无偿献血日-班级管理经验

《数学广角—鸽巢问题（一）》教学设计

【教学内容】
新人教版课标教材小学数学六年级下册第五单元数学广角第68
页例1。
【教学目标】
1.通过操作、观察、比较、分析、推理、抽象概括，引导学生经
历鸽 巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解释生活
中的简单问题。
2.在探究的过程中，渗透模型思想，培养学生的推理和抽象思维
能力。
3.使学生感受数学的魅力，培养学习数学的兴趣。
【教学重点】
经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解
释生活中的简单问题。
【教学难点】
理解鸽巢原理，并对一些简单的实际问题加以模型化认知。
【教学过程】
课前交流：神机妙算
一、承接课前谈话，导入新课：
一 个人算事情非常准用哪个成语来形容，想不想见识下老师的神
机妙算？老师猜测22个同学中总有一个季 节里至少有6个同学出生。
你觉得老师猜的准不准？现场统计每个季节的人数，生发现一定
有一个季节的人数至少是6人。
想不想知道这是为什么？其实这里面蕴含着一个数学问题，学完今天
的内容你就能明白其中的道 理。

二、通过操作，探究新知
（一）出示例1
把4枝铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至
少有（ ）枝铅笔。
你认为那些词语是这句话的关键词？（“总有”和“至少”）
师：它们是什么意思？
生：“总有”表示“一定有”、“ 肯定有”。
“至少”表示“最少”、“ 最起码”。
1．列举法
（1）那你认为这种说法对吗？（生回答）
你打算怎么来验证这种说法 对不对呢？（可以通过摆一摆、画
一画、写一写等方法把自己的想法表达出来）
（2）小组合作验证。
小组探究要求：
1、所有铅笔都必须放进笔筒，不考虑笔筒顺序，只考虑笔筒
内铅笔支数。
2、组长记录。
3、找出每一种摆法中数量最多的圈出来。
4、小组讨论得出结论。
学生分组操作，填写《鸽巢问题》探究记录单一
（3）汇报探究结果。
展示各小组的“探究记录单”（投影展示）
根据学生摆的情况，老师按照一定顺序排列起来。
板书各种情况：
（4，0，0） （3，1，0） （2，2，0） （2，1，1）
还有不同的放法吗？

（4）强调有序思考：
为了不遗漏不重复，我们需要有序地思考、分放。(边 说
边演示：第一种情况:把4支笔都放进一个笔筒里。第二种情
况:先把3支笔放进一个笔筒里 。第三种情况:先把2支笔放进
一个笔筒里。第四种情况:每个笔筒先放1支笔。)
（5）共同分析
不管怎么放每种情况例每个笔筒里最少放了多少支？
（6）得出结论：
（无论怎么放，总有一个笔筒里至少放进2支笔）
至少数是多少？（2）
师：刚才我们把所有的情况都一一列举出来，我们把这种放法，
叫做列举法。在使用这种方法的时候，一定要有序思考，才能
不重复不遗漏。
（7）、利用刚才的方法快速试一试5支笔放进4个笔筒，总
有一个笔筒里至少放进（ ）支铅笔。
生自主排列，然后汇报交流。
【生本体现处】变“以教为主”为“以学定教”， 让学生通过
合作探究实现师教生、生教生，师生互动、生生互动，真正由
“学会”到“会学”。
2．假设法
（1）遇到这种问题的时候，是不是一定要把所有情况都一一
列举出来呢 ？比如把100支铅笔放进99个笔筒，要把所有情
况列举出来就会非常麻烦。会不会有这样一种放法， 不用把所
有的情况都一一列举出来，就能很快地知道总有一个笔筒至少
放几支笔？大家讨论讨论 。
（2）学生讨论，汇报。

生：先把3支铅笔分别放在三个笔筒里，剩下一 个无论放在哪
个笔筒里，总有一个笔筒至少放进两只笔。
（根据学生回答课件演示）
这种分发实际上是怎样分的？（平均分）
怎么列式？剩下一支铅笔怎么办？
谁能再说一说是怎么分的？
（假设每个笔筒里先放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支无论放进哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少放2支笔）。
师：我们把这种方法叫做假设法。
3．把5支铅笔放进4个笔筒里，不管怎么放，总有一个抽屉
里至少放（ ）个铅笔。为什么？
（根据学生的回答，课件演示）
4.（1）出示表格：
把6支铅笔放进5个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里
至少放（ ）个铅笔。
把7支铅笔放进6个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里
至少放（ ）个铅笔。
（2）你有什么发现？
只要铅笔的数量比笔筒的数量多1，总有一个笔筒至少要放
进 2 支铅笔。
（3）观察表格，至少数应该等于什么？
至少数=？
生通过观察会得出结论至少数=商+余数
5．讨论：5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进( )
只鸽子？
（小组讨论后，汇报交流）

小结：至少数=商＋1，不是商＋余数。（板书）
6．讨论：6只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进( )
只鸽子？
没有余数时，至少数=商。（板书）
7． 8支鸽子飞回7个鸽巢。
10个苹果放进9个抽屉。
8．小结，构建模型：
回顾一下刚才的几种情景：把铅 笔放进文具盒，小球放进抽屉，
鸽子飞回鸽巢，这些问题有什么相同点？有什么规律？
引导学 生发现：铅笔、小球、鸽子等都可以看作是待分的物体，
文具盒、小球、鸽子等都可以看作是盛放这些物 体的鸽巢。待
分物体都比鸽巢多一，那么，总有一个鸽巢至少放进两个待分
物体。
这就是我们刚上课时所说的著名的数学原理—鸽巢原理。
【生本体现处】由上述现象推出鸽巢原理这一数学原理，引导学生学
会观察、分析、总结。
9．普及数学史知识
知道鸽巢原理最早是由谁提出来的吗？
简介德国数学家狄利克雷与鸽巢原理。
不管做什么事情，我们要善于发现、善于总结，说不定 以后的
数学史上也会出现由我们名字命名的原理！
【德育渗透点】通过介绍中国运用鸽巢原理 的案例，教育学生
善于发现、善于总结，同时激发学生的国家荣誉感，感受作为
中国人的使命。
10.其实，简单的说，鸽巢原理就是待分的物体多，抽屉少，
那么至少有两个待分的物体放进 同一个抽屉里。

三、运用模型，解释应用
1．现在，你能利用刚学习的鸽巢原理知识来解释一下老师的
神机妙算吗？
在22位同学中，为什么至少有6人在同一个季节里出生？
生说出什么看做待分的物体，什么看做鸽巢。
2．鸽巢原理在生活中随处可见，它其实就是解 决该类问题的
一种方法，一个模型。找一找，生活中的鸽巢问题：
（文具盒原理，口袋原理，5个人一起，至少有两个人是在同
一季节出生的等）
师：把什么看做待分的物体？抽屉？
解决这类问题的关键是什么？
师：在解决这类问题时，关键是要看清什么是待分的物体，什
么是抽屉。
四、拓展延伸
随意找30位同学，他们中至少有（ ）属相相同。
这是我们下节 课要学习的问题，跟我们这节课所学内容类似，
但又有区别，大家可以在课下先讨论一下。
板书设计：
鸽巢问题

5 0 0 0
4 0 0 4 1 0 0
列举法(有序) 3 1 0 3 2 0 0
2 2 0 3 1 1 0
2 1 1 2 2 1 0
2 1 1 1

假设法 待分物体数÷鸽巢数
平均分 至少数=商+1
=商




《数学广角—鸽巢问题（一）》学情分析

一、学情分析
“鸽巢原理”在生活中运用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，
但并不能有意识地从数学的角度来理 解和运用“鸽巢原理”。教学中
应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六年级学生的逻辑思维能力、小组合作能力和动手操作能力都有了较大的提高，
加上已有的生活经验，很容易感 受到用“鸽巢原理”解决问题带来的
乐趣。
二、教学理念
激趣是新课导入的抓手， 喜欢和好奇心比什么都重要，以“老师
的神机妙算”引入，让学生置身在疑惑中开始学习，为理解鸽巢原 理
埋下伏笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把鸽巢原理较为抽
象难懂的内容变为学生感 兴趣又易于理解的内容。特别是对教材中的
结论“总有、至少”等字词作了充分的阐释，帮助学生进行较 好的“建
模”，使复杂问题简单化，简单问题模型化，充分体现了新课标要求。
《数学广角—鸽巢问题（一）》效果分析

本节课是通过几个直 观例子，借助实际操作，引导学生探究“抽屉
原理”，初步经历“数学证明“的过程，并有意识的培养学 生的“模型思
想。

1、 激趣是新课导入的抓手，喜欢和好奇心比什么都重要，以 “老
师的神机妙算”引起学生的兴趣，从而让学生对本课研究的积极性，
为理解抽屉原理埋下伏 笔。通过小组合作，动手操作的探究性学习把
抽屉原理较为抽象难懂的内容变为学生感兴趣又易于理解的 内容。特
别是对教材中的结论“总有、至少”等字词作了充分的阐释，帮助学生
进行较好的“建 模”，使复杂问题简单化，简单问题模型化，充分体现
了新课标要求。

2、借助直观 操作，经历探究过程。教师注重让学生在操作中，经
历探究过程，感知、理解抽屉原理。
3、教师注重培养学生的“模型”思想。通过一系列的操作活动，学
生对于枚举法和假设法有一定的 认识，加以比较，分析两种方法在解
决抽屉原理的优超性和局限性，使学生逐步学会运用一般性的数学方
法来思考问题。

4、在活动中引导学生感受数学的魅力。本节课的“抽屉原理”的建
立是学生在观察、操作、思考与推理的基础上理解和发现的，学生学
的积极主动。特别以游戏引 入，又以游戏结束，既调动了学生学习的
积极性，又学到了抽屉原理的知识，同时锻炼了学生的思维。在 整节
课的教学活动中使学生感受了数学的魅力。

《数学广角──鸽巢问题（一）》教材分析

一、教学内容
新人教版课标教材小学数学六年级下册第五单元数学广角第68
页例1。
二、教学目标
1.通过操作、观察、比较、分析、推理、抽象概括，引导学生经
历鸽 巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解释生活
中的简单问题。
2.在探究的过程中，渗透模型思想，培养学生的推理和抽象思维
能力。
3.使学生感受数学的魅力，培养学习数学的兴趣。
三、教学重点
经历鸽巢原理的探究过程，初步了解鸽巢原理，会用鸽巢原理解
释生活中的简单问题。
四、教学难点
理解鸽巢原理，并对一些简单的实际问题加以模型化认知。
五、课标定位
（一）让学生初步经历“数学证明”的过程
在数学上，一般是用反证 法对“抽屉原理”进行严格证明。在小
学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严 格
的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进
行“就事论事”式的解释 。教学的过程就是教师鼓励学生借助学具、
实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理 ”的方
式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的

方式 ，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的
数学证明做准备。
（二）要有意识地培养学生的“模型思想”
本单元讲的“鸽巢问题”，实际就是一个“抽屉原 理”问题。“抽
屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体的问题
时，能否将 这个具体问题与“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题
中的具体情境和“抽屉问题”的一般化模型之间 的内在关系，能否找
出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是能否解决该问
题的 关键因素。因此，教师教学时，要引导学生先判断某个问题是否
属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如 果可以，再思考如何寻找隐
藏在其背后的 “抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学
生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本
质的数学模型的过程。这样的过程， 可有效地发展学生的数学思维能
力，尤其可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。
六、教材例题分析
例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么
这 样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操
作的方法罗列所有的方法，通过完全归 纳的方法看到在这四种情况都
是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1
支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有
一个笔筒里有2支铅笔。这种方法 比第一种方法更为抽象，更具有一
般性。

通过本例的教学，使学生感知这类问 题的基本结构，掌握两种思
考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”
的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。
例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于 （是
正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进
了至少（+1）个物体 ”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总
有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越 大时，如果
还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有
困难的。这时需 要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的
抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可 是题目中是7本
书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里
即可，总有 一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学
生是在经历“反证法”的这样一个过程。在具体 编排这道例题的时候，
在数据上进行了一个很细微的调整。在过去，由于数据的问题，学生
会得 到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余
数总是1，那么学生很容易得到一个错误 的结论：总有一个抽屉里放
进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。而实际上，这里的结论应
该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况，这
时候余数是2，可是最后的结论 还是“把8本书放进 3个抽屉里，总
有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据方面的调整，可 以
让学生得到一个更加正确的推论。
例3：跟之前教材的编排是一样的，是抽屉原理的一个逆 向的应

用。要解决这个问题，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”
就意味着“同一个抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化为“抽
屉问题”。教材通过学生的对话，指 出了可以通过先猜测再验证的方
法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时可能会遇到的困难。很多学生误以为要摸5次才可以摸出球，这可以让学生通过实验来验
证。
在教学中要注意 的问题：第一，要让学生经历数学证明的过程，
在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给 出一个结论，
让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，
要有意识地 培养学生的模型思想。因为“抽屉原理”在生活中的变式
是多样的，比如让学生判断13个孩子中一定有 两个人的生日在同一
个月份，让学生去判断367个孩子中一定有两个人的生日是同一
天……在 解决这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原
理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生把 这些具体问题模型化成一
个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解
原 理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4支铅
笔放到3个笔筒里），让学生在探究的 过程中，逐渐找到一般的规律。
第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。
七、本单元的教学重难点是初步了解“抽屉原理（鸽巢原理）”，
培养学生的“模型思想”。
突破建议：

1．在直观操作中理解“抽屉原理”的有关概念，初步了解“抽< br>屉原理”的结构特征。教学时要借助直观，让学生在亲身经历（看到、
摸到）的基础上，深刻感受 分的过程和分的结果，积累对“抽屉原理”
的感性认识。这既可降低学生学习的难度，又可使学生充分地 理解“总
有”“至少”等特定术语的含义，清晰地建立“待分物品”和“抽屉”
之间的关系。例 如，在教学例1时，通过直观地摆铅笔的经历，学生
发现“把4支铅笔放进3个笔筒中”一共只有四种情 况。在每一种情
况中，都一定有一个笔筒中至少有2支铅笔。针对实验的所有结果，
再次组织学 生展开讨论交流，“‘总有’和‘至少’是什么意思？”“你
确定结论的正确性吗？”在学生总结表征的 基础上，进而提出“你还
可以怎样想？”的问题，教学时借助平均分（必要时也可实际进行操
作 ，即每个笔筒里先只放1支），这时学生看到还剩下1支铅笔，这
1支铅笔不管放入其中的哪一个笔筒， 这个笔筒都会有2支铅笔。进
一步引导学生加深对“至少有一个笔筒中有2支铅笔”的理解。最后，可组织学生进一步借助直观操作，讨论诸如“5支铅笔放进4个笔筒，
不管怎么放，总有一个笔筒中 至少有2支铅笔，为什么？”的问题，
并不断改变数据（铅笔数比笔筒数多1），让学生继续思考，引导 学
生归纳得出一般性的结论：（+1）支铅笔放进个笔筒里，总有一个笔
筒里至少放进2支铅笔 。
2．引导学生在经历猜测、尝试、验证的过程中逐步从直观走向
抽象。本单元的学习，教学 的目的不是让学生计算抽屉原理，去应用，
而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性。 这样，

这实质上是一种数学证明的思想的渗透教学。因此，教学时应让学生
经历 猜测、尝试、验证的探究过程，并在此过程中引导学生逐步从直
观走向抽象。例如教学例2时，可以直接 让学生想办法解释结论，在
学生汇报总结出用直观枚举、分解数、用“平均分”来假设等思考方
法的同时，组织学生进一步比较这几种方法的优缺点，使学生认识到
直观方式终究具有一定的局限性，进 而意识到假设法的优越性。在此
基础上，对假设法进行强化教学，使得学生对知识和方法进行牢固掌握。此外，针对“抽屉原理”的问题的变式多，应用更具灵活性，教
师更应在平时的练习中帮助学生 思考如何将具体问题与“抽屉原理”
建立联系，引导学生探究如何建立问题中的具体情境和“抽屉原理”
的一般化模型之间的内在关系。比如说，让学生去判断13个孩子中
一定有两个人的生日在同一 个月份，让学生去判断367个孩子中一定
有两个人的生日是同一天。在解决这些问题的过程中，明确什 么是“抽
屉原理”中的“物体”，什么是“抽屉”，这既是能否解决问题的关键
因素，又是学生 经历将具体问题“数学化”的过程，即从复杂的现实
素材中找出本质的数学模型的过程，有效地增强学生 对“模型思想”
的体验和认识理解。
鸽巢问题（一）评测练习（当堂达标）
班级_______ 姓名________
1.5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？

2.学校图书馆有16名小学生在看书，这个学校小学共有6个年级，
至少有几名同学是同一年级的？



3.一副扑克牌取出大小王后，取出5张至少有几张同一花色的？



4、13名同学中至少有几位同学是同一属相的？15名呢？



5、367个孩子中至少有几人的生日在同一天？


《数学广角—鸽巢问题（一）》课后反思

鸽巢原理是一个重要而又基本的数学 原理，通过本课教学向学生
介绍抽屉原理的由来，并通过对一些简单实际问题进行模型化地研究，
使学生理解抽屉原理。掌握一些研究问题的方法，达到会证明生活中
的某些现象，会解决生活中的某些 问题的目的。

本课教学时主要分以下几个层次：
一、创设情境，巧设悬念
通过猜测验证为什么总有6位同学在同一季节出生这个情境引
入，一是使教师和学生进行自然的 沟通交流；二是调动和激发学生学
习的主动性和探究欲望；三是为今天的探究埋下伏笔，初步理解“至< br>少”的含义。
二、合作探究，建立模型
引导学生从简单的情况开始研究，渗透“建模 ”思想。通过学生
独立证明、小组交流、汇报展示，使学生相互学习解决问题的不同方
法。通过 说理，沟通比较不同的方法，让学生理解：为什么只研究一
种方法（平均分的思路）就能断定一定有“至 少2只笔放进同一个笔
筒中”这个过程主要解决对“至少”、“总有”“平均分”这些词的理
解 。再通过摆或假设法继续发现规律，在这个过程中抽象出算式，并
在观察比较中全面概括、总结抽屉原理 ，建立起此类问题的模型。
三、鸽巢原理的由来
数学小知识鸽巢原理、抽屉原理的由来，向 学生介绍了德国数学
家——“狄里克雷”和他的“抽屉原理”。使学生感受到我们本课所
发现的 规律和150多年前科学家发现的一模一样，增加探究的成就感。
同时了解到鸽巢原理最初的模型和在生 活中的广泛应用，增加一些数
学文化气息。
四、解决问题
通过举例、解决问题，开 阔学生视野，回归课前，回归生活，通

过不同类型题的设计，让学生灵活运用此原理解释 生活现象。
《数学广角─鸽巢问题（一）》课标分析

一、课标要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第
二学段”中提出：“会独立思考， 体会一些数学的基本思想”“在观察、
实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的 思
考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合作交
流解决问题的过程，尝试 解释自己的思考过程”。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第
二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实
际情境，体验发现和提出问题、分 析和解决问题的过程”“通过应用
和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，< br>获得数学活动经验”。
二、课标解读
（一）让学生初步经历“数学证明”的过程 < br>在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明。在小
学阶段，虽然并不需要学生对涉及 “抽屉原理”的相关现象给出严格
的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进< br>行“就事论事”式的解释。教学的过程就是教师鼓励学生借助学具、
实物操作或画草图的方式进行 “说理”。实际上，通过“说理”的方
式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样 的
方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的

数学证明 做准备。
（二）要有意识地培养学生的“模型思想”
本单元讲的“鸽巢问题”，实际就是一 个“抽屉原理”问题。“抽
屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体的问题
时，能否将这个具体问题与“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题
中的具体情境和“抽屉问题”的一般 化模型之间的内在关系，能否找
出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是能否解决该问< br>题的关键因素。因此，教师教学时，要引导学生先判断某个问题是否
属于用“抽屉原理”可以解决 的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐
藏在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学 生
经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质
的数学模型的过程。这样 的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，
尤其可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力。