读书格言-幼儿教师心得体会

鸽 巢 原 理

教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
教学过程：
一、游戏激趣，初步体验
教师：同学们，在上新课之前，我们来做个“抢凳子”游戏怎么样？想参与这个游戏的请举手。叫举手的一男一女两个同学上台，然
后问，老师想叫三位同学玩这个 游戏，但是现在已有两个，你们说最
后一个是叫男生还是女生呢？同学们回答后，老师就说：“不管是男
生还是女生，总有二个同学的性别是一样的，你们同意吗？”
师：听清要求，老师说开始以后 ，请你们3个都坐在椅子上，每
个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那3个人。
通过三人“抢凳子”游戏得出不管怎样抢“总有一根凳子至少有
两个同学”。借机引入本节课的 重点“总有„„至少„„”。
教师：这类问题在数学上称为鸽巢问题。
(板书课题：鸽巢问题)
同学们，看见这个课题你想知道哪些知识？
“鸽巢问题 ”是怎样的？这里的“鸽巢”是指什么？运用“鸽巢
问题”能解决哪些问题？怎样运用“鸽巢问题”解决 问题？
教师：只要你细心地观察加上认真的思考，老师相信你一定会有
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重大的发现，那么久让我们带着这些问题一起走进这节课，
二、新课讲授
1.教师用投影仪展示例1的问题。
教师：把4支铅笔放到3个笔筒里，有哪些摆法？
现在分小组形式动手操作：把4支铅笔放进 3个笔筒中，看看能
有几种摆法？把你喜欢的方法记录下来。
学生汇报
教师：不 妨将这种放法记为（4,0,0）。〔板书：（4,0,0）〕教师提
出：（4，0，0）（0，4，0 ）（0，0，4,）为一种放法。
教师：除了这种放法，还有其他的方法吗？教师再指名汇报。学< br>生会有（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）四种不同的方法。
教师板书 。
教师:把把4枝笔放进3个笔筒里,不管怎么放,总有一个盒子里
至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么,我
们能不能找到一种更为直接的方法 ,只摆一种情况,也能得到这个结
论呢?
学生操作演示分法，明确这种分法其实就是“平均分”。
学生思考——组内交流——汇报
教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
学生会说:我们发现如果每个笔筒里放1枝铅 笔,最多放3枝,剩
下的1枝不管放进哪一个笔筒里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)
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教师:同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?
教师 进行总结：如果每个杯子里放1支铅笔，最多放3支，剩下
的1支不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒 里至少有2支铅笔。首
先通过平均分，余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有
一个 盒子里至少有2支铅笔”。这就是平均分的方法。
教师:这种分法,实际就是先怎么分的? 学生：平均分。
教师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)
学生汇报：要想发现存在 着“总有一个杯子里一定至少有2枝”,
先平均分,余下1枝,不管放在哪个笔筒里,一定会出现“总有 一个笔
筒里一定至少有2枝”。
这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?
教师:同意吗?那么把5枝笔放进4个笔筒里呢?(可以结合操作,
说一说)
教师:哪位同学能把你的想法汇报一下？
学生:(一边演示一边说)5枝铅笔放在4个笔筒 里,不管怎么放,
总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
教师:把6枝笔放进5个笔筒里呢?还用摆吗?
教师：把6支铅笔放到5个笔筒里呢？把7支铅笔放到6个笔筒
里呢？……你发现了什么？
引导学生得出“只要铅笔数比笔筒数多1，总有一个笔筒里至少
有2支铅笔”。
教师：上面各个问题，我们都采用了什么方法？
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引导学生通过观察比较得出“平均分”的方法。
2．初显身手。
教师：同学们刚才我们学习了这个结论久要学会去用，有没有信
心试试自己的能力?
1）、6支铅笔放进5个笔筒，得到什么结论？
2）、5个苹果放进2个盘子，得到什么结论？
3）、5本书放进3个抽屉，得到什么结论？
把5本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进
3本书。为什么？
先小组讨论，再汇报。
引导学生得出仿照例1“平均分”的方法得出“如果每个抽屉放
2本，剩下1本不管放在哪个抽屉里，都会变成3本，所以总有一个
抽屉里至少放进3本书。”
教师根据学生的回答板书：
6÷5=1……1 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进2本；
5÷2=2……1 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进2本；
5÷3=1……2 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进2本；
教师：观察上述算式和结论，你发现了什么？
学情预设：会有一些学生回答，至少数=商+余数 至少数=商+1）
根据学生回答，师边板书：至少数=商+余数？
至少数=商+1 ？
引导学生得出“物体数÷抽屉数=商数……余数”“至少数=商数
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+1”。
教师：同位之间再说一说，对这种方法的理解。
教师过渡语：同学们的这一发现，称为“鸽巢 问题”，最先是由
19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的，所以又称“狄利克雷原理”，
也称 为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
“鸽巢原理”的应用是千变万化的，用它 可以解决许多有趣的问题，
并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问
题。
三、巩固练习
让我们一起走进生活，相信你是最棒的！
1． 1、19只鸽子飞回4个鸽舍，至少有（ ）只鸽子飞回同
一个鸽舍里。
2．10封信投入3个信箱，至少有（ ）封信投入同一信箱。
3．我们班有74名同学，至少有（ ）人在同一个月出生。
4．随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
5.只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（ ）只鸽子飞回同一个鸽舍
里，为什么？
四、课堂小结
教师：通过这节课的学习，你有哪些新的收获呢？
我们学会了简单的鸽巢问题。
可以用画图的方法来帮助我们分析，也可
以用除法的意义来解答。
1.认知发展特征
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六年级学生的思维特点是他们的抽象思维还需要直观形象思维
的支撑。
2.起点水平分析
六年级学生有一定的操作能力以及知识的综合能力。
3.学习者学习风格
学生的认识已有感性认识上升到理性认识，他们能从现实情境中
抽出数学问题，进而解决问题时得出数学的方法，他们喜欢在操作实
验中获取知识，但思想不成熟，需 老师的指导。

本节课有以下四个特色：
1、创设情境，合理质疑。心理学研究表明 ：合理的质疑是学生思维
的起点，是学生学习的内驱力，它能使学生的探索欲望从潜伏状态迅
速 转入活跃状态。如果我们设计好教学中的提问，提出符合学生认知
水平和富有启发性的问题，就可以把学 生引入自主探索的学习状态中，
让学生明确探索的目标，激发强烈的探索欲望。在这节课中，什么样的情境能让学生在学习中自己去发现问题，提出问题呢？我从学生的
生活经验出发，把游戏作为切入 点，让学生在生动的情境中产生进一
步探究的欲望与需求。
2、自主探索，培养能力。《数 学课程标准》提出：数学教学应该是
从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的数学活
动和交流的机会，帮助他们在自主探索过程中真正理解和掌握基本的
数学知识与技能、数学思想 和方法，同时获得广泛的数学活动经验。
本节课，我创造机会，让学生各种感官都参与学习，让学生获得 丰富
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感性认识，使抽象知识具体化、形象化。整个操 作过程层次分明，人
人参与学习过程，降低了难度。这样处理，既培养了学生自主探索的
能力， 又让学生亲历分数基本性质的形成过程，那种柳暗花明又一村
的感觉是愉悦的、快乐的、幸福的，也是终 生难忘的。
3、关注学法，注重迁移。“学生是学习的主人，教师是数学学习的
组织者、引导 者和合作者。”教学中，我以学定教，留足时空，让学
生自主探索、合作探究。让学生通过独立思考、合 作交流，迁移性尝
试与应用，线条清晰，收放合理，层次分明，取得了很好的效果。
4、适时 评价，促进发展。《数学课程课标》指出：“对数学学习的
评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学 习的过程……帮助学生
认识自我，建立自信。”在我的激励性语言“真不错”“很好”“老
师欣 赏你”“太好了”“更精彩的发现肯定在后头”等等的调动下，
师生间真实的、融洽的情感互动此时此刻 达到高潮；我选择了学生互
评的方式，“其他组是不是赞成他们组的看法？”先让其他同学各抒
己见，再引导学生逐渐归纳出较为完整的规律。正是因为我在课堂中
的有效调动与适时有效的评价才让教 学获得了多向互动、动态生成的
可能与条件。
本节教材围绕着鸽巢问题的得出与应用，布置了 两道例题。通过
例1，概括出铅笔数比笔筒多一的问题的解决方法。只要物体的数量
比抽屉多， 那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。那么，这里的
“一定有一个抽屉”是什么意思？“至少两个物 体”是什么意思？“一
定有一个抽屉”是存在性；“至少两个物体”是可以多于两个物体，
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可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。通过例2，进一步学 习
运用平均分来解决稍复杂的鸽巢问题。
在例1的教学前，编排了一个让学生玩“抢凳子”的 游戏的切入
主题，使学生产生探究游戏背后的数学原理的强烈欲望。本例题描述
“抽屉原理”的 最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。
教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的 方法，罗列所有的
方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可
以是说理 的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。
剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会 有一个笔筒里有2支铅
笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。通过本例的教
学， 使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举
和假设，理解问题中关键词语“总有”和 “至少”的含义，形成对“抽
屉原理”的初步认识。
例2描述“抽屉原理”更为一般的形式， 教材首先探究把7本书
放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变
得越 来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，
对于学生来说是有困难的。这时需要学 生用到“反证法”这样一种思
想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，
可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放
到任意一个抽屉里即可，总有一个 抽屉里至少放进3本书。通过这样
的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。如果最后< br>得到的余数总是1，那么学生很容易得到一个错误的结论：总有一个
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抽屉里放进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。而实际上，这里
的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的
情况，这时候余数是2，可是最 后的结论还是“把8本书放进 3个抽
屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据，可以 让
学生得到一个更加正确的推论。
在教学中要注意的问题：第一，要让学生经历数学证明的过 程，
在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，
让学生去证明这种结 论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，
要有意识地培养学生的模型思想。因为“抽屉原理”在 生活中的变式
是多样的，比如让学生判断13个孩子中一定有两个人的生日在同一
个月份，…… 在解决这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是
抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生 把这些具体问题模型
化成一个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究
中理解 原理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4
支铅笔放到3个笔筒里），让学生在探究 的过程中，逐渐找到一般的
规律。第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历
这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。

1.初显身手。
（1）、6支铅笔放进5个笔筒，得到什么结论？
（2）、5个苹果放进2个盘子，得到什么结论？
（3）、5本书放进3个抽屉，得到什么结论？
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2.巩固练习
（1）． 1、19只鸽子飞回4个鸽舍，至少有（ ）只鸽子
飞回同一个鸽舍里。
（2）．10封信投入3个信箱，至少有（ ）封信投入同一
信箱。
（3）．我们班有74名同学，至少有（ ）人在同一个月出
生。
（4）．随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。
为什么？
（5）.只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（ ）只鸽子飞回同
一个鸽舍里，为什么？

《鸽巢问题》即鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基
本原理，最先是由德 国数学家狄利克雷明确提出来的，因此，也称为
狄利克雷原理。
为了方便研究，我先设置了几 个数量较小的同类问题。通过第一
个例题教学，介绍了较简单的“鸽巢问题”：只要物体数比鸽巢数多< br>1，总有一个鸽巢至少放进2个物体。它的意图让学生发现这样的一
种存在现象：不管怎样放，总 有一个笔筒至少放进2支笔。在这个过
程中呈现两种思维方法：一是枚举法，罗列了摆放的所有情况。二 是
假设法，用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过例题的两个
层次的探究，让学生理解 “平均分”的方法能保证“至少”的情况，
能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。
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第二个例题是在例1的基础上说明：只要物体数比鸽巢数多，总< br>有一个鸽巢里至少放进（商+1）个物体。因此我认为例2的目的是使
学生进一步理解“尽量平均 分”，并能用有余数的除法算式表示思维
的过程。
可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题，他 们在具体分得过程中，
都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些
学生 中很多只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至
少”的情况，他们并不理解。
鸽巢问题对于学生来说，比较抽象，特别是“不管怎么放，总有
一个筒里至少放进了2支笔。”这句话对 于学生而言，不仅说起来生
涩拗口，而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢？我觉得要让
学生充分的操作，一在具体操作中理解“总有”和“至少”；二在操
作中理解“平均分”是保证“至少” 的最好方法。通过操作，最直观
地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象，让学生理解这句话。< br>通过具体的操作，枚举所有的情况后，引导学生直接关注到每种分法
中数量最多的筒，理解“总有 一个筒里至少放进了2支笔”。让学生
初步经历“数学证明”的过程，训练学生的逻辑思维能力。其次， 充
分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。
学生是学习的主动者， 特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵
着学生去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。 所以我认
为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，
让学生初步经历 “数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。
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再者，适当把握教学要求。我们的教学不同奥数，因此在教学中不需
要求学生说理的严密性，也不需 要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物
体”。
对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的 基础上，从“至
少2支”得到“至少商+余数”个，再到得到“商+1”的结论。

“抽屉原理”来源于一个基本的数学事实。将三个苹果放到两只
抽屉里，要么在一只抽屉里放两个苹果， 而另一只抽屉里放一个苹果；
要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一只抽屉里不放。这两种情况可
用一句话概括：一定有一只抽屉里放入两个或两个以上的苹果。虽然
我们无法断定哪只抽屉里放入至少 两个苹果，但这并不影响结论。
“抽屉原理”是数学的重要原理之一，被广泛地应用于现实生活中。
由此可见，所谓“抽屉原理”，实际上是一种解决某种特定结构
的数学或生活问题的模型，体现 了一种数学的思想方法。让学生经历
将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外
部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是本单
元的编排意图和价值取向。


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