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第五单元 数学广角——鸽巢问题
单元要点分析
一、单元教材分析：
本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方
法。和以往的义务教 育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几
个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽 巢问题”，使学生在理解“鸽巢问
题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”， 会用“鸽
巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问
题中， 只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪
个物体（或人）。这类问题依据 的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最
先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问 题的，所以又称“狄利克
雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可 以
说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有
趣的问题，并 且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、
集合论、组合论中都得到了广泛的应用 。
二、单元三维目标导向：
1、知识与技能：（1）引导学生通过观察、猜测、实验、推理 等活动，经历
探究“鸽巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解
决 简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实
验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的 紧密联系，体验学数学、用
数学的乐趣。（2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。（3） 感受数
学在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。
三、单元教学重难点
重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢
问题”。
难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
四、单元学情分析

“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类
问题。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范
畴。能不能将这 个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。
所以，在教学中，应有意识地让学生理解 “鸽巢原理”的“一般化模型”。六年
级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容 的程度。教材
选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，
有 助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
五、教法和学法
1、让学生经历“数 学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物
操作或画草图的方式进行“说理”。通过“说理” 的方式理解“鸽巢原理”的过
程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能 力，
为以后学习较严密的数学证明做准备。
2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面 对一个具体的问题时，能
否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“ 鸽
巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，
什么是“ 鸽巢”，是解决问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否
属于用“鸽巢原理”可以解决的范 畴；再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问
题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化 ”的过程，从纷繁复
杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是学生数学思维和能力的重要体现。 3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛
且灵活多变。因此，用 “鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一些困难。例
如，有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的 联系并不容易，即使找到了，也
很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必 过于要求
学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓
励学生 借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
六、单元课时划分：本单元计划课时数：6课时
鸽巢问题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1课时
“鸽巢问题”的具体应用„„„„„„„„„„„„„1课时
练习课„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1课时

单元测评„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2课时
试卷讲评„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1课时
吴安国、
授课
备 课 白林虎、
教师
教 师 蒙祥军、平杰
学习
内容

使用时间 第 周
鸽巢问题

第 一 课时 课型
教学内容：教材第68-70页例1、例2，及“做一做”的第1题，及第71页练习十三的1-2题。
教学目标：
1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解 “鸽巢原理”的含义。使
学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究 “鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实
验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。 < br>3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发
学生的学习兴趣，使学 生感受数学的魅力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
教学过程：
一．情境导入
二、探究新知
1.教学例1.(课件出示例题1情境图）
思考问题：把4支铅笔放 进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少
有2支铅笔。为什么呢？“总有”和“至少”是什么意 思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”
的学习过程来 解决问题。
(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么
放， 总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。

(2)理解关键词的含义：“总有”和 “至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，
不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
(3)探究证明。
方法一：用“枚举法”证明。

方法二：用“分解法”证明。
把4分解成3个数。

由图可知，把4分解成3个数 ，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情
况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。
方法三：用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中 ，无论怎
么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。
（4）认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔
是要分放的物体，就相当于4 只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或
“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是 把4只鸽子放进3个笼子，
总有1个笼子里至少有2只鸽子。
这里的“总有”指的是“一定有 ”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是
最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子 “最少”的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支
铅笔。
如 果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；
如果放的铅笔比笔筒的数量多3， 那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔……
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅
笔。
（5）归纳总结：
鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非 零
自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。
2、教学例2(课件出示例题2情境图）

思考问题：（一）把7本书放进 3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至
少有3本书。为什么呢？（二）如果有8本书会怎样呢？10 本书呢？
学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。
（1）探究证明。
方法一：用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：
由图可知，每种情况 分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种
分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少 放进3本书。
方法二：用假设法证明。
把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）.... ..1（本），若每个抽屉放2本，
则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个 抽屉里就
有3本书。
（2）得出结论。
通过以上两种方法都可以发现：7本书放进 3个抽屉中，不管怎么放，总有
1个抽屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。
（1）用假设法分析。
8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中
2个 抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽
屉里至少放进3本书。 10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总
有1个 抽屉里至少放进4本书。
（2）归纳总结：
综合上面两种情况，要把a本书放进 3个抽屉里，如果a÷3=b（本）......1
（本）或a÷3=b（本）......2（本）， 那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本
书。
鸽巢原理（二）：古国把多与k n个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是
正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放 进了（k+1)个物体。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”第1题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。

2、完成教材第71页练习十三的1-2题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
四、课堂总结
板书设计：
新


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教学反思：

吴安国、
备 课
白林虎、
授课

教 师 教师
蒙祥军、平杰
学习
内容

教学内容：教材第70-71页例3，及“做一做”的第2题，及第71页练 习
十三的3-4题。
教学目标：
1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理”的基 础上，使学生学会用此原
理解决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的 学习过程，体验观察、猜测、实
验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感 、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发
学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅 力。
教学重难点：
重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点：找出 “鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽
巢原理”进行反向推理。
教学过程：
一、情境导入
二、探究新知
1、教学例3（出示例3的情境图）.
使用时间 第 周
“鸽巢问题”的具体应用

第 二 课时 课型

出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球
一定有2个同色的，少要摸出几个球？
学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。
（1）猜测验证。
 猜测1：只摸2个球 只要举出一个反例就可以推翻这种
猜测。
就能保证这2个球 验 证 如：这两个球正好是一红一蓝时就
不能
同色。 满足条件。
 猜测2：摸出5个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，
因为
肯定有2个球是同 验 证 5÷2=2...1，所以摸出5个球时，至少
有3
色的。 个球是同色的，因此摸出5个球是没必
要的。
 猜测1：摸出3个球， 把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，
因为
至少有2个球是同 验 证 3÷2=1...1，所以摸出3个球时，至
少有3
色的。 2个是同色的。
综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。
（2）分析推理。
根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2个球，分的无图
个数失少要比抽屉数多1。现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了
“要保证摸出2个同色的 球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。因此，
要从两种颜色的球中保证摸出2个同色的，至少要 摸出3个球。
2、趁热打铁：箱子里有足够多的5种不同颜色的球，最少取出多少个球才
能保 证其中一定有2个颜色一样的球？
学生独立思考解决问题，集体交流。
3、归纳总结：
运用“鸽巢原理”解决问题的思路和方法：

（1）分析题意；
（2）把实际问题转化成“鸽巢问题”，弄清“鸽巢”和分放的“鸽子”。
（3）根据“鸽巢原理”推理并解决问题。
三、巩固练习
1、完成教材第70页的“做一做”的第2题。（学生独立解答，集体交流。）
2、完成教材第71页的练习十三的第3-4题。（学生独立解答，集体交流。）
3、课外拓 展延伸题：一个布袋里有红色、黑色、蓝色的袜子各8只。每次
从布袋里最少要拿出多少只可以保证其中 有2双颜色不同的袜子？（袜子不分左
右）
四、课堂总结
板书设计：
新


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教学反思：

吴安国、
备 课
白林虎、
授课

教 师 教师
蒙祥军、平杰
学习内
容

使用时间 第 周
练习课

第 三 课时 课型
教学内容：教材71页练习十三的5、6题，及相关的练习题。
教学目标：
1、知 识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练
解决简单的实际问题。
2 、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实
验、推理等活动的学习方法，渗 透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发
学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重难点
重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢

问题”。
难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
教学过程：
一、复习导入

二、指导练习
（一）基础练习题
1、填一填：
（1）水东小学六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六年级
至少有（ ）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个球，那么一定有1
个同学至少投进了（ ）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（ ）
本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出生
的？
（2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2本
科技书。一次至少要拿出多少 本书？
（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里的
铅笔不少于6支？
（二）拓展延伸题
1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？
教师引导学生分 析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有7
个球，那么球的个数至少要比抽屉数的（7- 1）倍多1个，而（27-1）÷（7-1）
=4...2，因此最多放进4个盒子里，可以保证至少有 1个盒子里有7个球。
教师引导学生规范解答：
2、一个袋子里装有红、黄、蓝袜子各5只 ，一次至少取出多少只可以保证
每种颜色至少有1只？

教师引导 学生分析：假设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续去；假
设再取5只，5只有全是黄的，这时再 取一只一定是蓝色的，这样取5×2+1=11
（只）可以保证每种颜色至少有1只。
教师引导学生规范解答：
3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全班最 低分是75。
已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）班至少有多
少 名同学？
教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生可能
得到的 不同分数有100-745+1=26（种）。
教师引导学生规范解答：
三、巩固练习
完成教材第71页练习十三的5、6题。（学生独立思考解答问题，集体交流、
纠正。）
四、课堂总结
板书设计：
新


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