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第五单元 数学广角——鸽巢问题
教材分析：
本教材专门安排“数学广 角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和
以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的 内容。本单元教材通过几个直观例子，
借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问 题”这一数学方法的
基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。在数 学
问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某
个人） 的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。这类问题依据的理论我
们称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解
决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理” ，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的
理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问题 ”的应用却是千变万化的，
用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。因此， “鸽巢问
题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
教学目标：
1、知 识与技能：（1）引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽
巢原理”的过程，初步了 解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问
题。
2、过程与方法：经历探究 “鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 < br>3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数学、用数学的
乐趣。（2） 理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。（3）感受数学在实际生
活中的作用，培养刻苦钻研、 探究新知的良好品质。
教学重点
应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。
教学难点：
理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
学情分析：

“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。
教学时，要 引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将
这个问题同“鸽巢原理”结合 起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应
有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模 型”。六年级的学生理解能力、学习能
力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生 熟悉的，易于理解的
生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决 实
际问题的能力。
教学建议：
1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引 导学生借助学具、实物操作或
画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程 是一种数学
证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的
数学证明做准备。
2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时，能否将这
个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的
“一般化 模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，
是解决问题的关键。教 学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以
解决的范畴；再思考如何寻找隐藏在其背 后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程是学
生经历将具体问题“数学化”的过程，从纷繁复杂的现实素 材中找出最本质的数学模型，
是学生数学思维和能力的重要体现。
3、要适当把握教学要求。 “鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵
活多变。因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时， 经常会遇到一些困难。例如，有时要
找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也 很难确定用什么作
为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必过于要求学生“说理”的严密性 ，
只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓励学生借助实物操作等直观方式
进行猜 测、验证。

第1课时 鸽巢问题
教学内容：教材第68-70页例1、例2，及“做一做”的第1题，及第71页练习十三的
1-2题 。
教学目标：
1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学 生学
会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程， 体验观察、猜测、实验、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价 值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的
学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
教学准备：课件。
教学过程：
一．情境导入
二、探究新知
1.教学例1.(课件出示例题1情境图）
思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支
铅笔。为什么呢？“总 有”和“至少”是什么意思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题 ”的学习
过程来解决问题。
(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现 ：不管怎么放，总
有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。
(2)理解关键词的含义：“总有”和“至 少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管
怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
(3)探究证明。
方法一：用“枚举法”证明。
方法二：用“分解法”证明。
把4分解成3个数。
由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情 况分得的
3个数中，至少有1个数是不小于2的数。
方法三：用“假设法”证明。

通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总
有1个 笔筒里至少放进2只铅笔。
（4）认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢 问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分
放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒” 就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，
把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子， 总有1个笼子里至
少有2只鸽子。
这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而 “至少”指的是最少，
即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
如果放的铅 笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放
的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有 1个笔筒里至少放2只铅笔……
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
（5）归纳总结：
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非 零自然
数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。
2、教学例2(课件出示例题2情境图）
思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有 1个抽屉里至少有3
本书。为什么呢？（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。
（1）探究证明。
方法一：用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：
由图可知，每种情况 分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中
最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少 放进3本书。
方法二：用假设法证明。
把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）.... ..1（本），若每个抽屉放2本，则还剩
1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个 抽屉里就有3本书。
（2）得出结论。
通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉 中，不管怎么放，总有1个抽
屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。
（1）用假设法分析。

8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其 中2个
抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放
进 3本书。
10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总 有1
个抽屉里至少放进4本书。
（2）归纳总结：
综合上面两种情况， 要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b（本）......1（本）
或a÷3=b（本）.... ..2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。
鸽巢原理（二）：古国把 多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，
n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中 至少放进了（k+1)个物体。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”第1题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
2、完成教材第71页练习十三的1-2题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
四、课堂检测：
1、 把98个苹果放到10个抽屉中， 无论怎么放， 我们一定能找到一个含苹果最
多的抽屉，它里面至少含有 个苹果。
2、1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，
它里面至少含有 只鸽子。
3、从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的
抽屉，从它里面至少拿出了 个苹果。
4、从 个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，
从它当中至少拿了7个苹果。
五、全课小结：
今天我们学习了什么内容？
把
n
个以上的苹果放 到
n
个抽屉中，无论怎样放，一定能找到一个抽屉，它里
面至少有两个苹果。

第2课时
“鸽巢问题”的应用

教学内容：教材第70-71页例3，及“做一做”的第2题， 及第71页练习十三的3-4
题。
教学目标：
1、知识与技能：在了解简单的“鸽 巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决
简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“ 鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的
学习兴趣，使学生 感受数学的魅力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原
理”进行反向推理。
教学准备：课件。
教学过程：
一、复习旧知：
什么是“鸽巢问题”？怎样用“鸽巢问题”解决简单的实际问题
二、探究新知
1、教学例3（课件出示例3的情境图）.
出示思考的问题：盒子里有同样大小的红 球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2
个同色的，少要摸出几个球？
学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。
（1）猜测验证。
 猜测1：只摸2个球 只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。
就能保证这2个球 验 证 如：这两个球正好是一红一蓝时就不能
同色。 满足条件。
 猜测2：摸出5个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为
肯定有2个球是同 验 证 5÷2=2...1，所以摸出5个球时，至少有3
色的。 个球是同色的，因此摸出5个球是没必要的。
 猜测1：摸出3个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为
至少有2个球是同 验 证 3÷2=1...1，所以摸出3个球时，至少有3
色的。 2个是同色的。

综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。
（2）分析推理。
根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2个球，分的无图个数失< br>少要比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了“要保证摸出
2个同色的 球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。因此，要从两种颜色的球中
保证摸出2个同色的，至少要 摸出3个球。
2、趁热打铁：箱子里有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证
其中一定有2个颜色一样的球？
学生独立思考解决问题，集体交流。
3、归纳总结：
运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法：
（1）分析题意；
（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。
（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。（学生独立解答，集体交流。）
2、完成教材第71页的练习十三的第3-4题。（学生独立解答，集体交流。）
3、课外拓 展延伸题：一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各8只。每次从布袋
里最少要拿出多少只可以保证其中 有2双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）
四、课堂检测：
1、六（1）班有49名学生。 数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人
外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学 至少有4人成绩相同。”请问王老
师说的对吗？为什么？
2、从
1,2,3,,1 00
这100个数中任意挑选出51个数来，证明在这51个数中，一定：
（1）有2个数互质； （2）有两个数的差为50；
3、圆周上有2000个点，在 其上任意地标上
0,1,2,,1999
（每一点只标一个数，不同
的点标上不同的 数）。求证：必然存在一点，与它紧相邻的；两个点和这点上所标的三
个数之和不小于2999。 4、有一批四种颜色的小旗,任意取出三面排成一行,表示各种信号.证明:在200个信
号中至少 有4个信号完全相同.
5、在3×7的方格表中，有11个白格，证明：
（1）若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格；
（2）只有一个白格的列至少有3列。

第3课时
“鸽巢原理”练习课

教学内容：教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。
教学目标：
1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简
单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验 、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问 题”解决简单的实际问题，激发学生的
学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重难点
重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
教学过程：
一、复习导入
二、指导练习
（一）基础练习题
1、填一填：
（1）光明小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有
（ ）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学
至少投进了（ ）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（ ）本书，
才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？
（2）书 籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本科技书。
一次至少要拿出多少本书？
（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不
少于6支？
（二）拓展延伸题
1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？

教师引导学生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球，
那么球的个数至少要比 抽屉数的（7-1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此
最多放进4个盒子里， 可以保证至少有1个盒子里有7个球。
教师引导学生规范解答：
2、一个袋子里装有红、黄 、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以保证每种颜
色至少有1只？
教师引导学生分析：假 设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续去；假设再取
5只，5只有全是黄的，这时再取一只一定是 蓝色的，这样取5×2+1=11（只）可以保证
每种颜色至少有1只。
教师引导学生规范解答：
3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最 低分是75。已知每
人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同学？
教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生可能得到的
不同分数有 100-745+1=26（种）。
教师引导学生规范解答：
三、巩固练习
完成教材第71页练习十三的5、6题。（学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。）
四、课堂检测：
1、一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时， 这篛
流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工
人中只 有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操
作方法称为一轮。问：最少 要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总
能工作？
2、在圆周上放着100个 筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两
个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码， 为什么？
3、试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结
果 是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多
少人？
4 、某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同
时开两次或更多的会议 。问：这个委员会的人数能够多于60人吗？为什么？
5、某此选举，有5名候选人，每人只能选其中 的一人或几人，至少有多少人参加
选举，才能保证有4人选票选的人相同？

自行车里的数学
教学内容：新人教版六年级下册P67
教学目标：
1、知识与技能：理解并掌握自行车“蹬一圈走多远”的计算方法，探索变速自行车的
速度与其 内在结构的关系。
2、过程与方法：引领学生经历“提出问题——分析问题——建立数学模型——解释 并
应用”基本过程，获得应用数学解决实际问题的思考方法。
3、情感态度与价值观：在自主 探究、合作交流的学习过程中获得良好的情感体验，增
强学生学好数学、用好数学的意识。
教学重点难点：运用所学知识解决实际问题。
教学过程：
一、情景导入
师：咱们班的同学有多少人会骑自行车啊？（大部分学生举手）
师：你们知道自行车里也含有 数学问题吗？老师准备了一俩自行车，谁能从中找出
我们学过的知识？（三角形的知识、圆的知识等）
师：其实自行车里还蕴含着更为丰富的数学知识，今天我们就一起探究自行车里的
数学。（板书 课题）
二、研究普通自行车的速度与内在结构的关系
师：大家知道自己的自行车蹬一圈能走多远吗？怎样解决这个问题呢？
生：可以直接测量。
师：课前我请几位同学对同一辆自行车蹬一圈所行的路程进行了独立测量，请他们
来汇报一下测 量结果。
生甲：我蹬一圈行了6.5米。
生乙：我行了5.7米。
生丙：我行了8.8米。
生：········
师：这些同学的测量结果差距很大 ，说明测量这种方法不太准确，误差很大。有没
有准确一些的方法呢？
生：计算。
师：怎么算？
生：看看蹬一圈，车轮转几圈，再用车轮转的圈数乘车轮的周长。
师：蹬一圈是谁转动了一圈？车轮转动的圈数实际是谁的圈数？
生分组操作，师注意引导，讨论交流后汇报。
（1）蹬一圈是指脚踏处的齿轮转一圈
（2）车轮转动的圈数实际是后齿轮转动的圈数
师：照这样分析，解决问题的关键是什么？
生:前齿轮转一圈，后齿轮转几圈.
师：怎样才能知道前齿轮转一圈时后齿轮转的圈数呢？
生：数一数。
师:我们就来数一数。
通过实践，学生发现数的圈数也不准确。 < br>师：有没有更准确的方法呢？大家注意观察，这两个齿轮通过链条连接在一起。前
齿轮转动一个齿 ，链条怎么动？后齿轮怎么动？（师慢慢转动前齿轮，生 观察、讨
论。）

生：前齿轮转动一个齿，链条移动一小节，带动后齿轮转动一个齿。
师：同学 们观察得很仔细。如果前齿轮转动2个齿，后齿轮怎么动？如果前齿轮转
动5个齿呢？10个齿呢？同学 们有没有发现什么规律？
生1：前后齿轮转动的齿数始终一样。
生2：我知道两个互相咬合 的齿轮，它们的齿数和转的圈数成反比例关系。自行车
的前后齿轮通过链条连接在一起，也相当于两个咬 合的齿轮。所以，前齿轮的齿数乘圈
数等于后齿轮的齿数乘圈数。
师：这位同学说的很好。根 据“前齿轮的齿数×它的圈数＝后齿轮的齿数×圈数”，
前齿轮转一圈时，后齿轮转的圈数怎样用算式表 示？
生说师板书：前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数
归纳解题思路：自行车蹬一圈走的距离=前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数×车轮的周
长
分组搜集数据，代入数学模型，求出答案。
汇报交流。
三、巩固练习
1、蹬一圈能走多远
前齿轮齿数：26
后齿轮齿数：16
车轮直径：66厘米
2、小英家离学校680米，她骑车上学大约要蹬多少圈？
四、研究变速自行车的问题
1、出示变速自行车的主要结构图：有2个前齿轮，6个后齿轮。
分组探究（1）能变化出多少种速度？
（2）蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？
师巡视并指导有困难的小组
2、汇报第一个问题：12种方案。
3、汇报第二个问题：当“前齿轮的齿数∶后齿轮的齿数”比值最大时，走得最远。
五、课堂检测：
1、一辆自行车的车轮直径是0.7米，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个 齿，蹬一圈
自行车前进多少米？
2、一辆前齿轮有28个齿，后齿轮有14个齿，蹬一圈自 行车前进5米。求自行车
的车轮直径。（保留两为小数）
3、一位自行车运动员在比赛时要经过各种路段，你觉得上坡时应怎样搭配前后齿
轮？
..

.