盲人摸象-长沙专科学校排名

第五单元 数学广角——鸽巢问题
单元要点分析
一、单元教材分析：
本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。和
以往的义务教 育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几个直观例子，
借助实际操作，向学生介绍“鸽 巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的
基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”， 会用“鸽巢问题”加以解决。在数学
问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问题中，只需要确 定某个物体（或某
个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。这类问题依据的理论我
们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解
决数学问 题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的
理论本身并不复杂，甚至可 以说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，
用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能 得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问
题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。
二、单元三维目标导向：
1、知识与技能：（1）引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活 动，经历探究“鸽
巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问
题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密 联系，体验学数学、用数学的
乐趣。（2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。（3）感受 数学在实际生
活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。
三、单元教学重难点
重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
四、单元学情分析
“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。
教学时，要引 导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将

这个问题同“鸽 巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应
有意识地让学生理解“鸽巢原理” 的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能
力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材 选取的是学生熟悉的，易于理解的
生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思 维能力和解决实
际问题的能力。
五、教法和学法
1、让学生经历“数学证明”的过 程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或
画草图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“ 鸽巢原理”的过程是一种数学
证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学 习较严密的
数学证明做准备。
2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的 问题时，能否将这
个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的
“一般化模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，
是解 决问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以
解决的范畴；再思考如 何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。这个过程是学
生经历将具体问题“数学化”的过程，从 纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，
是学生数学思维和能力的重要体现。
3、要适 当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵
活多变。因此，用“鸽巢原理” 解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要
找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易 ，即使找到了，也很难确定用什么作
为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必过于要求学生 “说理”的严密性，
只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓励学生借助实物操作等直观方 式
进行猜测、验证。
六、单元课时划分：本单元计划课时数：6课时
鸽巢问题…………………………………………………1课时
“鸽巢问题”的具体应用…………………………………1课时
练习课……………………………………………………1课时
单元测评………………………………………………… 2课时
试卷讲评………………………………………………… 1课时

第五单元 数学广角——鸽巢问题
第一课时

课 题：鸽巢问题
教学内 容：教材第68-70页例1、例2，及“做一做”的第1题，及第71页练习十
三的1-2题。
教学目标：
1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学
会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验 观察、猜测、实验、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观 ：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的
学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
教学准备：课件。
教学过程：
一、情境导入：
二、探究新知：
1.教学例1.(课件出示例题1情境图） 思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支
铅笔。为什么呢？ “总有”和“至少”是什么意思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢 问题”的学习
过程来解决问题。
(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以 发现：不管怎么放，总
有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。
(2)理解关键词的含义：“总有”和 “至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管
怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
(3)探究证明。
方法一：用“枚举法”证明。
方法二：用“分解法”证明。

把4分解成3个数。
由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中 情况，每一种情况分得的
3个数中，至少有1个数是不小于2的数。
方法三：用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中 ，无论怎么放，总
有1个笔筒里至少放进2只铅笔。
（4）认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分
放的物体，就相当于4 只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，
把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是 把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至
少有2只鸽子。
这里的“总有”指的是“一定有 ”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，
即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子 “最少”的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 < br>如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放
的铅笔比笔筒的 数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔……
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。
（5）归纳总结：
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非 零自然
数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。
2、教学例2(课件出示例题2情境图）
思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有 1个抽屉里至少有3
本书。为什么呢？（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。
（1）探究证明。
方法一：用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：
由图可知，每种情况 分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中
最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少 放进3本书。
方法二：用假设法证明。

把7本书平均分成3份，7÷3=2 （本）......1（本），若每个抽屉放2本，则还剩
1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽 屉中，那么这个抽屉里就有3本书。
（2）得出结论。
通过以上两种方法都可以发现：7本 书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽
屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。
（1）用假设法分析。
8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个
抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放
进3本书。 10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1
个 抽屉里至少放进4本书。
（2）归纳总结：
综合上面两种情况，要把a本书放进 3个抽屉里，如果a÷3=b（本）......1（本）
或a÷3=b（本）......2（本）， 那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。
鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物 体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，
n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k +1)个物体。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”第1题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
2、完成教材第71页练习十三的1-2题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
四、课堂总结
板书设计：
鸽巢问题
思考方法：
枚举法、分解法、假设法
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自
然数）
鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非 0
的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。

教学反思：







第五单元 数学广角——鸽巢问题
第二课时

课 题：“鸽巢问题”的具体应用
教学内容：教材第70-71页例3，及“做一做”的第2题，及第71 页练习十三的
3-4题。
教学目标：
1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理” 的基础上，使学生学会用此原理解决
简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理 ”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、 情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的
学习兴趣，使学生感受数学 的魅力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点： 找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原
理”进行反向推理。
教学准备：课件。
教学过程：
一．情境导入


二、探究新知

1、教学例3（课件出示例3的情境图）.
出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2
个同色的，少要摸出几 个球？
学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。
（1）猜测验证。
 猜测1：只摸2个球 只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。
就能保证这2个球 验 证 如：这两个球正好是一红一蓝时就不能
同色。 满足条件。
 猜测2：摸出5个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为
肯定有2个球是同 验 证 5÷2=2...1，所以摸出5个球时，至少有3
色的。 个球是同色的，因此摸出5个球是没必要的。
 猜测1：摸出3个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为
至少有2个球是同 验 证 3÷2=1...1，所以摸出3个球时，至少有3
色的。 2个是同色的。
综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。
（2）分析推理。
根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2个球，分的无图个数失< br>少要比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了“要保证摸出
2个同色的 球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。因此，要从两种颜色的球中
保证摸出2个同色的，至少要 摸出3个球。
2、趁热打铁：箱子里有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个球才能保证
其中一定有2个颜色一样的球？
学生独立思考解决问题，集体交流。
3、归纳总结：
运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法：
（1）分析题意；
（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。
（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。（学生独立解答，集体交流。）
2、完成教材第71页的练习十三的第3-4题。（学生独立解答，集体交流。）

3、课外拓展延伸题：一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各8只。每次从布袋
里最少要拿出多少 只可以保证其中有2双颜色不同的袜子？（袜子不分左右）
四、课堂总结
板书设计：
鸽巢问题
每个抽屉里放入的物品数
↓
1 × 2 ＋ 1 ＝3（个）
↑
抽屉数


教学反思：






第五单元 数学广角——鸽巢问题
第三课时

课 题：练习课
教学内容：教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。
教学目标： < br>1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解决简
单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推
理等活动的学 习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题， 激发学生的
学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重难点

重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
教学准备：课件。
教学过程：
一、复习导入
二、指导练习
（一）基础练习题
1、填一填：
（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级至少有
（ ）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1个同学
至少投进了（ ）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（ ）本书，
才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生的？
（2）书 籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本科技书。
一次至少要拿出多少本书？
（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的铅笔不
少于6支？
（二）拓展延伸题
1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？
教师引导学生分 析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7个球，
那么球的个数至少要比抽屉数的（7- 1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）=4...2，因此
最多放进4个盒子里，可以保证至少有 1个盒子里有7个球。
教师引导学生规范解答：
2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只 ，一次至少取出多少只可以保证每种颜
色至少有1只？

教师引导学生分析：假 设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续去；假设再取
5只，5只有全是黄的，这时再取一只一定是 蓝色的，这样取5×2+1=11（只）可以保证
每种颜色至少有1只。
教师引导学生规范解答：
3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最 低分是75。已知每
人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班至少有多少名同学？
教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生可能得到的
不同分数有 100-745+1=26（种）。
教师引导学生规范解答：
三、巩固练习
完成教材第71页练习十三的5、6题。（学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。）
四、课堂总结
板书设计：
新

教学反思：