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第五单元 数学广角
鸽巢问题 单元备课
一、教材分析：
本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方
法。和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几
个直观例子，借 助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问
题”这一数学方法的基础上，对一些简单 的实际问题加以“模型化”，会用“鸽
巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问 题。在这类问
题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪
个 物体（或人）。这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最
先是19世纪的德国数学 家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克
雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题” 的理论本身并不复杂，甚至可以
说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决 许多有
趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、
集合论、 组合论中都得到了广泛的应用。
“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇 到此类
问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范
畴。能不 能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。
所以，在教学中，应有意识地让学 生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年
级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本 章内容的程度。教材
选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、三维目标：
1、知识与技能：
引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原 理”的过
程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
2、过程与方法：
（1）经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等
活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
（2）学会与人合作，并能与人交流思维过程和结果。
3、情感态度与价值观：
（1）积极参与探索活动，体验数学活动充满着探索与创造。
（2）体会数学与生活的紧密联系，感受数学在实际生活中的作用，体

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验学数学、用数学的乐趣。
（3）通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。
（4）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。
三、教学重点:
应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。
四、教学难点：
理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
五、教学措施：
1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物
操作或画草图的方式进行“说 理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过
程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于提 高学生的逻辑思维能力，
为以后学习较严密的数学证明做准备。
2、有意识地培养学生的“ 模型”思想。当我们面对一个具体的问题时，能
否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该 问题中的具体情境与“鸽
巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西 ”，
什么是“鸽巢”，是解决问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否
属于用“鸽 巢原理”可以解决的范畴；再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问
题”的一般模型。这个过程是学生经 历将具体问题“数学化”的过程，从纷繁复
杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是学生数学思维和能 力的重要体现。
3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛
且灵活多变。因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例
如，有时要找到实际问 题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也
很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢 ”。因此，教学时，不必过于要求
学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可 以了，鼓
励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
六、课时安排：3课时
鸽巢问题-------------------1课时
“鸽巢问题”的具体应用------1课时
练习课 ---------------------1课时

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鱼岳镇第三小学电子教案
执教： 第1课时 时间：
教学课题：鸽巢问题
教学内容：教材第68-70页例1、例2，及“做一做”，及第71页练习十三的
1-2题。
三维目标：
1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体 验观察、猜测、实验、
推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价 值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学
生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
教学难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
教具准备：多媒体课件。
教学过程：
一、创设情境，导入新知
老师组织学生做“抢椅子”游戏（ 请3位同学上来，摆开2条
椅子），并宣布游戏规则。
师：象这样的现象中隐藏着什 么数学奥秘呢？这节课我们就一
起来研究这个原理。-------出示课题
二、合作交流，探究新知
1、教学例1(课件出示例题1情境图）
思考问题：把4支铅 笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1
个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什 么
意思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认
识“鸽巢问题 ”的学习过程来解决问题。
(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发
现：不管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。
(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少” 是指把4支铅笔放
进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等
于2支。

个人调整意见

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(3)探究证明。
方法一：用“枚举法”证明。 方法二：用“分解法”证明。 把
4分解成3个数。
由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，
每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。
方法三：用“假设法”证明。 < br>通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒
中，无论怎么放，总有1个笔筒里至 少放进2只铅笔。
（4）认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽 屉问题”。在这里，
4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就
相当于 3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言
描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个 笼子里至少有2只鸽
子。
这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至< br>少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”
里鸽子“最少”的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至
少放进2支铅笔。
如 果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放
2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3， 那么总有1个笔筒里
至少放2只铅笔„„
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至
少放2支铅笔。
（5）归纳总结：
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，
且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2
个物体。
2、教学例2(课件出示例题2情境图）
思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎 么放，总有
1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？
（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。
（1）探究证明。

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方法一：用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下
8种情况： 由图可知，每种情况 分得的3个数中，至少有1个数
不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽
屉至少放进3本书。
方法二：用假设法证明。
把7本书平均分成3份，7÷3=2（ 本）......1（本），若每个抽
屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉
中，那么这个抽屉里就有3本书。
（2）得出结论。
通过以上两种方法都可以 发现：7本书放进3个抽屉中，不管
怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题
（二）。
（1）用假设法分析。
8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中 2个抽
屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，
不管怎么放，总有1 个抽屉里至少放进3本书。
10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中 ，不
管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。
（2）归纳总结：
综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a
÷3=b（本）......1（本）或a÷3 =b（本）......2（本），那么一定有1
个抽屉里至少放进（b+1）本书。
鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n
个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数） ，那么一定有一个抽屉
中至少放进了（k+1)个物体。
三、巩固新知，拓展应用
1、完成教材第70页的“做一做”。 学生独立思考解答问题，
集体交流、纠正。
2、完成教材第71页练习十三的1-2题。 学生独立思考解答
问题，集体交流、纠正。
四、课堂总结
1、通过今天的学习你有什么收获？

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2、回归生活：你还能举出一些能用“鸽巢问题”解释的生活
中的例子吗？
五、作业
教学反思：

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执教： 第2课时 时间：
教学课题：“鸽巢问题”的具体应用
教学内容：教材第70页例3，及“做一做”，及第71页练习十三的3-4题。
三维目标：
1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、 实验、
推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感态度和价值观：通过用“鸽巢 问题”解决简单的实际问题，激发学生
的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
教学难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽 巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用
“鸽巢原理”进行反向推理。
教具准备：多媒体课件
教学过程：
一、创设情境、引入新课：
师：一天晚上，有一个小女孩正要从抽屉里 拿袜子。抽屉里有黑白
两种颜色的袜子各10双。突然停电了。小女孩至少摸出多少只袜
子，才 能保证拿出相同颜色的袜子？
学生思考、发言。
师：学习了这节课我们就能解决类似的问题了。------出示课题
二、合作交流，探究新知
（一）出示例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想
摸 出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
1、学生提出猜想。
2、用预先准备的学具，小组合作交流。
3、小组反馈，师相机板书：
4、得出结论：把颜色看作抽屉。
有两种颜色，只要摸出的球比他们的颜色至少多1，就能保证
有两个球同色。
（二）研究规律
师：如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，从盒子里摸出两个同
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色的球，至少要摸出几个球？
分小组讨论后汇报。
再出示“做一做”第2题，汇报后得出：问题结论只与球的颜
色种数也就是抽屉数有关。
小结：确定什么是抽屉什么是物体是解决抽屉问题的关键。
三、巩固新知，拓展应用
1、第70页“做一做”第1题。
2、解决课前有趣的问题
3、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上
眼睛去摸，
（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？
（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？
4、练习十三第3、4题。
四、全课总结，畅谈收获
1、通过今天的学习你有什么收获？
2、回归生活：你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的
例子吗？
五、作业
教学反思：

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执教： 第3课时 时间：
教学课题：“鸽巢原理”练习课
教学内容：教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。
三维目标：
1、知 识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解
决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、
推理等活动的学习方法， 渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学
生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽
巢问题”。
教学难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
教具准备：多媒体课件。
教学过程：
一、谈话导入 ------出示课题
二、指导练习
（一）基础练习题 1、填一填：
（1）鱼岳三小六年级有30名学生是二月份（按28天计算）
出生的，六年级至少有（ ）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球 ，
那么一定有1个同学至少投进了（ ）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同
1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至
少要有（ ）本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2
本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是
同一个月出生的？
（2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一
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定能拿出2本科技书。一次至少要拿出多少本书？
（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1
个铅笔盒里的铅笔不少于6支？
（二）拓展应用
1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子
里有7个球？ 教师引导学生分 析：盒子数看作抽屉数，如果要使
其中1个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少要比抽屉数的
（7-1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此最多放进4个
盒子里，可以保 证至少有1个盒子里有7个球。
教师引导学生规范解答：
2、一个袋子里装有红、黄、 蓝袜子各5只，一次至少取出多
少只可以保证每种颜色至少有1只？
教师引导学生分析：假 设先取5只，全是红的，不符合题意，
要继续去；假设再取5只，5只有全是黄的，这时再取一只一定是
蓝色的，这样取5×2+1=11（只）可以保证每种颜色至少有1只。
教师引导学生规范解答：
3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班
最低分是75。已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得
分相同。六（2）班至少有多 少名同学？
教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，
所以学生可能得 到的不同分数有100-745+1=26（种）。
教师引导学生规范解答：
三、巩固练习：
完成教材第71页练习十三的5、6题。（学生独立思考解答问
题，集体交流、纠正。）
四、课堂总结
说说这节课你有什么收获？还有什么疑问，我们一起解决。
五、作业
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