湖南矮寨-重庆医科大学录取分数线

鸽巢问题
1. 教学目标
1.1 知识与技能：
1.初步了解“抽屉原理”， 会运用“抽屉原理”解决简单的实际
问题或解释相关的现象。
2.通过操作、观察、比较、推理等数学活动，引导学生理解并掌
握这一类“抽屉原理”的一般 规律。
1.2过程与方法 ：
经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，体会比
较的学习方法。
1.3 情感态度与价值观 ：
感受数学的魅力，提高学习数学的兴趣和应用意识，培养学习数
学的兴趣。
2. 教学重点难点
2.1 教学重点
经历抽屉原理的探究过程，理解抽屉原理，灵活运用抽屉原理解
决生活中的简单问题。
2.2 教学难点
理解“总有”、“至少”，构建“抽屉原理”的数学模型，并对
一 些简单的实际问题加以模型化。
3. 教学用具
多媒体课件，铅笔，笔筒，一副扑克牌
4. 教学过程
一、开门见山，引入课题

师：课前老师表演了一个魔术，其实，这里面蕴含了 一个重要的
数学原理——抽屉原理（板书：抽屉原理）。看到这个课题，你有
什么问题要问吗？
学生提出问题：什么是抽屉原理？怎样研究抽屉原理？抽屉原理
有什么用？等等。
师：同学们都很爱提问题，也很会提问题，这节课我们就带着这
些问题来研究。
二、自主探究，构建模型
1.教学例1，初步感知，体验方法，概括规律。
师：我 们先从简单的例子入手，请看，如果把4个小球放进3个
抽屉里，我可以肯定地说，不管怎么放，总有一 个抽屉里至少放2
个小球。
稍加停顿。
师： “总有”是什么意思？
生：一定有。
师：“至少放2个小球”你是怎样理解的？
生：最少放2个小球，也可以放3个、4个。
师：2个或比2个多，我们就说“至少放2个小球”。
师：老师说的这句话对吗？我们得需要 验证，怎么验证呢？华罗
庚说过不懂就画图，下面请同学们用圆形代替小球，用长方形代替
抽屉 ，画一画，看有几种不同的方法。也可以寻求其他的方法验
证，听明白了吗？开始吧！
学生活动，教师巡视指导。
汇报交流。
师：哪位同学愿意把你的方法分享给大家？

一生上前汇报。
生1：可以在第一个抽屉里放4个小球，其他两个抽屉空着。
师：这4个小球一定要放在第一个抽屉里吗？
生：不一定，也可以放在其他两个抽屉里。 < br>师：看来不管怎么放，总有一个抽屉里放进4个小球。这种放法
可以简单的记作4,0,0。不好 意思，接着介绍吧。
生：第二种方法是第一个抽屉里放3个小球，第二个抽屉里放1
个，第三 个抽屉空着，也就是3,1,0；第三种方法是2,2,0；第四种
方法是2,1,1。
（此环节可以先让一名学生汇报，其他学生补充、评价）
师：他找到了4种不同的方法，谁来评一评？
生2：他找的很全，并且排列的有序。
师：除了这4种放法，还有没有不同的放法？（没有）谢谢你的
精彩展示，请回。看来，把4个小球放 进3个抽屉里，就有这4种
不同的方法。同学们真不简单，一下子就找到了4种放法。
出示课件，展示4种方法。
师：请同学们仔细观察、分析每一种放法，对照老师的猜测，我< br>们凭什么就说“总有一个抽屉里至少放两个小球”呢？
生：第一种放法有一个抽屉里放4个，大 于2，符合至少2个，
第二种放法有一个抽屉里放3个，也大于2，符合至少2个，第三
种放法 有一个抽屉里放2个，符合至少2个，第四种放法有一个抽
屉里放2个，符合至少2个。所以，总有一个 抽屉里至少放两个小
球。
师：说得有理有据。谁愿意再解释解释？（再找一名学生解释） < br>师：原来呀！这两位同学关注的都是每种方法当中放的最——多
的抽屉，分别放了几个小球？（4 个、3个、2个、2个）最少放了

几个？（2个），最少2个，有的超过了2个，我们就 说至少2
个。确实，不管怎么放，我们都找到了这样的一个抽屉，里面至少
放2个小球。看来， 老师的猜测对不对？(对)是正确的！
师：刚才，同学们在研究的时候，采用了一一列举的方法（板< br>书：列举法），列举法是我们研究问题时常用的方法，它非常的直
观。除了像刚才这样，把所有的 放法都一一列举出来，还有什么方
法也能证明老师的猜测是正确的呢？有没有一种更直接的方法呢？ < br>生1：把小球分散地放，每个抽屉里先放1个小球？剩下的1个
小球任意放在其中的一个抽屉里， 这样总有一个抽屉里至少放了两
个小球。
生2：先把小球平均放，余下的1个小球不管放在哪 个抽屉里，
一定会出现总有一个抽屉里至少放了2个小球。
师：每个抽屉里先放1个小球，也就是我们以前学过的怎么分？
生：平均分。
师：为什么要先平均分？
生：先平均分，就能使每个抽屉里的小球放得均匀，都比较少，再把余下的1个小球任意放在其中的一个抽屉中，这样一定会出现
“总有一个抽屉至少放了2个小球 ”。
课件演示。
师：假设每个抽屉先放1个小球，余下的1个小球可以任意放在
其 中的一个抽屉里，这样就会发现，不管怎么放，总有一个抽屉至
少放2个小球。这种方法叫假设法。（板 书：假设法）它体现了平
均分的思想，你能不能把刚才平均分的过程用算式表示出来？
生：4÷3＝1……1,1+1＝2。
教师随机板书：4÷3＝1……1,1+1＝2
师：这两个“1”表示的意思一样吗？

生：不一样，第一个“1”表示每个抽 屉里分得的1个小球，第
二个“1”表示剩下的那个小球，可以放在任意一个抽屉里。
师：第 一个“1”就是先分得的1个小球，也就是除法中的商，
第二个“1”是剩下的1个小球，可以任意放在 其中的一个抽屉中。
瞧，用算式来表示多么地简洁明了。
师：同学们真聪明，用列举法和假设 法，都验证了老师的猜测是
正确的。对比这两种方法，假设法出现的这种的情况，其实就是列
举 法当中第几种放法所出现的情况？
生：第四种放法出现的情况。
师：你认为用列举法和假设法进行验证，哪种方法比较简便？为
什么？
生：假设法， 列举法需要把所有的情况都一一列举出来，假设法
只需要研究一种情况，并且可以用算式简明地表示出来 。
师：请同学们根据刚才的研究经验和方法，想一想，如果把5个
小球放进4个抽屉里，不管 怎么放，总有一个抽屉里至少放几个小
球？
生：2个，先往每个抽屉里放一个小球，这样还剩 下1个，剩下
的1个小球任意放在一个其中的一个抽屉里，这样，不管怎么放，
总有一个抽屉里 至少放2个小球。
生2：我是用算式表示的，5÷4＝1……1,1+1＝2，总有一个抽
屉至少放2个小球。
师：把6个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉里至少放几个小
球呢？
生：6÷5＝1……1,1+1＝2，还是总有一个抽屉里至少放2个小
球。
师：把7个小球放进6个抽屉里呢？
生：总有一个抽屉里至少放2个小球。

师：接着往后想，你能继续说吗？
生：把7个小球放进6个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里
至少放2个小球。
生：把8个小球放进7个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里
至少放2个小球。
师：咱们能说完吗？（不能）是不是有什么规律呢？你能概括地
说一说吗？
生1：小球个数和抽屉个数都依次增加1，总有一个抽屉里至少
放的小球个数都是2.
生2：当小球的个数比抽屉数多1时，不管怎么放，总有一个抽
屉里至少放2个小球。
师：你们真善于概括总结！
2.教学例2，深入研究，提升思维，构建模型。
师： 刚才我们研究了小球数比抽屉数多1时，总有一个抽屉至少
放2个小球，当小球数比抽屉数多2、多3， 甚至更多，又会出现什
么情况呢？想不想继续研究？（想）
师：我们在6个小球放进5个抽屉 的基础上继续研究，抽屉数不
变，小球的个数增加1，7个小球放进5个抽屉里，总有一个抽屉至
少放几个小球？
生1： 7÷5＝1……2，1+2＝3。
师：有不同意见吗？
生2： 7÷5＝1……2，1+1＝2。
师：出现了两种不同的声音，这两位同学都是用7 ÷5＝1……
2，不同点是一位同学认为是1+1＝2，另一位同学认为是1+2＝3。
到底哪 种想法正确呢？你能谈谈自己的意见吗？

生3：我赞同1+1＝2。因为余下的2个还 要分到不同的抽屉
里，所以总有一个抽屉至少放2个小球。
出示课件。
师：大家看 ，把7个小球放进5个抽屉，都同意每个抽屉先放1
个是吗？余下的2个怎么放？是一块儿放到一个抽屉 里，还是怎么
放呀？
生：把其中的1个小球放到任意一个抽屉里，再把另1个小球放
到和它不同的抽屉里。
师：你的意思是说，把这两个小球怎样放？（分开放）为什么要
分开放？
生：这样能 使每个抽屉里的小球都尽可能地少，一定会出现“总
有一个抽屉里至少放2个小球”。
师：是 呀！由于我们找的是“总有一个抽屉里至少放几个小
球”，所以应该把这2个小球分别放到不同的抽屉里 ，应该是什
么？（1+1＝2。）看来呀，先把小球平均分，再把余下的小球分开
放，这才是解 决此类问题的关键。
师：感谢刚才三位同学，给我们的课堂带来了不同的声音，使我
们的认识 越来越深刻，掌声送给他们！
师：抽屉数不变，再增加小球的个数，会出现什么情况？
生：8÷5＝1……3，1+1＝2，“总有一个抽屉里至少放2个小
球”。
师：小球数再增加1个。
生：9÷5＝1……4，1+1＝2，也是“总有一个抽屉里至少放2
个小球”。
师：总有一个抽屉里至少放的小球个数怎么还是3呀？

生：先往每个抽屉中放 1个小球，再把余下的4个小球任意放在
4个不同的抽屉里，这样“总有一个抽屉里至少放2个小球”， 所
以还是1+1＝2。
师：小球数再增加1个，（10÷5＝2）还用加1吗？（不用）
正好分完。
师：再增加1个。
生：11÷5＝2……1，2+1＝3，总有一个抽屉里至少放3个小
球。
师：刚才都是1+1，现在怎么变成2+1了？
生：抽屉数不变，小球数增加了，导致商变了 ，商变了，总有一
个抽屉里至少放的小球数也变了。
师：请同学们推想一下，小球个数是几的时候，总有一个抽屉里
至少放的小球个数还是3？
生：13,14,15。
如果学生出现不同的数，教师及时纠正。
师：同学们太聪 明了，这里面是不是有什么规律呢？请同学们认
真观察思考，总有一个抽屉里至少放的小球个数，我们是 怎么得到
的？
生：用小球的个数除以抽屉数，如果有余数，用商加1，如果没
有余数 ，总有一个抽屉至少放的小球个数等于商。
出示课件：把小球放进抽屉里，如果平均分后有剩余，那么 总有
一个抽屉里至少放“商+1”个；如果正好分完，总有一个抽屉里至
少放的小球个数等于商 。
师：其实，抽屉里不仅可以放小球，还可以放其他的物体呢？这
句话就变成了：把物体放进 抽屉里，如果平均分后有剩余，那么总
有一个抽屉里至少放“商+1”个；如果正好分完，总有一个抽屉 里
至少放的小球个数等于商。我们一起自豪地读一读。

师：其实，我们发现的 这个规律，就是这节课所要研究的“抽屉
原理”。它最早是由19世纪德国数学家狄里克雷提出来的，所 以这
个原理又叫“狄里克雷原理”。
三、运用模型，解释应用
1.鸽巢问题，沟通联系。
师：刚才我们是借助抽屉和小球来研究的，在有的国家是借助用
鸽子和鸽巢问题来研究的。
课件出示： 5只鸽子飞进3个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进几只
鸽子？
生：总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。
师：同学们在解决这个问题的时候，自觉不自觉地就把 5只鸽子
看成了什么？（5个小球）5个小球也可以叫做5个待分的物体，把
3个鸽巢看成了什 么？（3个抽屉）。瞧，鸽巢原理诞生了。
2.拓展应用，提升方法。
师：抽屉原理在生活中有着广泛的应用，这两个问题，你会解决
吗？
课件出示：
（1）把7支铅笔放进2个文具盒里，总有一个文具盒至少放几
支铅笔？
（2）把11枚硬币放进4个口袋里，总有一个口袋至少放几枚
硬币？
学生解决后，汇报交流。
师：刚才我们用抽屉原理解决了一些问题，这些问题统称为抽屉原理问题，解决该类问题的关键是找出什么是待分的物体，什么是
抽屉。抽屉原理就是解决该类问题 的一种方法或者叫做模型。
3.揭秘魔术，首尾照应。

师：还记得课前表演的魔术吗？你能利用抽屉原理揭秘课前的魔
术吗？
生：把5张牌看作5个待分的物体，把4种花色看作4个抽
屉，5÷4＝1……1，1+1＝2，所以 ，至少有2张牌是同一花色的。
师：你真会学习，利用抽屉原理帮助大家把课前的魔术揭秘了，
其实，老师并不懂得什么魔术，只是应用了抽屉原理。
课堂小结
1、回顾小结
鸽巢问题就是运用了抽屉原理来解决问题的，是与生活息息相
关的一类有趣的数学问题。实际 上都是同学们运用以前的知识就可
以解决的问题，遇到此类题目时我们可以从多个角度、
多个方面去思考。
2、畅谈收获
师：不知不觉，一节课即将结束，你有哪些收获呢？
学生从知识、方法、情感等方面畅谈收获，教师给予积极评价。
师：最后，老师给大家提个建议，回家以后，把今天学的抽屉原
理讲给爸爸妈妈听！
板书
鸽巢问题（1）
（4,0,0）,(0,1,3),(2,2,0),(2,1,1)
只要放进的小球数比抽屉的数量多1，总有一个抽屉至少放进2
个小球
7÷3=2……1 2＋1=3

要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b……c(c≠0,且c＜
n),
那么一定有一个抽屉至少可以放（b＋1）个物体。