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(5)2015新人教版六年级下册第五单元《数学广角-
鸽巢问题》教学设计

第五单元 数学广角——鸽巢问题

单元要点分析
一、单元教材分析：
本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思
想方法。和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教
材通过几个直观例子，借助 实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在
理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的 实际问题加以“模
型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”
有 关的问题。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是
可以了，并不需要指出是哪个物 体（或人）。这类问题依据的理论我们称之
为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家 狄利克雷运用
于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。
“鸽巢 问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。但“鸽巢问
题”的应用却是千变万化的，用它可 以解决许多有趣的问题，并且常常能得
到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组 合论中都
得到了广泛的应用。
二、单元三维目标导向：
1、知识与技能： （1）引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，
经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原 理”的含义，会用“鸽巢
原理”解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢 原理”的学习过程，体验观察、猜
测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数
学、用数学的乐趣。（2）理解知 识的产生过程，受到历史唯物注意的教
育。（3）感受数学在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新 知的良好
品质。
三、单元教学重难点

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重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成
“鸽巢问题”。 难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门
进行反复推理。
四、单元学情分析
“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到
此类问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以
解决的范畴。能不能将
这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所
以，在教学中，应有意 识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。六
年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能 够掌握本章内容的程
度。教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原
理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
五、教法和学法
1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、
实物操作或画草图的方式进行“说 理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原
理”的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于提 高学生的逻
辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。
2、有意识地培养学生的 “模型”思想。当我们面对一个具体的问题
时，能否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到 该问题中的具
体情境与“鸽巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系，找出该问题中什
么是“ 待分的东西”，什么是“鸽巢”，是解决问题的关键。教学时，要引
导学生先判断某个问题是否属于用“ 鸽巢原理”可以解决的范畴；再思考如
何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程是学生 经历将具
体问题“数学化”的过程，从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模
型，是学生数 学思维和能力的重要体现。
3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应
用广泛且灵活多变。因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一
些困难。例如，有时 要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，
即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”，要 用几个“鸽巢”。因此，
教学时，不必过于要求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验
证。

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六、单元课时划分：本单元计划课时数：6课时
鸽巢问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1课时
“鸽巢问题”的具体应用„„„„„„„„„„„„„1课时
练习课„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1课时
单元测评„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2课时
试卷讲评„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1课时
第五单元 数学广角——鸽巢问题
第一课时
课 题：鸽巢问题
教学内容：教材第68-70页例1、例2，及“做一做”的第1题，及第
71页练习十三的1-2题。
教学目标：
1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学 习过程，体验观察、猜
测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情 感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，
激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的 魅力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
教学准备：课件。
教学过程：

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一、情境导入：
二、探究新知：
.(课件出示例题1情境图）
思考问题：把4支铅笔 放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里
至少有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么 意思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问
题”的学习过程来解决问题。
(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管
怎么放，总有1鸽 笔筒里至少有2支铅笔。
(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个
笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
(3)探究证明。
方法一：用“枚举法”证明。
方法二：用“分解法”证明。
把4分解成3个数。
由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种
情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。
方法三：用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论
怎么放，总有1个笔筒里至少放进 2只铅笔。
（4）认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉 问题”。在这里，4支
铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个
“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子
放进3个笼子，总有1个笼 子里至少有2只鸽子。

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这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指
的是最少，即在所有方法中，放的 鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”
的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2
支铅笔。 如果放的铅笔数比笔筒 的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2
支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒里 至少放2只
铅笔……
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支
铅笔。
（5）归纳总结：
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是
非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。
2、教学例2(课件出示例题2情境图）
思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放， 总有1个抽屉
里至少有3本书。为什么呢？（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。
（1）探究证明。
方法一：用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情
况：
由图可知，每种 情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是
每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉 至少放进3本书。
方法二：用假设法证明。
把7本书平均分成3份，7÷3=2（ 本）......1（本），若每个抽屉放
2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉 中，那么这个
抽屉里就有3本书。

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（2）得出结论。
通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，
总有1个抽屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。
（1）用假设法分析。
（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉
中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么
放，总有1个抽屉里至少放进 3本书。
（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎
么放，总有 1个抽屉里至少放进4本书。
（2）归纳总结：
综合上面两种情况，要把a本书放 进3个抽屉里，如果a÷3=b
（本）......1（本）或a÷3=b（本）......2（本） ，那么一定有1个抽
屉里至少放进（b+1）本书。
鸽巢原理（二）：古国把多与kn个 的物体任意分别放进n个空抽屉（k
是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了 （k+1)
个物体。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”第1题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
2、完成教材第71页练习十三的1-2题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
四、课堂总结
板书设计：
鸽巢问题

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思考方法：
枚举法、分解法、假设法
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是
非零自然数）
鸽 巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k
是正整数，n是非0的自然数）， 那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)
个物体。
教学反思：

第五单元 数学广角——鸽巢问题
第二课时
课 题：“鸽巢问题”的具体应用
教学内容：教材第70-71页例3，及“做一做”的第2题，及第71页
练习十三的3-4题。
教学目标：
1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用
此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜
测、实验、推理等活动 的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实 际问题，
激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利
用“鸽巢原理”进行反向推理。

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教学准备：课件。
教学过程：
一．情境导入

二、探究新知
1、教学例3（课件出示例3的情境图）.
出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各4 个，要想摸出的
球一定有2个同色的，少要摸出几个球？
学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。
（1）猜测验证。
猜测1：只摸2个球 就能保证这2个球 验 证 如：这两个球正好
是一红一蓝时就不能 同色。
猜测2：摸出5 肯定有2个球是同 验 证 ÷2=2...1，所以摸出5
个球时，至少有3 色的。 ：摸出3 至少有2个球是同 3÷2=1...1，
所以摸出3个球时，至少有3 色的。 2个是同色的。
综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。
（2）分析推理。
根据“鸽巢原 理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2个球，分的
无图个数失少要比抽屉数多1。现在把“颜色种 数”看作“抽屉数”，结论
就变成了“要保证摸出2个同色的球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多< br>1”。因此，要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的，至少要摸出3个
球。
2、 趁热打铁：箱子里有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个
球才能保证其中一定有2个颜色一样的 球？
学生独立思考解决问题，集体交流。

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3、归纳总结：
运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法：
（1）分析题意；
（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽
子”。
（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。（学生独立解答，集体交
流。）
2、完成教材第71页的练习十三的第3-4题。（学生独立解答，集体交
流。）
3、课 外拓展延伸题：一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各8只。
每次从布袋里最少要拿出多少只可以保证 其中有2双颜色不同的袜子？（袜
子不分左右）
四、课堂总结
板书设计：
鸽巢问题
每个抽屉里放入的物品数
↓
1 × 2 ＋ 1 ＝3（个）
↑
抽屉数教学反思：

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第五单元 数学广角——鸽巢问题
第三课时
课 题：练习课
教学内容：教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。
教学目标：
1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”
熟练解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜
测、实验、推理等活动 的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实 际问题，
激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重难点
重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成
“鸽巢问题”。 难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门
进行反复推理。
教学准备：课件。
教学过程：
一、复习导入
二、指导练习
（一）基础练习题
1、填一填：
（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，
六年级至少有（ ）名学生的生日是在二月份的同一天。

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（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定
有1个同学至少投进了（ ）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有
（ ）本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个
月出生的？
（2 ）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出
2本科技书。一次至少要拿出多少本书 ？
（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒
里的铅笔不少于6支？
（二）拓展延伸题
1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个
球？
教师引导学 生分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少
有7个球，那么球的个数至少要比抽屉数的（ 7-1）倍多1个，而（27-1）
÷（7-1）=4...2，因此最多放进4个盒子里，可以保证至 少有1个盒子里
有7个球。
教师引导学生规范解答：
2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以
保证每种颜色至少有1只？
教师引导学生分析：假设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续
去；假设再取5只，5 只有全是黄的，这时再取一只一定是蓝色的，这样取
5×2+1=11（只）可以保证每种颜色至少有1 只。

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教师引导学生规范解答：
3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最低分 是
75。已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班
至少有多少名同 学？
教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生
可能得到的 不同分数有100-745+1=26（种）。
教师引导学生规范解答：
三、巩固练习
完成教材第71页练习十三的5、6题。（学生独立思考解答问题，集体
交流、纠正。）
四、课堂总结
板书设计：教学反思：

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