台湾大学世界排名-关于夏天的诗句

鸽巢问题

学习内容：小学六年级下册

教学目标： 1.使学生理解“鸽巢原理”（“抽屉原理”）的基本形式，并能初步运用“鸽巢
原理”解决相关的 实际问题或解释相关的现象。
2.通过操作、观察、比较、说理等教学活动，使学生经历鸽巢原理的形 成过程，
体会和掌握逻辑推理思想，提高学习数学的兴趣。
3.通过了解“鸽巢原理”（“狄 利克雷原理”）名称的由来，使学生感受这一原
理没能用国人名字命名的遗憾，激励学生将自己的发现写 成概括性文字，许学生
以“未来数学家”的美好愿望。

重难点：
重点：经历“鸽巢问题”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。
难点：理解“鸽巢问题”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

教学预案：
一、问题导入，引出探究。
T：你认为鸽巢问题就一定是鸽巢的问题吗？
S
1
：是。
S
2
：不是。
T：嗯，既然有争论， 那不如我们一起研究一下这个问题吧。都认为不是啊？我
觉得要用研究成果证实才更令人信服。这是老师 查阅资料时看到的一句话......
二、自主探究，初步感知。
1.出示例题：把4只鸽子放进3个鸽巢中，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有
2只鸽子。
T：你懂这句话吗？“总有”和“至少”这两个词是什么意思？
S：“总有”就是一定有，“至少”就是最少，最起码。
T：你信这句话吗？

2.出示自主学习任务单：
画：用长方形表示鸽巢，用圆圈表示鸽子，将可能 的进法画出来。（约定：每个
鸽巢中进入的鸽子数目按从多到少的顺序画。）
记：边画边记录，每个鸽巢中各进入了几只鸽子？
思：仔细观察，与组员分享你的发现。
3.展现方法1，教师指出：像这样将所有情况都列出来的方法，我们通常叫做“枚
举法”。
教师再次引导学生观察四种进法，师生一起圈出每种进法中不小于2的数，理解
“总有一个鸽巢 里至少有2只鸽子”，对学生的方法给予肯定。
4.展现方法2（以“平均分”的思想假设）。
T：除了像这样把所有可能的情况都列举出来，还有没有别的方法也可以证明这
句话是正确的？
S
：我是这样想的，先假设每个鸟巢进一只鸽子，这样还剩一只，剩下的这只无
论飞进 哪个鸟巢，都会有一个鸟巢里有两只鸽子。所以我认为是对的。
T：你为什么要先让每个鸟巢进一只鸽子呢？
S：因为总共有4只，平均分，每个鸟巢分得一只。
T：你为什么要一开始就去平均分呢？
S：平均分，就可以使每个鸟巢尽可能少一点，也就有可能找到和题目不一样的
情况。
T：我明白了。但是这样只能证明总有一个鸟巢里有两只鸽子，怎么证明至少有
两只呢？ S：平均分已经使每个鸟巢中的鸽子尽可能少了，如果这样都符合要求，那另外
的情况肯定也是符合 要求的了。
5.确认结论
T：到现在为止，我们可以得出什么结论？

S
s
：把4只鸽子放进3个鸽巢中，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有2只鸽子。
6.加深感悟
请用手势安静快速地给出答案：
1）判一判：5只鸽子进4个鸽巢，总有一个鸽巢至少进2只鸽子。
2）填一填：6只鸽子进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少进（ ）只鸽子。
3）10只鸽子进9个鸽巢呢？
100只鸽子进99个鸽巢呢？
你有什么好的发现想分享？
S：当鸽子数比鸽巢数多1时，总有一个鸽巢至少进2只鸽子。
4）我们为什么都用假设的方法来分析，而不是画图或举例呢？
S：枚举法虽直接明了，但只适用于鸽子数较少的情况，当数目较多时，假设法
更具有一般性。
（教师引导学生说理，学生逐渐都采用假设的思路熟练地来表达。继而引导学生
对两种方法进行 比较，体会枚举法的优越性和局限性，感悟假设法更具一般性的
特点。）
三、探究升级，把握内涵。
1.出示例题：把5只鸽子放进3个鸽巢中，不管怎么放，总有一个鸽巢里至少有
2只鸽子。
在前面的铺垫下学生会脱口而出，把鸽子尽量平均分进鸽笼，先是一个鸽笼进一
只鸽子，然后剩 下的鸽子也尽量分开进鸽笼，这样不管怎么放，总有一个鸽巢里
至少有2只鸽子。
T：能不能用算式更加简洁地表示你的想法呢？平均分意味着要做什么运算？
S：除法。5÷3 = 1……2
T：商1意味着......余数2又意味着......

S：商1意味着每 只鸽笼平均分得了一只鸽子，尽管余数是2，再平均分之后，
每个鸽笼也只可能增加一只，或什么都不增 加。
2.即时拓展，帮助消化。
T：如果有8只鸽子飞进3个鸽笼会怎样呢？10只呢？11只呢？你又有什么发
现？
请学生板演，并解说。
教师引导学生观察算式，得出结论：将鸽子尽量平均分进鸽笼，在算式 有余数时，
不管余数是几，总有一个鸽笼至少飞进了“商+1”只鸽子。
3.三个对比练习，揭示鸽巢原理本质。
1）8个人坐7把椅子，总有一把椅子上至少坐2人。为什么？
2）把11本书放进4个抽屉中，总有一个抽屉里至少有3本书。为什么？
3）张伯伯很喜欢养鸽子，他做了5个鸽笼，每个鸽笼住2只鸽子，他养了多少
只鸽子？
T：这三个问题，哪些属于鸽巢问题，哪些不属于？
S：1和2属于鸽巢原理，而3不属于。
T：第一个问题说的是人和椅子，第二个问题说的是抽屉和书，只有第三个问题
说的是鸽子啊， 为什么你们会给出这样的回答？
S：第一个问题是人抢椅子，相当于8只鸽子进7个鸽笼；第二个问题 说的是抽
屉和书，相当于11只鸽子进4个鸽笼；而第三个问题虽然表面上说的是鸽子，
但是并 不是什么进什么的问题。
T：（肯定学生的回答）确实，不论情境中的对象是什么，鸽巢问题研究的都 是
多个物体进入少个空间的问题，而解决这类问题我们所用的原理就叫鸽巢原理。
看样子大家都 学得不错，那不如进行一场快问快答吧，你准备好了吗？
四、追本溯源，加深体会。

T：其实啊，早在春秋时期，我们的古人就很机智地运用了鸽巢原理，不信咱们
就一起来看看吧 ！（动画：《二桃杀三士》）你知道二桃是怎么杀死三位勇士的
吗？
S：三个人分两只桃，不 管怎样分，总会有一只桃子要被两个人分，勇士们都不
甘心与人分桃，所以......
T： 不仅春秋时期，在宋代费衮的《梁溪漫志》中也有鸽巢原理，他用这一原理
来批驳“算命”一类迷信活动 的谬论，感兴趣的同学可以回家查查资料，看看他
怎么说的哟！
到了清代有更多的文献当中都 体现了鸽巢原理的运用，但无不遗憾的是，我
过学者虽然很早就会运用鸽巢原理来分析具体问题，但是在 古代文献中并未发现
关于鸽巢原理的概括性文字，没有人将它抽象为一条普遍的原理。最后还不得不将这一原理冠以百年后西方学者狄利克雷的名字。
“悟已往之不鉴，知来者之可追。”我们以后发 现了什么好的解决问题的方
法，最好想一想能不能用概括性的文字表述它呢？并将它记录下来，说不定下 一
个数学家就是你噢！
（以上只是预案，以实际教学为准，谢谢）。