
mnn
2
)

225104



【例3】化简下列各式：
(1)


(32)
2
(31)
2
(2)
(1x)
2
(2x)
2
(x1)

x
2
3x96xx1

【例4】化简
x
2
279xx
2
62x


< br>2
【例5】已知
x3x10
，求
x
3
1的值．
x
3





【课堂反思】

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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴
【当堂检测】

1、计算下列各题：
(1)
3
23



(2)
(ab1)(1ab)(ab)
2




(3)
a
aab

a
aab




2、设
x
23
23
,y
2 3
23
，求
x
3
y
3
的值．







3、已知
abc0< br>，求
a(
1
b

1
c
)b(
1< br>c

1
a
)c(
11
a

b)
的值．








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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴
第一讲 数与式的运算课后案
【基础题】
1．计算：




(1)
(x3y4z)
2
(2)
(2a1b)
2
(ab)(a2b)

(3)
(ab)(a
2
abb
2
)(ab)
2
(4)
(a4b)(a4bab)

1
4
22

2．化简：




3．设
x
、
y
为实数，且
xy3
，求
x



4．计算：
(1)
(abc)(abc)
(2)
1(
(1)
mm1

9m10m2m
2
325m
(2)
2x2yxy
 (xy0)

x
2x
2
y
yx
的值．
y
xy
1
2

1
3
)



5．化简或计算：



(1)
(184


(3)


(4)
(a
113

)
23
23
(2)
2
21

2(25)
2

3
52
xxxyxxyy


2
xyy
xxyy
bab
ab
)(
a
abb

b
a ba

ab
ab
)


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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴
【提高题】

6．若
11
3xxy3y
的值为( )
2
，则
xy
xxyy
3

5
B．

A．
3

5
C．

5

3
D．
5

3
x
2
xyy
2
7．设
x
，求代数式的值．
,y
xy
3232
11




aba
2
b
2
8．当
3aab2b0(a0,b 0)
，求

的值

baab
22




【思考题】
9．已知
a




10．设
x
111
x20,bx19,cx21，求代数式
a
2
b
2
c
2
abbc ac
的值．
202020
51
42
，求
xx2x1
的值．
2





【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

【回顾反思】 本节内容还有哪些方面需要加以提高：

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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴
第一讲 数与式的运算导学案参考答案
【小试身手】
1． C 2． A 3．D,A 4．
x
6
1

5．
2a2a a

【归纳总结】
1、【公式1】
(abc)
2
a< br>2
b
2
c
2
2ab2bc2ca
（三数和 完全平方公式）
【公式2】
(ab)(a
2
abb
2
)a
3
b
3
(立方和公式)

【公式3】
(ab)(a
2
abb
2
)a
3
b
3< br>(立方差公式)
【公式4】

ab

a
33a
2
b3ab
2
b
3
(两数和立方公式)
3
2(ab)2
1
ab2
【公式5】
< br>ab

a
3
3a
2
b3ab
2b
3
（两数差立方公式)
3
2、式子
a(a0)
叫做二次根式，其性质如下：


(1)
(a)
2
a(a0)

(3)
(2)
a
2
|a|

bb
(a0,b0)

a
a
abab(a0,b0)
(4)
3、分母含有字母 的式子叫做分式。当分式
AA
的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁
BB分式．繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质。分式的运
算要求：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进
行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
【典型例题】
2222
【例1】
解：
abc(abc)2(abbcac)8

【例2】解：（1）原式=
4m64m





（2）原式=
(m)(n)
242
333
1
5
3
1
2
3
1
3
1
3
mn
1258
22336
（3）原式=
(a4)(a4a4)(a )4a64

（4）原式=
(xy)(xxyy)[(xy)(xxyy)]


2222222
(x
3
y
3
)
2
x
6
2x
3
y
3
y
6
< br>说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结
构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、
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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴
10的立方数，是非常有好处的．
【例3】解：(1) 原式=
|32||31|23311



(x1)(x2)2x3 (x2)
(2) 原式=
|x1||x2|


(x1)(x2)1 (1x2)

说明：请注意性质
a
2
|a|
的使 用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的
取值分类讨论．
x
2
3x96xx116x1
【例4】解：原式=
 
22
2(3x)x3(x3)(x3)2(x3)
(x3)(x3 x9)x(9x)

2(x3)12(x1)(x3)(x3)
2
3x


2(x3)(x3)2(x3)(x3)2(x3)
2
【例5】解 ：
x3x10

x0

x
1
3

x
1
2
111
2 2
原式=
(x)(x1
2
)(x)[(x)3]3(33 )18

xxx
x
说明：本题若先从方程
x
2
3x10
中解出
x
的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本
题是 根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本
题的解法，体 现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【当堂检测】

2
3(2
(1
3)
b)
2
3(2
a
( ab)(ab)
2a

)
3)
(a
3
2< br>3
abb
2
)
）
2a
（1

）

（

(
2
1、
6

2 ab2b1
（3）

23
3)(23)
ab
(ab)(ab)
2、解：
x
23
23

(2 3)
2
2
2
3
743,y743  xy14,xy1

原式=
(xy)(x
2
xyy2
)(xy)[(xy)
2
3xy]14(14
2
 3)2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算 较复杂时，可根据结
论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．
3、解：
abc0,abc,bca,cab



原式=
a

bcacab
bc

bcacab

a( a)b(b)c(c)a
2
b
2
c
2
< br> ①
bcacababc

a
3
b
3
(ab)[(ab)
2
3ab]c(c
2
3ab)c< br>3
3abc

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珠海市第一中学数学《初高中数学衔接》导学案 编者：潘 静 陈振兴

a
3
b
3
c
3
3abc
②，把②代入①得原式=

3abc
3

abc
说明：注意字母的整体代换技巧的应用．
引申：同学可以探求并证明：

a
3
b
3
c
3
3abc(a bc)(a
2
b
2
c
2
abbcca)

【基础题】
1、(1)
x
2
9y
2
1 6z
2
6xy8xz24yz
(2)
3a5ab3b4a2b1

22
(3)
3a
2
b3ab
2

2、
mm 2xy

4．
acb2ac,3223

【提高题】

6． D 7．

13
6
3
8．
3,2

【思考题】
9． 3 10．
35

(4)
1
a
3
16b
3
4

3．
23

5．
3,
43
x
3
,
y
y
,ba


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