黑龙江高考改革-教师个人发展计划

人教版六年级数学下册《数学广角—鸽巢问题（一）》
教学设计


教学内容：
人教版小学数学六年级下册教材第68～69页。
教材分析：
鸽巢问题又称抽屉原理或鞋盒原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一 ，从
这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几个直观的例子，借助实际操作，
向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模
型化”， 会用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。
学情分析：
“鸽巢问题”的理论本 身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应用
却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的 逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，
也缺乏思考的方向，很难找到切入点。
设计理念：
在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型思想，体会和 理解
数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《标准》的重要要
求，也是本课的编排意图和价值取向。
教学目标：
1、知识与技能：通过操作、观察、比较 、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单
的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际 问题。
2、过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将
具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。
3、情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学 的魅力，体会数学的价值，提高
学生解决问题的能力和兴趣。
教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。
教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。
教学准备：多媒体课件、小棒、塑料杯、扑克牌

教学过程：
一、游戏引入
向学生出示“刘谦表演扑克牌魔术”的图片，激发学生学习兴趣；出示扑克牌， 从里面
拿出大小王，先后各请5名同学到讲台上随意抽一张，老师就知道至少有2张牌是同样花色
的。
师问：老师是怎么知道这5位同学每人随意抽一张，至少有2张牌是同样花色的呢？为
本节课的学习做好铺垫。（板书课题）
二、合作探究：
1、利用多媒体课件出示例1 例1：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔.为
什么呢？请同 学们动手放一放，有几种放法？
请1名同学读题
（1）放一放
师：我们用小棒代替铅笔，每个小组都放一放，由组长负责记录。
学生合作探究，老师巡视指导。
请1名组长说出本组的摆放结果，学生说师板书。
师生共同总结：一共有4中摆放方法，分别是：4 0 0 3 1 0 2 2 0 2 1 1
（板书）
不管怎么放，总有一个杯子至少有两只小棒。
（2）算一算
我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆放一种情况，也能得到上面的结论呢 ？想一
想，可以小组内交流一下.
小组讨论交流，请一名同学上讲台演示。
引导学生运用平均分法。
师生共同总结：运用平均分法，可以得出算算式 ：4÷3=1……1 1+1=2（板书）；
不管怎么放，总有一个杯子至少有两只小棒。 2、课件出示例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本
书。为什么呢 ？
请1名同学读题
请同学们思考：这样分实际上是怎样在分？

请1名同学回答：平均分； 7÷3=2……1 2+1=3（板书）
让 学生思考：把8本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放几本？把10本书放进3个
抽屉，总有一个抽屉 至少放几本？
请学生回答计算方法。
8÷3=2……2 2+1=3（板书）
师：请同学们思考为什么是2+1而不是2+2呢？
引导学生总结得出：2+2=4表示剩余 的2本书全分到一个抽屉里面了，这样分不准确，
需要继续把余数2在平均分到2个抽屉里，应该是2+ 1=3而不应该是2+2=4，
请学生回答计算方法。
10÷3=3……1 3+1=4（板书）
启发引导学生总结得出：物体数÷鸽巢数=商数……余数 商数+1=至少数（板书）
请全班同学阅读：“你知道吗？”：最先发现这些规律的人是谁呢？他就是 德国数学家
“狄里克雷”，后来人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律，就把这个规律用他的< br>名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“鸽巢原理”，还把它叫做 “抽屉原理”。
三、游戏揭秘
由于扑克牌共有4种花色，5名同学每人抽一张，同学们思考一下，物体数是几？抽屉
数是几？
请全班同学回答。
5÷4=1……1 1+1=2 （板书）
四、知识运用
课件出示：
（一）11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
先让学生们自己看题，老师巡视中给学生读题。
小组讨论交流，请1名同学回答问题。
得出：11÷4=2……3 2+1=3（板书）
（二） 5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
请1名同学读题。
小组讨论交流，请1名同学回答问题。
得出：5÷4=1……1 1+1=2 （板书）
（三）随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？

请1名同学读题。
小组讨论交流，请1名同学回答问题。
得出：13÷12=1……1 1+1=2 （板书）
四、分享收获：
1、鸽巢原理也叫作抽屉原理；
2、列举法；平均分法；
3、 物体数÷抽屉数=商数……余数
至少数=商数+1
五、布置作业：第71页练习十三，第2题、第3题。
板书设计：


人教版六年级数学下册《数学广角—鸽巢问题（一）》
学情分析

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽巢问题”的应
用却是千变万化 的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困
难，也缺乏思考的方向，很难 找到切入点。所以，在教学中，让学生经历将具体问题“数学
化”的过程，初步形成模型思想，体会和理 解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、
推理能力和应用能力，这是本课的编排意图和价值取向。

人教版六年级数学下册《数学广角—鸽巢问题（一）》
效果分析

本节课，我按照教学设计，通过猜扑克牌花色游戏导入，吸引了同学们的眼球 ，激发了
学生的学习兴趣，引发了学生的探究激情。在教学过程中，根据新课改的要求充分发挥学生的主观能动性，放手学生又有效调控课堂。例如：利用小棒代替铅笔，杯子代替笔筒，让学
生小组合 作动手操作把4根小棒铅笔放进3个杯子里，使学生经历了一个初步的数学证明过
程，培养了学生的推理 能力和初步的逻辑思维能力，让孩子们讨论：“还有没有更简便的方
法？”并邀请学生上台演示，引导学 生总结出“平均分”的方法，继而让学生在探究例2
的过程中，最大限度的调动了学生学习的积极性，总 结出了“物体数÷抽屉数=商数……余
数，至少数=商数+1”。通过“游戏揭秘”和“知识应用”的环 节，进一步活跃了课堂气氛，
开拓了学生思维，有效的渗透“数学来源于生活，又还原于生活”的理念， 是全班同学掌握
本节课的教学重点，突破了教学难点，实现了本节课的教学目标。


人教版六年级数学下册《数学广角—鸽巢问题（一）》
教材分析

“鸽巢 原理”又称为“抽屉原理”，它来源于一个基本的数学事实，是组合数学中最简
单也是最基本的原理之一 ，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。它也被广泛地应用
于现实生活中，如招生录取、就业安排 、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含
在其中的“抽屉原理”。可以表述为：把多于 (是 正整数)个元素按任一确定的方式分成个
集合，那么一定有一个集合中至少含有（+1）个元素。“抽屉 原理”是数学的重要原理之一，
在数论、集合论和组合论中有很多应用。它也被广泛地应用于现实生活中 ，如招生录取、就
业安排、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含在其中的“抽屉原理”。
由此可见，所谓“抽屉原理”，实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模
型，体现 了一种数学的思想方法。让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，
体会和理解数学与外 部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《义务
教育数学课程标准（2011年版 ）》的重要要求，也是本单元的编排意图和价值取向。
教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式： 第一种，只要物体的数量比抽屉多，那
么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。那么，这里的“一定有一 个抽屉”是什么意思？

“至少两个物体”是什么意思？“一定有一个抽屉”是存在性；“ 至少两个物体”是可以多
于两个物体，可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。第二种，即是“把多 于kn（k
是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。若k为1，就是
第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。第三种情况是把无限多个物体（如
红球 、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个
物体（至少2个同 色的球）。
在例题的教学前，编排了一个给学生表现“魔术”的主题情境，使学生产生探究魔术背后的数学原理的强烈欲望。
本课时带领学生们探究例1和例2 ：
例1：本例描述“抽 屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。
教材呈现了两种思考方法：第一种方法 是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的
方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说 理的方式，先放3支，在每个笔筒里放
1支，这时剩下1支，剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都 会有一个笔筒里有2支铅
笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。
通过本例的教 学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──列举法和
平均分法，理解问题中关键词语 “总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认
识。
例2：本例描述“抽屉原理” 更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分
放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了 至少（+1）个物体”。教材首先探究把7
本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形 。当数据变得越来越大时，如
果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难 的。这时需要学
生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放 6
本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉
里 即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”
的这样一个过 程。在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。在过去，
由于数据的问题，学生会 得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余
数总是1，那么学生很容易得到一个错 误的结论：总有一个抽屉里放进“商+余数”本书（因
为余数正好是1）。而实际上，这里的结论应该是 “商+1”本书，所以教材在这里呈现了8
除以3余2的情况，这时候余数是2，可是最后的结论还是“ 把8本书放进 3个抽屉里，总
有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据方面的调整，可以让学 生得到一个更加正

确的推论。
在教学中要注意的问题：第一，要让学生经历数 学证明的过程，在这里不是让学生计算
抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种 结论的正确性，这就是一
种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。因为“抽屉原理” 在生活中的
变式是多样的，比如让学生判断13个老师中一定有两个人的生日在同一个月份……在解决< br>这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，
让学生 把这些具体问题模型化成一个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主
探究中理解原理，将 具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4支铅笔放到3个
笔筒里），让学生在探究的过程中 ，逐渐找到一般的规律。第四，恰当保持教学要求，因为
数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的 感悟，在评价上不做特别高的要求。
教材例1和例2的教学重点是：理解鸽巢原理，掌握先“平均分” ，再调整的方法；教
学难点是：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。

人教版六年级数学下册《数学广角—鸽巢问题（一）》
评测练习

一、游戏揭秘
由于扑克牌共有4种花色，5名同学每人抽一张，同学们思考一下，物体数是几？抽屉
数是几？
二、知识运用
课件出示：
（一）11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
（二） 5个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
（三）随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？

人教版六年级数学下册《数学广角—鸽巢问题（一）》
课后反思

鸽巢原 理是一个重要而又基本的数学原理，通过本课教学向学生介绍了鸽巢原理的由来，

并通过 对一些简单实际问题进行模型化地研究，使学生理解鸽巢原理。掌握一些研究问题的
方法，达到会证明生 活中的某些现象，会解决生活中的某些问题的目的。
我在本节课教学时主要分以下几个层次：
一、游戏引入，巧设悬念
课的开始我通过课件出示了1张魔术师刘谦表演扑克牌的照片，继而 我又为孩子们表演
了魔术：用一副牌，从中取出大小王，分两次共请了十名“小嘉宾”上台配合表演，两 次表
演，我都猜测“这5名同学中至少有2名同学手中的牌的花色是相同的”，让学生思考为什
么老师两次都能猜对呢？这一层次的设计主要作用有三点：一是使教师和学生进行自然的沟
通交流；二是 调动和激发学生学习的主动性和探究欲望；三是为今天的探究埋下伏笔，初步
理解“至少”的含义。
二、合作探究，建立模型
引导学生从简单的情况开始研究，渗透“建模”思想。通过学生独立 证明、小组交流、
汇报展示，使学生相互学习解决问题的不同方法。通过说理，沟通比较不同的方法，让 学生
理解：为什么只研究一种方法（平均分的思路）就能断定一定有“至少2只笔放进同一个笔
筒中”这个过程主要解决对“至少”、“总有”“平均分”这些词的理解。再通过学习例2，
利用平均分 法法继续发现规律，在这个过程中抽象出算式，并在观察比较中全面概括、总结
抽屉原理，建立起此类问 题的模型。
三、鸽巢原理的由来
数学小知识鸽巢原理、抽屉原理的由来，利用课间呈现“你 知道吗”的方式，向学生介
绍了德国数学家——“狄里克雷”和他的“抽屉原理”。使学生感受到我们本 课所发现的规
律和150多年前科学家发现的一模一样，增加探究的成就感。同时了解到鸽巢原理最初的 模
型和在生活中的广泛应用，增加一些数学文化气息。
四、解决问题
通过对本节课 开始时的“游戏揭秘”和“知识应用”，开阔学生视野，回归自然，回归
生活，通过不同类型题的设计， 让学生灵活运用此原理解释生活中的鸽巢问题。


人教版六年级数学下册《数学广角—鸽巢问题（一）》
课标分析

一、课标要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的 “第二学段”中提出：“会
独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中 ，发展合情推
理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合
作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。
《义务教育数学课程标准（2011年 版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探
索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情 境，体验发现和提出问题、分析和解决
问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法， 了解所学知识之间的联系，
获得数学活动经验”。
二、单元课标解读
（一）让学生初步经历“数学证明”的过程
在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严 格证明。在小学阶段，虽然并不需要
学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但 仍可引导学生用直观的
方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。例如在教学例3时，教师在呈现 问题后，
可以让学生猜一猜，有学生会猜2个球，有学生会猜5个球，也有学生会猜对。此时教师可以提出让学生自己用画一画、写一写等方法来说明理由。结合学生个性化的表达，教师可展
示分析解 答过程，通过分析逐步消除学生的各种错误认识，让学生形成对这类问题中抽屉的
模型结构的初步感知。 在得出答案后，应向学生提出运用“抽屉原理”来思考这个问题的要
求，并根据学生学习的具体情况引导 学生进行如下思考：把两种颜色看成两个抽屉，要保证
有一个抽屉至少有2个同色球，分的物体个数至少 要比抽屉数多1，所以至少要摸出3个球。
在此基础上，总结解决问题的一般的思考方法：把什么看成“ 抽屉”，“抽屉”有几个，怎
么用“抽屉原理”来思考解决问题的方法。
显然，教学的过程就 是教师鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。
实际上，通过“说理”的方式来理解 “抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这
样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力， 为以后学习较为严密的数学证明做准备。
（二）要有意识地培养学生的“模型思想”
本单元 讲的“鸽巢问题”，实际就是一个“抽屉原理”问题。“抽屉问题”的变式很多，
应用更具灵活性。当我 们面对一个具体的问题时，能否将这个具体问题与“抽屉问题”联系
起来，能否找到该问题中的具体情境 和“抽屉问题”的一般化模型之间的内在关系，能否找
出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉 ”，是能否解决该问题的关键因素。因此，

教师教学时，要引导学生先判断某个问题是否 属于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可
以，再思考如何寻找隐藏在其背后的 “抽屉问题”的一般 化模型。这个过程，实际上是学
生经历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中寻找本质的 数学模型的过程。
这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力，尤其可增强学生对“模型思想”的体 验，
增强运用能力。
三、本课时教学目标：
知识与技能：通过操作、观察、比较、 推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽
巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问 题。
过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体
问 题数学化的过程，培养学生的模型思想。
情感态度与价值观：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的 魅力，体会数学的价值，
提高学生解决问题的能力和兴趣。