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第八单元 数学广角
一、教学内容
“数学广角”除了一年级上册没有外， 在其他年级都有安排，目的在于向学
生渗透一些重要的数学思想方法。在实验教材中整体编排是这样的：
册数
一下P88第八单元
二上P99第八单元
二下P115第九单元
三上P112第九单元
三下P108第九单元
四上P112第七单元
四下P117第八单元
五上P116第七单元
五下P134第七单元
六上P116第七单元
六下P81第五单元
内容
找规律
简单的排列组合 逻辑推理
找规律
排列组合
集合 等量代换
运筹学
植树问题
编码问题
找次品
鸡兔同笼问题
抽屉原理
在本册中安排的内容主要是向学生渗透有关植树问题的一些思想方法，通过
现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出它的数学模
型，然后再用发现的规律 来解决生活中的一些简单实际问题。
植树问题，是一种数学思想方法。在数学上实际上是设置等分点的 计算问题，
可以是知道总长和几个点求分成几段，也可是知道几段和每份的长度求总长。
教材 中安排了三个植树问题的典型问题：例1是探讨关于一条线段的植树问
题并且两端都要栽树的情况，让学 生先通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数
之间的关系，再用发现的规律解决实际问题。例2讨论的是 两端都不栽树的情形。
例3借助围棋盘来探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题。
例1
例2
例3
一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况。
两端都不栽的情形。
封闭曲线（方阵）中的植树问题。
相关的情节并不限于植树， 生活中的走楼梯，锯木头，插红旗，安路灯等问

题，都可以按照植树问题的数量关系和思 路解答。
二、教材编写特点及重难点
教材主要是通过简单的事例渗透重要的数学思想方法， 让学生在解决这些问
题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。并且让学生通过接触这些重要的数学
思想方法，经历猜想 、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇好
和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。 如本单元中通过生活中植树和围棋盘入手，引导学生在解决问题的分析、思
考过程中，逐步发现隐含 于不同情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体
验数学思想方法在解决实际问题中的应用。
教学重难点：
在探究活动中发现规律，抽取数学模型，并能够用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
三、教学目标
1、使学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法。
2、初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。
3、让学生感受 数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实
际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和 解决实际问题的能力。
四、教学建议：
1、本单元是让学生通过生活中的简单事例，初步体 会解决植树问题的思想
方法和它在解决实际问题中的应用。
2、教学时，应从实际问题入手， 引导学生在解决问题的过程中，逐步发现
隐含于其中的规律，经历抽取出数学模型的过程。
3、注意不要对例题进行过多的变式，增加问题的难度。
4、关于课时划分，可以三个例题各 一课时，练习二十为第四课时，也可以
把例1和例2放在同一课时里比较学习，再一起安排一课时的练习 课。
五、课时划分
本单元可以划分为4课时进行教学。
第一课时：P117例1 P118做一做

第二课时：P118例2 P119做一做
第三课时：P120例3 P121做一做
第四课时：P122、123练习二十



第一课时
1、教学内容：P117例1 P118做一做
2、教材分析及重难点
例1讨论的是在校园里的一条小路一边植树，需要多 少棵树苗的问题，这是
关于一条线段的植树问题。教材中给出问题：在全长100米的小路一边植树，每
隔5米栽一棵树，两端都要栽，一共需要多少棵树苗？让学生用不同的方法去解
决这个问题，并 在解决问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历
分析、思考问题的过程。
教材 用四幅图呈现出学生最可能出现的讨论过程，通过先用简单的除法解决
问题，再到画出线段图看看，让学 生在图中发现如果把路“平均分成了4段，但
要栽5棵树。”进而继续探索得出一个规律：两端都要栽树 时，栽树的棵数比间
隔数多1，即：棵数=间隔数+1。
做一做的内容与例1相同，只是这里 给出的是植树的棵数，要求的是首尾两
棵树之间的距离，也就是这条路的长度。教材希望通过例1的知道 路长求栽树的
棵数，做一做的知道树的棵数求长度，加深学生对本课中发现的规律的理解，学
会 进一步的应用。
教学重点：
理解植树问题的特征，应用规律解决问题。
教学难点：
植树问题基本规律的提炼和方法的应用。
3、教学目标
（1）、学会解决两端都种的植树问题。
（2）、培养学生用画线段图分析解决实际问题的能力。

（3）、培养学生运用数学解决实际问题的能力。
4、教学建议
关 于植树问题，学生可能在其他书上或者生活中有所接触和思考，可以说这
块内容学生的学习起点可能有较 大的差距。教学时，可以结合情境图出示问题，
先让学生独立思考，教师则了解多少学生会，多少学生不 会，把握学生的总体水
平，再选择合适的教学方法。可以教师先恰当点拔解决问题的方法，也可以先让< br>学生小组合作尝试解决，再集中点评。
活动中，教师应鼓励学生用不同的方法来解决问题，如有 的学生可以直接从
示意图中找到答案，或者由示意图发现规律。也有的学生可能有不同的验算方法，如果是栽20棵树，每两棵树相隔5米，通过图可以发现在有19个5米，也就是
说当栽20棵树时 ，这条路只有95米。这种方法同样也能发现问题，再去寻找解
决问题的规律。教学中只要学生的想法有 道理，都要给予鼓励，保护学生独立思
考的积极性。
做一做可以让学生直接应用例1 的发现的规律来解决，但需要学生逆向思
考。一共种了36棵，即有36－1=35个间隔，每个间隔是 6米，则路长35×6=210
米。活动时，也可以让学生先从简单的情况入手，如每隔6米种一棵对， 2棵之
间距离是多少？3棵呢？4棵呢？等等，使学生发现相距的长度和栽树的棵数之
间的关系 。



第二课时
1、教学内容：P118例2 P119做一做
2、教材分析及重难点
例2是在例1的基础上继续探讨关于一条线段的植树问题的另一种情况：两
端都不种。
教材呈现的是绿化队要在大象馆和猩猩馆之间的小路两旁栽树的问题，这里
需要学生考虑两个地方：一 是根据实际情况，这条路的两端分别是大象馆和猩猩
馆，不需要再栽树，它属于两端都不栽的情况。通过 探索可以得出一个规律：两

端都不栽树时，栽树的棵数比间隔数少1，即：棵数=间隔数 －1。二是“小路两
旁”，在计算出一边的棵树后，还要再乘以2，才是“一共要栽”的棵数。
做一做是帮助学生利用规律来解决生活中的实际问题。第1题和例1对应，
是两端都要栽树的情况。第 2题和例2对应，这是源于生活中的一个现实问题：
要把一根木头平均分成5段，需要锯几次？这虽然不 是植树，但是隐含的规律和
植树问题相同。
想一想是关于推理的问题。首先根据“3号在我（ 1号）前面”、“我（3号）
不是第1名”和“1号不是第4名”可知1号是第三名，3号是第二名；那 么4
号可能是第一名，也可能是第四名，再根据“我们的号码与名次都不相同”，可
知4号是第 一名，则2号是第四名。
教学重点：
理解植树问题的特征，应用规律解决问题。
教学难点：
植树问题基本规律的提炼和方法的应用。
3、教学目标
（1）、学会解决两端都种的植树问题。
（2）、培养学生用画线段图分析解决实际问题的能力。
（3）、培养学生运用数学解决实际问题的能力。
4、教学建议
从前面的 分析我们已经知道例1和例2是关于两端种不种树，一共要种几棵
的问题。因此在具体教学时，可以把这 两个例题放在一起教学，集中研究两端都
种的规律、两端都不种的规律和一端种另一端不种的规律。
设计简案：
（一）、初步感知
创设情景：20米长的一条路，在它的一边每隔5米种一棵，要种几棵树？
学生独立思考
汇报植树棵数
从不同的棵数展示学生不同的想法
（二）、发现规律

（1）情景拓展：通过改变种的距离及间距来感悟规律。
假如一条路有100米，在它的一边每隔5米种一棵，要种几棵？
假如一条路有200米，在它的一边每隔2米种一棵，要种几棵？
板书： 两端都种 两端都不种 一端种另一端不种
20米5米 5 3 4
100米5米 21 19 20
200米2米 101 99 100
（2）师生小结规律
回忆我们刚才的讨论情况，你发现了植树问题的什么规律？
同桌交流思考。
总结规律：总距离、棵数、间隔数之间的关系。
（三）、应用规律
（1）揭题：植树问题。
（2）想一想生活中有没有与今天学习的植树问题相似的现象？
同桌互相说一说。
反馈。
根据学生出示的现象，画出相应的点线图，解释其与植树问题的共同点。
（3）基本练习
一要长10米的木头，锯成每段2米的小段，要锯几次？
在长200米的公路两旁安装路灯（ 两端要安装），每隔50米安装一盏，一共
要安装多少盏路灯？
（4）变式练习
计 算总距离、间隔距离限定的总人数——间隔中插入同学的同学数——求队
伍总长——拉成圆形求总人数。
（四）、课堂总结

第三课时
1、教学内容：P120例3 P121做一做
2、教材分析及重难点
例3 是植树问题的另一种情况——关于一个封闭图形的植树问题。教材借助
围棋盘的最外层每边都能放19个 棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少棋子的
问题，介绍如何解决类似的植树问题。
教学时， 学生很容易会出现教材上的女孩子一样，认为每边放19个棋子，
最外层一共就是19×6=76个棋子 ，而忽略了角上的棋子算重复了。
在总结出规律后，会发现他其实与一端种另一端不种的植树问题是一样的：
棵数=间隔数。 < br>做一做第1题是例3的逆思考，给出总数求每边各个几名学生。第2题有两
种情况：5个角上都摆 ，则是最少需要15盆花；5个角上都不摆，则需要20盆
花。第3题与例3相同。
教学重点：
理解植树问题的特征，应用规律解决问题。
教学难点：
植树问题基本规律的提炼和方法的应用。
3、教学目标
（1）、通过观察、操作及 交流活动，探索并认识封闭线路上间隔排列中的简
单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之 中。
（2）、培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的能力。
（3）、让学生经历探索规律的过程，激发学生探索的欲望。
4、教学建议
本课内 容的探索性也比较强，教学时可以先让学生自己来探索，借助方格纸
来画一画图，或者是围棋盘学具来寻 找解决问题的方法。在教学过程中，教师应
注意对于学生出现的不同方法，只要合理正确，都应给予表扬 和鼓励，保护学生
独立思考解决问题的积极性，同时也要适时引导学生通过比较各种算法，学习、
吸收更好的解决问题的方法、思路和策略，逐步提高学生的思维水平。即“自由
发挥、解法多种、做好 优化。”

第四课时
1、教学内容：P122、123练习二十
2、教材分析及重难点
第1题是敲钟的 用时问题，与例1相似。大钟敲5下时，中间共有4个间隔，
所以每个间隔是8÷4=2秒。敲12下时 ，中间有11个间隔，所用时间是11×2=22
秒。
第2题、第3题、第5题也与例1相似。
第4题、第6题是探讨关于封闭曲线的植树问题，与例3相似。
第7题需要学生先找出几张桌 子坐几个人的规律。一张桌子是6人，两张桌
子时少坐了2人，三张桌子时少坐了4人，……可以总结出 规律：少的人数=（桌
子张数－1）×2，所以10张桌子能坐：10×6－（10－1）×2=42人 。第二个问
题是逆向思考。
教学重点：
理解植树问题的特征，应用规律解决问题。
教学难点：
植树问题基本规律的提炼和方法的应用。
3、教学目标
（1 ）、通过练习，进一步认识间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用
到解决简单实际问题中去。
（2）、能用不同的方法解决问题，提高学生的发散思维能力。
（3）、体验数学问题的探索性，感受成功的乐趣，增强学习的信心。
4、教学建议
第4题可以先从例1中发现的规律推广得到，把例1中的线段两个端点连
到一起，便 成了一条封闭曲线，而此时这两个植树点也合在了一起，所以植树的
棵树就是分出的间隔数。如果学生已 经比较熟悉了，也可以直接应用例3中得到
的规律。
第7题建议让学生尝试找出桌子张数和能坐人数之间的关系，通过活动总结

出规律。




教学实践与反思
1、理清教材脉络，灵活使用教材。
例1 一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况
例2? 两端都不栽的情形
例3 封闭曲线(方阵)中的植树问题
可以结合例1、例2一起教学，例3单独教学，可能教学效果会更好。
2、引导学生发现隐含于不同的植树问题中的规律，经历抽取出数学模型的
过程。
两端都种： 棵数=间隔数+1
一端种一端不种： 棵树=间隔数
两端都不种： 棵数=间隔数-1
3、数形结合
4、充分挖掘并整合教学资源，充实教学内容。

综合应用 小管家
教学内容分析：
小管家是在学生掌握了一些统计的知识基础上设计的。通过记录有里一周的< br>日常开支、绘制折线统计图等活动，一方面可使学生经历收集、整理和分析数据
的过程，巩固前面 所学的统计知识；另一方面还能让学生试着学习理财，合理安
排日常开支，感受到数学的实际应用，逐步 形成应用意识等。
活动目的：
1、通过记录家里一周的日常开支、绘制折线统计图等活动， 使学生经历收
集、整理和分析数据的过程，巩固前面所学的统计知识；
2、让学生试着学习理财，合理安排日常开支，感受数学的实际应用，逐步
形成应用意识等。
活动建议：
1．可结合折线统计图的教学进行。
2．在教学前，应指导学生进行数据的收集、整理工作。
3．对绘制折线统计图老师要给予指导。