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第五单元 数学广角 ——鸽巢问题
单元备课
一、教材分析：
本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方
法。和以往的义务教 育教材相比，这部分内容是新增的内容。本单元教材通过几
个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽 巢问题”，使学生在理解“鸽巢问
题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”， 会用“鸽
巢问题”加以解决。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。在这类问
题中， 只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪
个物体（或人）。这类问题依据 的理论我们称之为“抽屉原理”。“抽屉原理”最
先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问 题的，所以又称“狄利克
雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可 以
说是显而易见的。但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有
趣的问题，并 且常常能得到一些令人惊异的结论。因此，“鸽巢问题”在数论、
集合论、组合论中都得到了广泛的应用 。“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运
用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。教学时，要引导学生 先判断某个问题
是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合
起来，是本次教学能否成功的关键。所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽
巢原理”的“一般化模 型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达
到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生 熟悉的，易于理解的生活实例，
将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决 实际问
题的能力。
二、三维目标：
1、知识与技能：
引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程，
初步了解“鸽巢原理” 的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
2、过程与方法：
（1）经历探 究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动
的学习方法，渗透数形结合的思想。
（2）学会与人合作，并能与人交流思维过程和结果。
3、情感态度与价值观：（1）积极参与探索活动，体验数学活动充满着探索与创
造。
（2）体会数学与生活的紧密联系，感受数学在实际生活中的作用，体验学数学、
用数学的乐趣 。
（3）通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。
（4）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。
三、教学重点:
应用“鸽巢原理”解决实际问题，引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题。
四、教学难点：
理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
五、教学措施：
1、让学生经历“数学证明”的过程。可以鼓励、引导学生借助学具、实物
操作或画草 图的方式进行“说理”。通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过

程是一种数学证明的 雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，
为以后学习较严密的数学证明做准备。
2、有意识地培养学生的“模型”思想。当我们面对一个具体的问题时，能
否将这个具体问题和 “鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“鸽
巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系 ，找出该问题中什么是“待分的东西”，
什么是“鸽巢”，是解决问题的关键。教学时，要引导学生先判 断某个问题是否
属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴；再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问
题”的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程，从纷繁复
杂的现实素材中找出最本 质的数学模型，是学生数学思维和能力的重要体现。
3、要适当把握教学要求。“鸽巢原理”本 身或许并不复杂，但它的应用广泛
且灵活多变。因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一些 困难。例
如，有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也
很难确 定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。因此，教学时，不必过于要求
学生“说理”的严密性，只要 能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓
励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
六、课时安排：3课时
鸽巢问题------------------- 1课时
“鸽巢问题”的具体应用------1课时
练习课 ---------------------1课时

课题 鸽巢问题 课型 新授课 < br>1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。使学生学
会用此原理解决 简单的实际问题。
学习 2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推
目标 理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决 简单的实际问题，激发学生的
学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
重点
教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
难点
教学难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。
教学
多媒体课件。
准备
教 学 活 动 设 计 教学调整

一、创设情境，导入新知
老师组织学生做“抢椅子”游戏（请3位同学上来，摆开2条椅子），
并宣布游戏规则。
师：象这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来
研究这个原理。-------出示课 题
二、合作交流，探究新知
1、教学例1(课件出示例题1情境图）
思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒
里至少有2支铅笔。为什么呢？“ 总有”和“至少”是什么意思？
学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽 巢
问题”的学习过程来解决问题。
(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中， 可以发现：不
管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。
(2)理解关键词的含义：“ 总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3
个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于 2支。
(3)探究证明
方法一：用“枚举法”证明。
方法二：用“分解法”证明。
把4分解成3个数。可知，把4分解成3个数，与枚举法相似 ，也有
4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。
方法三：用“假设法”证明。
通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个 笔筒中，无
论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。
（4）认识“鸽巢问题”
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支
铅笔是要分放的物体，就相 当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3
个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描 述就是把4
只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。 这里的“总有”
指的是“ 一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所
有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子” 里鸽子“最少”的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进
2支铅笔。
如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅
笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多 3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅
笔„„
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2
支铅笔。
（5）归纳总结：
鸽巢原理（一）：
如果把m个物体任意放进n个抽屉里（ m>n，且n是非零自然数），
那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。
2、教学例2(课件出示例题2情境图）
思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个
抽屉里至少有3本书。为什么呢？

（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？学生通过“探究证明→
得出结论”的学习过程来解决问题（一）。
（1）探究证明。
方法一：用数的分解法证明
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情
况：
由图可知， 每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就
是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个 抽屉至少放进3本书。
方法二：用假设法证明。
把7本书平均分成3份，7÷3=2（ 本）......1（本），若每个抽屉
放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉 中，那么
这个抽屉里就有3本书。
（2）得出结论。
通过以上两种方法都可 以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，
总有1个抽屉里至少放进3本书。
学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题
（二）
（1）用假设法分析。
8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽 屉中，
使其中2个 抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，
总有1个抽屉里至少放进3本书。
10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不 管怎
么放，总有1个抽屉里至少放进4
本书。
（2）归纳总结：
综合 上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b
（本）......1（本）或a÷3=b （本）......2（本），那么一定有1个
抽屉里至少放进（b+1）本书。
鸽巢原 理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉
（k是正整数，n是非0的自然数），那么 一定有一个抽屉中至少放进了
（k+1)个物体。
三、巩固新知，拓展应用
1、完成教材第70页的“做一做”。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
2、完成教材第71页练习十三的1-2题。
学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。
四、课堂总结
1、通过今天的学习你有什么收获？
2、回归生活：你还能举出一些能用“鸽巢问题”解释的生活中的例
子吗？
五、作业

鸽巢问题（一）
例1、有4枝铅笔，3个盒子，把4枝铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？
板
书
设
计

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

教
后
反
思

课题 课型 新授课
1、知识与技能：在了解简单的 “鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决
简单的实际问题。
2、过程与方法：经 历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推
理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想 。
学习
3、情感态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学
目标
习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
教学难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽
巢原理”进行 反向推理。
教学重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。
重点
难点
教学难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽
巢原理”进行 反向推理。

教学
多媒体课件
准备
教 学 活 动 设 计
一、创设情境、引入新课：
师：一天晚上，有一个小女孩正要从抽屉里 拿袜子。抽屉里有黑白两种颜
色的袜子各10双。突然停电了。小女孩至少摸出多少只袜子，才能保证< br>拿出相同颜色的袜子？
学生思考、发言。
师：学习了这节课我们就能解决类似的问题了。------
出示课题
二、合作交流，探究新知
（一）出示例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想 摸出的球
一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
1、学生提出猜想。
2、用预先准备的学具，小组合作交流。
3、小组反馈，师相机板书：
4、得出结论：把颜色看作抽屉。
有两种颜色，只要摸出的球比他们的颜色至少多1，就能保证有两个球同
色。
（二）研究规律
师：如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，从盒子里摸出两个同色的球，至< br>少要摸出几个球？分小组讨论后汇报。
再出示“做一做”第2题，汇报后得出：问题结论只与球的颜色种数也就
是抽屉数有关。
小结：确定什么是抽屉什么是物体是解决抽屉问题的关键。
三、巩固新知，拓展应用
1、第70页“做一做”第1题。
2、解决课前有趣的问题
3、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，
（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？
（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？为什么？
4、练习十三第3、4题。
四、全课总结，畅谈收获
1、通过今天的学习你有什么收获？
2、回归生活：你还能举出一些能用抽屉原理解释的生活中的例子吗？
五、作业

教学调整

鸽巢问题(二)
板
例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要想摸出的球一定有2个同色的，
书
至少要摸出几个球？
设
有两种颜色，只要摸出的球比他们的颜色至少多1，就能保证有两个球同色。
计

教
后
反
思

课题 鸽巢问题 课型 练习课
学习
目标
1、知识与技能：进一步熟知“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”熟练解
决简单的实际问题。
2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、
推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学
生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。引导学会把具体问题转化成“鸽巢
重点
问题”。
难点
教学难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。
教学
多媒体课件。
准备
教 学 活 动 设 计 教学调整

一、谈话导入
出示课题
二、指导练习
（一）基础练习题
1、填一填：
（1）鱼岳三小六年级有30名学生是二月份（按28天计算）出生的，六
年级至少有（ ）名学生的生日是在二月份的同一天。
（2）有3个同学一起练习投篮，如果他们一共投进16个 球，那么一定有
1个同学至少投进了（
）个球。
（3）把6只鸡放进5个鸡笼，至少有（ ）只鸡要放进同1个鸡笼里。
（4）某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有（ ）
本书，才可以保证至少有1个同学能借到2本或2本以上的书。
学生独立思考解答，集体交流纠正。
2、解决问题。
（1）（易错题）六（1）班有50名同学，至少有多少名同学是同一个月出
生的？ （2）书籍里混装着3本故事书和5本科技书，要保证一次一定能拿出2
本科技书。一次至少要拿出 多少本书？
（3）把16支铅笔最多放入几个铅笔盒里，可以保证至少有1个铅笔盒里
的铅笔不少于6支？
（二）拓展应用
1、把27个球最多放在几个盒子里，可以保证至少有1个盒子里有7个球？
教师引导学生 分析：盒子数看作抽屉数，如果要使其中1个抽屉里至少有
7个球，那么球的个数至少要比抽屉数的（7 -1）倍多1个，而（27-1）
÷（7-1）=4...2，因此最多放进4个盒子里，可以保证至少 有1个盒子
里有7个球。
教师引导学生规范解答：
2、一个袋子里装有 红、黄、蓝袜子各5只，一次至少取出多少只可以保
证每种颜色至少有1只？
教师引导 学生分析：假设先取5只，全是红的，不符合题意，要继续去；
假设再取5只，5只有全是黄的，这时再 取一只一定是蓝色的，这样取5
×2+1=11（只）可以保证每种颜色至少有1只。
教师引导学生规范解答：
3、六（2）班的同学参加一次数学考试，满分为100分，全 班最低分是
75。已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。六（2）
班至少有 多少名同学？
教师引导学生分析：因为最高分是100分，最低分是75分，所以学生可
能得到的不同分数有100-745+1=26（种）。
教师引导学生规范解答：
三、巩固练习：
完成教材第71页练习十三的5、6题。（学生独立思考解答问题，集体交
流、纠正。）
四、课堂总结

说说这节课你有什么收获？还有什么疑问，我们一起解决。
五、作业

板
书
设
计

教
后
反
思